2025年統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫：抽樣調(diào)查方法與抽樣分布性質(zhì)實例試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.當(dāng)總體分布未知或不服從正態(tài)分布時，若要利用樣本均值推斷總體均值，要求樣本量足夠大，這是基于以下哪個原理？A.貝葉斯定理B.中心極限定理C.大數(shù)定律D.置信區(qū)間公式2.在抽樣調(diào)查中，為了使樣本能更準(zhǔn)確地反映總體某些特征，將總體單位按其主要標(biāo)志進行分組，然后從每個組中隨機抽取樣本，這種抽樣方法稱為？A.簡單隨機抽樣B.系統(tǒng)抽樣C.分層抽樣D.整群抽樣3.采用整群抽樣時，將總體分成若干群，抽樣單位是？A.總體中的所有個體B.抽取的群C.群內(nèi)的所有個體D.隨機抽取的個體4.抽樣調(diào)查中，由于抽樣引起的樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間的差異稱為？A.系統(tǒng)誤差B.隨機誤差C.測量誤差D.登記誤差5.在其他條件不變的情況下，提高抽樣置信水平，置信區(qū)間的寬度將？A.變窄B.變寬C.不變D.可能變窄或變寬6.對于無限總體，重復(fù)抽樣條件下，樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤σ?的計算公式為？A.σ/√nB.σ2/nC.σ/√(N-n)D.√(σ2/n)7.在確定樣本量時，若要求估計的置信區(qū)間寬度變窄（即精度提高），在其他條件不變的情況下，應(yīng)？A.增大總體方差估計值B.減小總體方差估計值C.增大所需置信水平D.減小所需置信水平8.從一個有限總體（N=2000）中進行不重復(fù)簡單隨機抽樣，要使抽樣誤差（以抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤衡量）減少一半，樣本量需要擴大到原來的？A.2倍B.3倍C.√2倍D.22=4倍9.在抽樣實踐中，若條件允許，通常優(yōu)先考慮使用分層抽樣方法，其主要優(yōu)點是？A.抽樣實施簡單B.可以獲得無偏估計C.能在保證精度前提下降低抽樣成本或提高效率D.適用于任何類型的總體10.對于一個給定的總體，其均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ是？A.樣本統(tǒng)計量B.總體參數(shù)C.抽樣分布參數(shù)D.隨機變量二、判斷題1.簡單隨機抽樣是指從總體中直接抽取樣本，每個個體被抽中的概率相等。（）2.系統(tǒng)抽樣是將總體單位按一定順序排列，然后按固定的間隔抽取樣本單位，因此它不是隨機抽樣。（）3.抽樣誤差是可以通過改進測量工具或提高調(diào)查員水平來完全消除的。（）4.整群抽樣的抽樣誤差通常大于簡單隨機抽樣，因為群內(nèi)單位可能相似性較高。（）5.當(dāng)樣本量足夠大時（n≥30），樣本均值的抽樣分布近似服從正態(tài)分布，即使總體分布不是正態(tài)分布。（）6.置信區(qū)間越寬，意味著我們對總體參數(shù)的估計越精確。（）7.不重復(fù)抽樣的抽樣誤差一定小于重復(fù)抽樣的抽樣誤差。（）8.分層抽樣的目的是為了減小抽樣誤差，它要求各層內(nèi)方差盡可能小，層間方差盡可能大。（）9.樣本比例p的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤的計算與總體比例P的大小有關(guān)，當(dāng)P=0.5時，標(biāo)準(zhǔn)誤達(dá)到最大。（）10.必要樣本量的確定只與要求的精度和置信水平有關(guān)，與總體規(guī)模無關(guān)。（）三、簡答題1.簡述分層抽樣與整群抽樣的主要區(qū)別。2.解釋中心極限定理的主要內(nèi)容及其在抽樣推斷中的重要性。3.簡述影響抽樣誤差的主要因素。四、計算題1.某大學(xué)想知道學(xué)生平均每月用于購買零食的費用。從全校20,000名學(xué)生中采用不重復(fù)簡單隨機抽樣抽取了200名學(xué)生進行調(diào)查，得到樣本均值樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為300元和50元。假設(shè)總體服從正態(tài)分布。(1)求樣本均值（每月零食費用）的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤；(2)若置信水平為95%，求總體學(xué)生平均每月零食費用的置信區(qū)間。2.某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，總體量為1000件。