2025年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末試卷：抽樣調(diào)查方法案例分析及解題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述什么是抽樣調(diào)查？與全面調(diào)查相比，抽樣調(diào)查具有哪些優(yōu)點(diǎn)？二、請(qǐng)比較簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和整群抽樣三種概率抽樣方法的主要區(qū)別，并說明在什么情況下選擇哪種方法可能更合適。三、某城市希望通過抽樣調(diào)查了解居民對(duì)公共交通的滿意度。假設(shè)該市居民總數(shù)為500,000人，過去類似調(diào)查的滿意度標(biāo)準(zhǔn)差約為0.3。如果要求抽樣誤差不超過0.05（置信水平為95%），在不進(jìn)行分層的情況下，至少需要抽取多少名居民進(jìn)行調(diào)查？四、在一項(xiàng)關(guān)于消費(fèi)者購(gòu)買習(xí)慣的抽樣調(diào)查中，調(diào)查人員將全市按區(qū)域劃分為10個(gè)組，每組包含相同數(shù)量的居民。然后從每個(gè)組中隨機(jī)抽取100名居民進(jìn)行訪問。這種抽樣方法屬于什么類型？請(qǐng)說明理由，并分析這種方法的潛在優(yōu)點(diǎn)。五、假設(shè)你正在設(shè)計(jì)一項(xiàng)調(diào)查，目的是估計(jì)某地區(qū)小學(xué)適齡兒童的比例。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的抽樣方案，說明你會(huì)采用哪種抽樣方法，并簡(jiǎn)要說明選擇該方法的原因以及抽樣方案實(shí)施的主要步驟。六、某公司對(duì)其生產(chǎn)的包裝袋進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)。質(zhì)檢部門采用整群抽樣的方式，將生產(chǎn)過程劃分為若干個(gè)連續(xù)的時(shí)間段（每段30分鐘），然后隨機(jī)抽取若干個(gè)時(shí)間段，并對(duì)這些時(shí)間段內(nèi)生產(chǎn)的所有包裝袋進(jìn)行檢驗(yàn)。如果在某個(gè)被抽中的時(shí)間段內(nèi)發(fā)現(xiàn)不合格率超過5%，則整個(gè)批次的包裝袋都被判定為不合格。請(qǐng)解釋這種抽樣方法的原理，并討論其在質(zhì)量控制中的潛在優(yōu)勢(shì)。七、在一項(xiàng)抽樣調(diào)查中，樣本量為400，調(diào)查結(jié)果顯示有60%的受訪者支持某項(xiàng)政策。計(jì)算該支持率的抽樣成數(shù)誤差（以百分比表示），并解釋抽樣成數(shù)誤差的含義。如果置信水平改為99%，抽樣成數(shù)誤差會(huì)如何變化？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明原因。八、某大學(xué)想要估計(jì)學(xué)生平均每周用于課外學(xué)習(xí)的時(shí)間。學(xué)校隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，并調(diào)查了他們每周的課外學(xué)習(xí)時(shí)間。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到樣本均值為15小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為3小時(shí)。請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)95%的置信區(qū)間，以估計(jì)全校學(xué)生平均每周課外學(xué)習(xí)時(shí)間的范圍，并解釋置信區(qū)間的含義。九、你是一名市場(chǎng)調(diào)研員，需要估計(jì)某品牌在某城市的認(rèn)知度。你設(shè)計(jì)了兩個(gè)抽樣方案：方案A：在整個(gè)城市范圍內(nèi)進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，抽取1000名居民。方案B：將城市劃分為若干個(gè)區(qū)域，從每個(gè)區(qū)域中隨機(jī)抽取200名居民（分層抽樣）。請(qǐng)分析這兩個(gè)方案的優(yōu)劣，并說明在什么情況下方案B可能提供更準(zhǔn)確或更有價(jià)值的估計(jì)。十、假設(shè)你負(fù)責(zé)一項(xiàng)抽樣調(diào)查的項(xiàng)目。在數(shù)據(jù)收集完成后，你發(fā)現(xiàn)抽樣框中存在大量缺失或過時(shí)的信息，導(dǎo)致部分目標(biāo)個(gè)體無法被選中。請(qǐng)解釋這種情況可能對(duì)抽樣調(diào)查結(jié)果產(chǎn)生什么影響，并提出至少兩種可能的解決方案。