遼寧省重點(diǎn)高中聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期7月期末檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.復(fù)數(shù)z=i(3-i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知向量4=(3,4),6=(2/)，則cos〈a,5〉=()

A320「2y[5

B.D.

3—55

3.記V/18C的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為〃，b,c,且力=與，b=\,8=則C和〃的值分別為()

4

5花76冗網(wǎng)

B.D.

人2手n'T5T

4.已知某扇形的周長(zhǎng)為60.圓心角為4,則該扇形的面積為()

A.75B.150C.200D.400

TT?

5.將函數(shù)/(x)=cosx的圖象上的每個(gè)點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移;個(gè)單位長(zhǎng)度，并將所得圖

象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)=()

A.3cosx—B.3sinx+2C.3sinx+lD.3sinx+—

33

6.在A/lOr中，已知/。%=三，AD=2,則△407'面積的最大值為（）.

A.1B.VJC.3D.2

7.如圖，在直三棱柱4中,4月14G，AB=AC=AAi=4,點(diǎn)P為棱3C的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到

A.25/5B.2瓜C.372D.2百

8.已知直線(xiàn)族/“：y=^（丘N）與曲線(xiàn)/sinx在區(qū)間（0,兀）內(nèi)的圖象共有2025個(gè)交點(diǎn)，則（）

A.1013兀B.1013C.1012兀D.1012

二、多選題

9.關(guān)于斜二測(cè)畫(huà)法，卜列命題為真命題的有（）

A.平行關(guān)系在直觀圖與原圖中保持不變B.斜二測(cè)畫(huà)法不會(huì)改變邊長(zhǎng)比例

C.斜二測(cè)畫(huà)法會(huì)改變直角關(guān)系D.通過(guò)斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖和原圖的面積相等

10.已知復(fù)數(shù)z,是方程工2一2工+2=0的兩個(gè)根，且在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)"在w對(duì)應(yīng)的點(diǎn)N的上方,

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）

A.z=l+iB.OMON=\

z\2025

C.|z-2^=VioD.（三J=i

II.已知tana+tan//=-tan（a+/）HO,則tan2芋的取值可以為（）

A.—B.-1C.7D.-

225

三、填空題

12.已知5麗（n匕一Q夕卜1，則2s礪ing方——?

13.已知邊長(zhǎng)為4的菱形。。的一個(gè)內(nèi)角為三，則荏.亞=—.

14.如圖，在三棱錐P-44c中，。為的中點(diǎn)，平面4Q_L平面PD工BD,BD=PD=\,

2

AD=4S,三棱錐的體積為則銳二面角P-8C-4的正切值為.

四、解答題

15.已知平面向量2=（2,3）,b=（sinx,cosx）.

sinx-3cosx

(1)若116,求的值;

cosx+2sinx

(2)若x=0,且，與〃石的夾角為銳角，求機(jī)的取值范圍.

16.如圖，已知正四面體P-M,M。,〃分別是棱〃。的中點(diǎn).

B

(1)證明：四邊形MN7?。為菱形；

(2)求異面直線(xiàn)8M與。/?所成角的余弦值.

17.在V/f4C中，［是銳角，且岑=上誓.

cosesinC

⑴求B；

(2)設(shè)P是V4?C所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，A,P位于直線(xiàn)8C兩側(cè)，若AB=BC=BP=2,且NPBC=NAPC,

求四邊形/4PC的面積.

/X

18.己知函數(shù)/(x)=tan妙+；(<y>0).

(1)若e=2,求/")的最小正周期:

717T

(2)若/(x)在區(qū)間——上有定義.

(i)求出的最大值;

(ii)若曲線(xiàn)》=/(')至少有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心在區(qū)間(0,兀)上，求⑷的取值范圍.

19.①斜圓錐，顧名思義，即圓錐錐體中軸線(xiàn)被拉斜后所形成的錐體.保持圓錐的頂點(diǎn)到圓錐底面的距離不

變，將頂點(diǎn)位置改變后，所得到的錐體即為斜圓錐.

