江西省景德鎮(zhèn)一中2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末考試

教學(xué)試題

一、單選題

1.拋物線），=的準(zhǔn)線方程為（)

A.QBx-3D

22C得-4

2.若雙曲線G與雙曲線G：=1有相同漸近線，且。1過點(diǎn)（2,3）,則雙曲線G的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

2

2x

A.x-^-=1B.—=1

368

C.上一￡=1或工一工=|D.%2一(=1或)2-5=1

6868

3.三知點(diǎn)尸為雙曲線C:人!口右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的取值范圍為（）

(46

A.,+8B.

5

C.(2,-KC)D.—,+00

4

4.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，一知一動(dòng)圓。經(jīng)過A（-1,0）,且與圓C：（X—1『+），2=9相切，則圓心尸的軌

跡是（）

A.直線B.橢圓C.雙曲線D,拋物線

5.已知拋物線C：y2=2〃x（〃>0）的焦點(diǎn)為F，斜率為々的直線/經(jīng)過點(diǎn)尸，并且與拋物線。交于A、B兩

點(diǎn)，與丁軸交于點(diǎn)M,與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)N,若AF=2MN，則々=（）

A.6B.y/2C.±V2D.±6

6.已知曲線C上任意一點(diǎn)尸（x,〈滿足J足+/+2丁+1+&+）,2_2y+1=2及，則曲線C上到直線

2“-），-4=0的距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

39D.（邛當(dāng)

Z?>0）,斜率為的直線/過原點(diǎn)。且與雙曲線。交于P,。兩

點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線。的離心率為（）

C.2x/3-lD.2x/3-2

2

8.已知斜率為平的直線，過雙曲線=的左焦點(diǎn)尸，且與C的左，右兩支分別交于A,B

兩點(diǎn)，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為的中點(diǎn)，若△O。是以尸尸為底邊的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（）

A.2B.&C.3D.&

二、多選題

9.已知雙曲線C^-21=1（,?＞（））的一條漸近線方程為x-2），=0,點(diǎn)K，8分別是C的左、右焦點(diǎn),

m2

點(diǎn)A，4分別是C的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)6的直線/與C相交于P,。點(diǎn)，其中點(diǎn)。在第一象限內(nèi)，記直線PA

的斜率為直線P4的斜率為人,則（）

A.雙曲線C的焦距為2布B.|可|-|桃|=4及C.|PQ|＞4及D.k.k2=-

10.已知拋物線）尸=8%（如圖），過拋物線焦點(diǎn)廠的直線/自上而下，分別交拋物線和圓*-2）2+卡=4于A,

C,D,8四點(diǎn)，則（）

A.OAOB=-12B.|AC|?忸q=4

10Q

C.當(dāng)直線/的斜率為由時(shí)，|A如|4月=亍D.41M+|M|之18

11.已知型+HH=i,則關(guān)于函數(shù)丁=/（"說法正確的是（）

94

A.函數(shù)/（x）在R上為減函數(shù)B.函數(shù)/（力的圖象的對(duì)稱軸為y=工

2

c.Bx＜0,使得/（x）＜0D,f（x）＞--x

J

12.已知橢圓C：《+E=l,Fif八分別為它的左右焦點(diǎn)，AB分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上異于

259

A8的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（）

A.存在P使得/白尸巴=]

B.直線Pi與直線陽斜率乘積為定值-亍

C.l<|Pf；|<9

D.若/尸耳6=。，NPFE=0,則［an?lan，=」

三、填空題

13.已知雙曲線。:￡-亡=1的一條漸近線方程為2x+3y=0,跖工分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)。在

a~4

雙曲線C上，且|不|=7,則歸入=.

22

14.已知雙曲線￡*-￡=1(。>0*>0)的左焦點(diǎn)為月(—0),直線)，=省(1+。與雙曲線￡交于48兩

點(diǎn)，若月B=3￡A,則雙曲線E的離心率為.

15.已知點(diǎn)P是橢圓。:二+工=1上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)夕作G：(x+1)2+V=：的切線以、PB,切點(diǎn)分別為A、

434

B，當(dāng)I〃G|.|A4|最小時(shí)，線段AB的長度為.

