/2025-2026學(xué)年山西省運(yùn)城市部分學(xué)校上學(xué)期9月月考九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.菱形、矩形、正方形共有的性質(zhì)是（

）A.對(duì)角線相等 B.對(duì)角線互相垂直

C.對(duì)角線互相平分 D.一條對(duì)角線平分一組內(nèi)角

2.若正方形對(duì)角線的長為2，則該正方形的面積為（

）A.2 B.2 C.22 D.4

3.如圖，菱形ABCD中，AB=6，∠BCDA.8 B.15 C.10 D.6

4.如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，若∠AA.40° B.50° C.60°

5.如圖，將一張矩形紙片對(duì)折再對(duì)折，然后沿著圖中的虛線剪下，得到①②兩部分，將①展開后，得到的四邊形一定是（

）A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形

6.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC=10，P，Q分別為AO，AD的中點(diǎn)，則PQ的長度為(

)A.10 B.5 C.2.5 D.2.25

7.如圖，在正方形ABCD對(duì)角線AC上取點(diǎn)E，使得AE=AB，連接BE，則A.22.5° B.25° C.20°

8.我們都知道，四邊形具有不穩(wěn)定性．老師制作了一個(gè)正方形教具用于課堂教學(xué)，數(shù)學(xué)課代表小亮在取道具時(shí)不小心使教具發(fā)生了形變（如圖），若正方形道具邊長為10cm，∠A.50cm2 B.502cm

9.如圖，已知四邊形ACBD是矩形，點(diǎn)B在直線MN上，若BD平分∠ABNA.BC平分∠ABM B.CD∥MN

C.△BOC是等邊三角形

10.如圖，明明將家中地磚中心的圖案（由大小相同的菱形和正方形組成）繪制到平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,0，則點(diǎn)A.?4,22 B.?2?二、填空題

11.如圖，在菱形ABCD中，∠B=40°，連接

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于原點(diǎn)O．若點(diǎn)A的坐標(biāo)是2,1，則點(diǎn)C

13.如圖，工人師傅砌門時(shí)，要想檢驗(yàn)門框ABCD是否符合設(shè)計(jì)要求（即門框是否為矩形），在確保兩組對(duì)邊分別相等的前提下，只要測(cè)量出對(duì)角線AC、

14.如圖，正方形ABCD的面積為4，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的面積為____________．

15.如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60°，則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD的周長為____________

16.如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的動(dòng)點(diǎn)，P是線段EF的中點(diǎn)，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H為垂足，連接GH．若AB=8，AD=6三、解答題

17.如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E和點(diǎn)F在邊BC上，且BE=CF．求證：AF=DE

18.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，AE?//?

19.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)M，N分別在AB，BC上，且BM=CN，AN與DM相交于點(diǎn)（1）求證：△ABN（2）求∠APM

20.數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動(dòng)，老師要求大家對(duì)矩形ABCD進(jìn)行如下操作：①如圖，分別以點(diǎn)B，C為圓心，大于12BC的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，F(xiàn)作直線EF交BC于點(diǎn)O，連接AO；②將△ABO沿AO翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)P處，作射線AP交CD于點(diǎn)Q．若AD=5

21.如圖，點(diǎn)E、F為菱形ABCD對(duì)角線BD的三等分點(diǎn).（1）試判斷四邊形AECF的形狀，并加以證明；（2）若菱形ABCD的周長為52，BD為24，試求四邊形AECF的面積.

22.如圖1，在?ABCD中，點(diǎn)E,F在對(duì)角線AC上，AE=CF,DE⊥AC，過點(diǎn)D作（1）求證：四邊形DEFG是矩形．（2）如圖2，連接DF,BE，當(dāng)∠DFG

23.如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點(diǎn)，E是CD邊的中點(diǎn)，AE平分∠DAM.

