專題7.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

目錄

目錄......................................................1

一、5年高考?真題感悟.....................................2

二、課程標(biāo)準(zhǔn)?考情分析...................................10

【課程標(biāo)準(zhǔn)】.....................................................10

【考情分析】.....................................................10

【2026考向預(yù)測】.................................................11

三、知識點(diǎn)?逐點(diǎn)夯實.....................................11

知識點(diǎn)一、直線與直線的位置關(guān)系...................................11

知識點(diǎn)二、直線與平面的位置關(guān)系...................................11

知識點(diǎn)三、平面與平面的位置關(guān)系...................................11

知識點(diǎn)四、等角定理...............................................12

四、重點(diǎn)難點(diǎn)?分類突破...................................12

考點(diǎn)1證明“點(diǎn)共面”“線共面”“點(diǎn)共線”“線共點(diǎn)”............12

考點(diǎn)2截面問題..................................................25

考點(diǎn)3異面直線的判定............................................29

考點(diǎn)4異面直線所成的角..........................................33

考點(diǎn)5平面的基本性質(zhì)............................................38

五、必考題型?分層訓(xùn)練...................................45

A、基礎(chǔ)保分........................................................45

B、綜合提升........................................................53

一、5年高考?真題感悟

1.（2025?天津?高考真題）若小為直線，。,夕為兩個平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若,則〃?〃〃B.若〃?_La,/〃_!_/?,則。_1_/

C.若m"a,m工P，則a_L/?D.若mua,a：則〃?_1_/

【答案】C

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

【分析】根據(jù)線面平行的定義可判斷A的正誤，根據(jù)空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可判斷BCD的正誤.

【詳解】對于A,若mllamua,則以〃可平行或異面，故A錯誤；

對于B,若m_La,〃7_L/7,則a//￡,故B錯誤；

對于C若mHa,則存在直線aua,a!Im,

所以由帆_1_尸可得a_L），故a_L〃，故C止確；

對干D,/〃ua，al〃，則6與￡可平行或相交或機(jī)u/,故D錯誤；

故選：C.

2.（2024?全國甲卷?高考真題）設(shè)。、〃為兩個平面，加、〃為兩條直線，且aCl/=切.下述四個命題：

①若加〃〃，則〃//?；颉āㄏΒ谌簟?_!_〃，則〃_La或〃，尸

③若〃〃。月.〃/R,則〃?〃〃④若〃與所成的角相等,貝iJmJL”

其中所有真命題的編號是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

【分析】根據(jù)線面平:行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.

【詳解】對①，當(dāng)〃ua,因為mu0,則〃///，

當(dāng)〃u￡,因為〃〃/〃，機(jī)ua,則〃〃。，

當(dāng)“既不在a也不在￡內(nèi),因為〃"/〃，mua,mup,則〃〃a且鹿//,故①正確：

對②，若/〃」〃，則〃與明尸不一定垂直，故②錯誤；

對③，過直線〃分別作兩平面與心戶分別相交于直線$和直線人

因為〃"a,過直線〃的平面與平面。的交線為直線L則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知〃

同理可得〃〃f,則s/〃，因為sex平面夕，，u平面夕，則s〃平面夕，

因為SU平面a,a（\p=mt則”/〃?，又因為〃〃$,則就/〃，故③正確;

對④，若ac〃=,〃/與a和夕所成的角相等，如果〃//a,〃〃尸，則〃〃/〃，故④錯誤；

綜上只有①③正確，

故選：A.

3.（2024?天津?高考真題）已知明〃是兩條宜線，a是一個平面，下列命題正確的是（）

A.若m±n,則〃_LaB.若〃?/_L而，則〃_La

C.若機(jī)〃則"?_L〃D.若〃i~La,〃上a,則相_L〃

【答案】C

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，逐項判斷即可求解.

【詳解】對于A,若“〃a,mln,則〃,。平行或相交，不?定垂直，故A錯誤.

對于B,若〃?則〃〃C或"「a,故B錯誤.

對于C,而/a,〃工a,過小作平面以使得尸

因為故m〃s,而sua,故〃_Ls,故〃zJ_〃，故C正確.

對于D,若〃?_L_La,則加〃,故D錯誤.

故選：C.

4.（2023?北京?高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒

出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面

是全等的等腰三角形.若A8=25n3C=AO=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平

面ABC力的夾角的正切值均為巫，則該五面體的所有棱長之和為（）

5

AB

A.102mB.H2m

C.117mD.125m

【答案】C

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】證明線面垂直、線面垂直證明線線垂直、由二面角大小求線段長度或距離

【分析】先根據(jù)線面角的定義求得【anN￡MO=tanNEGO=半，從而依次求月O,EG,EB,EF,再把所

有棱長相加即可得解.