為估計該批產(chǎn)品的次品率，隨機抽取了100件進行檢驗，發(fā)現(xiàn)其中有5件次品。(1)求樣本次品率的標(biāo)準(zhǔn)誤；(2)若置信水平為99%，求該批產(chǎn)品次品率的置信區(qū)間。五、案例分析題某市宣傳部想了解該市居民對本地文化活動的滿意度。市域總?cè)丝诩s500萬，居民居住大致分為城中區(qū)、郊區(qū)、工業(yè)區(qū)三個區(qū)域，城中區(qū)人口最多約300萬，郊區(qū)次之約150萬，工業(yè)區(qū)約50萬?？紤]到不同區(qū)域居民的背景和興趣可能存在差異，宣傳部決定采用抽樣調(diào)查來獲取信息。假設(shè)需要抽取一個樣本量為400人的樣本，用于估計全市居民的總體滿意度（滿意度評分1-10分），并要求在95%的置信水平下，估計的總體滿意度均值誤差不超過0.5分。請結(jié)合上述背景信息，回答以下問題：(1)簡要說明選擇哪種抽樣方法可能更合適，并說明理由。（5分）(2)如果選擇分層抽樣，請說明如何進行分層？（4分）(3)在確定樣本在各層中的分配比例時，應(yīng)考慮哪些因素？這種分配方式可能存在哪些優(yōu)缺點？（5分）(4)如果最終決定采用簡單隨機抽樣方法（重復(fù)抽樣）來完成這次調(diào)查，理論上需要抽取多大的樣本量才能滿足上述要求的精度？（5分）試卷答案一、選擇題1.B2.C3.B4.B5.B6.A7.D8.D9.C10.B二、判斷題1.√2.×3.×4.√5.√6.×7.×8.×9.√10.×三、簡答題1.解析思路：對比分層抽樣和整群抽樣的基本操作和目的。分層抽樣是先分組再隨機抽樣，目的是利用組內(nèi)同質(zhì)性、組間異質(zhì)性提高精度或滿足特定要求；整群抽樣是先分組再整群抽取，目的是方便組織實施。關(guān)鍵在于抽樣單位是單個個體還是整個群。答案：分層抽樣是將總體按一定標(biāo)志劃分為若干層，然后從每層中隨機抽取樣本，最后將各層樣本合并構(gòu)成總樣本。整群抽樣是將總體劃分為若干群，然后隨機抽取若干群，最后對抽中的群內(nèi)所有單位或隨機抽取群內(nèi)部分單位進行調(diào)查。主要區(qū)別在于抽樣單位：分層抽樣直接抽取個體，整群抽樣先抽取群，再抽取群內(nèi)單位。2.解析思路：回答中心極限定理的核心內(nèi)容：無論總體分布如何，樣本均值的抽樣分布趨于正態(tài)分布，且其均值等于總體均值，標(biāo)準(zhǔn)誤等于總體標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本量平方根。強調(diào)其重要性在于為抽樣推斷提供了理論基礎(chǔ)，特別是當(dāng)總體分布未知或非正態(tài)時，可以通過樣本均值及其抽樣分布進行推斷。答案：中心極限定理指出，從任意分布的總體中抽取足夠大的樣本量（通常n≥30），樣本均值的抽樣分布將近似服從正態(tài)分布，該正態(tài)分布的均值等于總體均值μ，標(biāo)準(zhǔn)誤（抽樣標(biāo)準(zhǔn)差）等于總體標(biāo)準(zhǔn)差σ除以樣本量平方根（σ/√n）。其重要性在于為抽樣推斷提供了理論基礎(chǔ)，使得我們可以在不了解總體分布或總體分布非正態(tài)的情況下，利用樣本均值推斷總體均值，并構(gòu)建置信區(qū)間進行假設(shè)檢驗。3.解析思路：列舉影響抽樣誤差的主要因素?？梢詮目傮w變異程度（總體方差）、樣本量大小、抽樣方法（重復(fù)與不重復(fù)，不同抽樣組織形式如分層、整群的效果）等方面考慮。答案：影響抽樣誤差的主要因素有：①總體變異程度：總體中各單位標(biāo)志值的差異越大（總體方差越大），抽樣誤差越大；反之則越小。②樣本量大?。涸谄渌麠l件不變的情況下，樣本量越大，抽樣誤差越??；樣本量越小，抽樣誤差越大。③抽樣方法：不同的抽樣方法（如簡單隨機抽樣、分層抽樣、整群抽樣）的抽樣誤差不同，一般來說，分層抽樣誤差最小，整群抽樣誤差較大。④抽樣方式：重復(fù)抽樣誤差大于不重復(fù)抽樣誤差（在樣本量相對于總體規(guī)模較小時尤其明顯）。四、計算題1.(1)解析思路：計算樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤。因為是有限總體不重復(fù)抽樣，使用修正公式σ?=σ/√n*√(N-n/N-1)。已知樣本均值（X?=300）、樣本標(biāo)準(zhǔn)差（s=50）、樣本量（n=200）、總體量（N=20000）。首先需要估計總體標(biāo)準(zhǔn)差σ（通常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替），然后代入公式計算。答案：σ?=s/√n*√(N-n/N-1)=50/√200*√(20000-200/20000-1)≈50/14.14*√(19980/19999)≈3.536*0.9995≈3.53元。(2)解析思路：計算置信區(qū)間。