2025年下學(xué)期高中增強現(xiàn)實教育數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共12題，每題5分，共60分）1.空間幾何體的動態(tài)構(gòu)建在AR幾何實驗室中，學(xué)生通過手勢操作將一個棱長為2的正方體沿體對角線切割成兩個三棱錐，虛擬標(biāo)尺顯示截面三角形的邊長分別為（）A.√2，√3，√6B.2√2，2√3，2√6C.√2，√2，√6D.2√2，2√2，2√6解析：通過AR設(shè)備實時生成正方體三維模型，學(xué)生可360°旋轉(zhuǎn)觀察切割過程。正方體棱長為2，面對角線長為√(22+22)=2√2，體對角線長為√(22+22+22)=2√3。截面三角形三邊分別為三條面對角線，故邊長均為2√2，答案為D。2.函數(shù)圖像的動態(tài)變換在AR函數(shù)編輯器中輸入f(x)=x2，通過滑動參數(shù)條將圖像沿x軸拉伸為原來的2倍，再向上平移3個單位，新函數(shù)解析式為（）A.f(x)=2x2+3B.f(x)=(2x)2+3C.f(x)=(x/2)2+3D.f(x)=x2/2+3解析：AR界面實時顯示變換過程：橫向拉伸2倍對應(yīng)x→x/2，向上平移3個單位對應(yīng)整體加3，故新函數(shù)為f(x)=(x/2)2+3，答案為C。二、填空題（共4題，每題5分，共20分）13.立體幾何體積計算在AR虛擬實驗室中，學(xué)生將一個底面半徑為1、高為3的圓柱，通過AR切割工具沿軸線45°角斜切，剩余幾何體體積為______。解析：AR系統(tǒng)自動生成切割后的三維模型并標(biāo)注尺寸。原圓柱體積V=πr2h=3π，斜切后形成的半圓柱體積為3π/2，答案為3π/2。14.概率模型的模擬使用AR擲骰子模擬器連續(xù)投擲一枚均勻骰子1000次，虛擬數(shù)據(jù)面板顯示“6點”出現(xiàn)180次，據(jù)此估計擲出6點的概率為______（保留兩位小數(shù)）。解析：AR系統(tǒng)實時統(tǒng)計頻率，頻率=180/1000=0.18，答案為0.18。三、解答題（共6題，共70分）17.空間向量與立體幾何（12分）在AR三維坐標(biāo)系中，已知正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長為1，點E為棱BB?中點，虛擬指針指示向量$\overrightarrow{AE}$和$\overrightarrow{D?C}$。（1）求$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{D?C}$；（2）在AR界面中拖動點F至棱DD?上，使EF⊥平面A?BD，求點F的坐標(biāo)。解析：（1）AR系統(tǒng)自動建立坐標(biāo)系，A(0,0,0)，E(1,1,0.5)，D?(0,1,1)，C(1,1,0)，$\overrightarrow{AE}=(1,1,0.5)$，$\overrightarrow{D?C}=(1,0,-1)$，數(shù)量積=1×1+1×0+0.5×(-1)=0.5。（2）設(shè)F(0,1,t)，$\overrightarrow{EF}=(-1,0,t-0.5)$，平面A?BD的法向量$\overrightarrow{n}=(1,-1,1)$，由$\overrightarrow{EF}\parallel\overrightarrow{n}$得t=1.5，故F(0,1,1.5)。四、AR實踐操作題（共2題，共30分）22.動態(tài)函數(shù)探究（15分）任務(wù)：在AR函數(shù)實驗室中完成以下操作并記錄結(jié)果：（1）加載函數(shù)f(x)=sinx，通過手勢縮放觀察[0,4π]區(qū)間內(nèi)的圖像；（2）添加參數(shù)a，生成f(x)=sin(ax)，調(diào)整a使函數(shù)周期變?yōu)棣?；?）使用AR測量工具標(biāo)出函數(shù)圖像與直線y=0.5的所有交點坐標(biāo)。評分標(biāo)準(zhǔn)：正確設(shè)置周期參數(shù)a=2（5分）；準(zhǔn)確標(biāo)出交點坐標(biāo)(π/12,0.5)、(5π/12,0.5)、(13π/12,0.5)、(17π/12,0.5)（10分）。23.概率實驗設(shè)計（15分）任務(wù)：利用AR模擬工具設(shè)計一個“抽卡”實驗：（1）創(chuàng)建包含3張紅卡、2張藍(lán)卡的虛擬卡牌庫；（2）設(shè)置“不放回抽樣”模式，連續(xù)抽取2張，通過AR重復(fù)實驗100次；（3）統(tǒng)計“抽到1紅1藍(lán)”的頻率，并與理論概率比較。解析：理論概率P=C(3,1)C(2,1)/C(5,2)=6/10=0.6，AR實驗頻率應(yīng)接近0.6，允許誤差±0.05。五、開放創(chuàng)新題（10分）24.AR數(shù)學(xué)建模情境：在AR城市地圖中，某小區(qū)計劃修建一個矩形花壇，周長固定為20米。任務(wù)：（1）使用AR參數(shù)化建模工具，動態(tài)調(diào)整長和寬，觀察面積變化；（2）推導(dǎo)面積最大時的長和寬，并解釋AR界面中“面積峰值點”的幾何意義。答案：設(shè)長為x，寬為10-x，面積S=x(10-x)=-x2+10x，當(dāng)x=5時S最大=25平方米，此時長=寬=5米，AR界面顯示“峰值點”對應(yīng)正方形花壇，體現(xiàn)“矩形中正方形面積最大”的幾何性質(zhì)。試卷設(shè)計說明：技術(shù)融合：所有題目需通過AR設(shè)備完成，如三維模型操作、動態(tài)參數(shù)調(diào)整、虛擬實驗等，體現(xiàn)沉浸式學(xué)