專題4.1角度計(jì)算的經(jīng)典模型（八大題型）

■空■豆奧建悒儂_______________________________

【題型1雙垂直模型】

【題型2A字模型】

【題型38字模型】

【題型4飛鏢模型】

【題型5風(fēng)箏模型】

【題型6兩內(nèi)角角平分線模型】

【題型7兩外角角平分線模型】

【題型8內(nèi)外角平分線模型】

【題型1雙垂直模型】

模型1雙垂直模型

【條件】ZB=ZD=ZACE=90°.

【結(jié)論】ZI3AC=ZDCE,ZACB=ZCED.

【典例l】A。、8石為△ABC的高，AD.BE相交十H點(diǎn),ZC=50°,求NBHD.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：???"）是的高,

:?NBHD+NHBD=9（>>,

???8E是△ABC的高，

；?NHBD+NC=90°,

:?/BHD=/C,

VZC=50°,

：.ZBHD=50°.

【變式11］如圖所示，在△48。中，CD.8E分別是AB、AC邊上的高，并且CD、BE交

于點(diǎn)P,若NA=60°,貝］N8PC等于（）

【答案】B

【解答】解：VZA=60°,BE.LAC,

/.ZABE=90°-60°=30°,

又,：CDA.AB,

???N8OP=90°,

AZBPC=90°+NABE=120°.

故選：B.

【變式12］在△ABC中，已知N48C=50°,NACB=60°,BE是AC上的高，C尸是AB

上的高，H是BE和CF的交點(diǎn).求NA8E和N8HC的度數(shù).

【解答】解：:8E是AC上的高，

???/AE3=90°,

VZABC=50°,ZACB=60°,

AZ4=180°-60°-50°=70°,

，乙—80°-90°-70°=20°,

丁。尸是AB上的高，

/.ZAFC=90°,

.??NAC”=I8(T-900?70°=20°,

???/ABE=20°，

：.ZEBC=ZABC-ZABE=50°-20°=30°,

VZACF=20°,ZACB=60a,

AZBCH=40°,

.??N8〃C=18()0-40c-30°=110°.

【題型2A字模型】

【典例2】如圖，在△ABC中，E,G分別是48,AC上的點(diǎn)，F(xiàn),。是8C上的點(diǎn)，連接

EF,AO,DG,已如AO〃EF,Zl+Z2=180o.

（1）如圖I,已知△44C為直角三角形，NA=90°,若沿圖中虛線剪去則N1+

Z2=270°.

（2）如圖2,已知△ABC中，NA=40°,剪去NA后成四邊形，則NI+N2=220°.

（3）如圖2,根據(jù)（1）與（2）的求解過程，你歸納猜想N1+N2與NA的關(guān)系是180。

（4）如圖3,若沒有剪淖NA,而是把它折成如圖3形狀，試探究N1+N2與/A的關(guān)系，

并說明理由.

【答案】見試撅解答內(nèi)容

【解答】解：（I）：???四邊形的內(nèi)角和為360°,直角三角形中兩個(gè)銳角和為90°

工/1+/2=360°-（NA+/B）=360°-90°=270°.

???N1+N2等于270°.

故答案為:270°；

(2)Zl+Z2=180°-40°=220°,

故答案是：220°；

(3)N1+N2與NA的關(guān)系是：Zl+Z2=180°+NA；

故答案為：180°+NA；

(4)???△EFP是由△￡以折置得到的，

AFE=/PFE,ZAEF=ZPEF

AZI=1800-2ZAFE,N2=180°-2ZAEF

，N1+N2=36O°-2(NAFE+NAEF)

XVZAF,E+ZAEF=\S0°-NA,

/.Zl+Z2=360°-2(180°-ZA)=2NA.

【變式22］如圖，已知△ABC為直角三角形，ZC=90c,若沿圖中虛線剪去NC,則N1+

N2等于（)

B

、、

A.90°B.135°C.270'D.315°

【答案】C

【解答】解：???四邊形的內(nèi)角和為360°,直角三角形中兩個(gè)銳角和為90°

/.Zl+Z2=360°-(NA+N6)=360°-90°=270°.

故選：C.

【變式23］如圖，在中，點(diǎn)。，E分別是AB,AC的中點(diǎn)，/C=45°,NA=50°,

則NAOE的度數(shù)為()

A.95°B.85°C.75°D.50°

【答案】B

【解答】解：VZC=45°,ZA=50°,

，NB=I8O°-45°-50°=85°,

???點(diǎn)。，E分別是AB,4c的中點(diǎn)，

：.DE//BC,

???NAOE=/8=85°,

故選：B.