【詳解】如圖，過后做即，平面A88,垂足為。，過E分別做EG_LAC,垂足分別為G,M,

連接0GoM,

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為NEMO和NEGO,

所以tan/EMO=tanNEGO=孚.

因為￡。1平面ABC。，8Cu平面4AC。，所以E0_L8C,

因為EG_L8C,EOEGu平面EOG,EOcEG=E,

所以8C_L平面EOG,因為OGu平面EOG,所以8C_LOG,.

同理：OMLBM,又BM工BG,故四邊形OMBG是矩形，

所以由BC=10得OM=5,所以EO=VR,所以O(shè)G=5,

所以在直角三角形卬G中，EG=JEO2+OG2=J（加丫+5?=x/39

在直角三角形EKG中,RC=CM=5,FR=JFG2+RG2=^（＞/39）?+52=8,

又因為EF=A8-5-5=25-5-5=15,

所有楂長之和為2x25+2x10+15+4x8=117m.

故選:C

5.（2025?全國一卷?高考真題）（多選題）在正三棱柱ABC-48c中，。為8c的中點(diǎn)，則（）

A.AD1A.CB.qG，平面44,。

c.ADUA\B\D.CCJ/平面A4,。

【答案】BD

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】證明線面平行、證明線面垂直、空間位置關(guān)系的向量證明、求平面的法向量

【分析】法一：對于A,利用空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算即可判斷：對于B,利用線面垂直的判定與

性質(zhì)定理即可判斷；對于D，利用線面平行的判定定理即可判斷：對于C,利用反證法即可判斷；法二：根

據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法逐一分析判斷各選項即可得解.

【詳解】法一：對于A,在正三棱柱ABC-A瓦G中，人4,平面ABC,

又ADu平面ABC,則A4,_LAO,則45?而=0,

因為VA4C是正三角形，。為8C中點(diǎn)，則AO_Z4C,則而?通二0

又耐=A印+A力+C。'，

所以京.而=（存+而+函卜通=或.而+而?+①.而二而2H0,

則A。_L不成立，故A錯誤；

對于B,因為在正三棱柱ABC-4用￡中，AAJ.平面A8C，

又B?u平面ABC，則例-LB￡,

因為V44c是正三角形，。為8c中點(diǎn)，則AQ/4C,

又叫口從。=AAA，AOu平面AA,。，

所以?平面4A。，故B正確；

對于D,因為在正三棱柱A8C-ASC中，CCl//AAl

又AA|U平面AARCGU平面M。，所以CCJ/平面A4,。，投D正確:

對于C,因為在正三棱柱A8C-ABC中，A、B\/iAB,

假設(shè)4?！?媯，則A0//M,這與ADcAB=A矛盾,

所以A/)〃A用不成立，故C錯誤；

故選:BD.

法二：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該正三棱柱的底邊為2,高為力,

則D(O,O,O),A(G,O,O)，A(3O0,C(O,TO),￡(O,—1J?),8(O,1,O"(O,1,/?),

對于A,而=(-6,0,0),卡=1石,-1,-/?),

貝IJ訪而=(-⑹*卜@+0=300,

則AO_LA。不成立，故A錯誤；

對FBD,BC=(0,-2,0),CC,=(0,0,/?),A4,'=(0,0,h\AD=(->/3,0,0),

設(shè)平面外。的法向最為萬=(M)，,z),

n=hz=0

則得x=z=0令)，=1,則為=(0,1,0),

g?萬=一&=0

___.、UUU1

所以8。二(0,—2,0)=—2萬，CG?刀=0,

則BC_L平面AA。，CG〃平面AAQ,故BD正確;

對于C,AD=(-73,0,0),=(-75,10),

則二顯然人?！?4不成立，故C錯誤；

-V3I

故選：BD.

6.(2021?新高考全國閉卷?高考真題)(多選題)如圖，在正方體中，。為底面的中心，〃為所仕校的中點(diǎn),

M,N為正方體的頂點(diǎn).則滿足MVJLOP的是（）

【答案】BC

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】求異面直線所成的角、證明線面垂直、線面垂直證明線線垂直

【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.