221

16.已知橢圓￡彳+；=1,直線了=U與橢圓￡交于A、B兩點(diǎn),M為橢圓外一點(diǎn)，直人M、8W分別交

橢俱IE于C、。兩點(diǎn)，直線A。、BC交于點(diǎn)、N,則直線MN的斜率是.

四、解答題

17.已知橢圓E:與+￡=1(〃>/>0)的離心率為近，且七過點(diǎn)。,0).

a-b~2

⑴求E的方程；

(2)若斜率為2的直線/與>軸交于點(diǎn)/),與E交于M,N兩點(diǎn)，證明：|?！啊?|。八,|2為定值.

18.已知雙曲線C：￡一￡=1(。>0,6>0)的離心率為2.且經(jīng)過點(diǎn)(2,3).

⑴求C的方程;

(2)若直線/與C交于A,B兩點(diǎn),且。4.OB=0(點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求h網(wǎng)的取值范圍.

19.如圖所示,在三棱錐中，SCI平面ARC.SC=3,ACIRC.CF=?F.R=7.AC=-CD=FD

2t

S

D

A

題號(hào)12345678910

答案CBBBDBBAABDABD

題號(hào)1112

答案ADACI)

1.c

整理成標(biāo)準(zhǔn)式方程即可得到準(zhǔn)線方程.

【詳解】y=-6/即/=_},

6

則準(zhǔn)線方程為），=《.

故選：C.

2.B

根據(jù)共漸近線的雙曲線方程為1-1=1僅。0）.代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解.

【詳解】因?yàn)镃1和G有相同的漸近線，所以設(shè)雙曲線C1的方程為1=1僅/0）,將（2,3）代入得

上一亮=1=加一2,所以雙曲線G的方程為f-《=1,

423/168

故選：B

3.B

把所求問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)。到直線y=2x+4的最小距離，結(jié)合平行線間的距離公式可求.

2

【詳解】雙曲線/一上=1的漸近線方程為），=±2x,

4

而直線y=2x+4與），=2、平行，平行線間的距離1二-^^二拽，

V4+15

由題意可知點(diǎn)〃到直線產(chǎn)2x+4的距離大于任.

5

故選:B.

4.B

易得點(diǎn)A在圓。內(nèi)，則圓“內(nèi)切與圓C,再根據(jù)橢圓的定義即可得解.

【詳解】因?yàn)椋ㄒ?一1『+。2=4<9,所以點(diǎn)A在圓C內(nèi)，

所以圓尸內(nèi)切與圓C,

由兩圓內(nèi)切的關(guān)系可知，|尸。=%一小=3一|人耳,

從而MH+|PC|=3>|AC|=2,

所以點(diǎn)尸軌跡是以AC為焦點(diǎn)的橢圓.

故選：B.

設(shè)港線與x軸的交點(diǎn)為P,過A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為4,,根據(jù)拋物線的定義以及三角形的性質(zhì)可得

\AN\=2\M\t根據(jù)含30"角的直角三角形的性質(zhì)可得答案.

【詳解】當(dāng)A在第一象限時(shí)，

因?yàn)?。W〃尸N,且。為。尸的中點(diǎn)，

所以為三角形尸AN的中位線，KP|FM|=|M7V|,

所以AF=2MN=FN，又根據(jù)拋物線的定義14H=|根'|，

所以|/W|=2|八口=2|AY|,

所以在直角三角形AA'N中，NA7W=60",

所以NAEr=60,此時(shí)

根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)A在第四象限時(shí)，k=$

故選：D.

