2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)期末考試題庫(kù)：統(tǒng)計(jì)與決策實(shí)證分析試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題干后的括號(hào)內(nèi)）1.在參數(shù)估計(jì)中，使用樣本統(tǒng)計(jì)量推斷總體參數(shù)，當(dāng)總體分布未知或不滿足正態(tài)分布條件時(shí)，以下哪種方法通常更穩(wěn)健？（）A.Z檢驗(yàn)B.t檢驗(yàn)C.卡方檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)2.某研究欲比較兩種不同教學(xué)方法對(duì)學(xué)生成績(jī)的影響，選取了兩個(gè)班級(jí)，其中一個(gè)班級(jí)采用方法A，另一個(gè)班級(jí)采用方法B，隨后收集了兩個(gè)班級(jí)學(xué)生的期末考試成績(jī)。這種研究設(shè)計(jì)最適合采用哪種假設(shè)檢驗(yàn)？（）A.單樣本t檢驗(yàn)B.配對(duì)樣本t檢驗(yàn)C.獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)D.方差分析3.在簡(jiǎn)單線性回歸模型Y=β?+β?X+ε中，若要求殘差ε服從正態(tài)分布，以下哪個(gè)條件是必須滿足的？（）A.自變量X必須是正態(tài)分布B.因變量Y必須是正態(tài)分布C.殘差ε的方差σ2必須恒定D.自變量X與因變量Y必須線性相關(guān)4.對(duì)于一組觀測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算得到相關(guān)系數(shù)r=-0.85，這表明該數(shù)據(jù)集的兩個(gè)變量之間存在：（）A.強(qiáng)正線性相關(guān)關(guān)系B.弱負(fù)線性相關(guān)關(guān)系C.強(qiáng)負(fù)線性相關(guān)關(guān)系D.非線性相關(guān)關(guān)系5.在多元線性回歸分析中，若發(fā)現(xiàn)某個(gè)自變量的回歸系數(shù)顯著不為零，以下哪種解釋是正確的？（）A.該自變量與因變量之間存在完美的線性關(guān)系B.該自變量對(duì)因變量的影響在統(tǒng)計(jì)上不顯著C.控制其他自變量不變時(shí)，該自變量對(duì)因變量有顯著影響D.該自變量的系數(shù)一定具有實(shí)際意義上的重要性6.對(duì)一組原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理（將每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)減去均值后除以標(biāo)準(zhǔn)差），處理后數(shù)據(jù)的均值和方差分別是：（）A.原均值，原方差B.0，1C.原均值，1D.0，原方差7.在使用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行回歸分析時(shí)，軟件輸出的“R-squared”指標(biāo)通常表示：（）A.模型中自變量的個(gè)數(shù)B.模型預(yù)測(cè)的總變異中由自變量解釋的百分比C.殘差的方差D.回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差8.假設(shè)檢驗(yàn)中，第一類(lèi)錯(cuò)誤是指：（）A.統(tǒng)計(jì)結(jié)論正確，但實(shí)際總體參數(shù)確實(shí)發(fā)生了變化B.統(tǒng)計(jì)結(jié)論正確，但實(shí)際總體參數(shù)沒(méi)有發(fā)生變化C.統(tǒng)計(jì)結(jié)論錯(cuò)誤，判斷總體參數(shù)發(fā)生了變化，而實(shí)際上沒(méi)有變化D.統(tǒng)計(jì)結(jié)論錯(cuò)誤，判斷總體參數(shù)沒(méi)有發(fā)生變化，而實(shí)際上發(fā)生了變化9.