專題3.3垂徑定理教學(xué)目標學(xué)生能夠準確理解垂徑定理及其推論的內(nèi)容，熟練掌握定理中“直徑”“垂直于弦”“平分弦”“平分弦所對的優(yōu)弧”“平分弦所對的劣弧”之間的相互關(guān)系，能夠用幾何語言準確表述定理和推論。通過典型例題和練習(xí)，學(xué)生能正確運用垂徑定理及其推論進行簡單的計算和證明，解決與圓中弦、弧、圓心距等相關(guān)的幾何問題。教學(xué)重難點1.重點（1）垂徑定理及其推論的內(nèi)容理解和掌握是教學(xué)的首要重點；（2）學(xué)生需要清晰明確地認識到定理中各個條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，這是后續(xù)運用定理解決問題的基礎(chǔ)；（3）熟練運用垂徑定理及其推論進行計算和證明也是重點內(nèi)容，學(xué)生要能夠根據(jù)具體的幾何問題，準確地選擇合適的定理和推論，將已知條件與定理相結(jié)合，通過合理的推理和計算得出結(jié)論。2.難點（1）垂徑定理及其推論的推導(dǎo)過程較為抽象，涉及到圓的對稱性、全等三角形等多個知識點的綜合運用，對學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力要求較高，這是教學(xué)的難點之一；（2）在實際問題中，學(xué)生往往難以準確地識別出垂徑定理的基本圖形，無法快速判斷哪些條件可以運用垂徑定理及其推論來解決問題，這需要學(xué)生具備較強的圖形識別能力和問題分析能力，也是教學(xué)過程中需要突破的難點；

（3）在運用垂徑定理進行計算時，常常需要結(jié)合勾股定理等知識，構(gòu)建方程來求解未知量，這種綜合運用知識解決問題的方法對部分學(xué)生來說存在一定困難，也是教學(xué)難點的重要組成部分。知識點01垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。常見輔助線做法（考點）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分【即學(xué)即練】1．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E．若CD=8，OD=5，則A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理，解題關(guān)鍵是理解垂徑定理的內(nèi)容并能靈活運用于計算．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∴DE=∴OE=故選：B．知識點02垂徑定理的應(yīng)用經(jīng)常為未知數(shù)，結(jié)合方程于勾股定理解答【即學(xué)即練】1．在直徑為26cm的圓柱形容器裝進一些水后，其橫截面如圖所示．已知水面的寬度AB=A．5cm B．7cm C．8cm【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．連接OB，過點O作OC⊥AB于點D，交⊙O于點C，先由垂徑定理求出BD的長，再根據(jù)勾股定理求出OD【詳解】解：連接OB，過點O作OC⊥AB于點D，交⊙O∵AB=24∴BD=∵⊙O的直徑為26∴OB=在Rt△OBD中，∴CD=即水的最大深度為8cm故選：C題型01利用垂徑定理求值【典例1】如圖，點A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于點D．現(xiàn)測得AB=8dmA．5dm B．10dm C．4dm【答案】A【分析】本題考查勾股定理和垂徑定理，關(guān)鍵是利用垂徑定理解答．連接OA，【詳解】連結(jié)OD,OA，如圖，設(shè)半徑為∵CD垂直平分AB于點D，∴CD⊥AB，∴OD⊥∴點O，D，C三點共線，∵CD∴OD在Rt△∵AO解得：r=5則圓的半徑為5dm故答案為：A．【變式1】如圖，圓弧形石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為92m，橋拱半徑OC為52m，則水面寬AB為（A．32m B．3m C．72m【答案】B【分析】本題考查了勾股定理，垂徑定理．連接OA，根據(jù)題意，得出OA=52m，OD=2【詳解】解：連接OA，∵橋拱半徑OC為52∴OA=∵CD=92∴OD=∴AD=∴AB=2故選：B．【變式2】將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B．42 C．43 D【答案】C【分析】作OD⊥AB于C，交小圓于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO為半徑，則OA=OD=4；然后運用勾股定理即可求得AC的長，即可求得AB的長.【詳解】解：作OD⊥AB于C，交小圓于D，則CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=OA∴AB=2AC=43故答案為C.【點睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，作出輔助線、構(gòu)造出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.【變式3】如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且CD⊥AB，垂足為E．若AE=3BE