②粗咂原理指出：“累勢(shì)既同，則積不容異”，意思是兩個(gè)同高的幾何體，如在等高處的截面積相等，則體

積相等.

題號(hào)12345678910

答案ACDCBBAAACACD

題號(hào)11

答案Al)

1.A

計(jì)算得到Z-1十3i,在友平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,3),得到所在象限.

【詳解】z=i(3-i)=l+3i,故z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,3),位于第一象限.

故選:A.

2.C

根據(jù)給定條件，利用向量夾角公式列式求解.

.-〃?由△a》3x2+4xl2>/5

【詳解】依題忠，cos〈a,b〉二尸一=----；=—.

|〃|叫5V55

故選：C

3.D

利用正弦定理求解.

【詳解】由三角形內(nèi)角和可得C=兀-=-：二j

3412

a_b/,

由正弦定理可得一=一z,解得"=坐.

sin——sin—7

34/

故選:D.

4.C

根據(jù)給定條件，利用扇形弧長(zhǎng)及面積公式列式求解.

【詳解】設(shè)該扇形的弧長(zhǎng)、半徑分別為/，八則1==“，解得/仁電/二鈉,

2r+1=60

所以該扇形的面積為S=；”=200.

故選：C

5.B

根據(jù)三角函數(shù)圖象平移的規(guī)則進(jìn)行求解即可.

【詳解】將函數(shù)/(x)=cosx的圖象上的每個(gè)點(diǎn)向右平移:個(gè)單，'立長(zhǎng)度，

再向上平移|個(gè)單位長(zhǎng)度，函數(shù)解析式變?yōu)門(mén)(x)=cos(x-])+|；

將所得圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍,

(冗'2

可得函數(shù)g(x)=3cosx--+-=3sinx+2的圖象.

故選：B.

6.B

根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式求出力「。7的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.

【詳解】由題意可得AD=2,設(shè)力T=x,DT=y,

由余弦定理可得/+V-2個(gè)cos：=F+jj一個(gè)=/。=4,

所以/+/=4+個(gè)之2"，可得不”4,當(dāng)且僅當(dāng)彳=卜=2時(shí)取等號(hào)，

所以個(gè)s嗚工由,

故44。7面積的最大值為行.

故選:B.

7.A

根據(jù)直三棱柱44G條件，可判斷為等腰三角形，進(jìn)而可求出點(diǎn)P到直線(xiàn)48的距間

【詳解】因?yàn)?4,4G，月6=，4。=44=4,點(diǎn)/為棱dG的中點(diǎn),

所以尸4=2片==—AB=2y/2,

2

所以尸力=J尸4+力4="8+16=26,PB={PB；+BB；=J8+16=2瓜，

所以△48為等腰三角形.

設(shè)點(diǎn)尸到直線(xiàn)/出的距離為力，因?yàn)镻A=PB=2巫,45=4,

2

則兒=PA-^AB=2A/5.

故選:A.

4

8.A

畫(huà)出J，=sinx在區(qū)間(0㈤內(nèi)的圖象，可知方程sinx=2(Z=l,2,…,1012)分別有兩個(gè)不同實(shí)根，且各根均不

(O

同，從而得到3^=1,求出答案.

(0

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，sinx=—,當(dāng)A=2時(shí)，sinx=—,當(dāng)A=3時(shí)，sinx=—,…，

cococo

由題意及曲線(xiàn)),=sinx在區(qū)間(0,7i)內(nèi)的圖象，

可知方程出仙=包(〃=1,2「?,1012)分別有兩個(gè)不同實(shí)根，且各根均不同，

(O

9.AC

根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的性質(zhì)依次判斷即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，平行關(guān)系在直觀圖與原圖中保持不變，故選項(xiàng)A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B,斜二測(cè)畫(huà)法可能會(huì)改變邊長(zhǎng)比例，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,斜二測(cè)畫(huà)法會(huì)改變直角關(guān)系，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,直觀圖的面積是原圖面積的也，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

4

故選：AC.