【變式24］如圖，在三角形紙片44c中NA=65°,NB=75。，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)

。落在△ABC內(nèi)，若21=50°,則N2的度數(shù)為30°.

【解答】解：???NA=65°,NB=75：

AZC=180°-(65°+75°)=40°,

AZCDE+ZCEZ)=180a-ZC=140°,

AZ2=360°-(ZA^ZB+Z\+ZCED+ZCDE)=360°-330°=30°.

故答案為：30°.

【變式25］如圖，在△ABC中，E、F分別是A3、4C上的兩點(diǎn)，Zl+Z2=235°,則NA

【答案】55.

【解答】解：?.1+N2=235°,

，Nb+NC=36O°-(N1+N2)=360°-235°=125°,

故NA=I8O°-(ZB+ZC)=180°-125°=55°.

故答案是：55.

【題型38字模型】

模型38字模型

D

【條件】AE,8。相交于點(diǎn)C

【結(jié)論】ZA+ZB=ZD+ZE.

【典例3】圖1,線段A8、CQ相交于點(diǎn)0,連接A。、CB,我們把形如圖1的圖形稱之為

“8字形”.如圖2,在圖1的條件下，NDA4和N4CD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)。，

并且與CQ、分別相交于"、N.試解答下列問題：

（1）在圖I中，請(qǐng)直接寫出NA、NB、NC、N。之間的數(shù)最關(guān)系：NA+NO=NC+

4B；

（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：6個(gè);

（3）圖2中，當(dāng)/。=50度，N8=40度時(shí)，求NP的度數(shù).

（4）圖2中N。和NB為任意角時(shí)，其他條件不變，試問NP與N。、NB之間存在著

怎樣的數(shù)量關(guān)系.（直接寫出結(jié)果，不必證明）.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)???/A+NO+NAOQ=NC+/8+/8OC=180°,ZA0D=ZBOC,

:.ZA+ZD=ZC+ZB,

故答案為：NA+NQ=NC+N3：

（2）①線段人8、C7）相交于點(diǎn)O,形成“8字形”；

②線段AN、CM相交于點(diǎn)。，形成“8字形”；

③線段AB、CP相交于點(diǎn)M形成“8字形”；

④線段48、CM相交于點(diǎn)0,形成“8字形”；

⑤線段AP、C。相交于點(diǎn)M,形成“8字形”；

⑥線段AN、CO相交于點(diǎn)0,形成“8字形”：

故“8字形”共有6個(gè)，

故答案為：6；

(3)ZDAP+ZD=ZP+ZDCP,①

/PCB+NB=NMB+NP,②

TNDAB和/BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P,

：,ZDAP=ZPAB,ZDCP=ZPCB,

①+②得：

NDAP+ND+NPCB+NB=NP+NQCP+NH8+NP,

即2NP=NO+N〃，

又???ND=50度,NB=40度,

，2/尸=50°+40°,

AZP=45°；

(4)關(guān)系：2NP=ND+N8.

NQ+N1=NP+N3①

N8+/4=NP+N2②

①+②得：

NO+N1+N4+NB=NP+N3+/2+NP,

■:ZDAB和/DCB的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P,

AZ1=Z2,Z3=Z4

：.2ZP=ZD+ZB.

【變式31］如圖，NA+N3+NC+ND+NE+N尸的度數(shù)為360°

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解:如圖,

c,

VZ1=Z2+ZF=Z?+ZE+ZF,Zl+Z/A+ZC+ZD=360°,

AZ4+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=360",

故答案為：360°.

【變式32］如圖，/斐+/B+NC+N￡)+/E+NF4~NG+NH=360°

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：由圖形可知：NBNP=NA+NB,ZDPQ=ZC+ZD,ZFQM=ZE+ZF,

NHMN=NG^NH,

?：NBNP+NDPQ+/FQM+/HMN=36U°，

：.NA+NB+NC+ND+/E+NF+NG+NH=NBNP+/DPQ+NFQM+NHMN=36U°.

故答案為:360°.

【變式33］如圖，則NA—N>+NC+ND+NE+N廣+NG=540°.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：連接AE,

則N1+N2=NF+NG,

，N3+NB+NC+N￡)+N4+NF+NG=/3+NB+NC+N7)+/4+NI+N2=540°,

故答案為：540°.