【答案】6【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．連接OC，設(shè)BE=x，則AE=3BE=3x，求得【詳解】解：連接OC，設(shè)BE=x，則

∴AB∵AB是⊙O的直徑，∴OC=∴OE=∵CD⊥AB∴∠OEC=90°，∵在Rt△OCE中，∴x2解得x1∴AB=4×故答案為：6．題型02利用垂徑定理求平行弦問題【典例2】如圖，A，B，C，D在⊙O上，AB//CD經(jīng)過圓心O的線段EF⊥AB于點F，與CD交于點E（1）若AB=6，CD=8，求（2）若CD=46，且EF=【答案】（1）7；（2）8【分析】（1）連接AO和DO，由垂徑定理得AF=12AB=3，再由勾股定理求出OF（2）連接BO和DO，先由垂徑定理和勾股定理求出OE的長，設(shè)EF=BF=x，在Rt△OBF中，利用勾股定理列式求出【詳解】解：（1）連接AO和DO，∵EF⊥AB，且∴AF=∵AO=5∴OF=∵AB//∴EF⊥同理DE=OE=∴EF=（2）如圖，連接BO和DO，∵CD=4∴DE=2∴OE=設(shè)EF=BF=在Rt△OBF中，x-12+x∴BF=4∴AB=2【點睛】本題考查垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理，并能夠結(jié)合勾股定理進行運用求解．【變式1】已知⊙O的半徑為13，弦AB平行于弦CD，CD=10，【答案】7或17【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，分當(dāng)⊙O的圓心O位于AB、CD之間時，當(dāng)⊙O的圓心O不在兩平行弦AB、CD之間時，兩種情況分別利用勾股定理和垂徑定理求出點O到AB和【詳解】解：如圖，當(dāng)⊙O的圓心O位于AB、CD之間時，作OE⊥AB于點E，并延長EO，交CD于F點．分別連接AO∵AB∥∴EF⊥CD∵CD=10∴AE=在Rt△AEO中，由勾股定理得在Rt△CFO中，由勾股定理得∴EF=∴AB和CD之間的距離為17；如圖所示，當(dāng)⊙O的圓心O不在兩平行弦AB、CD之間（即弦AB、CD在圓心O同理可得：OF=12∴EF=∴AB和CD之間的距離為7；綜上所述，AB和CD之間的距離為7或17．故答案為：7或17．【變式2】設(shè)AB、CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD．若⊙O的半徑為13，AB=24，CD=10，則AB與CD之間的距離為．【答案】17或7/7或17【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由于AB、CD在圓心的同側(cè)或異側(cè)不能確定，故應(yīng)分兩種情況進行討論．【詳解】解：①當(dāng)AB、CD如圖（一）所示時，過O作OE⊥CD，交AB于F，連接OA、OC，∵AB∥CD，OE⊥CD，∴OF⊥AB，由垂徑定理可知AF=12AB=12×24=12，CE=12CD=在Rt△CEO中，OE=OC2同理，OF=OA2故EF=OE﹣OF=12﹣5=7；②當(dāng)AB、CD如圖（二）所示時，過O作OE⊥CD，交AB于F，連接OA、OC，同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17；故答案為：17或7．【點睛】本題考查的是垂徑定理，勾股定理，解答此題時要注意分類討論，不要漏解．【變式3】如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的☉O交于點G，B，F(xiàn)，E，GB=5，EF=4，那么AD=．【答案】3【分析】連接OF，過點O作OH⊥EF，垂足為H，根據(jù)垂徑定理，在△OHF中，勾股定理計算．【詳解】如圖，連接OF，過點O作OH⊥EF，垂足為H，則EH=FH=12EF=2∵GB=5，∴OF=OB=52在△OHF中，勾股定理，得OH=(5∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形OADH也是矩形，∴AD=OH=32故答案為：32【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，熟練掌握兩個定理是解題的關(guān)鍵．題型03利用垂徑定理求同心圓問題【典例3】如圖，兩個圓都是以O(shè)為圓心，大圓的弦AB交小圓于C,(1)求證：AC=(2)若AB=8,BD=1，小圓的半徑為5【答案】(1)見解析(2)大圓的半徑為4【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理；（1）作OE⊥AB于E，根據(jù)垂徑定理得到AE=（2）連接OD,OB，在Rt△OBE和【詳解】（1）證明：如圖：作OE⊥AB于由垂徑定理，得：AE∴即AC=（2）解：如圖，連接OD,∵AB∴BE=在Rt△OBE和OE∴O即52解得：OB∴大圓的半徑為42【變式1】如圖，以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB切小圓于點P.