邏輯代數(shù)是英國數(shù)學家喬治`·布爾（Geroge.Boole）于1847年首先進行系統(tǒng)論述的，也稱布爾代數(shù)。所研究的是兩值變量的運算規(guī)律，即0，1表示兩種不同的邏輯狀態(tài)，稱這種只有兩種對立邏輯狀態(tài)的邏輯關(guān)系為二值邏輯。算術(shù)運算：兩個表示數(shù)量大小的二進制數(shù)碼之間進行的數(shù)值運算。邏輯運算：兩個表示不同邏輯狀態(tài)的二進制數(shù)碼之間按照某種因果關(guān)系進行的運算。2.1邏輯代數(shù)中的三種基本運算○或邏輯(ORLogic)

圖2.1中為一并聯(lián)直流電路，當兩只開關(guān)都處于斷開時，其燈泡不會亮；當A，B兩個開關(guān)中有一個或兩個一起合上時，其燈泡就會亮。如開關(guān)合上的狀態(tài)用1表示，開關(guān)斷開的狀態(tài)用0表示；燈泡的狀態(tài)亮時用1表示，不亮時用0表示，則可列出圖(b)所示的真值表。這種邏輯關(guān)系就是通常講的“或邏輯”，從表中可看出，只要輸入A，B兩個中有一個為1，則輸出為1，否則為0。所以或邏輯可速記為：“有1出1，全0出0”。圖中為或邏輯的邏輯符號，后面通常用該符號來表示或邏輯，其方塊中的“≥1”表示輸入中有一個及一個以上的1，輸出就為1。

邏輯或的表示式為：F=A+B(a)串聯(lián)開關(guān)電路（b）真值表（c）電路符號（d）表示式圖2.2與門電路及表示○非邏輯(NOTLogic)

非邏輯又常稱為反相運算(Inverters)。下圖2.3所示的電路實現(xiàn)的邏輯功能就是非運算的功能，從圖上可以看出當開關(guān)A合上時，燈泡反而滅；當開關(guān)斷開時，燈泡才會亮，故其輸出F的狀態(tài)與輸入A的狀態(tài)正好相反。非運算的邏輯表達式為。(a)串聯(lián)開關(guān)電路（b）真值表（c）電路符號（d）表示式圖2.3非門電路及表示●復合邏輯運算在數(shù)字系統(tǒng)中，除了與運算、或運算、非運算之外，常常使用的邏輯運算還有一些是通過這三種運算派生出來的運算，這種運算通常稱為復合運算，常見的復合運算有：與非、或非、與或非、同或及異或等。○與非邏輯(NANDLogic)

與非邏輯是由與、非邏輯復合而成的。其邏輯可描述為：“輸入全部為1時，輸出為0；否則始終為1”。下圖2.4(a)為與非運算的邏輯符號。二輸入的與非邏輯表達式可寫為：,多輸入的與非邏輯表達式可寫為：(a)與非門(b)或非門(c)與或門(d)異或門圖2.4各種復合邏輯符號表示○或非邏輯（NORLogic)

上圖2.4(b)為或非的邏輯符號，從與非的邏輯可以推出或非的邏輯關(guān)系：“輸入中有一個及一個以上1，則輸出為0，僅當輸入全為0時輸出為1”?；蚍沁壿嫷倪壿嫹枮椋骸鹋c或非邏輯上圖中圖2.4(c)為與或非的邏輯符號，A，B相與后輸出到或運算輸入，同時C，D也相與后輸出到或邏輯的輸入，這兩個輸出再進行或運算后加到非運算輸出。與或非的邏輯表達式為：○異或邏輯圖2.4(d)為異或的邏輯關(guān)系，當兩個輸入中只有一個為1時，輸出為1；否則為0。異或運算的邏輯表達式為：○同或邏輯

圖2.5為同或運算的例子與邏輯符號，從圖上可以看出同或?qū)嶋H上是異或的非邏輯，下表也說明了其兩者的非的邏輯關(guān)系。表2.1為異或邏輯及同或邏輯真值表。(a)串聯(lián)開關(guān)電路（b）真值表（c）電路符號（d）表示式圖2.5同或門電路及表示表2.1異或邏輯及同或邏輯真值表輸入變量異或邏輯同或邏輯AB00010110101011012.2 邏輯函數(shù)及其表示方法2.2.1邏輯函數(shù)上節(jié)中介紹了三種基本邏輯運算以及由基本邏輯運算構(gòu)成的復合邏輯運算，在實際的邏輯電路中,經(jīng)常遇到的式這幾種邏輯運算的組合。一般地說，若輸入邏輯變量A，B，C…的取值確定后，輸出變量F的值也唯一的確定了，就稱F是A，B，C…的邏輯函數(shù)，表示式為F=f(A,B,C…)

