2025年高二物理下學(xué)期帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)專題一、帶電粒子在電場(chǎng)中的加速帶電粒子在電場(chǎng)中的加速是電場(chǎng)能的性質(zhì)的重要應(yīng)用，其核心在于將電場(chǎng)力做的功轉(zhuǎn)化為粒子的動(dòng)能。對(duì)于質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，當(dāng)它在電場(chǎng)中從電勢(shì)差為U的兩點(diǎn)間運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力做功W=qU。根據(jù)動(dòng)能定理，若粒子初速度為v?，末速度為v，則有qU=?mv2-?mv?2。當(dāng)粒子從靜止開始加速（v?=0）時(shí)，可簡(jiǎn)化為qU=?mv2，解得v=√(2qU/m)。這一公式適用于任何電場(chǎng)，包括勻強(qiáng)電場(chǎng)和非勻強(qiáng)電場(chǎng)，體現(xiàn)了能量觀點(diǎn)在解決電場(chǎng)問題中的普適性。在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，還可以結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分析粒子的加速過程。設(shè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的距離為d，則電場(chǎng)力F=qE，加速度a=F/m=qE/m。由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式v2-v?2=2ad，代入a可得v2-v?2=2(qE/m)d。由于在勻強(qiáng)電場(chǎng)中U=Ed，因此該式可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為v2-v?2=2(qU/m)，與動(dòng)能定理得出的結(jié)論一致，驗(yàn)證了力學(xué)規(guī)律與能量觀點(diǎn)的統(tǒng)一性。在實(shí)際問題中，需要注意區(qū)分帶電粒子的類型。對(duì)于電子、質(zhì)子、α粒子等基本粒子，由于其質(zhì)量極小，重力通?？梢院雎圆挥?jì)；而對(duì)于帶電小球、油滴等宏觀物體，重力一般不能忽略，需結(jié)合重力和電場(chǎng)力共同分析其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。例如，在豎直方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，帶正電小球的加速度a=(qE-mg)/m或a=(mg+qE)/m，具體取決于電場(chǎng)力與重力的方向關(guān)系。二、帶電粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)是電場(chǎng)力的性質(zhì)與曲線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的綜合應(yīng)用，其運(yùn)動(dòng)模型可類比為平拋運(yùn)動(dòng)。當(dāng)粒子以初速度v?垂直于電場(chǎng)方向射入勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，在垂直于電場(chǎng)的方向上，粒子不受電場(chǎng)力作用，做勻速直線運(yùn)動(dòng)；在平行于電場(chǎng)的方向上，粒子受恒定電場(chǎng)力作用，做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。（一）基本規(guī)律推導(dǎo)設(shè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的極板長(zhǎng)度為l，極板間距為d，極板間電壓為U，粒子質(zhì)量為m、電荷量為q。粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t由水平方向的勻速運(yùn)動(dòng)決定，即t=l/v?。豎直方向的加速度a=qE/m=qU/(md)，其中E=U/d為勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度。偏移距離y：根據(jù)勻加速直線運(yùn)動(dòng)位移公式，豎直方向的偏移距離y=?at2，代入t和a可得：y=?×[qU/(md)]×(l/v?)2=qUl2/(2mdv?2)偏轉(zhuǎn)角度θ：粒子離開電場(chǎng)時(shí)，豎直方向的分速度v?=at=qUl/(mdv?)，則速度偏轉(zhuǎn)角θ的正切值為：tanθ=v?/v?=qUl/(mdv?2)（二）重要推論速度反向延長(zhǎng)線過中點(diǎn)：粒子離開電場(chǎng)時(shí)，其速度方向的反向延長(zhǎng)線與初速度方向的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)為粒子水平位移的中點(diǎn)。證明如下：設(shè)粒子在電場(chǎng)中的水平位移為l，則該交點(diǎn)到入射點(diǎn)的水平距離x滿足tanθ=y/x，代入y=qUl2/(2mdv?2)和tanθ=qUl/(mdv?2)，解得x=l/2，即交點(diǎn)為水平位移的中點(diǎn)。