（1）PA與PB相等嗎？請說明理由；（2）若AB=8，求圓環(huán)的面積【答案】（1）相等，證明見解析；（2）圓環(huán)的面積為16【詳解】試題分析：（1）PA=PB，連接OP，在大圓中利用垂徑定理即可證明，（2）連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)和勾股定理可得：OA2﹣OP2=12AB2試題解析：（1）PA=PB，理由如下：連接OP，∵大圓的弦AB切小圓于點P，∴OP⊥AB，∴PA=PB，（2）接OA，∵大圓中長為8的弦AB與小圓相切，∴OP⊥AB，AP=4，∴OA2﹣OP2=16，∴πOA2﹣πOP2=（OA2﹣OP2）π，∴圓環(huán)的面積=16π．【變式2】如圖，一人口的弧形臺階，從上往下看是一組同心圓被一條直線所截得的一組圓?。阎總€臺階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為cm【答案】134【分析】由于所有的環(huán)形是同心圓，畫出同心圓圓心，設(shè)弧AB所在的圓的半徑為r，利用勾股定理列出方程即可解答．【詳解】解：設(shè)弧AB所在的圓的半徑為r，如圖．作OE⊥AB于E，連接OA，OC，則OA=r，OC=r+32，∵OE⊥AB，∴AE=EB=100cm，在RT△OAE中OE在RT△OCE中，OE則r2解得：r=134．故答案為：134．【點睛】本題考查垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．題型04利用垂徑定理求解其他問題【典例4】小明同學(xué)在做一道題時需要找出已知弧線所在圓的圓心，他在弧上描出了三個點A,B,C，并連接了AB和【答案】見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作線段的垂直平分線和垂徑定理，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握垂徑定理和線段垂直平分線的尺規(guī)作圖是關(guān)鍵．根據(jù)垂徑定理的推論可知：弦的垂直平分線過圓心，尺規(guī)作線段AB和BC的垂直平分線，其交點即為所求．【詳解】解：如圖，點O即為所求．【變式1】如圖，等腰△OAB的底邊AB交⊙O于點C、D．求證：AC【答案】證明見解析【分析】本題考查了垂徑定理和等腰三角形的性質(zhì)三線合一，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．過點O點作OM⊥CD，垂足為M，根據(jù)垂徑定理可得CM=DM，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得【詳解】證明：過點O點作OM⊥CD，垂足為∵OM⊥∴CM=∵△OAB∴AM=∴AM-∴AC=【變式2】如圖，⊙P與y軸相切于點C0，3，與x軸相交于點A1，0，B9，0．直線【答案】6【分析】連接PC，PA，過點P作PD⊥AB于點D，根據(jù)切線的性質(zhì)可知PC⊥y軸，故可得出四邊形PDOC是矩形，所以PD=OC=3，再求出AB的長，由垂徑定理可得出AD的長，故可得出OD【詳解】解：連接PC，PA，過點P作PD⊥∵⊙P與y軸相切于點C0，3∴四邊形PDOC是矩形，∴PD=∵A1，0，B9∴AD=∴OD=∴P5，3，∵直線y∴點P在直線y=∴3=5k-3故答案為：65【點睛】本題考查的是圓的綜合題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形求出P點坐標即可得出結(jié)論．題型05垂徑定理的推論【典例5】如圖、已知AB為⊙O的直徑，點B為CD的中點．則下列結(jié)論中一定正確的是（

A．BM=OM B．AB⊥CD C．【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理及其推論，根據(jù)垂徑定理中“知二推三”進行推理論證，即可解題．【詳解】解：∵AB為⊙O的直徑，點B為CD∴AB⊥故選：B．【變式1】如圖，A、B在⊙O上，連接OA，OB，AB．∠AOB的平分線交AB于點C，交⊙O于點DA．AC=BC B．OD⊥AB C．【答案】C【分析】該題考查了垂徑定理，根據(jù)垂徑定理解答即可．【詳解】解：∵∠AOB的平分線交AB于點C，OD∴∠AOD=∠BOD，AD=BD，AC=BC，OD選項C不能證明，故選：C．【變式2】如圖，是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，且CE=DE．若⊙O的半徑為5,A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】此題考查了垂徑定理的推論、勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理推論是關(guān)鍵．