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試題試題廣州市番禺區(qū)象賢中學(xué)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期12月月考高一級數(shù)學(xué)科試題一、單選題(本大題共8小題,共40分.在每小題列出的選項中,選出符合題目的一項)1.已知集合,集合,則()A.0 B. C. D.2.已知命題p:,,則為()A., B.,C., D.,3.下列函數(shù)中最小正周期為且是奇函數(shù)的為()A. B.C. D.4.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.5.若函數(shù)區(qū)間單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則=()A.3 B.2 C. D.6.設(shè),則函數(shù)的零點所在的區(qū)間為()A. B. C. D.7.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減,設(shè),,,則()A. B.C. D.8.若函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù)),則函數(shù)的零點個數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.5二、多選題(本大題共4小題,每題5分,少選2分,錯選0分,共20分)9.下列說法錯誤的是()A.與735°終邊相同的角是15°B.若一扇形的圓心角為15°,半徑為3cm,則扇形面積為C.設(shè)銳角,則角為第一或第二象限角D.設(shè)是第一象限,則為第一或第三象限角10.下列函數(shù)中,最小值為的是()A. B. C. D.11.已知函數(shù),則下列結(jié)論中錯誤的是()A.的最小正周期為B.圖象關(guān)于點中心對稱C.的圖象關(guān)于直線對稱D.在上單調(diào)遞增12.設(shè)函數(shù)定義域為,若存在,且,使得,則稱函數(shù)是上的“函數(shù)”,下列函數(shù)是“函數(shù)”的是()A. B.C. D.三、填空題(本大題共4小題,每題5分,共20分)13.已知,則___________.14.已知關(guān)于的不等式的解集為或,則的解集為__________.15.函數(shù)值域為__________.16.函數(shù)在上所有零點之和為__________________.四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.已知函數(shù)(1)化簡;(2)若,求的值.18.已知函數(shù)(1)求函數(shù)的對稱軸,對稱中心以及單調(diào)減區(qū)間;(2)求在上的最值及對應(yīng)的的值.19.已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;(2)解不等式.20.已知奇函數(shù)的定義域為(1)求實數(shù)值;(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并用定義證明;(3)當(dāng)時,恒成立,求的取值范圍.21.中歐班列是推進與“一帶一路”沿線國家道路聯(lián)通、貿(mào)易暢通的重要舉措,作為中歐鐵路在東北地區(qū)的始發(fā)站,沈陽某火車站正在不斷建設(shè)目前車站準備在某倉庫外,利用其一側(cè)原有墻體,建造一間高為,底面積為,且背面靠墻的長方體形狀的保管員室由于此保管員室的后背靠墻,無需建造費用,因此甲工程隊給出的報價如下:屋子前面新建墻體的報價為每平方米元,左右兩面新建墻體的報價為每平方米元,屋頂和地面以及其他報價共計元設(shè)屋子的左右兩面墻的長度均為.(1)當(dāng)左右兩面墻的長度為多少米時,甲工程隊的報價最低?(2)現(xiàn)有乙工程隊也參與此保管員室建造競標,其給出的整體報價為元,若無論左右兩面墻的長度為多少米,乙工程隊都能競標成功,試求的取值范圍22.設(shè)函數(shù).(1)若,求的值.(2)求函數(shù)在R上的最小值;(3)若方程在上有四個不相等的實數(shù)根,求a的取值范圍.廣州市番禺區(qū)象賢中學(xué)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期12月月考高一級數(shù)學(xué)科試題一、單選題(本大題共8小題,共40分.在每小題列出的選項中,選出符合題目的一項)1.已知集合,集合,則()A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由集合的表示方法以及交集的概念求解.【詳解】由題意,集合,,∴.故選:B.2.已知命題p:,,則為()A., B.,C., D.,【答案】C【解析】【分析】全稱命題的否定定義可得.【詳解】根據(jù)全稱命題否定,:,.故選:C.3.下列函數(shù)中最小正周期為且是奇函數(shù)的為()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的周期與奇偶性可判斷AB,根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡CD的解析式,再根據(jù)正余弦函數(shù)的奇偶性可判斷.【詳解】的最小正周期為,故A錯誤;為非奇非偶函數(shù),故B錯誤;,易知為奇函數(shù),且最小正周期為,故C正確;為偶函數(shù),故D錯誤.故選:C.4.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】以函數(shù)奇偶性排除部分選項,再以特殊值排除部分選項即可解決.【詳解】函數(shù)定義域為R,,則為奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點中心對稱,排除BD;又,由可知,,排除C.故選:A5.若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則=()A.3 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)求出,,再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,得到,求出,從而得到.