試卷答案一、抽樣調(diào)查是從研究對(duì)象的總體中抽取一部分單位（樣本）進(jìn)行調(diào)查，并依據(jù)樣本數(shù)據(jù)推斷總體特征的一種統(tǒng)計(jì)調(diào)查方法。其優(yōu)點(diǎn)包括：1）節(jié)省時(shí)間和成本，相比全面調(diào)查，抽樣調(diào)查所需的人力、物力和時(shí)間較少；2）提高調(diào)查效率和質(zhì)量，可以更深入地收集信息，減少因全面調(diào)查可能產(chǎn)生的誤差；3）對(duì)某些無法進(jìn)行或不宜進(jìn)行全面調(diào)查的現(xiàn)象適用，如破壞性檢驗(yàn)、無限總體調(diào)查等；4）結(jié)果更具代表性，科學(xué)設(shè)計(jì)的抽樣調(diào)查能夠保證樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)相似，從而提高推斷的準(zhǔn)確性。二、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和整群抽樣的主要區(qū)別在于抽取樣本的方式和前提條件：1）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：從總體中直接隨機(jī)抽取樣本，每個(gè)單位被抽中的概率相等。適用于總體同質(zhì)性較好，單位之間差異不大的情況。2）分層抽樣：先將總體按某種特征劃分為若干層，再在每層內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)抽樣（或按比例抽樣）。適用于總體內(nèi)部差異較大，但各層內(nèi)部差異較小的情況，可以提高估計(jì)的精度。3）整群抽樣：將總體劃分為若干群，隨機(jī)抽取部分群，然后對(duì)選中的群內(nèi)所有單位或按比例抽取進(jìn)行調(diào)查。適用于總體單位分布廣泛，難以直接抽取個(gè)體的情況，可以降低組織調(diào)查的成本。選擇哪種方法取決于總體結(jié)構(gòu)、調(diào)查目的、資源限制等因素。若總體同質(zhì)性好且希望簡(jiǎn)化抽樣過程，可選簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；若總體異質(zhì)性大且希望提高精度，可選分層抽樣；若總體單位分散且希望降低成本，可選整群抽樣。三、所需樣本量計(jì)算公式為：$n=\left(\frac{Z_{\alpha/2}^2\cdot\sigma^2}{E^2}\right)$。其中，$Z_{\alpha/2}$為置信水平對(duì)應(yīng)的Z值（95%置信水平下為1.96），$\sigma$為總體標(biāo)準(zhǔn)差（題目中給出為0.3），$E$為允許誤差（題目中給出為0.05）。代入公式計(jì)算：$n=\left(\frac{1.96^2\cdot0.3^2}{0.05^2}\right)=\left(\frac{3.8416\cdot0.09}{0.0025}\right)=\left(\frac{0.345744}{0.0025}\right)=138.2976$。由于樣本量必須為整數(shù)，且需向上取整以保證誤差不超過要求，因此至少需要抽取139名居民。四、這種抽樣方法屬于分層抽樣。理由是：首先，將全市按區(qū)域劃分為10個(gè)組，這表明總體被分成了不同的層（即區(qū)域?qū)樱?；其次，從每個(gè)組（層）中隨機(jī)抽取100名居民，這表明在每層內(nèi)部都進(jìn)行了隨機(jī)抽樣。分層抽樣的優(yōu)點(diǎn)在于：1）可以保證每個(gè)區(qū)域都能在樣本中得到代表，提高了樣本的代表性；2）便于對(duì)不同區(qū)域進(jìn)行比較分析；3）如果層內(nèi)方差較小，層間方差較大，分層抽樣可以提高估計(jì)的精度。五、抽樣方案設(shè)計(jì)：1）抽樣方法：采用分層隨機(jī)抽樣。2）原因：假設(shè)該地區(qū)小學(xué)適齡兒童數(shù)量在不同社區(qū)分布可能不均，且希望確保不同社區(qū)都能有代表性樣本，分層抽樣可以提高估計(jì)的準(zhǔn)確性和代表性。3）抽樣步驟：a）獲取該地區(qū)所有小學(xué)的名單和對(duì)應(yīng)的學(xué)生人數(shù)，作為抽樣框。b）將所有小學(xué)按地理位置或?qū)W校類型（如公立、私立）等因素劃分為若干層（例如，按地理位置劃分為幾個(gè)大的區(qū)域?qū)樱?。c）確定每層應(yīng)抽取的小學(xué)數(shù)量（可采用按比例分配或最優(yōu)分配等方法）。d）在每個(gè)層內(nèi)，使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣方法抽取確定數(shù)量的學(xué)校。e）對(duì)抽中的學(xué)校，調(diào)查所有小學(xué)適齡兒童，或?qū)m齡兒童進(jìn)行隨機(jī)抽樣（若學(xué)校規(guī)模過大）。