先利用垂徑定理的推論得到AB⊥【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，CD是⊙∴∵∴OE∴BE故選A.【變式3】如圖，AD是⊙O的直徑，弦BC與AD交于點E，連接AB，AC，CD，BD．若BD=CD，∠BAC=50°A．50° B．55° C．60° D．65°【答案】D【分析】本題主要考查垂徑定理及等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂徑定理及等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；由題意易得AD⊥BC，AB=【詳解】解：∵BD=∴BD=∵AD是⊙O∴AD⊥BC，∴AB=AC，∵∠BAC∴∠DAB∴∠ABC故選D．題型06垂徑定理的實際應(yīng)用【典例6】如圖①，圓形拱門屏風(fēng)是中國古代家庭中常見的裝飾隔斷，既美觀又實用，彰顯出中國元素的韻味．圖②是這一款拱門的示意圖，已知拱門所在圓的半徑為1.7m，拱門最下端AB(1)求拱門最高點到地面的距離；(2)現(xiàn)需要給房間內(nèi)搬進一個直徑為3m的圓桌面（桌面的厚度忽略不計），已知搬桌面的兩名工人在搬運時所抬高度相同（桌面與地面平行），通過計算說明工人將桌面抬高多少（即桌面與地面的距離）就可以使該圓桌面通過拱門．【答案】(1)拱門最高點到地面的距離為3.2m(2)工人將桌面抬高0.7m【分析】本題主要考查了垂徑定理的實際應(yīng)用，勾股定理，熟知垂徑定理是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)拱門所在圓的圓心為O，，作OC⊥AB于C，延長CO交圓于D，連接AO，由垂徑定理可得AC=CB=0.8（2）設(shè)弦EF=3m，且EF⊥CD，連接OE，同理求出【詳解】（1）解：如圖②中，設(shè)拱門所在圓的圓心為O，，作OC⊥AB于C，延長CO交圓于D，連接∵CD⊥AB，CD經(jīng)過圓心∴AC=∴OC=∴CD=∴拱門最高點到地面的距離為3.2m；（2）解：如圖，設(shè)弦EF=3m，且EF⊥∵CD⊥EF，CD經(jīng)過圓心∴EJ=∴OJ=O∴CJ=1.5-0.8=0.7答：工人將桌面抬高0.7m【變式1】如圖1，裝有水的水槽放置在水平桌面上，其橫截面是以AB為直徑的半圓O，AB=26cm，MN為水面截線，MN=24cm，GH

(1)作OC⊥MN于點C，求(2)將圖中的水倒出一部分得到圖2，發(fā)現(xiàn)水面高度下降了7cm【答案】(1)OC的長為5(2)水面截線減少了14【分析】本題主要考查了垂徑定理的實際應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理．（1）連接OM，利用垂徑定理得出MC=（2）過O作OD⊥EF，連接OE，由題意得OD=12cm，利用勾股定理求出ED=5【詳解】（1）解：如圖，連接OM，∵O為圓心，OC⊥MN∴MC∵AB∴OM在Rt△OMC中，∴OC的長為5

（2）如圖，過O作OD⊥EF，連接由題意得：OD=5+7=12在Rt△OED中，ED∴EF∴MN∴水面截線減少了14cm

【變式2】某地欲搭建一座橋，橋的底部兩端間的距離AB=24米，橋面最高點C到AB的距離CD(1)方案一：如圖1，設(shè)計成拋物線型，以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立坐標系，求此函數(shù)表達式．(2)方案二：如圖2，若設(shè)計成圓弧型，求該圓弧所在圓的半徑；(3)現(xiàn)有一艘寬為18米的貨船，貨船露出水面部分的橫截面為矩形，并高出水面2.7米．從以上兩種方案中，任選一種方案，判斷此貨船能否順利通過你所選方案的橋？并說明理由．【答案】(1)y(2)15米(3)拋物線型方案：不能；圓弧型方案：能；理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式為y=ax+12x（2）設(shè)圓心為O，連接OC交AB于點D，連接AO，在Rt△ADO中，由勾股定理可得AO（3）①選擇拋物線型方案時，當(dāng)x=9時，y≈2.625，由2.625<2.7，即可得出結(jié)論；②選擇圓弧型方案時，設(shè)DG=9米，過點G作FH⊥AB交弧BC于點F，過點O作OH⊥FH交FH于點H，連接OF，在Rt【詳解】（1）解：∵AB=24∴A-12,0，∵CD=6∴C0,6設(shè)拋物線的解析式為y=將點C的坐標代入，得：∴-144解得：a=-∴拋物線的解析式為y=-（2）解：如圖2，設(shè)圓心為O，連接OC交AB于點D，連接AO，∵AB=24米，橋面最高點C到AB的距離CD∴OC⊥AB，在Rt△ADO中，∴AO解得：AO=15∴該圓弧所在圓的半徑為15米；（3）解：拋物線型方案：貨船不能順利通過該橋；圓弧型方案：貨船能順利通過該橋；理由如下：①選擇方案一時，貨船從正中間走時，當(dāng)x=9時，y∵2.625<2.7，∴貨船不能順利通過該橋；②選擇方案二時，貨船從正中間走時，設(shè)DG=9如圖2，過點G作FH⊥AB交弧BC于點F，過點O作OH⊥FH交FH于點H，連接∴OH=DG=9在Rt△OHF中，∴152∴FH=12∵GH=∴FG=12-9=3∵3>2.7，∴貨船能順利通過該橋．