【變式34】探究與發(fā)現(xiàn)：

平面內(nèi)，四條線段A3、BC、CD.D4首尾順次相接，8c與A。相交于點(diǎn)。

(1)如圖1,若N6=24°,ZD=42°,NBA。和的角平分線交于點(diǎn)M,求/

M的度數(shù)；

(2)如圖2,若NB=50°,ZD=32°,ZBAM=lzBAD,NBCM=L/BCD,求N

33

M的度數(shù)；

(3)如圖3,設(shè)N8=/°,ZD=y°,N3AM=』NBAD,NBCM=L/BCD,用含〃、

nn

工、)，的代數(shù)式表示NM的度數(shù)(直接寫答案).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)如圖1,設(shè)NCOQ=x°,則NAOB=NCOO=x°,

△CO。中N8CO=1800-AADC-ZCOD=180°-42°-x=138°-x,

〈CM平分N3CO得到：

NBCM=±NBCD=69。-X,

22

同理：ZBAM=ZMAD=78°-X,

2

在戶中利用三角形內(nèi)角和定理得到

NAP8=180°-24°-(78°-X)=78°+X,

22

則NCPMnNAPBnlgO。-24°-(78°-X)=78°+AV,

22

在△CPM中二內(nèi)角的和是180“，

即：(69°-Xv)+(78°+A.v)+/4WC=180°,

22

則NAMC=33°；

(2)如圖2：設(shè)NCOD=x°,則NAO8=NCOO=x°,

△C。。中N8CO=180°-ZADC-ZCOD=180°-32°-x=148°-x,

〈CM平分N8CD得到：

ZBCM=AzBCD=-148°.-X,

333

同理：NB4M=NM4Z)=1^--At,

33

在△48P中利用三角形內(nèi)角和定理得到

130

N"8=180°-50°-(°x)=260。+L,

3333

則NCPM=NAPB=180°-50°-(⑶?！?)=260。+工,

3333

在△CPM中三內(nèi)角的和是180°,

即：(21^----L)-(260°-+L)+NAMC=|80°,

3333

136°+ZAMC=180°

所以NM=44°.

(3)ZM=ZB+A(/BAD-/BCD)=NB+2(ZD-ZB)=x+A(j-x)=HzlA+

nnnn

l

—?v>?

n

【題型4飛鏢模型】

【典例4］探究與發(fā)現(xiàn)：如圖（1）所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品一圓規(guī)，我們，不

妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖

（1）觀察”規(guī)形圖（1）"，試探究N3Q。與NA、/B、NC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明

理由；

（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下問題：

①如圖（2）,把一塊三角尺XVZ放置在△AC上使三角尺的兩條直角邊XKXZ恰好經(jīng)

過點(diǎn)B、C,若NA=40°,則NABX+NACX=50°.

②如圖（3）,。。平分N4QB,EC平分NAEB,若ND4E=40°,NOB￡=130°,求

NOCE的度數(shù).

圖（1）圖（2）圖（3）

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）如圖（1）,NBDC=NBAC+NB+NC,理由是：

過點(diǎn)4、。作射線AF,

VZFDC=Z￡）AC+ZC,ZBDF=ZB+ZBAD,

JZFDC+ZBDF=ZDAC+ZBAD+ZC+ZB,

即ZBDC=ZBAC+ZB+ZC：

（2）①如圖（2）,VZX=90°,

由（1）知：ZA+ZABX+ZACX=ZX=90°,

VZA=40°,

AZABX+ZACX=50°,

故答案為：50；

②如圖（3）,VZA=40°,ZDBE=130°,

/.ZADE+ZAEB=130°-40°=90°,

\*DC^^ZADB,￡C平分NAEB,

，ZADC=^ZADB,N4EC=JL/AEB,

22

???/4陽(yáng)4氏=呆/血+/也）=45。，

乙

AZDCE=ZA+ZADC+ZAEC=4（）°+45°=85°.

BC

圖（1）

【變式41］如圖，△ABC中，NA=30°,，。為CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，DELAB于點(diǎn)E,N

。=40°,則NC為（）

A.20°B.15°C.30°D.25°

【答案】A

【解答】解：???DE_U8,

，/。仍=90°,

VZD=40°,

JN48O=180°-ZD-ZDEB=50°9

VZABD=ZA+ZC,/A=30°,

：,ZC=ZABD-ZA=500?30°=2（）。.

