2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽根軸與根心試卷一、核心概念與性質(zhì)1.1圓冪與根軸的定義圓冪：平面上任意一點(diǎn)(P)對(duì)圓(\odotO)的冪定義為(PO^2-r^2)，其中(r)為圓的半徑。當(dāng)點(diǎn)(P)在圓外時(shí)，圓冪等于過(P)的切線長(zhǎng)的平方；當(dāng)點(diǎn)(P)在圓內(nèi)時(shí)，圓冪等于過(P)的弦被(P)分成的兩段乘積的相反數(shù)；當(dāng)點(diǎn)(P)在圓上時(shí)，圓冪為0。根軸：平面上到兩不同心圓冪相等的點(diǎn)的軌跡是一條直線，稱為兩圓的根軸。若兩圓方程為((x-a_1)^2+(y-b_1)^2=r_1^2)和((x-a_2)^2+(y-b_2)^2=r_2^2)，則根軸方程可通過兩圓方程相減得到：[2(a_2-a_1)x+2(b_2-b_1)y+(a_1^2+b_1^2-r_1^2-a_2^2-b_2^2+r_2^2)=0]根軸垂直于兩圓的連心線，且當(dāng)兩圓相交時(shí)，根軸為公共弦所在直線；當(dāng)兩圓相切時(shí)，根軸為過切點(diǎn)的公切線；當(dāng)兩圓相離時(shí)，根軸是與兩圓均無交點(diǎn)的垂直于連心線的直線。1.2根心的定義與性質(zhì)根心：三個(gè)圓兩兩的根軸若不平行，則三線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三圓的根心。根心到三個(gè)圓的冪相等，且滿足以下性質(zhì)：若三圓圓心不共線，則根心唯一存在；若三圓有公共點(diǎn)，則根心在公共點(diǎn)處（若三圓共點(diǎn)）或在公共弦的交點(diǎn)處；根心到三圓的切線長(zhǎng)相等（若根心在圓外）。二、典型例題解析例1：根軸的基本計(jì)算題目：已知兩圓(\odotO_1:x^2+y^2-4x+2y+1=0)與(\odotO_2:x^2+y^2+2x-6y+1=0)，求其根軸方程，并判斷兩圓位置關(guān)系。解析：化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(\odotO_1:(x-2)^2+(y+1)^2=4)（圓心(O_1(2,-1))，半徑(r_1=2)）(\odotO_2:(x+1)^2+(y-3)^2=9)（圓心(O_2(-1,3))，半徑(r_2=3)）求根軸方程：兩圓方程相減得：[(-4x+2y+1)-(2x-6y+1)=0\implies-6x+8y=0\implies3x-4y=0]判斷位置關(guān)系：連心線距離(O_1O_2=\sqrt{(2+1)^2+(-1-3)^2}=5)，而(r_1+r_2=5)，故兩圓外切，根軸為過切點(diǎn)的公切線，方程為(3x-4y=0)。例2：根心的應(yīng)用題目：已知三圓(\odotA,\odotB,\odotC)的圓心分別為((0,0),(2,0),(1,\sqrt{3}))，半徑均為1，求其根心坐標(biāo)。解析：求兩兩根軸：(\odotA)與(\odotB)：圓心距為2，根軸垂直于x軸，且過中點(diǎn)((1,0))，方程為(x=1)；(\odotA)與(\odotC)：圓心距為2，根軸垂直于AC（斜率(\sqrt{3})），方程可通過相減得：(2x+2\sqrt{3}y-4=0\impliesx+\sqrt{3}y=2)。求根心：聯(lián)立(x=1)與(x+\sqrt{3}y=2)，解得(y=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3})，故根心為((1,\frac{\sqrt{3}}{3}))。例3：綜合證明題題目：如圖，(\odotO_1)與(\odotO_2)相交于(A,B)兩點(diǎn)，過(A)的直線分別交兩圓于(C,D)，過(B)的直線分別交兩圓于(E,F)，求證：(CE\parallelDF)。證明：利用根軸性質(zhì)：(AB)為兩圓的根軸，故點(diǎn)(E)對(duì)(\odotO_1)的冪等于對(duì)(\odotO_2)的冪，即(EA\cdotEC=EB\cdotEF)；同理，點(diǎn)(F)對(duì)(\odotO_2)的冪等于對(duì)(\odotO_1)的冪，即(FB\cdotFE=FA\cdotFD)。比例關(guān)系推導(dǎo)：由上述冪等式得(\frac{EC}{EF}=\frac{EB}{EA})和(\frac{FD}{FE}=\frac{FB}{FA})。又因?yàn)?\angleEAB=\angleFAB)（公共角），(\angleEBA=\angleFDA)（同弧所對(duì)圓周角），故(\triangleEAB\sim\triangleFAD)，從而(\frac{EB}{EA}=\frac{FB}{FA})，因此(\frac{EC}{EF}=\frac{FD}{FE}\impliesEC=FD)。平行判定：連接(CD)，由于(\angleECD=\angleABD=\angleAFD=\angleFDC)（內(nèi)錯(cuò)角相等），故(CE\parallelDF)。三、強(qiáng)化練習(xí)題一、選擇題（每題5分）兩圓(x^2+y^2=4)與((x-3)^2+y^2=1)的根軸方程為（）A.(x=2)B.(x=1)C.(3x=4)D.(6x=13)若三圓的根心在原點(diǎn)，則以下條件必成立的是（）A.三圓圓心共線B.原點(diǎn)到三圓的切線長(zhǎng)相等C.三圓均過原點(diǎn)D.三圓半徑相等二、填空題（每題5分）已知兩圓根軸方程為(2x-y+1=0)，且一圓方程為(x^2+y^2=1)，則另一圓方程可設(shè)為________。三圓圓心分別為((0,0),(1,0),(0,1))，半徑均為(\frac{\sqrt{2}}{2})，則根心坐標(biāo)為________。三、解答題（每題15分）如圖，(\triangleABC)的內(nèi)切圓與(BC,AC,AB)分別切于(D,E,F)，(\odotO_1)是以(A)為圓心、(AE)為半徑的圓，(\odotO_2)是以(B)為圓心、(BF)為半徑的圓，求證：(DE)是(\odotO_1)與(\odotO_2)的根軸。已知三圓兩兩相交，證明：三條公共弦交于一點(diǎn)（根心定理的直接應(yīng)用）。四、答案與提示選擇題：1.A；2.B填空題：3.(x^2+y^2+4x-2y+c=0)（(c)為常數(shù)）；4.((\frac{1}{2},\frac{1}{2}))解答題：5.提示：證明(D,E)到兩圓的冪相等，即(DO_1^2-AE^2=DO_2^2-BF^2)；6.提示：設(shè)兩圓公共弦為根軸，證明第三條根軸過前兩條根軸的交點(diǎn)。五、拓展知識(shí)點(diǎn)蒙日定理：平面上任意四個(gè)圓，若每三個(gè)圓有