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了實際問題與二次函數(shù)（拱橋問題），待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，圓的性質(zhì)，垂徑定理的實際應(yīng)用，勾股定理等知識點，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬AB為16m，拱高CN為4(1)求橋拱的半徑；(2)此橋的安全限度是拱頂C點距離水面不得小于1.5m，若大雨過后，洪水泛濫到水面寬度DE為12【答案】(1)10(2)不需要采取緊急措施，理由見解析【分析】本題考查勾股定理，垂徑定理，關(guān)鍵是由勾股定理，垂徑定理列出關(guān)于圓半徑的方程．（1）設(shè)橋拱的半徑是rm，由垂徑定理求出AN=AB=8m，而ON（2）由垂徑定理求出DM的長，由勾股定理求出OM的長，即可求出CM的長即可得解．【詳解】（1）解：如圖半徑OC⊥AB，設(shè)橋拱的半徑是rm∵OC∴AN∵拱高CN為4m∴ON∵O∴r∴r∴橋拱的半徑是10m（2）解：不需要采取緊急措施，理由如下：如圖，連接OD，∵CO∴DM∴OM∵CM∵2m∴不需要采取緊急措施．1．如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D．若AB=8，A．3 B．2 C．6 D．5【答案】A【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟悉掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．由垂徑定理得到AD的長，再由勾股定理解答即可．【詳解】解：∵OC⊥AB，∴AD=又∵OA=∴在Rt△OAD中，故選：A．2．如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，AC∥OB

A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)．連接BC，利用全等三角形的性質(zhì)證明△OBC【詳解】解：如圖，連接BC，設(shè)AB交OC于K．

∵OC⊥∴AK=∵AC∥∴∠A∵∠AKC∴△AKC∴OK=∵BK⊥∴BO=∵OB=∴OB=∴△BOC∴∠BOC故選：C．3．如圖，點A,B,C在⊙O上，點A是BC中點，若∠A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，等腰三角形性質(zhì)，由點A是BC中點，可得AO⊥BC，進而可得∠BAO=55°，根據(jù)OA=【詳解】解：∵點A是BC中點，∴AO⊥∵∠ABC∴∠BAO∵OA=OB，∴∠OBA∴∠BCO故選：C．4．如圖，已知矩形ABCD的頂點B，C在半徑為5的半圓O上，頂點A，D在直徑EF上．若ED=2，則矩形ABCD的面積等于（

A．21 B．22 C．23 D．24【答案】D【分析】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．連接OC，過OH⊥BC于H，則CH=BH，可證明四邊形CDOH是矩形得CH=【詳解】解：連接OC，過OH⊥BC于H，則CH=∵矩形ABCD的頂點B，C在半徑為5的半圓O上，ED=2∴OD=OE-∴四邊形CDOH是矩形，∴CH=OD=3在Rt△CDO中，∴矩形ABCD的面積等于4×6=24，故選：D．5．石拱橋是中國傳統(tǒng)的橋梁四大基本形式之一如圖，石拱橋整體形狀為圓的一部分，已知該石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m，水面AB的長也為8m，則該石拱橋的半徑為（A．4m B．5m C．6m D【答案】B【分析】本題考查的是垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，連接OA，設(shè)OA=R，得OD=8-R根據(jù)垂徑定理得【詳解】解：連接OA，如圖，，設(shè)OA=R，則∵CD=8∴OD=∵OD⊥∴AD=在Rt△OAD中，∴42解得，R=5故選：B．二、填空題6．“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問：徑幾何？”大意是：如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE=1寸，AB=10寸，則⊙【答案】26【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理，先根據(jù)垂徑定理，由DE垂直AB得到點E為AB的中點，由AB=10寸可求出AE的長，再設(shè)出圓的半徑OA為x寸，表示出OE的長，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于x【詳解】解：∵CD為⊙O的直徑，AB⊥CD∴AE=設(shè)圓O的半徑OA的長為x寸，則OC=OD∵CE=1∴OE=在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理得：O∴x2解得x=13∴CD=故答案為：26．