【詳解】由題意得,故,,解得,,又因為函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,所以,解得,因為,所以,故,解得,故,解得,又,故,所以故選:C6.設(shè),則函數(shù)的零點所在的區(qū)間為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)的單調(diào)性,結(jié)合零點存在性定理,即可得出結(jié)論.【詳解】在單調(diào)遞增,且,根據(jù)零點存在性定理,得存在唯一的零點在區(qū)間上.故選:B【點睛】本題考查判斷函數(shù)零點所在區(qū)間,結(jié)合零點存在性定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減,設(shè),,,則()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念以及冪函數(shù)的單調(diào)性求出,在根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到,根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性得到,再結(jié)合偶函數(shù)可得答案.【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的定義可得,解得或,當(dāng)時,,此時滿足在上單調(diào)遞增,不合題意,當(dāng)時,,此時在上單調(diào)遞減,所以.因為,又,所以,因為在上單調(diào)遞減,所以,又因為為偶函數(shù),所以,所以.故選:C8.若函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù)),則函數(shù)的零點個數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】零點的個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題,求出交點和后,再分別計算和的解得個數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意,零點的個數(shù)等價于解的個數(shù),且的解等價于的解,∴函數(shù)與有和兩個公共點,∵在,上為增函數(shù),在上為減函數(shù),,∴有兩個解,,且,∴有三個解,∴函數(shù)的零點共有5個.故選:D【點睛】本題主要考查零點問題的轉(zhuǎn)化,一元二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì),考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想,屬于中檔題.二、多選題(本大題共4小題,每題5分,少選2分,錯選0分,共20分)9.下列說法錯誤的是()A.與735°終邊相同的角是15°B.若一扇形的圓心角為15°,半徑為3cm,則扇形面積為C.設(shè)是銳角,則角為第一或第二象限角D.設(shè)是第一象限,則為第一或第三象限角【答案】ABC【解析】【分析】令終邊相同的角的關(guān)系可判斷A,利用角的范圍或特例可判斷CD的正誤,利用公式計算扇形的面積后可判斷B.【詳解】對于A,,故與終邊也相同,故A錯誤.對于B,扇形面積為,故B錯誤.對于C,如果,則,此時為軸線角,故C錯誤.對于D,因為是第一象限,故,故,故為第一或第三象限角,故D正確.故選:ABC10.下列函數(shù)中,最小值為的是()A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)基本不等式可直接判斷B選項,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷A,C,D選項.【詳解】A選項:由已知,由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知,A選項錯誤;B選項:由已知,由基本不等式可知,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,所以B選項正確;C選項:,當(dāng)時,有最小值為,所以C選項正確;D選項:由得,所以D選項錯誤;故選:BC.11.已知函數(shù),則下列結(jié)論中錯誤的是()A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于點中心對稱C.的圖象關(guān)于直線對稱D.在上單調(diào)遞增【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)解析式,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì),逐項判斷作答.【詳解】函數(shù)的周期,A不正確;當(dāng)時,,點不是圖象的對稱中心,B不正確;當(dāng)時,,直線不是圖象的對稱軸,C不正確;當(dāng)時,,因函數(shù)在上單調(diào)遞增,因此在上單調(diào)遞增,D正確.故選:ABC12.設(shè)函數(shù)定義域為,若存在,且,使得,則稱函數(shù)是上的“函數(shù)”,下列函數(shù)是“函數(shù)”的是()A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】對于A,根據(jù)基本不等式可知A不正確;對于B,當(dāng),時,計算可知B正確;對于C,根據(jù)基本不等式可知C不正確;對于D,當(dāng),時,計算可知D正確.【詳解】對于A,當(dāng)時,所以,所以,故函數(shù)不是“函數(shù)”故A不正確;對于B,當(dāng),時,,,滿足,故函數(shù)是“函數(shù)”,故B正確;對于C,當(dāng)正數(shù)時,所以,故函數(shù)不是“函數(shù)”,故C不正確;對于D,當(dāng),時,,,滿足,故函數(shù)是“函數(shù)”,故D正確.