1求證：AM=2若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，試判斷AM=3若2中矩形ABCD兩邊AB=6，BC=

24.綜合與探究【問題情景】在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右作等邊三角形APE，點(diǎn)【問題解決】（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上，點(diǎn)E在菱形ABCD的內(nèi)部或邊上時(shí)，連接CE，則BP與CE的數(shù)量關(guān)系是________，BC與CE的位置關(guān)系是________；【類比探究】（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上，點(diǎn)E在菱形ABCD的外部時(shí)，1中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【拓展延伸】（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長線上時(shí)，其他條件不變，連接BE．若AB=23，BE

參考答案與試題解析2025-2026學(xué)年山西省運(yùn)城市部分學(xué)校上學(xué)期9月月考九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.【答案】C【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)利用菱形的性質(zhì)證明矩形的性質(zhì)【解析】本題考查菱形、矩形、正方形的性質(zhì)，熟記菱形、矩形、正方形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形、矩形、正方形的性質(zhì)逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案．【解答】解：A、矩形與正方形的對(duì)角線相等，菱形對(duì)角線不相等，選項(xiàng)性質(zhì)不是菱形、矩形、正方形共有的性質(zhì)，不符合題意；B、菱形與正方形的對(duì)角線互相垂直，矩形的對(duì)角線不垂直，選項(xiàng)性質(zhì)不是菱形、矩形、正方形共有的性質(zhì)，不符合題意；C、菱形、矩形、正方形的對(duì)角線均互相平分，選項(xiàng)性質(zhì)是菱形、矩形、正方形共有的性質(zhì)，符合題意；D、菱形與正方形的一條對(duì)角線平分一組內(nèi)角，矩形一條對(duì)角線不能平分一組內(nèi)角，選項(xiàng)性質(zhì)不是菱形、矩形、正方形共有的性質(zhì)，不符合題意；故選：C．2.【答案】B【考點(diǎn)】根據(jù)正方形的性質(zhì)求面積【解析】本題考查了正方形的性質(zhì)，根據(jù)正方形的面積等于對(duì)角線乘積的一半列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵正方形的一條對(duì)角線的長為2，∴這個(gè)正方形的面積=1故選：B．3.【答案】D【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)與判定利用菱形的性質(zhì)求線段長【解析】本題考查的是菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定，掌握“菱形的四條邊相等，兩組對(duì)邊分別平行”及等邊三角形的判定方法是關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)求得∠B=60【解答】∵四邊形ABCD是菱形，AB=∴AB=∴∠B又∠BCD∴∠B∴△ABC∴故選：D．4.【答案】A【考點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線【解析】在Rt△ABC中，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜邊∴CD則∠DCA∵∠BDC是△∴∠BDC故選：A．5.【答案】B【考點(diǎn)】證明四邊形是菱形翻折變換（折疊問題）【解析】本題考查剪紙問題，菱形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)動(dòng)手操作．對(duì)于此類問題，學(xué)生只要親自動(dòng)手操作，答案就會(huì)很直觀地呈現(xiàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：四條邊相等的四邊形是菱形．【解答】解：由第三個(gè)圖可以看出：最后從兩次折疊的交點(diǎn)處剪去一個(gè)直角三角形，由于是兩次折疊得到的圖形，那么所得到圖形的4條邊都是所剪直角三角形的斜邊．故得到的四邊形是菱形．故選：B．6.【答案】C【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)三角形中位線定理【解析】此題暫無解析【解答】C7.【答案】A【考點(diǎn)】根據(jù)正方形的性質(zhì)求角度【解析】本題主要考查的正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠BAC=45【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC∵AE∴∠ABE∴∠CBE故選：A．8.【答案】A【考點(diǎn)】根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積根據(jù)正方形的性質(zhì)證明含30度角的直角三角形【解析】本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．過點(diǎn)D′作D′E⊥BC交BC延長線于E，先證明四邊形A′BC【解答】解：過點(diǎn)D′作D′E⊥BC∵正方形ABCD，∴∴∴四邊形A′∴∴∠∵∴∠∴∴四邊形的面積減少了S正方形故選：A．9.【答案】C【考點(diǎn)】內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行利用矩形的性質(zhì)證明等腰三角形的定義【解析】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到OA=OB=OC=OD，∠CBD=90°，進(jìn)而得到【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OB∴∠OBD∵BD平分∠∴∠ABD∴∠ODB∴CD∥MN∴∠COB=∠ABN∵∠CBD∴∠ABD又∵∠ABD∴∠ABC∴BC平分∠ABM；故選項(xiàng)∵OB∴△BOC是等腰三角形，無法得到△BOC是等邊三角形，故選項(xiàng)故選C．10.【答案】D【考點(diǎn)】利用菱形的性質(zhì)求線段長根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長寫出直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)勾股定理的應(yīng)用【解析】本題考查了菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)，勾股定理，先根據(jù)地磚中心的圖案是由大小相同的菱形和正方形組成，點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,0，得出菱形和正方形的邊長為結(jié)合勾股定理得正方形的對(duì)角線22【解答】解：過點(diǎn)B作BC⊥∵地磚中心的圖案是由大小相同的菱形和正方形組成，點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,∴菱形和正方形的邊長為2，故正方形的對(duì)角線=2∴OC∵點(diǎn)B在第二象限，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為?2故選：D二、填空題11.【答案】70°【考點(diǎn)】利用菱形的性質(zhì)求角度【解析】本題考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠DAC=∠CAB，∠DAB+∠【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠B∴∠DAC=∠CAB∴∠DAB∴∠DAC故答案為：70°12.【答案】?【考點(diǎn)】根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)【解析】本題考查坐標(biāo)與圖形，根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直平分，得到A,【解答】解：∵正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于原點(diǎn)O，

