2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)不等式思想理解試卷一、知識(shí)點(diǎn)講解（一）不等式的基本概念用不等號(hào)（>、<、≥、≤、≠）連接起來(lái)表示數(shù)量大小關(guān)系的式子，叫做不等式。使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解；一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀表示，用空心圓圈表示不包含該點(diǎn)，用實(shí)心圓點(diǎn)表示包含該點(diǎn)，方向表示取值范圍的延伸方向。（二）不等式的基本性質(zhì)對(duì)稱性：如果a>b，那么b<a；如果a<b，那么b>a。傳遞性：如果a>b且b>c，那么a>c。加減法則：不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變。即如果a>b，那么a±c>b±c。乘除正數(shù)法則：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。即如果a>b且c>0，那么ac>bc（或a/c>b/c）。乘除負(fù)數(shù)法則：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向必須改變。即如果a>b且c<0，那么ac<bc（或a/c<b/c）。（三）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程類似，但需特別注意當(dāng)不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向要改變。具體步驟如下：去分母：在不等式兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)，注意不要漏乘不含分母的項(xiàng)，分子是多項(xiàng)式時(shí)要加括號(hào)。去括號(hào)：按照去括號(hào)法則，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)，注意符號(hào)變化。移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到不等式的一邊，其他項(xiàng)移到另一邊，移項(xiàng)要變號(hào)。合并同類項(xiàng)：把不等式化成ax>b（或ax<b、ax≥b、ax≤b）的形式。系數(shù)化為1：在不等式兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，若a>0，則不等號(hào)方向不變；若a<0，則不等號(hào)方向改變。（四）一元一次不等式組的解法由幾個(gè)含有相同未知數(shù)的一元一次不等式組成的不等式系統(tǒng)，叫做一元一次不等式組。解不等式組的步驟為：分別求出不等式組中每個(gè)不等式的解集。將每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，找出它們的公共部分。根據(jù)公共部分寫出不等式組的解集。常見(jiàn)的解集情況有四種（設(shè)a<b）：若不等式組為{x>a,x>b}，則解集為x>b（同大取大）。若不等式組為{x<a,x<b}，則解集為x<a（同小取?。?。若不等式組為{x>a,x<b}，則解集為a<x<b（大小小大中間找）。若不等式組為{x<a,x>b}，則無(wú)解（大大小小無(wú)解了）。二、例題解析（一）解一元一次不等式例題1：解不等式(\frac{x-1}{2}-\frac{2x+1}{3}>1)，并將解集在數(shù)軸上表示出來(lái)。解：去分母，兩邊同乘6（分母2和3的最小公倍數(shù)）：(3(x-1)-2(2x+1)>6)去括號(hào)：(3x-3-4x-2>6)移項(xiàng)：(3x-4x>6+3+2)合并同類項(xiàng)：(-x>11)系數(shù)化為1（兩邊同除以-1，不等號(hào)方向改變）：(x<-11)數(shù)軸表示：在數(shù)軸上找到-11對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，用空心圓圈表示（因?yàn)椴话?11），方向向左延伸。（二）含參數(shù)的不等式例題2：已知關(guān)于x的不等式((a-1)x>2)的解集是(x<\frac{2}{a-1})，求a的取值范圍。