江西省上饒二中新高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)與解三角形多選題之知識梳理與訓(xùn)練附答案一、三角函數(shù)與解三角形多選題1．知函數(shù)，則下述結(jié)論中正確的是（）A．若在有且僅有個零點，則在有且僅有個極小值點B．若在有且僅有個零點，則在上單調(diào)遞增C．若在有且僅有個零點，則的范是D．若的圖象關(guān)于對稱，且在單調(diào)，則的最大值為【答案】ACD【分析】令，由，可得出，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，可判斷A選項正誤；根據(jù)已知條件求出的取值范圍，可判斷C選項正誤；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項的正誤；利用正弦型函數(shù)的對稱性與單調(diào)性可判斷D選項的正誤.【詳解】令，由，可得出，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如下圖所示：對于A選項，若在有且僅有個零點，則在有且僅有個極小值點，A選項正確；對于C選項，若在有且僅有個零點，則，解得，C選項正確；對于B選項，若，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，B選項錯誤；對于D選項，若的圖象關(guān)于對稱，則，.，，，.當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，合乎題意，D選項正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成形式，再求的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個整體代入的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù)．2．在中，角、、的對邊分別為、、，面積為，有以下四個命題中正確的是（）A．的最大值為B．當(dāng)，時，不可能是直角三角形C．當(dāng)，，時，的周長為D．當(dāng)，，時，若為的內(nèi)心，則的面積為【答案】ACD【分析】利用三角形面積公式，余弦定理基本不等式，以及三角換元，數(shù)形結(jié)合等即可判斷選項A；利用勾股定理的逆定理即可判斷選項B；利用正弦定理和三角恒等變換公式即可判斷選項C；由已知條件可得是直角三角形，從而可以求出其內(nèi)切圓的半徑，即可得的面積即可判斷選項D.【詳解】對于選項A：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.令，，故，因為，且，故可得點表示的平面區(qū)域是半圓弧上的點，如下圖所示：目標(biāo)函數(shù)上，表示圓弧上一點到點點的斜率，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點，即時，取得最小值，故可得，又，故可得，當(dāng)且僅當(dāng)，，即三角形為等邊三角形時，取得最大值，故選項A正確；對于選項B：因為，所以由正弦定理得，若是直角三角形的斜邊，則有，即，得，故選項B錯誤；對于選項C，由，可得，由得，由正弦定理得，，即，所以，化簡得，因為，所以化簡得，因為，所以，所以，則，所以，所以，，，因為，所以，，所以的周長為，故選項C正確；對于選項D，由C可知，為直角三角形，且，，，，，所以的內(nèi)切圓半徑為，所以的面積為所以選項D正確，故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是正余弦定理以及面積公式，對于A利用面積公式和余弦定理，結(jié)合不等式得，再利用三角換元、數(shù)形結(jié)合即可得證，綜合性較強(qiáng)，屬于難題.3．如圖，的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．若，且，是外一點，，，則下列說法正確的是（）A．是等邊三角形B．若，則，，，四點共圓C．四邊形面積最大值為D．四邊形面積最小值為【答案】AC【分析】利用三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可求，再利用，可知為等邊三角形，從而判斷；利用四點，，，共圓，四邊形對角互補(bǔ)，從而判斷；設(shè)，，在中，由余弦定理可得，利用三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換的，可求，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出最值，判斷．【詳解】由正弦定理，得，，，B是等腰的底角，，是等邊三角形，A正確；B不正確：若四點共圓，則四邊形對角互補(bǔ)，由A正確知，但由于時，，∴B不正確．C正確，D不正確：設(shè)，則，，，，，，，，∴C正確，D不正確；故選：AC.．【點睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．4．設(shè)函數(shù)，則（）A． B．C．曲線存在對稱軸 D．曲線存在對稱中心【答案】ABC【分析】通過可發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有對稱軸及最大值，再利用函數(shù)對稱中心的特點去分析是否具有對稱中心，再將化為，通過數(shù)形結(jié)合判斷是否成立.【詳解】函數(shù)解析式可化為：，因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且函數(shù)的圖象也關(guān)于直線對稱，故曲線也關(guān)于直線對稱，選項C正確；當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，此時取得最小值，故，選項A正確；若，則，令，則恒成立，則在上遞增，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；作出和的圖象如圖所示：由圖象可知成立，即，選項B正確；對于D選項，若存在一點使得關(guān)于點對稱，則，通過分析發(fā)現(xiàn)不可能為常數(shù)，故選項D錯誤.