2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)資優(yōu)生鑒別試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）已知集合(A={x\midx^2-3x+2=0})，(B={x\midx^2-ax+a-1=0})，若(A\cupB=A)，則實(shí)數(shù)(a)的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2或3函數(shù)(f(x)=\ln(x^2-2x-3))的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.((-\infty,-1))B.((-\infty,1))C.((1,+\infty))D.((3,+\infty))已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(m,-1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec))，則(m=)（）A.-1B.1C.2D.3已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，則(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=)（）A.(-\frac{1}{7})B.(\frac{1}{7})C.-7D.7已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則(a_7+a_8+a_9=)（）A.128B.256C.512D.1024某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.(\frac{4}{3})B.(\frac{8}{3})C.4D.8已知直線(l:y=kx+1)與圓(C:x^2+y^2-2x-3=0)相交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AB|=2\sqrt{3})，則(k=)（）A.(\pm\frac{\sqrt{3}}{3})B.(\pm\sqrt{3})C.-1D.0已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)在(x=-1)處取得極值，則(a=)（）A.-6B.6C.-3D.3二、多項(xiàng)選擇題（本大題共2小題，每小題5分，共10分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,0<\varphi<\pi))的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.(\omega=\frac{\pi}{2})B.(\varphi=\frac{\pi}{3})C.函數(shù)(f(x))的單調(diào)遞減區(qū)間為([4k+1,4k+3](k\inZ))D.函數(shù)(f(x))的圖象關(guān)于點(diǎn)((2k+1,0)(k\inZ))對稱已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，準(zhǔn)線為(l)，過點(diǎn)(F)的直線與拋物線(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，過點(diǎn)(A)作準(zhǔn)線(l)的垂線，垂足為(M)，則下列說法正確的是（）A.(|AB|)的最小值為4B.以(AB)為直徑的圓與準(zhǔn)線(l)相切C.若直線(AB)的斜率為1，則(|AB|=8)D.(\angleAMF=\angleBMF)三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位），則(|z|=)。若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq1\x-y\leq1\y\leq2\end{cases})，則(z=2x+y)的最大值為。在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(C=60^\circ)，則(c=)。已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}2^x,x\leq0\x+1,x>0\end{cases})，則(f(f(-1))=)；若(f(a)=3)，則(a=)。（本小題第一空2分，第二空3分）四、解答題（本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分12分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)。（1）證明：數(shù)列({a_n+1})是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)。（本小題滿分12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，已知(\sinA+\sinB=2\sinC)，且(a=2b)。（1）求(\cosC)的值；（2）若(\triangleABC)的面積為(3\sqrt{15})，求(c)的值。（本小題滿分14分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，點(diǎn)(D,E)分別為(BC,B_1C_1)的中點(diǎn)。（1）求證：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求三棱錐(A-BDE)的體積。（本小題滿分14分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從高二年級隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績測試，得到如下頻率分布表：成績分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.050.150.30.350.15（1）求這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）若該校高二年級共有1000名學(xué)生，估計(jì)數(shù)學(xué)成績在[80,100]的學(xué)生人數(shù)；（3）從成績在[50,60)和[90,100]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人成績在同一分組的概率。（本小題滿分14分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4})，求證：(\triangleAOB)的面積為定值。（本小題滿分16分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)。（1）求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在(x=1)處取得極大值，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)(g(x)=f(x)+(1-a)x^2-x)，若(g(x_1)=g(x_2)=0)，且(x_1<x_2)，證明：(x_1+x_2>\frac{2}{a})。（本小題滿分18分）定義：若函數(shù)(f(x))對于定義域內(nèi)的任意(x)，都存在常數(shù)(M>0)，使得(|f(x)|\leqM)成立，則稱函數(shù)(f(x))在定義域內(nèi)具有有界性，并稱(M)為函數(shù)(f(x))的一個(gè)上界。（1）判斷函數(shù)(f(x)=\frac{1}{x})在區(qū)間([1,2])上是否具有有界性，若具有，求出它的一個(gè)上界；（2）若函數(shù)(