6.B

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式和橢圓的定義可知曲線C為橢圓，從而得出橢圓方程；設(shè)與直線2%-〉，-4=。平行且與

曲線C相切的直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到一元二次方程，利用判別式為零，求解交點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【詳解】Jx2+V+2)，+1+舊+/_2)，+1=2后.?.〃+(y+1)2+也2+(匕1)，=20設(shè)

/01),6(0,1)則山段=2...次+(),+1『+'/+(),一1『=2應(yīng).?./周+歸國=2及>恒用=2

「.P點(diǎn)的軌跡是以4(0,-1),6(0,1)為焦點(diǎn)的橢圓..“=1,4=6.?2=1「.曲線。的方程是：x2+^=l

2x-y+t=()

設(shè)與直線21-)，-4=0平行且與曲線。相切的直線方程為2x-y+f=0.由,,卡得

x~+—=I

2

2x+/=y..l

<.,2r6/+4a+/-2=0,,/.A=16/-24(/-2)=0,:.t=±yJ6,

2x+y=2

當(dāng)/―血時(shí)，.?.人一,y—;當(dāng)/一一直時(shí)，.X——?V；又)'1，=0中靠近2.、y4=0

333-3

的點(diǎn)應(yīng)該在橢圓的下方，.,?曲線。上到直線2x-y-4=0的距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是(當(dāng)「當(dāng)).

故選：B

7.B

先由雙曲線與直線對(duì)稱性，得四邊形尸F(xiàn)QF'為平行四邊形，再將已知條件轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)三角形中的長度關(guān)系,

然后利用定義求離心率即可.

【詳解】設(shè)雙曲線。的左焦點(diǎn)?，右焦點(diǎn)為9，P為第二象限上的點(diǎn)，

連接夕P，PF'tQF,QF,

根據(jù)雙曲線的性質(zhì)和直線/的對(duì)稱性知，四邊形夕”2k為平行四邊形.

因?yàn)橐訮Q為直徑的圓經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，

所以。尸_1_。/，即四邊形PFQP'為矩形，

由直線/的斜率為一行.得NPO產(chǎn)=60,

又戶。=|叫=。，則.POP是等邊三角形，所以|P「|=c.

在R3PFQ中，PQ=2c,則FQ=6,故歸胃二百。，

又由雙曲線定義知|/*'|一|。用=勿，所以Gc-c=2a,

故選:B.

由點(diǎn)差法得從〃?心“=〃?，由條件知直線OP的傾斜角為A8傾斜角的兩倍，由二倍角公式得直線人區(qū)。產(chǎn)的

斜率，代入兩直線的斜率關(guān)系式A”?心，=〃?，求得“，進(jìn)而得離心率.

2

【詳解】由雙曲線。：X2一2_=](〃]>()),可知/=1,/?2=〃“2=1+〃7.

m

設(shè)4(百,%),8(孫%)，尸(%，％)，

由A,8均在。：12_2_=1上，P為人8的中點(diǎn)，

m

得產(chǎn)2一批？,則〃?(x-％)(%+s)=()i-%)(y+必)，

nix；=in+y2

由A,4分別在。的左，右兩支，則玉一々工°，且司+勺工0，

設(shè)直線AB的傾斜角為。，則38=tana=W，。為銳角，

?心FP是以FP為底邊的等腰三角形，則NPFO=4)PF=a,

，直線。P的傾斜角為"貝―二言貌

,,八2tan2a

k^p?k,、B=tana-tan2a=----；—=m,

1-tan'a

由iana=45代入得,

5

所以橢圓的離心率為e=￡=J4￡=2.

a

故選：A.

9.ABD

【詳解】A選項(xiàng)，雙曲線C--^=\（/n>0）的漸近線方程為），=

m2

又一條漸近線方程為2y=0,—,解得“2=8,

2

故,2=8+2=10,解得c=Ji6,故雙曲線C的焦距為2碗，A正確;

B選項(xiàng)，由A知，。=4=2夜，由雙曲線定義得|歷|一|可|二勿=4&,B正確;

C選項(xiàng)，鳥（而,0）,當(dāng)直線/與“軸垂直時(shí)，

：_；=］中，令工=加時(shí)，），=±也，故|PQ|=VJ<4應(yīng)，C錯(cuò)誤：

822

D選項(xiàng)，A（-2\/2,0）,A（272,0）,

kk,—〃〃-“,_丁,D正確.