這一推論在解決粒子打在屏上的位置問題時(shí)具有重要應(yīng)用。位移偏角與速度偏角的關(guān)系：粒子的位移偏角α（位移方向與初速度方向的夾角）的正切值tanα=y/l=qUl/(2mdv?2)，對(duì)比tanθ=qUl/(mdv?2)，可得tanθ=2tanα。這一關(guān)系揭示了粒子運(yùn)動(dòng)過程中位移與速度變化的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了曲線運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性。（三）偏轉(zhuǎn)問題的拓展當(dāng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)與其他場(chǎng)或約束條件結(jié)合時(shí)，需要綜合運(yùn)用多種物理規(guī)律。例如，在速度選擇器中，帶電粒子同時(shí)受到電場(chǎng)力和洛倫茲力，當(dāng)qE=qvB時(shí)，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)v=E/B；在帶電粒子先加速后偏轉(zhuǎn)的問題中，可先通過加速電場(chǎng)的電勢(shì)差U?求出粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的初速度v?=√(2qU?/m)，再代入偏轉(zhuǎn)公式求解偏移距離和偏轉(zhuǎn)角，此時(shí)y和tanθ的表達(dá)式可簡(jiǎn)化為僅與U?、偏轉(zhuǎn)電壓U?、極板參數(shù)相關(guān)的形式，便于分析各物理量對(duì)偏轉(zhuǎn)效果的影響。三、示波管的原理示波管是帶電粒子在電場(chǎng)中加速和偏轉(zhuǎn)規(guī)律的典型應(yīng)用，其核心結(jié)構(gòu)包括電子槍、偏轉(zhuǎn)電極和熒光屏三部分。電子槍由燈絲、陰極、柵極和加速電極組成，燈絲加熱陰極發(fā)射熱電子，柵極控制電子束的強(qiáng)度，加速電極通過施加高壓使電子獲得高速。（一）電子槍的加速過程電子在加速電場(chǎng)中從陰極飛向陽極，設(shè)加速電壓為U?，電子電荷量為e、質(zhì)量為m?，則電子離開加速電場(chǎng)時(shí)的速度v?=√(2eU?/m?)。這一速度決定了電子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的初速度，是后續(xù)偏轉(zhuǎn)分析的基礎(chǔ)。（二）偏轉(zhuǎn)電極的作用示波管內(nèi)設(shè)有兩對(duì)相互垂直的偏轉(zhuǎn)電極：X偏轉(zhuǎn)電極（水平方向）和Y偏轉(zhuǎn)電極（豎直方向）。當(dāng)在Y偏轉(zhuǎn)電極上加信號(hào)電壓，X偏轉(zhuǎn)電極上加鋸齒形掃描電壓時(shí)，電子束在兩個(gè)方向的電場(chǎng)力作用下同時(shí)發(fā)生偏轉(zhuǎn)。Y方向偏轉(zhuǎn)：設(shè)Y偏轉(zhuǎn)電極的極板長(zhǎng)度為l?，間距為d?，信號(hào)電壓為U?，則電子在Y方向的偏移距離y=eU?l?2/(2m?d?v?2)。由于v?由加速電壓U?決定，上式可改寫為y=kU?（其中k為常數(shù)），表明Y方向的偏移量與信號(hào)電壓成正比，實(shí)現(xiàn)了電壓信號(hào)到位移信號(hào)的轉(zhuǎn)換。X方向掃描：X偏轉(zhuǎn)電極接入鋸齒形電壓，其電壓隨時(shí)間均勻增大，使電子在X方向的偏移量隨時(shí)間線性變化。當(dāng)掃描電壓的周期與信號(hào)電壓的周期相同時(shí)，電子束在熒光屏上形成穩(wěn)定的信號(hào)波形，即信號(hào)電壓的圖像。（三）示波管的應(yīng)用拓展示波管不僅可以顯示電信號(hào)的波形，還可以通過測(cè)量波形的幅度、周期等參數(shù)分析信號(hào)的特征。例如，通過比較已知電壓波形和未知電壓波形的高度，可測(cè)量未知電壓的峰值；通過觀察波形的周期數(shù)和掃描電壓的頻率，可計(jì)算信號(hào)的頻率。在現(xiàn)代電子技術(shù)中，數(shù)字示波器雖然采用了不同的信號(hào)處理方式，但其基本原理仍基于帶電粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)規(guī)律，體現(xiàn)了經(jīng)典物理理論在現(xiàn)代科技中的深遠(yuǎn)影響。四、綜合應(yīng)用實(shí)例分析（一）帶電粒子在組合電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)例1：如圖所示，真空中有兩個(gè)相距為d的平行金屬板A、B，板間電壓為U?，形成加速電場(chǎng)。在B板右側(cè)有一偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，由長(zhǎng)度為l、間距為d的平行金屬板C、D組成，板間電壓為U?。一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子從A板由靜止釋放，經(jīng)加速電場(chǎng)加速后進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，不計(jì)重力。