在邏輯代數(shù)中，不管式變量還是函數(shù)，它們都只有兩個取值，用0和1表示。邏輯代數(shù)中的函數(shù)與普通代數(shù)中函數(shù)的概念相比，有其自身的特點；(1)邏輯變量和邏輯函數(shù)的取值只有0和1兩種可能(2)函數(shù)和變量之間的關(guān)系是由“或”“與”“非”三種基本運算決定的。2.2.2邏輯函數(shù)的表示方法任何一個邏輯函數(shù)均可以用邏輯表達式，真值表，卡諾圖和邏輯圖表示。這四種不同的表示方法之間能相互轉(zhuǎn)換。邏輯表達式是由邏輯變量和或，與，非三種運算符所構(gòu)成的表達式。例如；2.2.1.2真值表真值表是將邏輯變量的各種可能取值和相應的函數(shù)值排列在一起而組成的表格。由于一個邏輯變量只有0和1兩種可能的取值，故n個邏輯變量一共有2n種可能的取值組合?！豪?．1』有一個3位二進制數(shù)，當輸入有奇數(shù)個1時，輸出位1，不然輸出為0。試分別寫出輸出函數(shù)的真值表和邏輯表達式。解：一個3位二進制輸入變量，分別用A，B，C表示，它有8種（23）可能的組合，變量的取值按二進制數(shù)從小到大的順序排列。根據(jù)題意，可列出真值表如下。 由真值表可知，在4種情況下函數(shù)為1?？汕蟮倪壿嫳磉_式為2.2.1.3邏輯函數(shù)與邏輯圖

1．根據(jù)邏輯表達式畫邏輯圖一個邏輯表達式是由邏輯乘，邏輯加，邏輯非三種運算組合而成，因此可以用與門，或門，非門來實現(xiàn)這三種運算?！豪?．2畫出函數(shù)的邏輯圖』解：圖2.2.3的(a)與(b)分別為用4個門電路與用2個門電路表示的邏輯圖。（a）用4個門電路組成(b)用2個門電路組成圖2.2.3例2.2的邏輯圖2．由邏輯電路圖寫出邏輯表達式『例2.3寫出圖2.2.4(a)所示電路的邏輯表達式』解：因為邏輯圖相對復雜,可在圖中標出一些中間變量,自左到右寫出邏輯表達式。

對于復雜的邏輯圖，往往很難直觀地寫出其表達式，這時可先畫出圖2.2.4（b）地真值表，對真值表中輸出為1的項，寫出其表達式。

（a）例2.3的邏輯圖(b)例2.3的真值表圖2.2.4例2.3的由邏輯圖與其真值表2.2.1.4卡諾圖卡諾圖是由表示邏輯變量的所有可能組合的小方格構(gòu)成的平面圖，它是一種圖形描述邏輯函數(shù)的方法，一般畫成正方形或矩形。這節(jié)內(nèi)容將在后繼的課程中講述。2.3邏輯代數(shù)基本定律及常用公式2.3.1邏輯代數(shù)基本定律邏輯變量取值只有0和1。根據(jù)三種基本邏輯運算的定義，不難推出下列基本定律。（1）0－1律；A·0＝0,A+1＝1（2）自等律；A·1＝A,A+0＝A（3）交換律；A+B＝B+A,AB＝B·A（4）結(jié)合律；(A+B)+C＝A+（B+C），(A·B)·C＝A·（B·C）（5）分配律；A+（B·C）＝(A+B)·（A+C），A·（B+C）＝A·B+A·C（6）互補律；（7）重疊律；A+A＝A,A·A＝A（8）反演律；，，反演律又稱摩根定理。（9）非非律；2.3.2邏輯代數(shù)的常用公式下面介紹一些常用公式，利用這些公式可方便地對邏輯表達式進行化簡。公式1：

公式2：A+AB＝AA·(A+B)＝A公式3：公式4：公式5：公式6：2.3.3邏輯代數(shù)的重要規(guī)則下面介紹三條邏輯關(guān)系的重要規(guī)則，這些經(jīng)常在邏輯運算中使用?！鸫胍?guī)則：任何一個含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個邏輯函數(shù)代替，則等式仍然成立。這個規(guī)則稱為代入規(guī)則?！鸱囱菀?guī)則：對于任何一個邏輯表達式Y(jié)，如果將表達式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y（或稱補函數(shù)）。這個規(guī)則稱為反演規(guī)則。○對偶規(guī)則：對任一邏輯式Y(jié)，將其中的“?”換成“＋”，“＋”換成“?”，“０”換成“１”，“1”換成“0”，得到Y(jié)′,Y′稱為Y的對偶式。它具有以下性質(zhì)：