10.ACD

A選項(xiàng)，計(jì)算出方程的兩根，從而得到z=l+i；A正確；B選項(xiàng)，利用向量數(shù)量積公式

計(jì)算；C選項(xiàng)，計(jì)算得到z-2w=-l+3i,利用模長(zhǎng)公式進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，計(jì)算出￡=i,利用亞數(shù)的乘方

W

運(yùn)算法則求解.

【詳解】A選項(xiàng)，方程Y-2x+2=0的判另IJ式八4一",

22±^-4i=2±2i=1±.

X-2x+2=0的兩根為X2

兩根對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為（1#,（LT）,故z=l+i,A正確;

B選項(xiàng)，-1）,故兩.麗=1-1=0,B錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)，=1—i,z—2vv=l+i—2(1—i)=-l+3i,

to|z-2>v|=^(-l)2+32=VlO，C正確；

D選項(xiàng)，三二二~==?=i,故｛三)=i2025=(i2)1012-i=i，D正確.

wl-i(1-1)(1+i)2\w)'7

故選：ACD

11.AD

根據(jù)正切的和角公式可得tanatanQ=2,把tana+tanp表示成關(guān)于tana的函數(shù),進(jìn)而可求出tana+tanp

的范圍，轉(zhuǎn)化即可得到tan等的范圍.

n

【詳解】由題可得lana+lan/?=-tan(a+6)=-「1a+?，,

1-tanatanp

2

整理得tanatan/=2,所以tana+tan/7=tancr+----,

tana

所以tana+tan〃q-8,-2j5]u2應(yīng),+8),

又因?yàn)閠ana+tan//=-tan(a+/7),

所以tan(a+/?)4-8,-2上u12及,十句.

記tan^|^=x,則y^^(-a>,-2&]u〔2&,+8),

解得何-&,-1”_1,_當(dāng)卜悍/卜小問(wèn)，

故可能取值有正，4-

25

故選：AD.

12.10

利用誘導(dǎo)公式可求得tand=5,利用誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)即可.

【詳解】由正切函數(shù)誘導(dǎo)公式可得tan6=5,

(2sin6^2sin。

故COS(8TT-^)=2tan。=1()

cos。

故答案為：10

13.8或一8

由平面向鼠數(shù)吊枳的定義即可求解.

【詳解】由題可知，或會(huì)，

若NB4O=g,貝I」而?而=|方|而kosNB力Q=4x4x；=8,

若的D=生,\^A'AB-~AD=\AB\|^5|COS^BAD=4X4X|—!-|=-8,

3k2，

故答案為：8或-8.

14.2

過(guò)點(diǎn)P作PE」4D,垂足為以根據(jù)面面垂直，線(xiàn)面垂直及線(xiàn)線(xiàn)垂直的性質(zhì)得到NPD4為二面角產(chǎn)-8C-4

的平面角，再結(jié)合錐體的體積公式及勾股定理即可求解.

【詳解】如圖，在平面口。內(nèi)，過(guò)點(diǎn)尸作垂足為￡

因?yàn)槠矫媪?。平面R8C,

又平面產(chǎn)力。c平面力8。=/。，PEu平面P彳。,

所以PE_L平面4BC,

又因?yàn)镹Cu平面/4C,

所以尸E18C,

因?yàn)槭琎_L8O,即尸Q_L8C,

又PDcPE=P,PD,PEu平面P4Q,

所以4C_L平面21。，

又因?yàn)閆Ou平面「4。，

所以/Q_Z〃C,

又因?yàn)槭琎_L8C,

所以APDA為二面角P-8C-4的平面角，

因?yàn)槿忮F尸—49C的體積/=!2石?￡沙用=!所?180/0=4?￡>2'逐=],解得「七二邁,

由勾股定理可得DE=>JPD2-PE2=立，

5

PF

所以二面角尸-〃C-4的正切值為tan/PDA=—=2.

DE

故答案為：2.

9

5d)4

13

(2)川>一~—K*0

(1)根據(jù)向量垂直得到數(shù)量積為0,得到tanx=-T，齊次化變形，代人求值：

⑵計(jì)算出"癡=(2,3+加)，利用夾角為銳角，得到小("同>0且。與萬(wàn)+族不同向共線(xiàn)，從而得到

不等式，求出答案.