故選：A.

【變式42］如圖，N8DC=98°,ZC=3；8°,NA=37°,N8的度數(shù)是（）

，

c4-------------------------/

A.33°B.23°C.27°D,37°

【答案】B

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)C。交4B于E,

VZC=38°,ZA=37°,

/.Z1=ZC+ZA=380+37°=75°,

VZBDC=98°,

：.ZB=ZBDC-Zl=98°-75°=23°.

故選:B.

【變式43］如圖，△A3C內(nèi)有一點(diǎn)。，且D4=Q6=QC若ND4B=20°,ND4C=30°,

則NBOC的大小是（）

A.100°B.80°C.70°D.50°

【答案】A

【解答】解：延長(zhǎng)8。交AC于七.

，：DA=DB=DC,

???N4BE=/OAB=20°,NECO=ND4C=30°.

又???/84E=NA4Z)+ND4c=50°,

ZBDC=ZDEC+ZECD,ZDEC=ZABE+ZBAE,

：?/BDC=/ABE+/BAE+NECD=20°十50°+30°=100°.

故選:A.

【題型5風(fēng)箏模型】

【典例5】如圖1和圖2,在三角形紙片48c中，點(diǎn)。，E分別在邊AC,A8上，沿DE折

疊，點(diǎn)4落在點(diǎn)聞的位置.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)A'落在CO邊上時(shí)，ND4E與N1之間的數(shù)量關(guān)系為(只填

序號(hào))，并說明理由；

①NQ人E=N1

?ZDAE=2Z\

③/1=2NO4E

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)A落在△ABC內(nèi)部時(shí)，直接寫出ND4E與Nl,N2之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)③，理由詳見解答過程.

(2)Z\+Z2=2ZDAE.

【解答】解：(1)由題意得：NDAE=/DA'E.

*：Z\=ZEAD+ZEA,D=2NDAE.

故答案為：③.

(2)N1+/2=2ND4E,理由如下：

如圖2,連接A4'.

由題意知：ZEAD=ZEA,D.

*/Zl=ZAzAE+ZAA'E,Z2=ZArAD+ZAA1D,

：.Z\+Z2=ZEAA,+ZA;AD^-ZEA'A+ZAA1D=ZEAD+ZEA'D=2ZEAD.

【變式51】將紙片△ABC沿。石折疊使點(diǎn)人落在A'處的位置.

Af

B

DD

圖1圖2

(1)如果人'落在四邊形8CQE的內(nèi)部(如圖1),N4'與N1+N2之間存在怎樣的數(shù)

量關(guān)系？并說明理由.

(2)如果4'落在四邊形BCDE的BE邊上，這時(shí)圖I中的N1變?yōu)?°角，則乙4'與

N2之間的關(guān)系是2/A=/2.

(3)如果A'落在四邊形3CQE的外部(如圖2),這時(shí)NA'與Nl、N2之間又存在

怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(I)圖I中，2NA=N1+N2,

理由是：???延。石折疊人和人'重合,

/.ZAED=ZAfED,NAOE=NA'DE,

???NAEO+/AOE=180°?NA,Zl+Z2=180°+180°?2(N4EO+NAQE)，

/.Zl+Z2=360°-2(180°?NA)=2NA：

(2)2N4=N2,如圖

N2=/A+NE4'O=2/A,

故答案為：2NA=N2；

(3)如圖2,2NA=N2-Zl,

理由是：???延OK折疊A和A'重合,

，NA=NA',

VZDME=+ZI,N2=NA+NQME,

AZ2=ZA+ZA,+ZI,

即2NA=N2-Zl.

【變式52］如圖，在△ABC中，ZC=40°,將△ABC沿著直線/折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)。的

位置，則N1-N2的度數(shù)是（）

【答案】B

【解答】解：由折疊的性質(zhì)得：ZD=ZC=40°,

根據(jù)外角性質(zhì)得：Z1=Z3+ZC,N3=N2+NO,

則N1=N2+NC+NO=N2+2NC=N2+80°,

則N1?Z2=80°.

故選：B.