【詳解】設(shè)正方體的棱長為2,

對于A,如圖（1）所示，連接4C,則MV//AC,

故/POC（或其補(bǔ)角）為異面直線ORMN所成的角，

1

在直角三角形OPC,OC=叵,CP=\,故tanZ.POC=V2=T

AB

圖⑴

對于B,如圖(2)所示，取AT的中點(diǎn)為Q,連接PQ,OQ,則OQLNT,PQ1MN,

由正方體SBCM-NADT可得SN1.平面ANDT,而OQu平面ANDT,

故SN1OQ,而SNf)MN=N,故OQ_L平面SN7M,

又WNu平面SN7M,OQ1MN,而OQn「Q=Q，

所以MN_L平面OPQ,而POu平面OPQ,故MN1OP,故B正確.

對干C,如圖(3),連接8。，則BD//MN,由B的判斷可得0P_L8￡),

故0PtMN,故C正確.

對干D,如圖(4),取A。的中點(diǎn)Q，A8的中點(diǎn)K,連接ACPQ,OQ,PK,OK,

貝I」AC//MN.

因為。尸=PC,故PQ//AC,故PQ/1MN,

所以NQPO或其補(bǔ)角為異面直線PQMN所成的角，

圖（4）

因為正方體的棱長為2,故PQ=；AC=&,OQ=^AO2+AQ2=x/i+2=V3?

PO=y]PK2+OK2=>/4+l=V5*QO2<PQ2+OP2,故NQP0不是直角，

故P。,MN不垂直，故D錯誤.

故詵：BC.

7.（2022?新高考全國團(tuán)卷?高考真題）（多選題）已知正方體ABCO-AACR，則（）

A.直線8。與。％所成的角為90。B.直線BQ與CA所成的角為90。

C.直線8a與平面B8Q。所成的角為45。D.直線BQ與平面ABC。所成的角為45。

【答案】ABD

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】求異面直線所成的角、求線面角

【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對所給選項進(jìn)行判斷即可.

【詳解】如圖，連接耳c、BG，因為。A//BC，所以直線BG與6c所成的角即為直線8G與。4所成的

角，

因為四邊形8BCC為正方形，則qc_LBG，故直線8G與所成的角為90。，A正確;

連接AC，因為A^_L平面叫C0,BGu平面叫GC,則44_LBG，

因為4C_L8C，ABQBC"所以BC|_L平面Age,

又ACu平面A8C，所以BG_LCA，故B正確：

連接AG，設(shè)AGnqA=。，連接BO,

因為BB11平面AA￡0,C0u平面AeGQ,則GO，48,

因為GO~LB|R,=所以C]O_1?平面BBQI。，

所以NC、BO為直線8G與平面BB，。所成的角，

設(shè)正方體棱長為1,則C0=q,BC】=y/i,SinZC,ZJO=52=p

所以，直線8G與平面所成的角為30",故C錯誤；

因為G。，平面A8CO,所以NG3C為直線8cl與平面A3CO用成的角，易得NC；8C=45L故D正確.

故選:ABD

二、課程標(biāo)準(zhǔn)?考情分析

【課程標(biāo)準(zhǔn)】

（1）借助K方體，在直觀認(rèn)識空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的

位置關(guān)系的定義.

（2）了解四個基本事實和一個定理，并能應(yīng)用定理解決問題.

【5年考情分析】

5年考情分析

考題示例考點(diǎn)分析難易程度（簡單、一般、較難、很難）

2023年上海卷第15題，5分立體幾何簡單

2022年上海卷第15題，5分

立體幾何簡單

2022年I卷第9題，5分

立體幾何簡單

2021年乙卷笫10題，5分立體幾何簡單

【2026考向預(yù)測】

本節(jié)內(nèi)容是高考命題的熱點(diǎn)，重點(diǎn)關(guān)注異面直線的判定和成角問題、空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系問題.對

于空間幾何體的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，除了題目難度逐步提升，還增加了截面問題，對考生的空間想象

能力要求有所提升，需要考生有更強(qiáng)大的邏輯推理能力.

三、知識點(diǎn)?逐點(diǎn)夯實

知識點(diǎn)一.直線與直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面

圖形/X7一金

符號a//b4r|a=

公共點(diǎn)個數(shù)1。0

特征兩條相交直線確定一個平面兩條平行直線確定一個平兩條異面直線不同在如

面何一個平面內(nèi)

知識點(diǎn)二.直線與平面的位置關(guān)系：有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況.

位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）

圖形

/V//

符七lual[}a=P1〃a

公共點(diǎn)個數(shù)無數(shù)個10

知識點(diǎn)三.平面與平面的位置關(guān)系：有平行、相交兩種情況.