1ni+25/2in—2V2-8nr—84

故選：ABD

10.ABD

根據(jù)聯(lián)立直線方程與拋物線方程，即可得韋達(dá)定理，進(jìn)而由向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解A,根據(jù)焦半徑即可

求蟀BC,結(jié)合基本不等式即可求解D.

【詳解】由題意可得尸（2,0）,

設(shè)直線，方程為*=什+2,人（西,）1）,。（七,），2）,

則，’-8：,y2-8rv-16=0,所以y+丁2=8八%%=-16,

x=tyJt-2

對(duì)于A，OAOB=RX,+yy,='必+=4-16=-12，故A正確，

64

對(duì)于B,同。-忸力|=(|4尸|一2)?(忸周—2)=(內(nèi)+2-2)(馬+2-2)=%電=^^-=4，B正確，

64

對(duì)于C,當(dāng)直線/斜率為6時(shí)，直線方程為y=75(x-2),聯(lián)立直線與拋物線方程可得3/-20x+12=0,

29A

解得百=6,9=]，所以百+々=7，

所以|A即|AF|=a+￡+4)(x+2)=,x8=竿，故C錯(cuò)誤，

JJ

11_11_x(+x2+4

對(duì)干D，由+畫[—&+2+.+2—(/+2)(/+2)

=回+2)+(》+2)+4_心+%)+8

(Oi+4)何2+4)-/x%+4/(x+%)+16'

心

將K+%=8-16代入可得西1+西I=小)鼠1(+%，)+82)+16=-16產(chǎn)8+r+382/2+16I0

所以4|.|+|叫=2(4|陰+|則懦+嬴|=10+鬻+需210+2至=18,

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)|B"=2|Ab|=6時(shí)等號(hào)成立，故D正確.

故選：ABD.

11.AD

利用不同象限表示不同的圓錐曲線圖象可求解.

【詳解】當(dāng)文之0,)亞。時(shí)，原等式化為二+《=],

94

當(dāng)了2(),)，<()時(shí)，原等式化為￡—￡=],

94

當(dāng)“<0,〉，20時(shí)，原等式化為耳-《=|,

49

當(dāng)“<0,)，<0時(shí)，原等式化為—《一《=1,此方程無解，

94

結(jié)合橢圓、雙曲線的圖象作出圖象如下:

由圖象可知，函數(shù)/(X)在A上為減函數(shù)，所以A正確；

第一象限的圖象為橢圓的部分，不關(guān)于y=x,所以B錯(cuò)誤；

函數(shù)圖象不出現(xiàn)在第三象限，所以不存在X<(),使得/(x)v。，

所以C錯(cuò)誤；

因?yàn)榈谒南笙薏糠蛛p曲線=1的漸近線與第二象限的雙曲線［-￡=1部分的漸近線都為丁=-］孫

94493

所以結(jié)合函數(shù)圖象〃X)>-《X恒成立，所以D正確.

故選:AD.

12.ACD

當(dāng)點(diǎn)尸在上下頂點(diǎn)時(shí)，N6P鳥最大，結(jié)合余弦定理即可判斷A選項(xiàng)；

根據(jù)題意，計(jì)算直線PA與直線心斜率乘積即可判斷B選項(xiàng)；

根據(jù)橢圓上任意一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最小距離〃一「，最大距離即可判斷C選項(xiàng)；

利用正弦定理和三角恒等變換，把6〃用3,與表示，進(jìn)而得到tan?tan4=F，即可判斷D選項(xiàng).

2222\+e

【詳解】橢圓設(shè)弓，尸2分別為它的左右焦點(diǎn)，AB分別為它的左右頂點(diǎn)，2E分別為它的

上下頂點(diǎn)，如圖：

所以1=25,從=9,c=77二7=4,A(-5,0),8(5,0),￡(<0),6(4,0).