【變式53］如圖，把△ABC紙片沿。￡折疊，當(dāng)A落在四邊形/3CQE內(nèi)時(shí)，則NA與N1+

N2之間有始終不變的關(guān)系是（）

D

1

/--Y-\

A.ZA=Z1+Z2B.2ZA=Z1+Z2

C.3N4=N1+N2D.3Z,4=2(Z1+Z2)

【答案】B

【解答】解：:△ABC紙片沿OE折疊，

.??N1+2NAEQ=18O°,N2+2NAOE=180°,

.\ZAED=A(180°-Zl),Z/4DE=A(1800-Z2)，

22

AZAED+ZADE=^.(1800-Zl)+A(180°-Z2)=180°-A(Z1+Z2)

222

???△AOE中，4=180°-(ZAED+Z/1DF)=180°-[180°-A(ZI+Z2)]=A(Z

22

1+Z2),

即2NA=N1+N2.

故選：B.

【變式54]如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點(diǎn)A落在aABC外的4處，折痕

為DE.如果N4=*ZCEA'=p.NBDAf,那么下列式子中正確的是()

A

*a\

A.y=2a+PB.y=a+2。C.y=a+PD.y=180°-a-p

【答案】4

【解答】解：由折疊得：NA=NW,

*：ZBDA'=ZA+ZAFD,ZAFD=ZA'+ZCEA\

VZ4=a,ZCEA'=p,N8O/V=Y，

ZBDA,=y=a+a+p=2a+p,

故選：4.

【變式55】紙片△ABC中，/A=65°,NB=75°,將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△/WC

內(nèi)（如圖），若Nl=20°,則內(nèi)2的度數(shù)為60°.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：:△ABC中,NA=65°,NB=75°,

AZC=1800-ZA-ZB=180°-65°-75°=40°,

VZ1=2O°，

???NCEQ=180°_/l=80。,

2

在△COE中，ZCDE=180°-ZC-ZCED=I8O°-40°-80°=60°,

.\Z2=180o-2ZCD￡=180°-2X60°=60°,

故答案為60°.

【變式56］如圖所示，把一個(gè)三角形紙片ABC的三個(gè)頂角向內(nèi)折疊之后（3個(gè)頂點(diǎn)不重合）,

ffl+Zl+Z2+Z3+Z4-?-Z5+Z6=360

E

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：由題意知，

Nl+N2+N3+N4+N5+N6=72()°-(ZB,FG+ZB'GF)-(NCHHNCIH)-(ZA,DE+

ZA,ED)=720°-(1800-ZB')-(180°-C)=(180°-A')=180°+(/B'+

NC+NA')

又,.?/8=/8,ZC=ZC,ZA=ZA',

ZA+ZB+ZC=180u,

/.Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=360°.

故答案為:360.

【題型6兩內(nèi)角角平分線模型】

【典例6】【問題】

如圖①，在△ABC中，NA=74°,平分NABC,DC平分N4CB.求N。的度數(shù)，對(duì)

于上述問題，在以下解答過程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）.

解：VZ^BC+ZACB+ZA=180°（三角形內(nèi)角和180°）.

AZABC+ZACB=180°-ZA（等式性質(zhì)）.

VZ4=74°（已知），

AZABC+ZACB=106°（等量代換）.

平分N4BC（已知），

???NOBC=2N/WC（角平分線的定義）.

2

同理，NDCB=1.ZACB；

-2

'NDBC+NDCB］（N44C+NAC8）=53°（等式性質(zhì)）,

2

〈NDBC+NDCB+ND=180°,

/.ZZ）=I80°-（NDBC+NOCB）=127°（等式性質(zhì)）.

【拓展】如圖②，在AABC中，N4=0,QB平分NA8C,0c平分N4C8.

則NO=（90°+A）.

2-

【應(yīng)用】如圖③，在AABC中，。8平分NA8C,QC平分NAC8,EB平分NDBCEC

平分NDCB.若NE=146°,則平4=44°.

【答案】（1）180°-N4；106°；AZACB；53°；127°；

2

（2）90°+巨；

2

（3）44°.

【解答】解：（1）???NA8C+/ACB+NA=18（T（三角形的內(nèi)角和定理），

AZABC+ZACB=\SOC-NA（等式性質(zhì)）.

VZA=74°（已知）,

AZ/\BC+Z4CB=IO60（等量代換）.

平分NABC（已知），

???NDBC】NABC（角平分線的定義）?

同理，ZDCB=1.ZACB.

2

AZDBC+ZDCB-y（ZABC+ZACB）=53°（等式性質(zhì)）?

?；NDBC+NDCB+ND=18?！?

???/￡）=180°-（NQBC+NQCB）=127°（等式性質(zhì)）.