(1)

若一個定理是正確的，則其對偶式也一定正確。

(2)

若兩個邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。

(3)

對對偶式再求對偶得原函數(shù)本身。利用對偶式，有時可以簡化對等式的證明。對任何表達式，將“·”和“+”互換，可得到一個新的表達式，此式是原式的對偶式。2.3.4邏輯代數(shù)的相等判斷兩個邏輯函數(shù)是否相等，通常有以下兩種方法。

(1)列出真值表。它們的真值表相同，則邏輯函數(shù)相等。

(2)用上述講過的定律，公式及規(guī)則加以證明。例1：已知Y=A(B+C)+CD，求。解：例2：，求。解：2.4邏輯函數(shù)的化簡為了實現(xiàn)某種邏輯關(guān)系，當邏輯表達式比較簡單時，那么所需的邏輯器件數(shù)就可以比較少。下面講述邏輯函數(shù)的基本形式與標準形式的基礎(chǔ)上，講述化簡問題。2.4.1邏輯函數(shù)表達式的基本形式用與，或，非等運算表示邏輯函數(shù)中各個變量之間的邏輯關(guān)系的代數(shù)式子可以有多種形式。比如：

在上述多種表示形式中，與－或表達式和或－與表達式是邏輯函數(shù)的兩種最基本的表達形式。與－或表達式是指一個函數(shù)表達式由若干個“與項相或構(gòu)成，每個“與”項是一個或者多個原變量或反變量的與?；颍c表達式是指一個函數(shù)表達式由若干個“或”項相與構(gòu)成，每個“或”項是一個或者多個原變量或反變量的或。利用邏輯代數(shù)的定律，公式和規(guī)則，可以將任何一種形式的函數(shù)化簡成與－或表達式和或－與表達式這兩種基本的形式。2.4.2.1標準與－或表達式1、最小項最小項：在n變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個因子的乘積項，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次，則稱m為該組變量的最小項。可見三變量邏輯函數(shù)的最小項有8個，四變量邏輯函數(shù)的最小項有16個，則n變量邏輯函數(shù)的最小項有2n個。以三變量的邏輯函數(shù)為例，以下為三變量最小項的編號表。最小項mi的下標i的規(guī)則是:當變量按序（A,B,C,···）排列后，令與項中的所有原變量用1表示，反變量用0表示，由此可得一個1，0序列組成的二進制數(shù)，該二進制數(shù)對應的十進制數(shù)即為下標i的值。若兩個最小項僅有一個因子不同，則稱這兩個最小項具有相鄰性。例：ABC和，這兩個最小項相加時能合并，并可消去1個因子。

最小項性質(zhì)：①在輸入變量的任何一取值下必有一個最小項，而且僅有一個最小項的值為1。②任意兩個最小項的乘積為0。③全體最小項之和為1。④具有相鄰性的兩個最小項之和可以合并為一項并消去一個因子。2、邏輯函數(shù)的最小項之和形式：利用基本公式可把任一邏輯函數(shù)式展開為最小項之和的形式。這種形式在邏輯函數(shù)的圖形化簡法中以及計算機輔助分析和設計中得到廣泛應用。例1：2.4.2.2標準或－與表達式1、最大項最大項：在n變量邏輯函數(shù)中，若M為n個變量的和，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)一次，則稱M為該組變量的最大項。可見：三變量邏輯函數(shù)的最大項有23個，四變量邏輯函數(shù)的最大項有24個，n變量邏輯函數(shù)則有2n個最大項，其數(shù)目與最小項數(shù)目是相等的。以三變量的邏輯函數(shù)為例，以下為三變量最小項的編號表。最大項Mi的下標i的規(guī)則與最小項mi的下標的確定正好相反，即將或項中的原變量用0表示，反變量用1表示，這樣組成的二進制數(shù)對應的十進制數(shù)即為下標i的值。最大項性質(zhì)：①在輸入變量的任何取值下，必有一個，而且只有一個最大項的值是0。②任意兩個最大項之和為1。③全體最大項之積為0。④只有一個變量不同的兩個最大項的乘積等于各相同變量之和。2、邏輯函數(shù)的最大項之積形式：如果已知邏輯函數(shù)為Y=∑mi時，定可將它化成編號為i以外的最大項之積。由，Y=∑mi，又，所以，從而例：將邏輯函數(shù)化為最大項乘積的形式。解：2.4.2.3邏輯函數(shù)表達式的轉(zhuǎn)換1.