在進(jìn)行方差分析（ANOVA）時(shí)，如果檢驗(yàn)結(jié)果拒絕原假設(shè)，則意味著：（）A.所有的總體均值都相等B.至少有兩個(gè)總體均值不相等C.所有的樣本均值都相等D.樣本量不夠大10.對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行探索性分析，除了計(jì)算描述性統(tǒng)計(jì)量外，還可能繪制哪些圖表來(lái)觀察數(shù)據(jù)的分布特征和潛在關(guān)系？（）A.散點(diǎn)圖B.箱線圖C.直方圖D.以上都是二、計(jì)算題（每小題10分，共40分。請(qǐng)寫(xiě)出必要的計(jì)算步驟和公式）1.某工廠希望檢驗(yàn)一種新工藝是否會(huì)降低產(chǎn)品的次品率。隨機(jī)抽取了200件產(chǎn)品，其中發(fā)現(xiàn)18件是次品。試以α=0.05的顯著性水平，檢驗(yàn)新工藝是否顯著降低了次品率（假設(shè)原次品率為0.06）。2.隨機(jī)抽取了15對(duì)同胞兄妹的身高數(shù)據(jù)（單位：厘米），計(jì)算得到兄妹之間的身高差值的樣本均值d?=5.2厘米，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s_d=3.8厘米。試以α=0.05的顯著性水平，檢驗(yàn)同胞兄妹的身高是否存在顯著差異。3.某研究比較了三種不同廣告策略（A,B,C）對(duì)產(chǎn)品銷(xiāo)量（單位：件/天）的影響。隨機(jī)選取了9個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)，每個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)隨機(jī)分配一種廣告策略，一個(gè)月后的銷(xiāo)量數(shù)據(jù)如下（數(shù)據(jù)已按廣告策略分組排列）：廣告A：45,52,48,53,50廣告B：38,42,40,44,41廣告C：55,59,58,62,60試以α=0.05的顯著性水平，檢驗(yàn)三種廣告策略對(duì)產(chǎn)品銷(xiāo)量是否存在顯著差異。4.隨機(jī)抽取了20位成年男子的身高（X，單位：厘米）和體重（Y，單位：公斤）數(shù)據(jù)。使用統(tǒng)計(jì)軟件分析得到簡(jiǎn)單線性回歸方程為：Y?=50+0.9X，回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.15，樣本相關(guān)系數(shù)為0.85，樣本容量為20。試解釋該回歸方程中系數(shù)0.9的含義，并計(jì)算當(dāng)某成年男子身高為180厘米時(shí)，其體重的95%預(yù)測(cè)區(qū)間（假設(shè)殘差服從正態(tài)分布）。三、操作題與結(jié)果解讀（每小題15分，共30分）1.假定你獲得了一份關(guān)于某城市居民消費(fèi)習(xí)慣的數(shù)據(jù)集（變量包括：年齡Age，月收入Income，每周在餐飲外出的次數(shù)Frequency），數(shù)據(jù)以文本文件形式提供，每行一條記錄，變量間以逗號(hào)分隔。請(qǐng)寫(xiě)出使用R語(yǔ)言（或Python）完成以下任務(wù)的代碼片段或關(guān)鍵步驟說(shuō)明：a.讀取數(shù)據(jù)文件。b.計(jì)算變量Income的均值、中位數(shù)、最大值、最小值和標(biāo)準(zhǔn)差。c.繪制Age與Frequency之間的散點(diǎn)圖，并添加平滑曲線。d.對(duì)變量Income進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理（減去均值后除以標(biāo)準(zhǔn)差），并將標(biāo)準(zhǔn)化后的變量命名為Income_standardized。2.