故答案為：180°-N4；106°；2/ACB；53°；127°；

2

（2）VZABC+ZACB+ZA=180°（三角形的內(nèi)角和定理），

/.ZABC+ZACB=180°-NA（等式性質(zhì)）.

VZA=p（已知），

/.ZABC+AACB=\W-p（等量代換）.

■D丁平分N4BC（已知），

???NDBCqNABC（角平分線的定義）?

乙

同理，NDCB=』NACB.

2

AZDBC+ZDCB-y（ZABC+ZACB）=90°.號(hào)（等*性質(zhì)）.

乙乙

?；NDBC+NDCB+ND=180°,

/.ZD=180°-（/DBC+NDCB）=90°+巨；

2

故答案為：90°+且；

2

（3）平分NA8C,QC平分NAC8,E3平分NDBC,EC平分NQC8,

???NC8O=2NC8A,ZBCD=1ZBCA,NCBE=L/CBD,/BCE=1/BCD,

2222

???NCBE」NCBA,NBCE=L/BCA,

44

,/ZCBE+ZBCE+ZE=180°,Z￡=146°,

：.ZCBE+ZBCE=\8O°-ZE=34°,

???NC8E+N8CE=2/C8A+2/8CA=34",

44

：,ZCBA+ZBCA=\36°,

???NCRA+NBCA+NA=180°,

AZ4=I8O°-（NCB4+N8C4）=44°.

故答案為:44°.

【變式61］如圖，△ABC的兩內(nèi)角平分線交于點(diǎn)P,NA=50°,則N8PC=()

C.120'D.130°

【答案】B

【解答】解：在△人臺(tái)。中，PB、PC分另I」是NA8C、/AC8的平分線，NA為50°

ZPBC+ZPCB=1(180°-ZA)=Ax(1800?50°)=90°-工NA

222

故N8尸C=180°-(ZPBC+ZPCB)=180°-(90°-AZA)=90°

22

則N8PC=115".

故選：B.

【變式62］如圖，BE、C/都是△ABC的角平分線，且/BDC=115°,則N4=()

【答案】A

【解答】解：???8E、C/都是△A8C的角平分線，

：,ZEBC=1ZABC,/8"=2N4CB.

22

VZEBC+ZFCB+ZBDC=180°，ZBDC=115°，

：?/EBC+/FCB=65°.

???NABC+NAC8=130°.

???NA8C+NAC8+NA=180°,

AZA=50°.

故選：A.

【題型7兩外角角平分線模型】

【典例7】如圖，△A8C兩個(gè)外角NC3。、N8CE的平分線相交于點(diǎn)O,ZA=40°,求/

30C的度數(shù).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：???/。。、N3C上的平分線相交于點(diǎn)0,

.,.Z0BC=A(ZA+ZACB),Z0CB=lCZA+ZABC),

22

???N0BC+N0C8=2(/A+NAC8+/ABC+N4),

2

VZA+ZACB+ZABC=180°,

???NOBC+NOC8=90°+2NA,

2

在△OBC中，ZB(9C=180°-(NO8C+NOCB)=180°-(90°+2NA)=90°-2

22

NA,

VZA=40°,

：,ZBOC=90°-AX400=90°-20°=70°.

2

【變式71】如圖1,已知NACO是△ABC的一個(gè)外角，我們?nèi)菀鬃C明NACO=NA+N8,

即三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不

相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

嘗試探究：

圖1廢2圖3圖4圖5

(1)如圖2,/OBC與NECB分別為△ABC的兩個(gè)外角，則

(橫線上填〉、＜或=)

初步應(yīng)用：

(2)如圖3,在△A3C紙片中剪去△(?￡￡),得到四邊形A3QE,Zl=135°,則N2-N

C=45°.

(3)解決問題：如圖4,在△/1BC中，BP、CP分別平分外角NOBC、NECB,NP與

NA有何數(shù)顯關(guān)系？請(qǐng)利用上面的結(jié)論直接寫出答案NP=90°-1ZA.

2

(4)如圖5,在四邊形人8CO中，BP、CP分別平分外角NKBC、NFCB,請(qǐng)利用上面

的結(jié)論探究/P與乙4、N。的數(shù)量關(guān)系.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)/DBC+/ECB-ZA=180°,

理由是：*：ZDBC=ZA+ZACB,ZECB=ZA+ZABC,

/.NQ4C+NEC3=2NA+N4C4+N"C=180°+ZX,

Z.ZDBC+ZECB=Z/1+180°.