位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直

圖形a

\

:/￡17LU

符號a//pan￡=/aIp,a\\p=l

公共點(diǎn)個數(shù)0無數(shù)個公共點(diǎn)且都無數(shù)個公共點(diǎn)且都在

在唯一的一條直線上唯一的一條直線上

知識點(diǎn)四.等角定理，空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).

四、重點(diǎn)難點(diǎn)?分類突破

考點(diǎn)1證明“點(diǎn)共面”“線共面”“點(diǎn)共線”“線共點(diǎn)”

例1、（2025?福建龍巖?二模）如圖，在四棱錐P-ABCZ）中，尸AJ_平面ABC。，BCLCD,AB/[DC,

BC=CD=2,A8=4,M,N分別為心，PC的中點(diǎn).

（1）設(shè)兩=/l而，且”，A,M，N四點(diǎn)共面，求實數(shù)％的值;

⑵若平面AMN和平面尸CD所成年的余弦值為巫，求三棱錐C—AMN的體積.

5

2

【答案】（1"=j

（2）t

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計算、空間中的點(diǎn)（線）共面問題、空間向量共面求參數(shù)、已知面面角求其他

量

【分析】（1）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及向量坐標(biāo)，利用共面向量基本定理建立方程

組求解即可；

方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及向量坐標(biāo)，求出平面AAW的法向量，然后利用萬.而=0建

立方程求解即可；

方法三：延長N"交CO于S,連接SA,利用線面平行判定定理證明〃平面A8CO,然后利用線面平行

的性質(zhì)定理得四邊形A8CS是平行四邊形，利用比例相等求解即可；

（2）求出平面CQ尸的法向量，然后利用向量法表示二面角的平面角，求解R4=2,

方法一：利用向量法求三棱錐C-AMN的高，然后求出手，利用錐體體積求解即可；

方法二：先利用線面平行的性質(zhì)定理得8c〃平面AMN,然后利用等體積法，轉(zhuǎn)化為求解匕jsc即可.

【詳解】（1）方法一：坐標(biāo)法（利用共面向量基本定理）

在平面人BCD內(nèi)作4s以A為原點(diǎn)，AB,AS,AP所在直線分別為“軸，y軸，z軸，建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)％=〃，BC=CD=2,44=4,BC1CD,

..8(4,0,0),C(4,2,0),尸(0,0,2”)，。(2,2,0),而=(2,2,-2公，

又YM,N分別為PB,PC的中點(diǎn),

.?.而=(2,0,0),麗=(2,l,a),

\-AH=A?+2PD=(0A2d)+2(2,2,-2^)=(2A,22,2(l-2)a)f

vAH?麗，福共面，，存在實數(shù)叫）'，使得南=xRV+y版，

即(24,22,2(1-即a)=x(2,0,a)+y(2,1,a)=(2x+2y,y,ax+ay),

2/1=2x4-2y

2

24=y,解得4=(；

2(\-A)a=ax+ay

方法二：坐標(biāo)法（利用法向量）

在平面ABC。內(nèi)作4S_LA6,以A為原點(diǎn)，AB,AS,”所在直線分別為不軸，y軸，z軸，建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)E4=2n,vAB//DC,BC=CD=2,AB=4,BCA.CD,

.?.3(4,0,0),C(4,2,0),P(0,0,2a),D(2,2,0),而=(2,2,-2a),

\'AH=AP+APl5=(0A2a)+2(22,-2〃)=(2/1,22,2(1-，

又yM,N分別為PB,PC的中點(diǎn),

/.AM=(2,0,?)>AN=(2,1,a)>

設(shè)平面4MN的法向量為萬=(x,y,z),

n-AM=2x+az=0

J_,y=°,令z=2得x=-〃，

n?AN=2x+y+az=0

/.力=(-“,(),2),

乂，,汨7，AM?AN共面,

___2

n-AH=-2aA+4(1-A)a=0，解得％=3：

方法三：幾何法：延長N"交CQ于S,連接胡,

N分別為PB,PC的中點(diǎn)，??.MV〃6C,

MNNT-面ABCD,BCu平面ABCD.