假定你使用統(tǒng)計(jì)軟件對(duì)某項(xiàng)調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，得到如下部分輸出結(jié)果（僅為示例，非實(shí)際數(shù)據(jù)）：```Call:lm(formula=Satisfaction~Advertising+Price+Gender,data=dataset)Residuals:Min1QMedian3QMax-2.3456-0.87650.12340.98762.1567Coefficients:EstimateStd.ErrortvaluePr(>|t|)(Intercept)5.67890.98765.7391.23e-07*Advertising0.34560.11233.0810.00345Price-0.21000.0568-3.7040.00045*GenderMale-1.56780.8765-1.7890.07698.---Signif.codes:0‘*’0.001‘’0.01‘*’0.05‘.’0.1‘’1Residualstandarderror:1.234on296degreesoffreedomMultipleR-squared:0.187,AdjustedR-squared:0.184F-statistic:47.89on3and296DF,p-value:2.34e-47```a.請(qǐng)解釋模型中“Advertising”回歸系數(shù)的含義。b.請(qǐng)解釋模型中“GenderMale”回歸系數(shù)的含義（假設(shè)數(shù)據(jù)中包含虛擬變量表示性別）。c.根據(jù)輸出結(jié)果，該回歸模型的整體顯著性如何？請(qǐng)說(shuō)明依據(jù)。d.模型中哪個(gè)自變量在統(tǒng)計(jì)上顯著影響因變量“Satisfaction”（α=0.05）？請(qǐng)說(shuō)明依據(jù)。四、綜合應(yīng)用題（20分）某連鎖超市希望了解促銷(xiāo)活動(dòng)類(lèi)型（A：打折，B：買(mǎi)贈(zèng)，C：滿減）以及促銷(xiāo)持續(xù)時(shí)間（短：1周，中：2周，長(zhǎng)：3周）對(duì)其產(chǎn)品A的銷(xiāo)售額（單位：萬(wàn)元）的影響。隨機(jī)選取了9家分店，每家分店隨機(jī)分配一種促銷(xiāo)類(lèi)型和一種促銷(xiāo)持續(xù)時(shí)間組合，一個(gè)月后的銷(xiāo)售額數(shù)據(jù)如下（數(shù)據(jù)已按促銷(xiāo)類(lèi)型和持續(xù)時(shí)間分組排列）：促銷(xiāo)A短：12,14,13促銷(xiāo)A中：18,20,19促銷(xiāo)A長(zhǎng)：24,26,25促銷(xiāo)B短：15,16,17促銷(xiāo)B中：21,23,22促銷(xiāo)B長(zhǎng)：27,29,28促銷(xiāo)C短：17,19,18促銷(xiāo)C中：23,25,24促銷(xiāo)C長(zhǎng)：30,32,31請(qǐng)選擇合適的統(tǒng)計(jì)方法分析促銷(xiāo)活動(dòng)類(lèi)型和持續(xù)時(shí)間對(duì)銷(xiāo)售額的影響。寫(xiě)出你的分析步驟，包括：a.描述性統(tǒng)計(jì)分析，簡(jiǎn)要概括各組的銷(xiāo)售額情況。b.建立統(tǒng)計(jì)模型，解釋你選擇該模型的原因。c.對(duì)模型結(jié)果進(jìn)行解讀，分析促銷(xiāo)活動(dòng)類(lèi)型和持續(xù)時(shí)間對(duì)銷(xiāo)售額的具體影響。d.基于你的分析，為該連鎖超市提供關(guān)于如何制定促銷(xiāo)策略以提高銷(xiāo)售額的建議。試卷答案一、選擇題1.B解析：t檢驗(yàn)適用于小樣本且總體方差未知的情況，當(dāng)總體分布未知或不滿足正態(tài)分布時(shí)，t檢驗(yàn)比基于正態(tài)分布假設(shè)的Z檢驗(yàn)更穩(wěn)健。2.C解析：比較兩個(gè)獨(dú)立組（不同班級(jí)）的均值，應(yīng)使用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)。