對(duì)于A：當(dāng)點(diǎn)。在上下頂點(diǎn)時(shí)，4藝最大，因?yàn)閏os4*二卷等二總，所以4%為鈍角,

因此存在尸使得故A正確；

122

對(duì)于B：設(shè)P（X,）?（XH±5）,在±+±=1上,于是有）J=9（1-二）（x工±5）,

25925

廠Q

9(1--)--(X2-25)

yyy29

所以4，k=25=25________

APAUR=-----(xw±5)

x+5x-5x2-25X2-25X2-2525

9

則直線始與直線反斜率乘積為定值-三，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：由點(diǎn)P是橢圓上異于的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)得，所以點(diǎn)。到做焦點(diǎn)巴的最小距離大于〃-。=1,最大距離

小于a+c=9，

可得lv|P用＜9,故C正確;

c4

對(duì)于D：設(shè)離心率為e,則6=—=彳,

a5

由正弦定理可得給=鑒=而然*=百7?

11"sin(a+/?)121sin(a+/?)

.1八一2csin/?2csinasina+sin尸_a_1

又閥+閘=2a,而一一^-4—-一-=2?,即

sin(a+￡)sin(a+〃)sin(a+4)ce'

a+Pa-pa+0a-P

因?yàn)閟ina+sin/?=sin(t)+sin()=2sin(^^-)cos(—,

2222

，,\Q\?ca+P、r..?+/?a+fl

si磯a+夕)=sm(2x—毛-)=2sin(—^-)cos(），

2

.a^pa-Pa-。、

所以sina+si“Js9m(亍)cos(）1cos(

2即——

sin(a+02而(?a+p

)cos(cos(亭）

~T~)

aB.a.B,a0

cos-cos—+sin—sin—1+tan—tan—

1apl-e

化簡得2222_22_-,tnirpltan—tan—=------,

aB.a.BaB

cos-cos--sin—sin—I-tan-tan-e221+e

222222

1-&

所以la吟lan2=L=g,故D正確.

2，+t

故選：ACD.

13.1或13

由雙曲線的方程、漸近線的方程求出a,由雙曲線的定義求出|PFd.

【詳解】由題知雙曲線C：￡-f=1的一條漸近線方程為2x+3y=0,

a4

即了二一聶，則2=3，

3a3

又〃=2,a=3,

由雙曲線的定義得，仍用一|「可|=2a=6,

???閥|=7,

???代6|=1或|P用=13.

故答案為1或13

14.4

【詳解】方法一：可知直線y=6（x+c）過左焦點(diǎn)4（-c,0）,斜率々=百,

且直線與雙曲線E相交，可知勺〉有，則e=（=>2,

y=>/3（x+c）

聯(lián)立方程K2,消去x可得伍2―3/）），2―2揚(yáng)2。，+3//=0,

靛一鏟二1

2回＞_3/

設(shè)4（%,兇）,8（孫乃），則y+%=

由48=3不4可知先=3）1,

與M+獷浴聯(lián)立可得當(dāng)=3?=花等J,

代入'=昌可卜昌‘則，』而，

所以雙曲線E的離心率e=￡=g=4；

方法二：由題意可知：直線y=K(x+c)的斜率￡=6,則直線尸①的傾斜角夕二g,

可得年4|=-4-=-p—出同=—4一=-p—

ccos—+a—c+accos—a—c-a

3232

因?yàn)椤?=3耳4,可知?dú)w用=3E|,

b2_3/

即"i=1,整理可得C=4〃，

-c-a—c+a

所以雙曲線E的離心率0=￡=4；

a

方法三：因?yàn)橹本€y=G(x+c)過點(diǎn)(-c,。)，將直線方程寫為參數(shù)方程二丁

代入雙曲線「一不、=1可得(c-2〃)(c+2〃)/_2°卜2_/卜+卜2-叫2=0,

整理得[(。一2〃)，一(。2_62)][?+%)/_卜2_/)]=0,

可知兩解為4=立@4=u衛(wèi)，

c-2a-c+2a

由耳8=3耳4可知忻@=3忻禮則]=34,

2222

即￡1衛(wèi)二37^,整理可得。=4〃，

c-2ac+2a

所以雙曲線￡的離心率0=￡=4；

a

方法四：若以巴為極點(diǎn)、x軸方向?yàn)闃O軸建立極坐標(biāo)系，

則雙曲線方程可以寫為r=—^―,其中P為焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離.