二.MTV〃平面4AC。，

又Ab=平面AMNH0平面AUCL),

:.MN〃SA、，BC〃SA,XvAB//CD,

???四邊形ABCS是平行四邊形，

:.AB=CS,;.CD=DS,

過N作NT〃CD交PD于T,PT=TD，

HTNTNT1.PH2

又?---=---=---——，??A=------=一；

HDDSCD2PD3

(2)方法■:由(1)得無=(一〃,0,2),

又?.?覺=(2,0,0),罰=(-2,-2,2。)，

設(shè)平面COP的法向量為周=(x,乂z),

fh-DC=2x=0

,解得x=0,令z=l得產(chǎn)。,

m-DP=-2x-2y+2az=0

:.ni=(0,a,1),

設(shè)平?面AMN和平面CDP所成的角為。，

...8S*3=二叵,

\n\\m\y]a2+4\la2+]5

整理得/+/-6=0,

d>0,."=1,即P4=2；

方法一：利用向量法求三棱錐C-的高,

???平而AMN的法向量為斤二(-1,0,2),AC=(4,2,0),

設(shè)點(diǎn)C到平面AMN的距離為d,=區(qū)型=延

1?15

丁PA_L平面ABC。，又3Cu平面ABC。，:.PA±BC,

又,：BC1CD,K4cE4=A,BA.PAu平面"?，

.??8。_1平面/$2，

又,.?M，N分別為/歸，PC的中點(diǎn)，

:.MN〃BC、MN=-BC=\,

2

，附，平面ABP,乂?.，AMu平面APB,???的V_L/W,

又,,RI_LAB,AB=4,PA=2AM=BM=—BP=y/5,

2

則Swz=gAM-MN=￥，

斫Ldi/1c,14x/5752

）斤以VC-AMN~TSAAMN°-Q?-7-----Z--T;

方法二：幾何法：???”，N分別為相，PC的中點(diǎn)，「.8C〃腦V,

???MNu平面AMN,3CU平面AMV,??.4C〃平面AMN,

???SMBc=gx2x4=4,E4_L平面48C，PA=2,

「11，r2

?'?VC-AAW=-X-X4X2=-.

例2、（2025?山西?二模）VABC中，AB^AC,AB±AC,BC=4,。是8C的中點(diǎn)，E是八B的中點(diǎn)，F(xiàn)

是BO的中點(diǎn).如圖，將△8￡尸和小?！辏痉謩e沿EF、AD向平面AZ）/芯的同側(cè)翻折至4ADN的位置,

且使得DN//MF.

⑵若MN=（,求三棱錐A-O0V的體積；

⑶求平面DEM與平面AEMN的夾角的余弦值的最大值.

【答案】（1）證明見解析

⑶5

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計算、空間中的點(diǎn)（線）共面問題、面面角的向量求法

【分析】（1）取的中點(diǎn)G,A。的中點(diǎn)77,連接MG、GH、HE,證明出四邊形QGA/、DFEH.MGHE

為平行四邊形，可得由ME//G”，由此得出ME〃AN,即可證得結(jié)論成立；

（2）過點(diǎn)N在平面MNDF內(nèi)作NP_L￡>/，垂足為點(diǎn)〃，證明出尸N人平面ADE，可知NP為三棱錐N-ADE

的高，求出NP、S&ADE，利用錐體的體積公式可求得三棱錐4-OEN的體積；

（3）在平面DFMN中，過點(diǎn)尸作Q尸尸，交MN點(diǎn)、Q,以點(diǎn)b為坐標(biāo)原點(diǎn)，M方、/Q的方向

分別為x、丁、z軸的正方向建立.空間直角坐標(biāo)系，設(shè)NM）b=8（0<。<兀），利用空間向量法結(jié)合基本不等

式可求得平面DEM與平面AEMN的夾角的余弦值的最大值.

【詳解】（1）取ON的中點(diǎn)G,A。的中點(diǎn)H,連接MG、GH、HE,

因為G、H分別為DN、的中點(diǎn)，所以GH〃AN,GH=；AN,

翻折前，VA8c中，AB=AC,AB1AC,BC=4,

。是BC的中點(diǎn)，E是A8的中點(diǎn).尸是的中點(diǎn)，

則3￡>=C￡>,BF=、BD=>CD,EF//AD,EF=-AD,ADIBC,

222

翻折后，則有=EF//AD,EF=-AD

22t

因為MF〃DN,G為的中點(diǎn)，所以MF〃DG,MF=DC,

所以，I四邊形QGA"為平行四邊形，所以MG//DF,MG=DF,

因為“為人。的中點(diǎn)，所以EF//DH,EF=DH,故四邊形。尸田為平行四邊形,

所以EH//DF,EH=DF,故MGHEH，MG=EH,

所以四邊形以夕7￡為平行四邊形，所以ME//GH,所以ME//AN,

所以A、E、M.N共面.