3.C解析：線性回歸模型要求殘差項(xiàng)ε滿足同方差性，即殘差的方差σ2恒定不變。4.C解析：相關(guān)系數(shù)r的取值范圍在-1到1之間，r=-0.85表示兩個(gè)變量之間存在強(qiáng)負(fù)線性相關(guān)關(guān)系。5.C解析：多元線性回歸中，某個(gè)自變量的回歸系數(shù)顯著不為零，意味著在控制其他自變量的影響下，該自變量對(duì)因變量有顯著的線性影響。6.B解析：標(biāo)準(zhǔn)化處理（Z分?jǐn)?shù)）的公式為(X-μ)/σ，其中μ為均值，σ為標(biāo)準(zhǔn)差。處理后，所有數(shù)據(jù)的均值μ變?yōu)?，標(biāo)準(zhǔn)差σ變?yōu)?。7.B解析：R-squared（決定系數(shù)）衡量的是回歸模型對(duì)因變量總變異的解釋程度，其值介于0和1之間，表示百分之多少的變異可以被模型解釋。8.C解析：第一類(lèi)錯(cuò)誤（TypeIError）是指拒絕了實(shí)際上正確的原假設(shè)，即錯(cuò)誤地判斷總體參數(shù)發(fā)生了變化。9.B解析：方差分析（ANOVA）的結(jié)論是，如果p值小于顯著性水平α，則拒絕原假設(shè)（H?：所有總體均值相等），認(rèn)為至少有兩個(gè)總體均值存在顯著差異。10.D解析：散點(diǎn)圖用于觀察兩個(gè)連續(xù)變量間的關(guān)系，箱線圖用于展示數(shù)據(jù)分布的集中趨勢(shì)和離散程度，直方圖用于展示單個(gè)連續(xù)變量數(shù)據(jù)的分布頻率。以上圖表都可用于探索性數(shù)據(jù)分析。二、計(jì)算題1.檢驗(yàn)次品率是否顯著低于0.06。a.H?:p≥0.06(新工藝次品率不顯著低于原次品率)b.H?:p<0.06(新工藝次品率顯著低于原次品率)c.α=0.05d.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：Z=(p?-p?)/sqrt(p?(1-p?)/n)p?=18/200=0.09Z=(0.09-0.06)/sqrt(0.06*0.94/200)=0.03/sqrt(0.0564/200)=0.03/sqrt(0.000282)≈0.03/0.0168≈1.79e.查Z表或使用軟件，得Z<1.79的右側(cè)累積概率P(Z>1.79)≈0.0367。對(duì)于左尾檢驗(yàn)，p值=P(Z<1.79)=1-0.0367=0.9633。f.比較p值與α：0.9633>0.05。g.結(jié)論：不能拒絕H?。沒(méi)有足夠證據(jù)表明新工藝顯著降低了次品率。2.檢驗(yàn)同胞兄妹身高是否存在顯著差異。a.H?:μ_d=0(同胞兄妹平均身高差為0)b.H?:μ_d≠0(同胞兄妹平均身高差不為0)c.α=0.05d.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：t=d?/(s_d/sqrt(n))n=15t=5.2/(3.8/sqrt(15))=5.2/(3.8/3.873)≈5.2/0.981≈5.30e.自由度df=n-1=15-1=14。查t表或使用軟件，得雙邊檢驗(yàn)的臨界t值約為±2.145(α/2=0.025,df=14)?；蛴?jì)算p值，p值≈2*P(t>5.30)≈2*0.00005=0.0001。f.比較t統(tǒng)計(jì)量與臨界值：5.30>2.145。或者比較p值與α：0.0001<0.05。g.結(jié)論：拒絕H?。有足夠證據(jù)表明同胞兄妹的身高存在顯著差異。3.檢驗(yàn)三種廣告策略對(duì)產(chǎn)品銷(xiāo)量是否存在顯著差異。a.描述性統(tǒng)計(jì)（應(yīng)計(jì)算各組均值、標(biāo)準(zhǔn)差）：A:均值=50.4,SD=2.5B:均值=41.8,SD=1.6C:均值=59.6,SD=2.0b.H?:μ_A=μ_B=μ_C(三組均值相等)c.H?:至少有兩個(gè)均值不等d.α=0.05e.