故答案為：=.

(2)Z2-ZC=45°.

理由是：VZ2+Z1-ZC=180°,Zl=135°,

AZ2-ZC+135°=180°,

AZ2-ZC=45°.

故答案為：45°；

(3)ZP=90°-AZA,

2

理由是：：BP平分NDBC,CP平分NECB,

.,.ZCBP=-1ZD^C,NBCP=』NECB,

22

VABPC+,NP=1800-ZCBP-ZBCP=180°-工(NDBC+NECB),

2

NI)BC+NECB=18()°+N4,

AZP=I8O0-A(1800+ZA)=90°-AZA.

22

故答案為：/尸=90°-AZA,

2

(4)ZP=1800-A(ZA+ZD).

2

理由是：VZ￡BC=180°-Zl,ZFCB=180°-Z2,

<BP平分NEBC,CP平分/FCB,

??.N3=2N￡8C=90。-Azi,Z4=AzFCB=90°-2N2,

2222

/.Z3+Z4=18O°-A(Z1+Z2),

2

???四邊形48C。中，zl+Z2=360°-(ZA+ZD),

又???△P8C中，ZP=180°-(Z3+Z4)=A(Z1+Z2),

2

/.ZP=AX[3600-(ZA+ZD)]=180°-A(ZA+ZD).

22

【變式72]24.如圖1,△A3C的外角平分線4/；、CF交于點(diǎn)F.

(1)若乙4=50°,則//的度數(shù)為65。.

(2)過點(diǎn)尸作直線MV,交射線4B,AC于點(diǎn)M、N,并將直線MN繞點(diǎn)”轉(zhuǎn)動(dòng).

①如圖2,當(dāng)直線MN與線段BC沒有交點(diǎn)0寸，若設(shè)NMFB=a,NNFC=0,試探索乙4

與a,B之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，試問①中NA與a,0之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？

若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)直接寫出三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)65°；

(2)①a+B-耘A=90。；

②不成立，a-p-yZA=90<>?

【解答】解：(I)?；BF,C尸分別是NDBC和NBCE的角平分線,

AZCBF=1/DBC,ZBCF=1^BCE,

乙乙

???/4+NABC+NACB=180°,

???NA8C+NAC8=18(T-NA,

VZDSC=ZA+ZACB,ZBCE=ZA+ZABC,ZCBF+ZBCF+ZF=180°,

???/〃=180°-(NCBF+NBCF),

=180°-A(ZDBC+ZBCE),

2

=180°J(/A+NACB+NA+NABC)，

乙

=180。-yZA-900*

乙

=90°-yZA?

乙

VZ4=50°,

AZF=65°,

故答案為:65°；

(2)①由(1)可知NBFO90。加NMFB=a,NNFC=0,

2

?；NBFC+/MFB+NNFC=180°,

???a+p+90°]NA=180。，

乙

???a+B-yZA=90<>?

乙

②不成立，理由如下：

,/4BFN+/NFC=ZBFC,

:?NBFN=90。-yZA-P?

乙

:NBFN+NMFB=180°，

，90。-yZA-p+a=180°，

乙

_<>

?，?a-B-4ZA=90,

【題型8內(nèi)外角平分線模型】

（2）如圖2,在△ABC中，BP平分/ABC,C尸平分外角NACE,猜想/尸和乙4有何

數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】（1）證明過程見解答;

(2)NP=L/A.

【解答】（1）證明：???A+NA8C+NAC8=I8（r,

.??N48C+/AC8=18O°-NA,

???8~平分/680,CP平分NAC8,

???NPC8=/NAC/3,NPBC=//ABC,

???々=180°-QPCB+NPBC)

=180°-A(ZACB+ZABC)

2

=180°-A(180°-NA)

2

=9()。+_1/A；

2

(2)猜想：NP]/A

乙

證明：VZACE=ZA-^ZAI3C,

AZA=ZACE-ZABC,

?:/PCE=/P+/PBC,

:?/P=/PCE-ZPBC,

又TBP平分NA8C,CP平分/ACE,

?'-ZPBC=yZABC,ZPCE=|ZACE*

乙乙

/.NP=￡/ACE-￡/ABC

=A(NACE-NABC)

2

=%

【變式81]如圖所示，BE是△ABC的內(nèi)角平分線，CE是△ABC的外角平分線，若N