1+ecos夕

由直線的傾斜角為6(『可知，取。*與可得A〃兩點(diǎn)，

由條件知B在GA的延長線上，貝!當(dāng)。=學(xué)47t時(shí)為負(fù)值，

“恒A|=-U—，恒同=----^-=2￡_

可得1+72+3]+。3%I，

33

則忻回=3內(nèi)A|,即為=3%,解得e=4.

2+ee-2

故答案為:4.

15,正

2

根據(jù)題意結(jié)合四邊形小Gb的面積分析可知當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)夕為左頂點(diǎn)時(shí)，|PG|取到最小值〃°=|,進(jìn)而可得

線段AB的長度.

【詳解】由橢圓方程可知：a=2,b=￡,c=&/-b2=1，

圓G:（x+l）2+），2=；的圓心為G（-I,O）（也為橢圓的左焦點(diǎn)），半徑「二：，

因?yàn)槭珿_LAB,可知四邊形PAGR的面積SP*GB=3陷卜|知，

當(dāng)畫|以用最小時(shí)，即為四邊形PAGB的面積S小最小，

又因?yàn)椤啊?2S△…2x呆陷=；J|PG「-r=gJpG『一；,

可知當(dāng)|PG|取到最小值時(shí)，四邊形尸水汨的面積5小最小，即|PG|.|A8|最小,

且點(diǎn)P是橢圓。上一動(dòng)點(diǎn)，

由橢圓性質(zhì)可知：當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)戶為左頂點(diǎn)時(shí)，|PG|取到最小值CLC=1,

此時(shí)附=*,Z4PG哈由對(duì)稱性可知:閥q,/BPG=2，

即乙4P8=W，3為等邊三角形，則|A8|=等.

故答案為：B.

2

3

16.——

2

設(shè)出點(diǎn)AC2M，N的坐標(biāo)，利用斜率坐標(biāo)公式并表示出方程，再表示出直線MN的斜率即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)4%0，%）.。（4兇）.。（孫丫2），則8（-%=3%.片=8-2螺X：=8-2y2.

令直線CAC及DA,DB斜率分別k^kCB,kD^kDB,

乂一九y+/二才一"_寸一）'：同理&）八?公8=一3,

則上a，%=

X-/4+%X；-比；8-2）7-（8-2）彳）2

設(shè)M5，X），N（&,為），由直線AC過點(diǎn)M得力->0=kAc*3-/），

由直線BC過點(diǎn)N得”+）b=心（?（5+-“），兩式相乘得（為一No）（H+%）=一;（/70）*4+/），

同理得（%+%）（弘一）'o）=-5（斗+飛）*4一%），

兩式相減得2（必一）》0=《3--）/，直線MN的斜率G'=一白=一]，

17.（吟+/=]

（2）證明見解析

（1）利用橢圓離心率的性質(zhì)結(jié)合橢圓經(jīng)過的點(diǎn)求解基本量，得到橢圓方程即可；

（2）利用韋達(dá)定理表示出王+占=—2//==，再利用兩點(diǎn)間距離公式表示出目標(biāo)式，化簡得到定值

28

即可.

/?=|

【詳解】（1）由題意得正至—立，得。=2,

Ia=~2

故E的方程為￡+/=1；

4

(2)設(shè)ZXO"),Ma，yJ,N(w，%)，則直線/的方程為丁=2》+1,

2

與二+f=1聯(lián)立，得8/+4d+/-4=0,

4

則八=16(8-產(chǎn))>(),且內(nèi)+&=_」,3％=4,

28

所以『+|DN|2=W+(y+%+(%-爐

2

=父+(2xJ，￥+(2±1=5(x；+x；)=5[(%+x2)-2X[X2=5,

故|￡＞知『十|。可|2為定值.

⑵x/6,+a>)

（1）根據(jù)離心率以及經(jīng)過的點(diǎn)即可聯(lián)立求解曲線方程;

（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡得3/+3=2/〃2,根據(jù)弦

長公式，結(jié)合不等式即可求解,

49.