f）記錄調(diào)查數(shù)據(jù)，并據(jù)此估計(jì)比例。六、該抽樣方法屬于整群抽樣。原理是：將生產(chǎn)過程按時(shí)間劃分為若干個(gè)群（每個(gè)30分鐘的時(shí)間段），然后隨機(jī)選擇部分群（時(shí)間段），僅對(duì)這些被選中的群內(nèi)的所有單位（該時(shí)間段生產(chǎn)的所有包裝袋）進(jìn)行檢查，而不是對(duì)每個(gè)時(shí)間段的所有包裝袋都檢查。潛在優(yōu)勢(shì)：1）實(shí)施方便，只需在選中的時(shí)間段內(nèi)進(jìn)行檢測(cè)，組織管理成本較低。2）節(jié)省人力和物力，只需對(duì)部分群進(jìn)行調(diào)查，而非全部。3）當(dāng)群內(nèi)單位同質(zhì)性較高，群間差異較大時(shí)，整群抽樣可能比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣更經(jīng)濟(jì)有效。4）便于按群進(jìn)行管理和控制生產(chǎn)過程。七、抽樣成數(shù)誤差計(jì)算公式為：$SE_{p}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$。其中，$p$為樣本成數(shù)（0.60），$n$為樣本量（400）。代入公式計(jì)算：$SE_{p}=\sqrt{\frac{0.60\cdot(1-0.60)}{400}}=\sqrt{\frac{0.60\cdot0.40}{400}}=\sqrt{\frac{0.24}{400}}=\sqrt{0.0006}=0.02449$。將結(jié)果轉(zhuǎn)換為百分比，$0.02449\times100\%=2.45\%$。抽樣成數(shù)誤差的含義是，樣本成數(shù)$p$與總體成數(shù)$P$之間可能存在的最大抽樣誤差范圍（以標(biāo)準(zhǔn)差衡量）。如果置信水平改為99%，對(duì)應(yīng)的$Z_{\alpha/2}$值增大（約為2.576），抽樣成數(shù)誤差也會(huì)隨之增大，因?yàn)楦蟮?Z_{\alpha/2}$值意味著需要更寬的置信區(qū)間來保證更高的置信程度。八、置信區(qū)間計(jì)算公式為：$\bar{x}\pmZ_{\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$。其中，$\bar{x}$為樣本均值（15小時(shí)），$s$為樣本標(biāo)準(zhǔn)差（3小時(shí)），$n$為樣本量（200），$Z_{\alpha/2}$為95%置信水平對(duì)應(yīng)的Z值（1.96）。代入公式計(jì)算誤差范圍：$1.96\left(\frac{3}{\sqrt{200}}\right)=1.96\left(\frac{3}{14.142}\right)=1.96\times0.2121=0.414$。因此，置信區(qū)間為：$15\pm0.414$，即[14.586,15.414]小時(shí)。置信區(qū)間的含義是，我們有95%的置信水平認(rèn)為，全校學(xué)生平均每周課外學(xué)習(xí)時(shí)間的真實(shí)范圍在14.586小時(shí)到15.414小時(shí)之間。九、方案A（簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）的優(yōu)點(diǎn)是實(shí)施簡(jiǎn)單，缺點(diǎn)是在城市范圍內(nèi)隨機(jī)抽樣可能導(dǎo)致某些區(qū)域（如偏遠(yuǎn)地區(qū)或特定社區(qū)）的居民被抽中概率過低，樣本可能無法充分代表城市整體，尤其是在居民流動(dòng)性大或區(qū)域差異顯著時(shí)，估計(jì)的準(zhǔn)確性可能不高。方案B（分層抽樣）的優(yōu)點(diǎn)是可以通過分層確保不同區(qū)域（社區(qū)）的居民都能在樣本中得到代表，提高了樣本的代表性，從而可能獲得更準(zhǔn)確或更有價(jià)值的估計(jì)。缺點(diǎn)是分層需要先對(duì)總體進(jìn)行劃分，設(shè)計(jì)相對(duì)復(fù)雜一些。在人口分布不均、區(qū)域差異顯著的城市，或當(dāng)調(diào)查目標(biāo)與區(qū)域特征相關(guān)時(shí)，方案B（分層抽樣）可能提供更準(zhǔn)確或更有價(jià)值的估計(jì)。十、抽樣框不完整（存在大量缺失或過時(shí)的信息）可能對(duì)抽樣調(diào)查結(jié)果產(chǎn)生以下影響：1）導(dǎo)致無回答或難以找到目標(biāo)單位，增加抽樣調(diào)查的成本和時(shí)間。2）產(chǎn)生選擇偏差，被選中的單位可能不能代表總體，因?yàn)槟切o法被選中的單位（可能集中在信息缺失嚴(yán)重的區(qū)域或群體）與總體特征不同，從而影響結(jié)果的準(zhǔn)確性和代表性。3）影響推斷的可靠性，樣本不能完全覆