解析：觀察不等式的解集(x<\frac{2}{a-1})，不等號(hào)方向與原不等式((a-1)x>2)相比發(fā)生了改變，根據(jù)不等式性質(zhì)5，可知兩邊同時(shí)除以了一個(gè)負(fù)數(shù)，即(a-1<0)，解得(a<1)。（三）不等式組的整數(shù)解問(wèn)題例題3：求不等式組(\begin{cases}2x-1>x+1\x+8<4x-1\end{cases})的整數(shù)解。解：解第一個(gè)不等式(2x-1>x+1)：移項(xiàng)得(2x-x>1+1)，即(x>2)解第二個(gè)不等式(x+8<4x-1)：移項(xiàng)得(8+1<4x-x)，即(3x>9)，解得(x>3)不等式組的解集為(x>3)，因此整數(shù)解為所有大于3的整數(shù)，即4、5、6……（四）實(shí)際應(yīng)用題例題4：綿陽(yáng)市“全國(guó)文明村”江油白玉村果農(nóng)王燦收獲枇杷20噸，桃子12噸?，F(xiàn)計(jì)劃租用甲、乙兩種貨車共8輛將這批水果全部運(yùn)往外地銷售，已知一輛甲種貨車可裝枇杷4噸和桃子1噸，一輛乙種貨車可裝枇杷和桃子各2噸。（1）王燦如何安排甲、乙兩種貨車可一次性地運(yùn)到銷售地？有幾種方案？（2）若甲種貨車每輛要付運(yùn)輸費(fèi)300元，乙種貨車每輛要付運(yùn)輸費(fèi)240元，則選擇哪種方案最省錢？解：（1）設(shè)租用甲種貨車x輛，則租用乙種貨車((8-x))輛。根據(jù)題意，得：(\begin{cases}4x+2(8-x)\geq20\x+2(8-x)\geq12\end{cases})解第一個(gè)不等式：(4x+16-2x\geq20)(2x\geq4)(x\geq2)解第二個(gè)不等式：(x+16-2x\geq12)(-x\geq-4)(x\leq4)所以x的取值范圍為(2\leqx\leq4)，x為整數(shù)，因此x=2、3、4，共有3種方案：方案一：甲種貨車2輛，乙種貨車6輛方案二：甲種貨車3輛，乙種貨車5輛方案三：甲種貨車4輛，乙種貨車4輛（2）計(jì)算各方案運(yùn)費(fèi)：方案一：(2×300+6×240=600+1440=2040)元方案二：(3×300+5×240=900+1200=2100)元方案三：(4×300+4×240=1200+960=2160)元最省錢方案：方案一，運(yùn)費(fèi)2040元。三、練習(xí)題（一）填空題（每空3分，共30分）不等式(2x-7<5-2x)的正整數(shù)解有________個(gè)。若不等式組(\begin{cases}x>a\x<3\end{cases})有解，則a的取值范圍是________。已知關(guān)于x的不等式((5-2m)x>-3)的解是正數(shù)，則m所能取的最小整數(shù)是________。不等式(|x-4|<3)的解集為________。若不等式組(\begin{cases}x+8<4x-1\x>m\end{cases})的解集是(x>3)，則m的取值范圍是________。（二）解答題（共70分）（10分）解不等式(\frac{3x+1}{2}-\frac{x-1}{3}\leq2)，并將解集在數(shù)軸上表示出來(lái)。（12分）解不等式組(\begin{cases}3(x-1)<5x+1\\frac{x-1}{2}\geq2x-4\end{cases})，并寫出該不等式組的所有整數(shù)解。（14分）已知關(guān)于x的方程(5x+4=16k-x)的根大于2且小于10，求k的取值范圍。（16分）“益安”車隊(duì)有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛，全部車輛運(yùn)輸一次能運(yùn)輸110噸沙石。（1）求“益安”車隊(duì)載重量為8噸、10噸的卡車各有多少輛？（2）隨著工程的進(jìn)展，“益安”車隊(duì)需要一次運(yùn)輸沙石165噸以上，為了完成任務(wù)，準(zhǔn)備新增購(gòu)這兩種卡車共6輛，車隊(duì)有多少種購(gòu)買方案？請(qǐng)一一寫出。（18分）已知關(guān)于x，y的方程組(\begin{cases}x+y=m+2\4x+5y=6m+3\end{cases})的解為正數(shù)。（1）求m的取值范圍；（2）若方程組的解x，y滿足(0<y-x<1)，求m的整數(shù)值。參考答案（部分提示）2（正整數(shù)解為1、2）(a<3)3（由不等式解為正數(shù)可得(5-2m<0)，解得(m>2.5)，最小整數(shù)為3）(1<x<7)(m\leq3)(x\leq1)（數(shù)軸表示略）不等式組解