-------1

a2b2,、

【詳解】（I）由題意可得J2+12，解得

故雙曲線方程為C-±1.

（2）當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，可設(shè)A（4,必）.8（/,-以）,

則0A=（/,yA）,0l3=（xA-yA）,

將其代入雙曲線方程工：-苧=1,

又0A=解得以=土"，

2

此時(shí)a網(wǎng)=2⑼=#,

當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為丫=米+/〃，設(shè)A（N，y）,3（X2，）\）,

y=kx+m

聯(lián)立|,rn（3-/卜2-2加次一62一3二。，

x---=\'

3

3-FH（）

2kHi

故.>3,

△=軟2/+12（川+1）（3-巧=12（加2一爐+3）>0

則OAOB=x}x2+）\y2=x]x2+（處+⑼（仇+〃?）

（2（）2（+用？=。，

=l+k^x]x2+hnx}+x2+m=1+&；J+km丁》

化簡得3二+3=2m2,此時(shí)△=6（公+9）＞0,

2

所以IAB|=Jl+L|x,-X2\=\l\+k-J（5+占）-一4芭石

%的《05

當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)|AB|=",

因此卜回=而卜一—八仁

vY-6

綜上可得卜用￡［疝y)

(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積證明DE/CO,DEA.CS,由線線垂直證明線面垂直，即得證;

(2)由(1)為平面SCO的一個(gè)法向最，求解平面SA。的法向最，利用二面角的向量公式，即得解：

（3）由（1）OE為平面scr＞的一個(gè)法向量，利用點(diǎn)面距離的向量公式1=即得解

【詳解】（I）證明：以C為原點(diǎn)，。、。8、門所在直線分別為人），、2軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

3

則C(0,0,0),A(工0,0),5(0,03),￡(0,2,0),

2

取CE的中點(diǎn)M,作ON1AC交AC于點(diǎn)N

因?yàn)镃D=ED

所以。M_LCE,又AC_L8C,

所以DM〃AC,DN//BC

所以器=器，四邊形/WCM為平行四邊形,

BCAC

又CE=2EB=2,

3

所以8M=2,8C=3,CM=ON=1,由AC=1

2DM…,

所以—3—--3-->DM—,1故0(1,1,0),

2

VDE=(-1,1,0),CD=(1,1,0),CS=(0,0,3),

???。￡。=-1+1+0=0，DECS=0+0+0=0，

即。E/6,DE±CS,

VCDcCS=C,C7)u平面SCO,CSu平面SCO,

DEJL平面S8；

（2）由（1）可知OE=（-1,1,0）為平面58的一個(gè)法向量,

1一3

設(shè)平面SA。的法向量為〃=(x,y,z),而4)=(—31,0),AS=(-展0,3),

n-AD=--x+y=0

:,令x=2,可得〃=(2,1,1),

則

n-A5=--x+3z=0

2

設(shè)平面ASD與平面CSD的夾角為。,

；?cos0=|cos(DE,"|=|穆|=骼,

即平面ASD與平面CSD的夾角的余弦值為，：

6

(3)AQ=(-g,l,O),平面SC￡＞的法向量為。E=(—1,1,0),

設(shè)點(diǎn)A到平面SCD的距離為4,

1.

ADDE1113上

DE\=F=k

即點(diǎn)A到平面S8的距離為逑.

4

20.⑴』:或％=±g

22

(2)m=2.

（1）設(shè)直線/：y二6+2,聯(lián)立雙曲線方程得（1-必2）f-16h-20=0,討論1一4公=0、1-很2工0,

分別求直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)情況下對(duì)應(yīng)及值;

（2）設(shè)直線/：丁=履+2-〃成，A（X],或）,8（巧,為），聯(lián)立雙曲線并應(yīng)用韋達(dá)定理,

X.%_七)1+為)'2-2()1+)，2)