∴OA=OC，

∴A,C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是2,1，

13.【答案】對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)與判定矩形的判定【解析】本題考查了矩形的判定，根據(jù)對(duì)角線互相相等的平行四邊形是矩形進(jìn)行作答即可．【解答】解：依題意，∵兩組對(duì)邊分別相等，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC∴四邊形ABCD是矩形，則只要測(cè)量出對(duì)角線AC、故答案為：對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形．14.【答案】2【考點(diǎn)】解一元二次方程-配方法解一元二次方程-因式分解法【解析】本題考查正方形性質(zhì)，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，根據(jù)正方形性質(zhì)和線段中點(diǎn)的性質(zhì)得到HD=DG=1，進(jìn)而得到S△DGH，同理可得S△AHE=【解答】解：∵正方形ABCD的面積為4，

∴AB=BC=CD=AD=2，∠D=90°，

∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，

∴HD=DG=1，15.【答案】8【考點(diǎn)】證明四邊形是菱形解直角三角形的相關(guān)計(jì)算證明四邊形是平行四邊形【解析】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，菱形的周長，過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，由題意易得四邊形ABCD是平行四邊形，進(jìn)而由平行四邊形的面積可得AM=AN，即可得到四邊形ABCD是菱形，再解【解答】解：過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于∵兩張紙條的對(duì)邊平行，∴AB?//∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵兩張紙條的寬度相等，∴AM∵S∴BC∴四邊形ABCD是菱形，在Rt△ADN中，∠ADN∴AD∴四邊形ABCD的周長為23故答案為：8316.【答案】7.5【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系勾股定理的應(yīng)用直角三角形斜邊上的中線四邊形中的線段最值問題【解析】連接AC、AP、CP，由勾股定理求出AC=10，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得AP=2.5，然后證四邊形PGCH是矩形，得GH=CP，當(dāng)A、【解答】連接AC、AP、CP，如圖所示：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC=AD=6，∠BAD=∠B=∠C=90°，

∴AC=AB2+BC2=82+62=10，

∵P是線段EF的中點(diǎn)，EF=5

∴AP=12EF三、解答題17.【答案】見解析【考點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）矩形的性質(zhì)【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=CD，∠B=∠C=90°，再推出【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠B=∠C=90°，