或2.

某函數(shù)F若用P項最小項之和表示，則該函數(shù)的反函數(shù)可用P項最大項之積表示，而P項最大項及最小項的標號完全一致。例：F=m1+m3+m6+m73.

一個n變量函數(shù)，當用積之和的標準型表示時，最小項的下標號正好不是用和之積標準型表示時的最大項的下標號，反之亦然，而且最小項與最大項的下標號的總和為2n。例：F=

m(0,1,3,6)可轉(zhuǎn)換為：F=

M(2,4,5,7)2.4.3邏輯函數(shù)的化簡在邏輯函數(shù)各種不同的表達形式中，與－或表達式和或－與表達式是最基本的形式。通過這兩種基本形式可以方便地轉(zhuǎn)換成任何其它地形式。2.4.3.1代數(shù)化簡法最簡與－或表達式地條件：

·表達式中的與項個數(shù)最少。

·滿足上述條件的前提下，每個與項中的變量個數(shù)最少。這樣可能保證相應邏輯電路所需的門電路的數(shù)量及輸入端個數(shù)為最少。用基本公式和常用公式消去多余的邏輯變量和多余的與項和或項1.并項法：運用公式：消去B和兩個因子。2.吸收法：利用公式：A+AB消去AB項。3.消項法：利用公式：消去BC項。4.消因子法：利用公式：，消去因子。5.配項法：①利用A+A配項：

②利用配項例1：(1)

吸收法利用公式，，及多余項定理例2：消去法利用公式，例3：(3)

配項法利用公式，，，及多余項定理例4：例5：顯然，使用配項法試探著進行化簡，需要有一定的技巧，不然將愈配愈繁。通常，用代數(shù)法化簡時，大多是綜合上述幾種方法。例6：例7：或由上例可知，邏輯函數(shù)的化簡結(jié)果也不是惟一的。2．或－與表達式的化簡最簡與－或表達式地條件：

·表達式中的或項個數(shù)最少。

·滿足上述條件的前提下，每個或項中的變量個數(shù)最少。

2.4.3.2卡諾圖化簡法卡諾圖是邏輯函數(shù)的最小項方塊圖表示法，它用幾何位置上的相鄰，形象地表示了組成邏輯函數(shù)地各個最小項之間在邏輯上地相鄰性。它是化簡邏輯函數(shù)地重要工具。1.卡諾圖的結(jié)構(gòu)（1）卡諾圖一般都畫成正方形或矩形。圖中分割出的小方格數(shù)就有2n個，n為變量數(shù)。因為n個變量共有2n個最小項，而每一個最小項需用一個小方格表示。（2）變量取值的順序按照循環(huán)碼排列，已確保最小項的相鄰關(guān)系能在圖形上清晰地反映出來。循環(huán)碼：相鄰的兩個代碼之間僅有1位不同，其余各位均相同。例如：0000→0001→0011→0010→0110→0111→0101→0111···①卡諾圖中，每一小方格代表了一個最小項，變量取值為1的代表原變量，為0的代表反變量。②對任何一個最小項邏輯函數(shù)表達式，可將其所具有的最小項在卡諾圖中相應的方格中填1。③一般與或表達式可直接填寫在卡諾圖中。

圖2.4.1是二變量卡諾圖。兩個變量可組成4個最小項，因此，卡諾圖由4個方格構(gòu)成，而每個方格代表一個最小項，如圖2.4.1（a）所示。圖2.4.1（b），（c），（d）也是習慣畫法。圖2.4.2是三變量卡諾圖。3變量可組成8個最小項，所以卡諾圖由8個方格構(gòu)成。在圖2.4.2（a）中，列出8個最小項及相應地方格，各最小項的位置可通過卡諾圖的每一列和每一行上寫的數(shù)字來說明。例如m5的方格對應于10列和1行。這兩個數(shù)字連起來就成為二進制的101，即10進制的5。圖2.4.3是四變量卡諾圖。4變量可組成16個最小項，所以卡諾圖由16個方格構(gòu)成。注：mi地下標i為十進制數(shù)，它地構(gòu)成順序是高兩位為AB，低兩位為CD。

（a）(b)(c)(d)圖2.4.1二變量卡諾圖Am2m1m3Bm00101AABABABBAB0101Bm1m2m3Am00101B123A00101

（a）(b)(c)圖2.4.2三變量卡諾圖

（a）(b)(c)圖2.4.2四變量卡諾圖ABm2m1m3C0001011110m0m4m7m5m6ABABCABCABCC0001011110ABCABCABCABCABCBC145A000101111002763m4m1m5CD000100011110m0m8m13m9m12m7m2m61110m3m11m14m10m15ABCDABCDABCDCD000100011110ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCD1110ABCDABCDABCDABCDABCD145AB00010001111002763138911101214111015