結(jié)合K+&=-1_，韋達(dá)定理代入化簡，根據(jù)定值列方程組求得參數(shù)機(jī)

x,-2X2-2不勺一2(耳+勺)+4

【詳解】（1）由題設(shè)M（0,2）,設(shè)直線/：），=丘+2,聯(lián)立雙曲線，得/-4（米+2尸=4,

所以(1-4A:2)X2-16H-2()=0,

當(dāng)]-4/=0,即左=±：時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)k=：1,交點(diǎn)為（一53弓3）；當(dāng)k=：1,交點(diǎn)為5弓3,$；

224224

當(dāng)1一4公=0,此時(shí)△=25642+80（1-4&2）=（）,則左=±亞，

2

當(dāng)r亞,切點(diǎn)為（一技_:）；當(dāng)〃=-避，切點(diǎn)為（技-:）：

2222

(2)由題設(shè)直線&(%-，〃)+2=依+2-〃74,

聯(lián)立雙曲線方程，得x2-4(Ax+2-mk)2=4,則(4公一l)f+8&(2-mk)x+4(m2*2-4mk+5)=0,

^^=64k2(2-mk)2+\6x(\-4k2)x[(2-mk)2+\]>0,所以(2—陽&f>4公一1①,

,,,,..、mi.跳(〃法-2)4(〃及2—4成+5)

設(shè)A4(x，%)x,BDx(XyyyV則再+x)=■9x、x)=--------------'

4K-14K-1

由占+匕.y+乃_.%?-2)+)，2(芭-2)_二二十%必-2()]+)，2)

百一2X2-2XIX2-2<%1+x2)+4xrx2-2(x)+x2)+4

又乂=依+2-mk,y2=kx2+2-mk,

..4(〃?2k2-4欣+5)",ci、82(/欣一2)..0

2k-------z--------+(2-mk-2k)-------+4mk-8

k心_25&+(2-mk-2〃)(N+q)+-8________4/T4尸7___________

x,x-2(x)+x)+44(〃?-2-4〃?&+5)c8K(〃成-2)

22-------z---------2-----z-----F4

4公一14k2

=__________(8-4〃冰+8__________

(4m2-16m+16)k2+(32-16m)k+16為正恒'

所以4〃P—16/〃+16=0=>〃?=2,此時(shí)K+的二萬為定直

Q

(2)①證明見解析；②§

(1)根據(jù)橢圓對(duì)稱性，必過八、P”又心橫坐標(biāo)為1,橢圓必不過4,將2(0,1)，AT，等,代入橢圓方

程即可求解;

(2)①設(shè)C(%,y),￡>(巧,必)，因?yàn)槿糁本€/的斜率為0,則點(diǎn)CD關(guān)于軸對(duì)稱，必有人=-也，不合題意,

所以直線/斜率必不為0,設(shè)其方程為'="+〃（〃工±2）,與橢圓￡聯(lián)立，求出△和韋達(dá)定理.，設(shè)直線的

斜率為小,求出用?勺，求出心和勺的關(guān)系即可證明；②由①求出y+必和%％，根據(jù)S=2民一刃即可求

解.

【詳解】（I）根據(jù)橢圓對(duì)稱性，必過G、13又巴橫坐標(biāo)為I,

橢圓必不過6,所以過6,6,乙三點(diǎn)，將6（0,1），AT咚代入橢圓方程得

\/

-3，解得/=4,/?2=1,

b1v4=1.

2

?,?橢圓E的方程為：—+y2=1；

4'

（2）①

依題意，點(diǎn)4-2,0）,8（2,0）,設(shè)C（%,y）,￡）（當(dāng)，為），

因?yàn)槿糁本€/的斜率為0,則點(diǎn)CD關(guān)于y軸對(duì)?稱，

必有人=-他，不合題意，所以直線/斜率必不為0,

v~+4v2=4

設(shè)其方程為X=）+〃（〃工±2）,與橢圓E聯(lián)立J

x=ty+n

整理得：（』+4）9+2〃/），+〃2-4=0,

所以A=4r2"2-4（/+4]〃2-4）＞0,

2tn

y+）‘2=一。

且2,因?yàn)辄c(diǎn)c（x，y）是橢圓上一點(diǎn),

n-4

2百

即1■+y,2=1,設(shè)直線BC的斜率為出，