檢驗(yàn)方法：?jiǎn)我蛩胤讲罘治觯ˋNOVA）計(jì)算各組均值：mean_A=50.4,mean_B=41.8,mean_C=59.6總均值:grand_mean=(45+52+48+53+50+38+42+40+44+41+55+59+58+62+60)/15=720/15=48.0計(jì)算平方和：SSbetween=5*(50.4-48.0)2+5*(41.8-48.0)2+5*(59.6-48.0)2=5*(2.4)2+5*(-6.2)2+5*(11.6)2=5*5.76+5*38.44+5*134.56=28.8+192.2+672.8=893.8SStotal=(45-48)2+...+(60-48)2=(-3)2+...+(12)2=9+25+16+25+4+10+4+8+16+9+49+121+100+196+144=738SSwithin=SStotal-SSbetween=738-893.8=-155.8(計(jì)算有誤，應(yīng)重新計(jì)算SStotal或直接用組內(nèi)平方和)更正計(jì)算SStotal：SStotal=sum(x??-grand_mean)2=(45-48)2+...+(60-48)2=738SSwithin=sum(sum(x??-mean_i?)2foreachgroup)=5*(45-50.4)2+...+5*(60-59.6)2=5*(-5.4)2+...+5*(0.4)2=5*29.16+5*10.24+5*6.76=145.8+51.2+33.8=230.8計(jì)算均方：MSbetween=SSbetween/df_between=893.8/(k-1)=893.8/2=446.9MSwithin=SSwithin/df_within=230.8/(n-k)=230.8/(15-3)=230.8/12≈19.23f.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：F=MSbetween/MSwithin=446.9/19.23≈23.23g.查F表或使用軟件，得臨界F值F(2,12)>23.23，或計(jì)算p值p<0.001。h.比較F統(tǒng)計(jì)量與臨界值：23.23>(臨界值，如3.89forα=0.05)?；蛘弑容^p值與α：p<0.05。i.結(jié)論：拒絕H?。有足夠證據(jù)表明三種廣告策略對(duì)產(chǎn)品銷(xiāo)量存在顯著差異。4.簡(jiǎn)單線性回歸分析結(jié)果解讀與預(yù)測(cè)區(qū)間。a.系數(shù)含義：回歸系數(shù)0.9表示，在控制其他變量不變的情況下，成年男子的身高每增加1厘米，其預(yù)測(cè)的體重將平均增加0.9公斤。b.GenderMale系數(shù)含義：回歸系數(shù)-1.5678表示，在控制身高（X）不變的情況下，男性（GenderMale=1）相較于女性（GenderMale=0）的預(yù)測(cè)體重平均低1.5678公斤。c.模型整體顯著性：F統(tǒng)計(jì)量為47.89，對(duì)應(yīng)的p值約為2.34e-47，遠(yuǎn)小于通常的顯著性水平（如0.05）。因此，模型整體顯著，表明至少有一個(gè)自變量（身高或性別）對(duì)體重有顯著的線性影響。d.95%預(yù)測(cè)區(qū)間計(jì)算：a.計(jì)算預(yù)測(cè)值：Y?=50+0.9*180=50+162=212公斤。b.查t表或使用軟件，得t值t_(296,0.975)≈2.045(自由度df=20-2=18，查296或近似的df值)。c.計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差ofestimate:s_e=sqrt(MSwithin)=sqrt(1.234^2+.../20)≈sqrt(1.528)≈1.237(使用輸出中的殘差標(biāo)準(zhǔn)誤1.234)。d.計(jì)算預(yù)測(cè)區(qū)間半徑：t*s_e*sqrt(1+1/n+(X?-X?)2/SSxx)其中X?是自變量身高的樣本均值，SSxx是身高數(shù)據(jù)的總平方和。需要補(bǔ)充計(jì)算：假設(shè)n=20,X?=170(示例),SSxx=400(示例)。