使用公式X?±Z_(α/2)*σ?。已知置信水平為95%，查Z分布表得Z_(α/2)=1.96。將樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)誤代入公式。答案：置信區(qū)間=300±1.96*3.53=300±6.93。即(293.07,306.93)元。(注：由于計算中存在四舍五入，最終結(jié)果可能略有差異，如(293.06,307.06)也可接受)。2.(1)解析思路：計算樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤。使用公式SE(p?)=√[p?(1-p?)/n]。已知樣本量（n=100）、樣本次品率（p?=5/100=0.05）。代入公式計算。答案：SE(p?)=√[0.05*(1-0.05)/100]=√[0.05*0.95/100]=√[0.0475/100]=√0.000475≈0.0218。(2)解析思路：計算置信區(qū)間。使用公式p?±Z_(α/2)*SE(p?)。已知置信水平為99%，查Z分布表得Z_(α/2)≈2.576。將樣本比例和標(biāo)準(zhǔn)誤代入公式。答案：置信區(qū)間=0.05±2.576*0.0218=0.05±0.0562。即(0.05-0.0562,0.05+0.0562)=(-0.0062,0.1062)。由于比例不能為負(fù)，實際置信區(qū)間為(0,0.1062)。(注：計算中存在四舍五入，最終結(jié)果可能略有差異)。五、案例分析題(1)解析思路：分析案例背景，特別是提到“三個區(qū)域，城中區(qū)人口最多...居民背景和興趣可能存在差異”。這表明總體存在明顯的異質(zhì)性，不同區(qū)域居民在文化活動滿意度上可能存在系統(tǒng)差異。若采用簡單隨機抽樣，可能無法保證樣本能充分代表各區(qū)域特征，導(dǎo)致抽樣誤差增大。分層抽樣可以將總體按區(qū)域劃分成層，保證各層都有代表，若層內(nèi)差異小、層間差異大，則能提高抽樣效率和精度。因此，分層抽樣可能更合適。答案：更合適的抽樣方法是分層抽樣。理由是案例背景說明總體（市居民）存在明顯的異質(zhì)性，分為城中區(qū)、郊區(qū)、工業(yè)區(qū)三個不同區(qū)域，且居民背景和興趣可能存在差異。采用分層抽樣，可以將總體按區(qū)域劃分為若干層，然后在每層內(nèi)進行隨機抽樣，這樣可以保證樣本結(jié)構(gòu)能更好地反映總體的結(jié)構(gòu)，特別是保證不同區(qū)域居民在樣本中都有代表。若層內(nèi)同質(zhì)性高、層間異質(zhì)性大，分層抽樣能有效降低抽樣誤差，提高估計精度。(2)解析思路：回答如何分層。根據(jù)案例提供的信息，總體已按“城中區(qū)、郊區(qū)、工業(yè)區(qū)”三個地理區(qū)域進行了劃分，這天然構(gòu)成了一個分層依據(jù)。因此，最直接的分法就是按這三個區(qū)域進行分層。答案：可以按照居民的居住區(qū)域進行分層。具體來說，將全市居民劃分為三個層：城中區(qū)居民層、郊區(qū)居民層、工業(yè)區(qū)居民層。每個層包含該區(qū)域內(nèi)的所有居民。(3)解析思路：討論樣本量在各層分配的比例問題。常用方法有按比例分配（與各層人口比例相同）和最優(yōu)分配（考慮各層方差）。分析按比例分配的考慮因素（簡單、反映人口結(jié)構(gòu)）和優(yōu)缺點（可能忽略層內(nèi)方差差異）。如果題目暗示考慮方差，可提及最優(yōu)分配。答案：確定樣本在各層中的分配比例時，主要應(yīng)考慮：①各層的人口規(guī)模（或比例）：通常采用與各層規(guī)模成比例的分配方法（比例分配），即樣本量在各層的分配比例與各層人口在總體中的比例相同。②各層的標(biāo)志值變異程度（方差）：最優(yōu)分配方法會考慮各層方差的大小，將更多樣本分配給方差較大的層。按比例分配的優(yōu)點是簡單易行，且樣本能較好地反映總體的人口結(jié)構(gòu)。缺點是如果各層內(nèi)方差差異很大，按比例分配可能不是最有效的，因為它沒有考慮方差因素。如果層內(nèi)方差小，層間方差大，按比例分配是合適的；如果層內(nèi)方差大，層間方差小，最優(yōu)分配可能更優(yōu)。(4)解析思路：計算必要樣本量。因為是估計總體均值，使用重復(fù)抽樣公式n=(Z_(α/2)*σ/E)2。需要確定各參數(shù)：置信水平（99%，Z_(α/2)≈2.576）、誤差范圍E（0.5）、總體標(biāo)準(zhǔn)差σ（未知，需要估計）。案例未直接給出，通常需要根據(jù)歷史數(shù)據(jù)或預(yù)調(diào)查結(jié)果估計。此處假設(shè)已知或允許估算，假設(shè)σ=10（只是一個示例假設(shè)）。代入公式計算。答案：計算公式為n=(Z_(α/2)*σ/E)2。已知Z