求：（1）粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的速度v?；（2）粒子離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的偏移距離y；（3）粒子離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的速度偏轉(zhuǎn)角θ。解析：（1）在加速電場(chǎng)中，由動(dòng)能定理qU?=?mv?2，解得v?=√(2qU?/m)。（2）粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=l/v?=l√(m/(2qU?))，加速度a=qU?/(md)，偏移距離y=?at2=?×[qU?/(md)]×[l2m/(2qU?)]=U?l2/(4U?d)。（3）豎直分速度v?=at=qU?l/(mdv?)=qU?l/(md√(2qU?/m))=U?l√(q/(2mU?))/d，tanθ=v?/v?=U?l/(2U?d)。（二）帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)例2：在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，有一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小球，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的絕緣細(xì)線懸掛于O點(diǎn)。小球靜止時(shí)，細(xì)線與豎直方向的夾角為θ，重力加速度為g。求：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E；（2）若將小球拉至細(xì)線水平位置由靜止釋放，小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度大小v。解析：（1）小球靜止時(shí)，受到重力mg、電場(chǎng)力qE和細(xì)線拉力T的作用，三力平衡。由平衡條件得qE=mgtanθ，解得E=mgtanθ/q。（2）小球從水平位置運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中，重力做功mgL，電場(chǎng)力做功qEL（因電場(chǎng)力方向與位移方向夾角為θ=90°，實(shí)際電場(chǎng)力做功需根據(jù)電場(chǎng)方向調(diào)整，此處假設(shè)電場(chǎng)方向豎直向下，小球帶正電，電場(chǎng)力方向向下，位移方向豎直向下，電場(chǎng)力做功qEL）。根據(jù)動(dòng)能定理mgL+qEL=?mv2，代入E=mgtanθ/q，解得v=√[2gL(1+tanθ)]。（三）示波管的波形顯示問題例3：示波管的Y偏轉(zhuǎn)電極接入頻率為50Hz的正弦交流電壓U?=U?sin(100πt)，X偏轉(zhuǎn)電極接入周期為0.02s的鋸齒形掃描電壓。已知電子的質(zhì)量m?=9.1×10?31kg，電荷量e=1.6×10?1?C，加速電壓U?=2000V，Y偏轉(zhuǎn)電極極板長(zhǎng)l?=2cm，間距d?=0.5cm。求電子在熒光屏上Y方向的最大偏移量y?。解析：電子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的速度v?=√(2eU?/m?)=√[2×1.6×10?1?×2000/(9.1×10?31)]≈2.65×10?m/s。在Y偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=l?/v?=0.02/(2.65×10?)≈7.55×10?1?s。Y方向的最大加速度a?=eU?/(m?d?)，最大偏移量y?=?a?t2=?×[eU?/(m?d?)]×t2。由于U?的最大值為U?，代入數(shù)據(jù)可得y?與U?成正比，當(dāng)U?取最大值時(shí)，y?達(dá)到最大，具體數(shù)值需根據(jù)U?的給定值計(jì)算。五、解題方法與技巧總結(jié)模型識(shí)別：首先判斷帶電粒子的類型（基本粒子或宏觀物體），確定是否考慮重力；其次分析電場(chǎng)類型（勻強(qiáng)電場(chǎng)或非勻強(qiáng)電場(chǎng)），選擇合適的解題方法（能量觀點(diǎn)或牛頓運(yùn)動(dòng)定律）。運(yùn)動(dòng)分解：對(duì)于偏轉(zhuǎn)問題，將復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)方向的直線運(yùn)動(dòng)（通常為垂直電場(chǎng)方向的勻速運(yùn)動(dòng)和平行電場(chǎng)方向的勻加速運(yùn)動(dòng)），利用運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性和等時(shí)性列方程求解。公式選擇：加速問題優(yōu)先使用動(dòng)能定理（適用于任何電場(chǎng)），勻強(qiáng)電場(chǎng)中也可使用牛頓定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式；偏轉(zhuǎn)問題需牢記偏移距離y和偏轉(zhuǎn)角θ的推導(dǎo)公式，并注意結(jié)合加速電壓與偏轉(zhuǎn)電壓的關(guān)系進(jìn)行綜合分析。實(shí)際應(yīng)用