半徑=2.045*1.234*sqrt(1+1/20+(180-170)2/400)=2.045*1.234*sqrt(1+0.05+(10)2/400)=2.045*1.234*sqrt(1+0.05+0.25)=2.045*1.234*sqrt(1.3)=2.045*1.234*1.140≈2.856e.預(yù)測(cè)區(qū)間：[212-2.856,212+2.856]≈[209.14,214.86]（注：此處因缺少X?,SSxx等具體值，使用了示例值進(jìn)行演示，實(shí)際計(jì)算需用題目提供或軟件輸出的精確值。）三、操作題與結(jié)果解讀1.R語(yǔ)言代碼片段或關(guān)鍵步驟說(shuō)明：a.read.csv("data.csv",header=TRUE)#假設(shè)文件名是data.csv，第一行是列名b.summary(Income)c.plot(Age,Frequency,xlab="Age",ylab="Frequency",main="AgevsFrequency")#繪制散點(diǎn)圖dlines(Age,Frequency,col="blue")#添加平滑曲線，例如loess平滑d.Income_standardized<-(Income-mean(Income))/sd(Income)2.統(tǒng)計(jì)軟件輸出結(jié)果解讀：a."Advertising"系數(shù)0.3456的含義：在控制"Gender"不變的情況下，"Advertising"每增加一個(gè)單位，"Satisfaction"平均增加0.3456個(gè)單位。b."GenderMale"系數(shù)-1.5678的含義：在控制"Advertising"和"Price"不變的情況下，男性顧客的滿意度比女性顧客的滿意度平均低1.5678個(gè)單位（假設(shè)GenderMale是虛擬變量，代表男性）。c.模型整體顯著性：F統(tǒng)計(jì)量為47.89，對(duì)應(yīng)的p值（2.34e-47）遠(yuǎn)小于0.05。因此，該回歸模型整體是顯著的，即模型中至少有一個(gè)自變量能夠顯著預(yù)測(cè)"Satisfaction"。d.顯著影響的自變量：*"Advertising"：其系數(shù)的p值（0.00345）小于0.05，因此"Advertising"對(duì)"Satisfaction"有顯著的正向影響。*"Price"：其系數(shù)的p值（0.00045）小于0.05，因此"Price"對(duì)"Satisfaction"有顯著的負(fù)向影響。*"GenderMale"：其系數(shù)的p值（0.07698）大于0.05，因此"GenderMale"對(duì)"Satisfaction"在α=0.05水平上沒(méi)有顯著影響。四、綜合應(yīng)用題a.描述性統(tǒng)計(jì)：計(jì)算各組的樣本量n=3，均值mean，標(biāo)準(zhǔn)差sd：A短：mean=13,sd=1.095A中：mean=19,sd=0.873A長(zhǎng)：mean=25,sd=0.707B短：mean=16,sd=0.707B中：mean=22,sd=0.873B長(zhǎng)：mean=28,sd=0.707C短：mean=18,sd=0.707C中：mean=24,sd=0.873C長(zhǎng)：mean=31,sd=0.707簡(jiǎn)要概括：隨著促銷(xiāo)持續(xù)時(shí)間的增加，各類(lèi)型促銷(xiāo)的銷(xiāo)售額均呈上升趨勢(shì)。長(zhǎng)期促銷(xiāo)（長(zhǎng)）的銷(xiāo)售額普遍高于中期（中）和短期（短），且各類(lèi)型在相同持續(xù)時(shí)間下的銷(xiāo)售額排序大致為C>B>A。b.建立統(tǒng)計(jì)模型：采用雙因素方差分析（ANOVA），檢驗(yàn)促銷(xiāo)類(lèi)型（FactorA，3水平）和持續(xù)時(shí)間（FactorB，3水平）的主效應(yīng)，以及它們之間的交互效應(yīng)（FactorA*FactorB）對(duì)銷(xiāo)售額是否有顯著影響。模型形式：Sales=μ+α?+β?+(αβ)??+ε??原假設(shè)：H?_A:α?=α?