7．如圖，過AB的中點C作CD⊥AB，垂足為D，AD=4，CD=2，則【答案】5【分析】本題主要考查了垂徑定理的推論，勾股定理，解一元一次方程等知識點，熟練掌握垂徑定理的推論及勾股定理是解題的關(guān)鍵．由“點C是AB的中點，CD⊥AB”，根據(jù)垂徑定理的推論可知，AB所在圓的圓心在CD所在的直線上，延長CD到圓心O，連接OA，設(shè)AB所在圓的半徑長為r，則OA=OC=r，OD=OC-【詳解】解：如圖，延長CD到圓心O，連接OA，設(shè)AB所在圓的半徑長為r，則OA=∵CD∴OD在Rt△AD∴4解得：r=5∴AB所在圓的半徑長為5故答案為：5．8．如圖，在⊙O中，弦AB=23，O到AB的距離OC=1，則【答案】2【分析】本題主要考查了勾股定理和垂徑定理，由垂徑定理可得BC=12【詳解】解：∵OC⊥AB，∴BC=在Rt△OBC中，由勾股定理可得∴⊙O的半徑為2故答案為：2．9．如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，DE=25，【答案】13【分析】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理等知識．連接OA，首先根據(jù)垂徑定理“垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧”可得AE=BE=【詳解】解：如下圖，連接OA，設(shè)該圓的半徑為x，∵AB⊥CD，∴AE=∵DE=25∴OE=25-∴在Rt△OAE中，即x2解得x∴該圓的半徑為13，，故答案為：13．10．如圖，⊙O的半徑為5，圓心O到弦AB的距離OM的長為3，則弦AB的長是【答案】8【分析】此題考查了勾股定理和垂徑定理，先根據(jù)垂徑定理得到AM=12【詳解】解：連接OA，∵⊙O的半徑為5∴OA∵圓心O到弦AB的距離OM的長為3，由垂徑定理知，點M是AB的中點，AM=由勾股定理可得，AM=∴AB=8故答案為：811．將一個量角器與一把無刻度透明直尺如圖所示擺放，直尺的邊與量角器分別交于點A，B，C，D，點C，點D分別對應(yīng)量角器的刻度為120，60，若量角器的直徑EF的長為8cm，則點O到CD的距離為cm【答案】2【分析】本題主要考查了角的度量、等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形等知識點，掌握這些基礎(chǔ)知識點是解題關(guān)鍵．連接OC,OD，過點O作OH⊥CD于點H，根據(jù)題意得出∠DOC【詳解】解：如圖：連接OC,OD，過點O作OH⊥∵點C，點D分別對應(yīng)量角器的刻度為120，60，∴∠DOC∵OC=∴ΔOCD為等邊三角形，∵直徑EF的長為8cm∴CD=∵OH⊥∴CH=∴OH=∴點O到CD的距離為23故答案為：2312.已知如圖，AB、CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足為點E，AB被CD分成3厘米、14厘米兩段（AE<EB），則點O【答案】5.5厘米【分析】本題考查了垂徑定理、矩形的判定與性質(zhì)，作OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，由題意可得∠FEG=∠OGE=∠OFE=90°，AE=3【詳解】解：如圖：作OF⊥AB于F，OG⊥，由題意可得：∠FEG=∠OGE=∠OFE∴四邊形OGEF為矩形，AB=∴OG=∵OF⊥∴AF=∴EF=∴OG=即點O到CD的距離為5.5厘米，故答案為：5.5厘米．13．我國古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》總共收集了246個數(shù)學(xué)問題，這些問題的算法要比歐洲同類算法早1500年．其中有這樣一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用數(shù)學(xué)語言可以表述為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，CE=2寸，AB=8寸（注：1尺=10寸），則可得直徑【答案】1【分析】本題主要考查了勾股定理和垂徑定理，根據(jù)垂徑定理得出AE的長，設(shè)半徑為r寸，再利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接OA，∵AB⊥∴由垂徑定理知，點E是AB的中點，∴AE=設(shè)半徑為r寸，則OE=在Rt△AEC中，由勾股定理得，∴r2解得：r=5，∴CD=2即圓的直徑為10寸，即為1尺．故答案為：1．三、解答題14．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，連接OC，若BE(1)求CE的長度；(2)求OC的長度．【答案】(1)4(2)5【分析】本題考查垂徑定理，勾