（2）過點(diǎn)N在平面MN。/內(nèi)作刖"L。/"垂足為點(diǎn)

翻折前，因為AO工8C,翻折后，則行">"LOb，AD工DN,

因為力N、。/u平面O/W,DNC\DF=D,所以AD_L平面。FN,

因為M>u平面DEV,所以A力J.NP,

因為PNJ.OF,ADcDF=D,AD.DFu平面AOE,所以小^平面人?！?

即NP是三棱錐N-4OE的高.

6

由（1）的圖,

5

由余弦定理得

所以NP=DN-sin/NOP=2xJ=—，

2525

在VA8C中，AB=AC,A8J.AC,BC=4.力是8C的中點(diǎn)，

則AO=，8C=2,DF=-BD=-BC=\,

224

所以,S^DE=^ADDF=^X2X]=\

所以三棱錐A-QEN的體積為3=；xNPS5=；x￡xi嘿.

(3)在平面。尸MN中，過點(diǎn)尸作。尸，?！?，交MN于點(diǎn)Q,

因為ADJ_平面O/W.QF±DFt

以點(diǎn)尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，戶方、力,、尸0的方向分別為x、.V、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則。(1,0,0)、E(O,l,O),A(1,2,0),

設(shè)/NDF=<9(0<6<兀)，則M(-cos仇0,sin6),

所以歷=(1,一1,0),誨=(1/,0),麗=(—cos〃,一l,sin0),

設(shè)平面。目0的一個法向量歷=(xy,z),

rii-ED=x-y=0

則

m-EM=-xcos。一.y+zsin9=0

、0

?"2cos"__1+1?

令H=1,則y=l,z=l±￡2^=_2=?所以沅=1J―g

sm?2s"cosgtan^

tan—

2222)

n-EA=a+b=0

設(shè)平面4EMN的一個法問信后=(“,〃,c),則?

n-EM=-acos0-b+cs\x\0=Q

n

2

.l-2sin--l0,所以五=j,7,Tang}

令4=1,則8=-1,c=，s；=------2.=-tan-

sme2W2

22

設(shè)平面DEM與平面AEMN的夾角為a,

|麗?司

cosa=-f-\=

網(wǎng)T同T

則

因為0＜。＜兀，所以0〈g〈三，Mtan-＞0,

222

當(dāng)且僅當(dāng)tang=l,即g=f時，即夕=1時，等號成立.

2242

所以平面。臼0與平面AEMN的夾角的余弦值的最大值為g.

【變式訓(xùn)練1】、(2025?廣東揭陽?二模)如圖，VABC,ADBC,△￡：8c都是等邊三角形，點(diǎn)。，￡分別

在平面A8C的上方和下方，點(diǎn)。為3c中點(diǎn).

一

（1）求證：A,D,O,^四點(diǎn)共面；

⑵若AD=AB=2g,求直線OE與平面人C。所成角的正弦值的最大值.

【答案】（1）證明見解析

喈

【難度】0.4

【知識點(diǎn)】空間中的點(diǎn)（線）共面問撅、線面角的向最求法

【分析】（1）由已知，證得8c_L平面AOE,8CJ_平面AO￡>,可得4,D,0,￡四點(diǎn)共面；

（2）以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。4,05分別為x、y軸，以過點(diǎn)O且垂直于平面43c的直線空間直角坐標(biāo)系,