故選:BD【點睛】關(guān)鍵點點睛:理解新函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.三、填空題(本大題共4小題,每題5分,共20分)13.已知,則___________.【答案】2【解析】【分析】將齊次式弦化切即可求解.【詳解】解:因為,所以,故答案為:2.14.已知關(guān)于的不等式的解集為或,則的解集為__________.【答案】【解析】【分析】利用給定解集結(jié)合韋達定理用表示出,再代入解不等式即得.【詳解】由關(guān)于的不等式的解集為或,得是方程的二根,且,于是,解得,不等式化為:,即,解得,所以不等式的解集為.故答案為:15.函數(shù)的值域為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知化簡可得.換元令,可得,.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),即可得出答案.【詳解】,令,因為,所以,所以.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,當(dāng)時,有最大值.又,,所以的最小值為,函數(shù)的值域為.故答案為:.16.函數(shù)在上所有零點之和為__________________.【答案】4【解析】【分析】利用數(shù)形結(jié)合,將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的交點問題,利用函數(shù)的對稱性,可求零點的和.【詳解】函數(shù),即,函數(shù)和關(guān)于點對稱,如圖畫出兩個函數(shù)在區(qū)間函數(shù)圖象,兩個函數(shù)圖象有4個交點,利用對稱性可知,交點橫坐標的和.故答案為:4四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17已知函數(shù)(1)化簡;(2)若,求的值.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)利用誘導(dǎo)公式進行化簡即可;(2)由(1)結(jié)果兩邊平方,再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系聯(lián)立解方程組即可得出結(jié)果.【詳解】解:(1)所以.(2)由,平方可得,即.所以,因為,又,所以,,所以,所以.【點睛】本題考查了誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的化簡與求值,屬于基礎(chǔ)題.18.已知函數(shù)(1)求函數(shù)的對稱軸,對稱中心以及單調(diào)減區(qū)間;(2)求在上的最值及對應(yīng)的的值.【答案】(1)對稱軸:,對稱中心:,減區(qū)間:(2)當(dāng)時,取最大值1;當(dāng)時,取最小值【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可;(2)根據(jù)三角函數(shù)在給定區(qū)間上的最值分布求解即可.【小問1詳解】由,解得,所以對稱軸方程為,由解得,所以對稱中心為,由,解得,所以函數(shù)的減區(qū)間為.【小問2詳解】因為,所以,所以,所以當(dāng),即時,函數(shù)有最小值為,當(dāng),即時,函數(shù)有最大值為.19.已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;(2)解不等式.【答案】(1)f(x)為奇函數(shù),證明見解析;(2)當(dāng)a>1時,不等式的解集為(0,1);當(dāng)0<a<1時,不等式的解集為(﹣1,0).【解析】【分析】(1)先求出函數(shù)的定義域,再求出f(﹣x)與f(x)的關(guān)系,利用函數(shù)的奇偶性的定義,得出結(jié)論;(2)分類討論底數(shù)的范圍,再利用函數(shù)的定義域和單調(diào)性,求得x的范圍.【小問1詳解】對于函數(shù),由,求得﹣1<x<1,故函數(shù)的定義域為(﹣1,1),再根據(jù)可得f(x)為奇函數(shù).【小問2詳解】不等式f(x)>0,即loga(x+1)>loga(1﹣x),當(dāng)a>1時,可得x+1>1﹣x,且x∈(﹣1,1),求得0<x<1.當(dāng)0<a<1時,可得x+1<1﹣x,且x∈(﹣1,1),求得﹣1<x<0,綜上,當(dāng)a>1時,不等式的解集為(0,1);當(dāng)0<a<1時,不等式的解集為(﹣1,0).20.已知奇函數(shù)的定義域為(1)求實數(shù)的值;(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并用定義證明;(3)當(dāng)時,恒成立,求的取值范圍.【答案】(1)a=1,b=3;(2)詳見解析;(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù),由求得a,再根據(jù)定義域關(guān)于原點對稱求解;(2)利用函數(shù)單調(diào)性定義證明;(2)將時,恒成立,令,轉(zhuǎn)化為,時恒成立求解.【小問1詳解】解:因為函數(shù)是奇函數(shù),所以,即,即,即,整理得,所以,即,則,因為定義域為關(guān)于原點對稱,所以b=3;【小問2詳解】在上遞增.證明:任取,且,則,因為,所以,又,所以,即,所以在上遞增;【小問3詳解】因為,所以,又當(dāng)時,恒成立,所以,時恒成立,令,則,時恒成立,而,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,所以,即的取值范圍是.21.中歐班列是推進與“一帶一路”沿線國家道路聯(lián)通、貿(mào)易暢通的重要舉措,作為中歐鐵路在東北地區(qū)的始發(fā)站,沈陽某火車站正在不斷建設(shè)目前車站準備在某倉庫外,利用其一側(cè)原有墻體,建造一間高為,底面積為,且背面靠墻的長方體形狀的保管員室由于此保管員室的后背靠墻,無需建造費用,因此甲工程隊給出的報價如下:屋子前面新建墻體
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