卡諾圖中任何幾何位置相鄰的最小項，在邏輯上都具有相鄰性。例如四變量卡諾圖中，每個最小項應有4個相鄰最小項，如m5的4個相鄰最小項分別為m1,m4,m7,m13,而這4個最小項對應的小方格與m5對應的方格分別相連，也就是說幾何位置上是相鄰的，這種相鄰稱為幾何相鄰，它包括：

·相接―――緊接著，如圖2.4.3中的m1,m5與m4,m5

·相對―――任意一行或一列的兩頭，如圖2.4.3中的m0,m2與m0,m8

·相重―――將卡諾圖對折起來位置重合，重合的最小項相鄰，這種相鄰稱為重疊相鄰。如圖2.4.3中的m0,m1,m3,m2與m8,m9,m10,m11。ABm4m1m5CD000100011110m0m8m13m9m12m7m2m61110m3m11m14m10m15ABm4m1m5CD000100011110m0m8m13m9m12m7m2m61110m3m11m14m10m15ABm4m1m5CD000100011110m0m8m13m9m12m7m2m61110m3m11m14m10m15m1與m5，m4與m5相鄰相接m0與m8，m1與m9，

m3與m11，m2與m10相鄰相對·

相重m0與m2，m4與m6，

m12與m14，m8與m10相鄰相對·

相重2.卡諾圖上最小項的合并規(guī)律相鄰小方格的合①將邏輯表達式換成與或式，填寫對應小方格。

②將相鄰的2K個為1的小方格圈在一起，應盡可能圈進多的小方格。

③先圈孤立的單個小方格，再圈2個，4個，8個，…能合并的小方格。

④所畫圈必須包含一個新的最小項，否則得到的是多余項。

⑤根據(jù)所畫的圈寫出對應乘積項，再將其邏輯相加，得到最簡表達式。（1）兩個小方格的合并AB213C000101(a)11106ABC000101(b)111076AB1C000101(c)11105∑m(1,2,3,6)=ABC+ABC+ABC+ABC=AC(B+B)+BC(A+A)=AC+BC∑m(6,7)=AB∑m(1,5)=BCAB15CD0001000111101110(a)ABCD00010001111012111014(a)∑m(12,14)=ABD∑m(1,5)=ACD（2）四個小方格的合并AB415CD00010001111008139127261110311141015AB4CD000100011110126111014ABCD000100011110082111010AB213C00010111100AB713C00010111105m5+m7+13+15=BD∑m(4,6,12,14)=BD∑m(0,2,8,10)=BD∑m(0,1,2,3)=A∑m(0,2,8,10)=C（3）八個小方格的合并AB415CD000100011110072611103AB15CD0001000111101397111031115AB1CD0001000111100892111031110∑m(0,1,2,3,4,5,6,7)=A∑m(1,3,5,7,9,11,13,15)=D∑m(0,1,2,3,8,9,10,11)=B將給定函數(shù)用卡諾圖表示（1）邏輯函數(shù)表達式為最小項之和時的表示

例1：畫出F(A,B,C)=∑m(0,3,7)的卡諾圖。AB1C000101111011注：在卡諾圖上最小項所對應的小方格標以1，剩余的小方格標以0，有時0可以不標。

例2：畫出F(A,B,C,D)=∑m(0,3,5,7,10,11,12,14)的卡諾圖。AB1CD00010001111011111011111

（2）邏輯函數(shù)由正值表時的表示

可直接根據(jù)正值表在卡諾圖中填寫，函數(shù)值為1的填1，為0填0。

（3）邏輯函數(shù)是一般邏輯函數(shù)時的表示

先將邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成與-或表達式（不必化為最小項之和的形式），然后在卡諾圖中把每一個乘積項所包含的那些最小項處填1，而剩下的填0。例1：畫出F(A,B,C)=AC+AB+ABC+BCAB111C000101111011例2：畫出F(A,B,C)=(A+B)(C+D)的卡諾圖F(A,B,C)=(A+B)(C+D)=(A+B)+C+D=AB+AB+CD解：先將其化為與或表達式AB1CD00010001111011111011111114用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)·

將邏輯函數(shù)化簡成的步驟最簡與-或表達式

1).將給定函數(shù)用卡諾圖表示

2).對卡諾圖上的含1的方格畫卡諾圈

3).選擇乘積項寫出最簡與-或表達式例:用卡諾圖求函數(shù)F(A,B,C,D)=ABCD+AB+