利用線面角的向量表示sina,然后結(jié)合輔助角公式和三角函數(shù)的有界性求出最值即可

【詳解】（1）連接。0、AO、E0,

因為VA4C,ADBC,△E8C都是等邊三角形，

所以4OJ.AC,EOJ.BC,DOA.BC,

又AO,EO在平面AOE內(nèi)交于點(diǎn)0,AO,。。在平面AOD內(nèi)交于點(diǎn)O,

所以BC_L平面人犯，8C_L平面A。。，

因為過。只有?個平面與BC垂直，且平面AQE與平面人。。有公共點(diǎn)0,

所以平面AOE與平面A8是同一平面，

即A,D,0,E四點(diǎn)共面；

（2）連接。0、AO.EO,AD,

以CM,OB分別為x、y軸，

以過點(diǎn)O目垂直于平面ABC的直線空間直角坐標(biāo)系,

則A（3,0,0）,C（0,-x/3,0）,^（0,73,0）,

因為△O8C是等邊三角形，邊長8C=AB=QC=2G，點(diǎn)。為BC中點(diǎn),

所以3O=CO=J5，所以zxZDCZ—CO2=J12-3=3

乂2G

設(shè)D(x,)，,z),

AD=y](x-3)2+y2+z2=2a

BD=「+b―可+/=2G

x=\

所以CQ=卜+卜+可+z?=2x/3解得<y=0

z=2\/2

DO=y]x2+y2+z2=3

所以。(1,0,20),

因為△必C是等邊三角形，邊長BC=BE=26，息0為BC中點(diǎn),

所以BO=CO=石，又EO=\IEC)-C。=:12-3=3,

設(shè)E(5,y,zJ,

BE=5+U一可+z：=2>/3

-CE=jx：+(y.+\/3)+z；=2\/3),

所以v3D1、,解得x：+z；=9,

EO=Jx：+),；+z：=3

由（1）得NAOE為二面角A-/C-E平面角,

設(shè)ZAOE=8,則點(diǎn)E（3cos0,0,-3sin0）,

故/=（3cose,0—3sine）,/=b3,—6,0）,AD=（—2,0,2加）,

設(shè)平面46的法向量為:=（x,,yrz2）,

夜

n-AC=O-3x2-V3y2=0=Z=——X,

則__=>2■

nAD=02X2+2>/2Z2=0

y=->/3x2

取與=近,得y2=-V6,z2=1,

所以萬=（友,一后,1）,

設(shè)直線OE與平面人C。所成角為a,

piiJsina=|cos（DE,n）|=|g^|

卜及cos"sin,|3>/5cos（e+G）|x/5|cos（夕+°）|

993

其中COSQ=坐,sine：4,

當(dāng)|cos（，+0）|=l時，sina取得最大值為乎，

所以直線OE與平面AC。所成角的正弦值的最大值且

3

【變式訓(xùn)練2】、（2025?廣東惠州?模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體A4CO-A4G。中，M.E分

別是G。、AA的中點(diǎn)，尸是MC的中點(diǎn).

⑴判斷A、C、M、A四點(diǎn)是否共面（結(jié)論不要求證明）；

（2）證明：即〃平面A8CO：

⑶求異面直線八聲與EF所成角的余弦值.

【答案】（1）A、C、M、A四點(diǎn)不共面

⑵證明見解析

喏

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及辨析、證明線面平行、異面直線夾角的向量求法

【分析】（1）直接根據(jù)平面的基本事實判斷；

（2）方法一：如圖，以。為原點(diǎn)，D4，DC.分別為x,），，z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，求出

而與平面ABC。法向量垂直即可；

方法二：如圖，取C。中點(diǎn)N,再取CN中點(diǎn)G,連接MN、陽和AG,通過證明）7/AG,可得證：

方法三：如圖，取DR中點(diǎn)N,連接EN、FN,通過證明平面EFN〃平面A8CO,可得證；

（3）直接利用空間向量夾角公式求解.

【詳解】（1）A、C、A三個不共線的點(diǎn)確定平面ACCM，顯然M任平面ACCM，

（2）方法一：如圖，以。為原點(diǎn)，DA,DC,。。分別為x,〉，，z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

-2T°

又平面A8C。的法向量為n=（0,0.1）

所以麗?M=0，故喬_1_鼠

又即《平面ABC。，故EF〃平面ABCO.

方法二：

如圖，取CO中點(diǎn)N,再取CN中點(diǎn)G,連接MN、尸G和AG.

由F為CM中點(diǎn)，則FG//MN,H./G=；MN.

在正方體A88-A8C2中，E為AA中點(diǎn)，

故AEIIDDJIMN,且AE=goA=gMN,

所以AG//AE且尸G=AE,

則四邊形AEFG為平行四邊形，故EF//AG,

又平面48C。，AGu平面A8C。，故EB7平面A8CD.

方法三：如圖，取中點(diǎn)N,連接屈V、FN.

在梯形"MCO中，尸為CM中點(diǎn)，則FN//CD.

因為FNQ平面A3c。，CDu平面A4CO,所以硒〃平面/WCD.

在正方體A8CO-AgGR中，石為AA中點(diǎn)，則EM/4),

因為ENq!:平面A4CQ,AOu平面A4CQ,

所以EW〃平面A8co.

因為ENcFN=N,EN,FNu平面EFN,所以平面￡7W〃平面/WC"

又E/u平面EFN,故所〃平面A8CD

又A(2,0,2),8(2,2,0),故人啟=(0,2,-2),

（XB爐）--京.3_3.