故選：ABC.【點睛】本題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的單調(diào)性與最值、對稱軸于對稱中心、函數(shù)與不等式等知識點，難度較大.對于復(fù)雜函數(shù)問題一定要化繁為簡，利用熟悉的函數(shù)模型去分析，再綜合考慮，注意數(shù)形結(jié)合、合理變形轉(zhuǎn)化.5．在中，角所對邊分別為.已知，下列結(jié)論正確的是()A． B．C． D．若，則面積是【答案】ABD【分析】設(shè)，求出a,b,c的值，可得A；由正弦定理，，可判定C，由余弦定理，，可判定B；由，結(jié)合A結(jié)論，可計算b,c,，可判定D【詳解】設(shè)，則，故，即A選項正確；又，故，B選項正確；由正弦定理，，C選項錯誤；若，則，故，所以，D選項正確故選：ABD【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算能力，屬于較難題6．已知函數(shù)(，)的部分圖像如圖所示，則（）A． B．點是圖像的一個對稱中心C． D．直線是圖像的一條對稱軸【答案】ABD【分析】由圖知函數(shù)最大值為,最小值為,且函數(shù)圖像與軸的交點為,進(jìn)而待定系數(shù)得,再整體換元討論B,D選項即可.【詳解】因為，所以，解得，故A正確；，則.又，所以，故C錯誤；，令，，解得，，所以圖像的對稱軸方程為，令，則，D正確；令，，解得，，令，則且，故B正確.故選：ABD【點睛】本題考查三角函數(shù)圖像求解析式，三角函數(shù)的對稱軸，對稱中心等，考查運算求解能力，是中檔題.解題的過程中，需要注意形如，，，的求解通常采用待定系數(shù)法求解.7．已知函數(shù)的部分自變量、函數(shù)值如下表所示，下列結(jié)論正確的是（）．025A．函數(shù)解析式為B．函數(shù)圖象的一條對稱軸為C．是函數(shù)圖象的一個對稱中心D．函數(shù)的圖象左平移個單位，再向下移2個單位所得的函數(shù)為奇函數(shù)【答案】ABD【分析】首先根據(jù)表格，利用最值求和，再根據(jù)周期求，以及根據(jù)最小值點求，求得函數(shù)的解析式，再分別代入和，判斷BC選項，最后根據(jù)平移規(guī)律求平移后的解析式.【詳解】由表格可知，，函數(shù)的最大值是5，所以，即，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值點和相鄰的零點間的距離是，所以，當(dāng)時，，解得：，，，所以函數(shù)，故A正確；B.當(dāng)時，，能使函數(shù)取得最小值，所以是函數(shù)的一條對稱軸，故B正確；C.當(dāng)時，，此時，所以是函數(shù)的一個對稱中心，故C不正確；D.函數(shù)向左平移個單位后，再向下平移2個單位后，得，函數(shù)是奇函數(shù)，故D正確.故選：ABD【點睛】思路點睛：本題考查的解析式和性質(zhì)的判斷，可以整體代入驗證的方法判斷函數(shù)性質(zhì)：（1）對于函數(shù)，其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點，因此判斷直線或點是否是函數(shù)的對稱軸和對稱中心時，可通過驗證的值進(jìn)行判斷；（2）判斷某區(qū)間是否是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，也可以求的范圍，驗證次區(qū)間是否是函數(shù)的增或減區(qū)間．8．下列結(jié)論正確的是（）A．在三角形中，若，則B．在銳角三角形中，不等式恒成立C．若，則三角形為等腰三角形D．在銳角三角形中,【答案】ABD【分析】由正弦定理及三角形性質(zhì)判斷A，由余弦定理判斷B，由正弦函數(shù)性質(zhì)判斷C，利用銳角△ABC這個條件,可得，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性比較與大小即可判斷D．【詳解】中，，由，得，A正確；在銳角三角形中，，B正確；中，若，則或，即或，為等腰三角形或直角三角形，C錯誤；在銳角三角形中,,,,即，同理：，D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查正弦定理，余弦定理，正弦函數(shù)的性質(zhì)，誘導(dǎo)公式等，學(xué)會公式的靈活應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵.9．在中，角所對的邊分別為，已知，下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．若，則的面積是D．若，則的外接圓半徑是【答案】ACD【分析】先利用已知條件設(shè)，進(jìn)而得到，利用正弦定理可判定選項A；利用向量的數(shù)量積公式可判斷選項B；利用余弦定理和三角形的面積公式可判定選項C；利用余弦定理和正弦定理可判斷選項D.【詳解】依題意，設(shè)，所以，由正弦定理得：，故選項A正確；，故選項B不正確；若，則，所以，所以，所以，故的面積是：；故選項C正確；若，則，所以，所以，所以，則利用正弦定理得：的外接圓半徑是：，故選項D正確；故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查正余弦定理以及三角形面積公式.利用已知條件設(shè)，再利用正余弦定理以及三角形面積公式求解是解決本題的關(guān)鍵.10．已知函數(shù)，則（）A．的最小正周期是B．的圖像可由函數(shù)的圖像向左平移個單位而得到C．是的一條對稱軸D．的一個對稱中心是【答案】AB【分析】首先化簡函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)形式的公式，以及代入的方法判斷選項.【詳解】，A.函數(shù)的最小正周期，故A正確；B.根據(jù)圖象的平移變換規(guī)律，可知函數(shù)的圖像向左平移個單位而得到，故B正確；C.當(dāng)時，，不是函數(shù)的對稱軸，故C不正確；D.當(dāng)時，，