【詳解】(1)aLb,故&?/)=(2,3>(sinr,cosx)=2sinx+3cosx=0,

山3

故tanx=一二,

2

sinx-3cos.v_tanx-3

cosx+2sirir1+2tanx

(2)x=0,b=(0,1),a+mb=(2,3)+(0,W)=(2,3+/M),

d與立族的夾角為銳角，故展(5+族)=(2,3)-(2,3+用)=4+9+3〃?>0,

解得機(jī)>一~楙，

且。與G+癡不同向共線(xiàn)，即2(3+〃?)-2x3￥0,即〃?W0,

綜上，m>-yKw*0：

16.(1)證明見(jiàn)解析；

(I)利用中位線(xiàn)即可求證四邊形A/NR。為平行四邊形，再求證MQ=MN即可:

（2）根據(jù)異面直線(xiàn)所成角的定義找出/BMN或其補(bǔ)角為所求知，在AMNB中利用余弦定理求得cosNBMN

即可.

【詳解】（1）由題知，MN為△尸/C的中位線(xiàn)，是V/5C的中位線(xiàn)，

所以MN//RC,且MN=；/。，QR//AC,且QR=；4C,

故MN//QH,RMN=QR,故四邊形MNR。為平行四邊形，

又MQ是48的中位線(xiàn)，則=

因?yàn)樵谡拿骟w中，PB=AC,所以"0=MN,故四邊形MNX。為菱形.

（2）因?yàn)镼R//MN,所以4BMN或其補(bǔ)角為異面直線(xiàn)BM與QR所成的角,

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為〃，則BM=BN=?，MN=a,

在&MV8中，利用余弦定理得，cos/8MN='+（炳I""）=叵

2乂ax瓜16

故異面直線(xiàn)BM與QR所成角的余弦值為名.

6

17.（Dy

Q）2+五

（1）利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可求得結(jié)果：

（2）本題可先判斷V/BC和△PSC的形狀，再結(jié)合已知條件求出相關(guān)角度，最后計(jì)算△P8C和V/18C的

面積，即求得結(jié)果.

【詳解】(1)依題意得sinCcos8+cosCsin8=cosC,故sin(8+C)=cosC.

在V/18C中，J+fi+C=n,Ce(O,7C),/《。仁，

/\

所以sin(4+C)=sin力=cos--A=cosC,

12)

所以4=C，故4=E

22

(2)由(1)知，B=-,因?yàn)锳B=BC=BP=2,

2

所以4。=2加，且點(diǎn)8為△力。。的外接圓的圓心，圓的半徑為2.

由正弦定理得，,，，,=2A=4,解得sin/4PC=".

sinZ.APC2

因?yàn)镹/C尸>/力。8=色，所以N,4PC<多，

44

故AAPC=-=ZPBC.

4

故△PHC的面積為BC-BPsinNPBC=41,

VABC的面積為、ABBC=2,

2

所以四邊形相尸C的面積為2+JL

18.(嗚

⑵⑴I(ii)住1

(1)根據(jù)正切型函數(shù)最小正周期的計(jì)算公式直接計(jì)算即可：

(2)根據(jù)正切型函數(shù)的定義域與對(duì)稱(chēng)中心直接計(jì)算.

【詳解】(1)當(dāng)0=2時(shí)，/(x)=tan(2;r+T，

易得/(x)的最小正周期7=；;

,，兀冗n(mnconn\

(2)(i)當(dāng)一彳,二時(shí)，^x+-G,<y>o,

V36y3^3363y

connn

/\-------1—2

r7T7C1AA)

若函數(shù)/(x)在區(qū)間-彳二上有定義，則，

----1---S-

〔632

解得69?1,故0的最大值為1;

7EA7T

(ii)函數(shù)/(工)的對(duì)稱(chēng)中心滿(mǎn)足ox+§=5，kwz,

解得X=(34—2)兀,

6(o

其圖象至少有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心在區(qū)間(0,兀)上，

（3k-2）7t

則不=(keZ)在區(qū)間(0戶(hù))上至少有兩解,

6（0

故至少存在兩個(gè)"值使0<34