所以代到-阿司-％一。

故異面直線A8與EF所成角的余弦值為哈.

考點(diǎn)2截面問題

例3、（2025?海南?模擬預(yù)測）已知正四面體棱長為4,所有與它四個頂點(diǎn)距離相等的平面截這個四面體所

得的截面之和為（）

A.4B.A&C.12+46D.16+4有

【答案】C

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】由平面的基本性質(zhì)作截面圖形

【分析】分兩類，由過同一頂點(diǎn)的三條側(cè)棱的中點(diǎn)確定的截面，與一組對棱平行且過棱的中點(diǎn)的截面.

【洋解】如圖1，E,F,G分別為正四面體棱的中點(diǎn)，此時它的四個頂點(diǎn)到截面EFG的距禽相等，

△EFG是邊長為2的等邊三角形，S/=6這樣的截面有4個；

如圖2,E,F,M,N分別為正四面體棱的中點(diǎn)，

此時它的四個頂點(diǎn)到截面EFMN的距離相等，

四邊形EPMN是邊長為2的正方形，5由=4,這樣的截面有3個，

所以滿足條件的截面的面積之和為：12+4石.

故選：C.

AA

圖1圖2

例4、（24-25高三下?甘肅白銀?階段練習(xí)）已知正方體ABCO-AB'C。的棱長為2,平面。截正方體所得

的圖形為六邊形，設(shè)該六邊形的周長為。，且AC_La,則（）

A.c=3及B.c=6yflC.<?G[372,6]D.ce6,6a]

【答案】B

【難度】0.65

【知以點(diǎn)】判斷止方體的截面形狀、由平面的基本性質(zhì)作截面圖形、證明線面垂直

【分析】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定可得AC'J_平面C8'。，進(jìn)而可得平面a〃平面CB7X,

即可求解.

【詳解】連接C0,C*,力”，

由干CCJ"平面ABC。，3￡>u平面A/3C。，故CCLBD,

又BZ）JLAC,CC^AC=C,CC,ACu平面ACC,故4。1平面ACC,

又AC'u平面ACC,故AC'IB。，877/8。則區(qū)為人AC?,

同理可得ACJ_S,

3c"=D\CD\3'。u平面CFD,故AC'_L平面CB"

由干4C'_L平面。，故平面a〃平面C&D,

平面a與平面DCCiy的交線為SM,平面CB'￡>'與平面DCCD的交線為“C,

故D'C/5Ml.同理可得D'B'"MMi.CB'"NRD'C//RQ「D'B'//RQ-CB'//R5.

故丫面。如圖陰影部分，=0OM+0MC=&DC=2血，

同理可得N/+RQ=QR+峪=2夜，故六邊形周氏為定值6a，所以B正確.

故選：B

【變式訓(xùn)練3】、(2025?安徽合肥?三模)在長方體ABC。-ABC。中，BD=2AB=2.若

NA84+NACA+ZAD4=］,點(diǎn)M在長方體內(nèi)且福=百祝，則平面ADM截長方體ABC。-AfCA的

截面面積為.

［答案］：+>

2

【難度】0.4

【知識點(diǎn)】用和、差角的正切公式化簡、求值、判斷正方體的截面形狀、由平面的基本性質(zhì)作截面圖形、

空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

［分析］設(shè)AA=X，C￡=y，由NABA+ZA,CA+ZA,DA=-可得tan(NA84+NA%)=tanjg-NADA］,用x

表示正切值，利用和角的正切公式求得產(chǎn)=6-1，再由福=石就求得丁二牛1,利用M〃CG構(gòu)造

平面。，連接AM并延長交CG于點(diǎn)￡,連接OE,過點(diǎn)、E作EF//BC,交8月于點(diǎn)尸，即可得矩形。曰％為

平面ADM截長方體ABCD-^C^得到的截面，求其面積即可.

【詳解】已知2AB=2,則4￡>=，g-4?2=3

設(shè)AA)=x,CE=y,tanNA,BA=x,tanZ/\C4=：,tan/.A^DA=力，

因為NAR4+幺C4+NA0A=］,

：.ZA.BA+ZA,CA=^-ZA.DAf

：.tan(Z.\BA+Z/\CA)=tanDA,

tanZA,BA+tanZAtCA_1

1—tanNABA-tan/人CAtanN,'DA'

人十不J3q2

所以一f=—，化簡得士/=.（］_土），得/=6_1,

［上x22

2

即猛=6-1.

VCM12J3-1

又二=B=K貝不=xL=YL」

.vMA,\/3