∵BE=CF18.【答案】四邊形ADCE是菱形．理由如下：

∵AE?//?CD，CE?//?AB，

∴四邊形ADCE是平行四邊形．

又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線菱形的判定【解析】首先判定四邊形ADCE是平行四邊形，然后由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)判定該平行四邊形的鄰邊相等，即可證得四邊形ADCE是菱形．【解答】四邊形ADCE是菱形．理由如下：

∵AE?//?CD，CE?//?AB，

∴四邊形ADCE是平行四邊形．

又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，19.【答案】（1）見解析（2）90【考點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明【解析】（1）直接利用SAS證明全等即可；（2）根據(jù)全等的性質(zhì)，得出∠MAP=∠ADM，再由∠【解答】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD∵BM∴BC?CN在△ABN和△AB∴△ABN（2）解：由1知△ABN∴∠MAP∴∠MAP∴∠APM20.【答案】線段CQ的長為25【考點(diǎn)】矩形與折疊問題全等的性質(zhì)和HL綜合（HL）勾股定理的應(yīng)用【解析】本題考查矩形與折疊問題，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定．連接OQ，由翻折的性質(zhì)，知AP=AB=3，OP=OB，證明Rt△【解答】解：連接OQ，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=3由作圖知OB=由折疊的性質(zhì)，得AP=AB=3，∴OP=又∵OQ∴Rt∴PQ設(shè)PQ=CQ=x，則在Rt△ADQ中，由勾股定理，得∴5解得x=∴線段CQ的長為251221.【答案】（1）菱形（2）

40【考點(diǎn)】根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積【解析】此題暫無解析【解答】解：（1）四邊形ABCD為菱形．理由如下：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，∵四邊形AECF是菱形，∴AC⊥BD，AO又∵點(diǎn)E、F為線段BD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，∴BE∴BO∵AO∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵AC∴四邊形ABCD為菱形；（2）∵四邊形ABCD為菱形，且周長為52，∴AB∵BD=24，E、F為菱形ABCD∴OB由勾股定理得，AO=∴AC∴22.【答案】（1）見解析（2）正方形，見解析【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)與判定平行四邊形的性質(zhì)與判定矩形的判定正方形的判定【解析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得AD=CB,AD∥CB，從而得出∠DAE（2）先證得DEBF是平行四邊形，得出DF?//?BE，從而得出∠AFD【解答】解：（1）證明：在?ABCD中，AD=CB,AD∥CB，

∴∠DAE=∠BCF．

又∵AE=CF，

∴△ADE?△CBFSAS，

∴∠AED=∠CFB．

∵∠AFG=∠CFB，

∴∠（2）四邊形DEFG是正方形．

理由：由1知DE∥BF,DE=BF，

∴四邊形DEBF是平行四邊形，

∴DF∥BE，

∴∠AFD=∠BEF．

∵∠DFG=∠BEF，

∴∠AFD=∠DFG23.【答案】1證明：圖1，延長AE，BC相交于N，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD//BC，

∴∠DAE=∠ENC.

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE=∠MAE，

∴∠ENC=∠MAE.

在△ADE和△NCE中，

∠DAE=∠2解：結(jié)論AM=AD+CM仍然成立，

理由：如圖2，

延長AE，BC相交于N，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD//BC，

∴∠DAE=∠ENC，

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE=∠MAE，

∴∠ENC=∠MAE.

在△ADE和3解：設(shè)MC=x，則BM=BC?CM=9?x，

由2知，AM=AD+MC=9+x【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)與判定正方形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)勾股定理【解析】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是判斷出△ADE?△NCE和利用勾股定理建立方程，是一道基礎(chǔ)題目．

同（1）的方法即可得出結(jié)論；（3）設(shè)出MC=x，利用（2）的結(jié)論得出AM=【解答】1證明：圖1，延長AE，BC相交于N，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD//