第一章勾股定理單元測(cè)試-2025-2026學(xué)年北師大版

(2024)

八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

考試時(shí)間：100分鐘滿(mǎn)分：100分

一、選擇題（共10小題，共30分）

1.下列各組數(shù)據(jù)中，可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三邊的是（）

A.6、7、8B.5、12、14C.6、8、10D.5、7、9

2.如圖，在△彳8c中，AB=5,8c=4,AC=7,BD上AC,則CO的長(zhǎng)為（）

3.如圖，ZU8C是一張紙片，/。=90。,4。=61。=8,現(xiàn)將其折疊，點(diǎn)4與點(diǎn)A重合,

折痕為?！?則5。的長(zhǎng)為（）

C

4.在邊長(zhǎng)為正整數(shù)的△/3。中，/4=4C,且48邊上的中線(xiàn)。。將△力的周長(zhǎng)分為1:2

的兩部分，則△力面積的最小值為（）

A.—B.—V15C.-V7D.三岳

123644

5.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家奏九韶的著作《數(shù)書(shū)九章》里記載有這樣一道題：“問(wèn)有沙田一塊,

有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？''這道題講的是：有一

塊三角形沙田，三條邊長(zhǎng)分別為5里，12里，13里，則亥沙田的面積為（）（“里”是我國(guó)

市制長(zhǎng)度單位，1里=500米）

試卷第1頁(yè)，共6頁(yè)

A.7.5平方千米B.75平方千米C.1平方千米D.750平方千米

6.如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，力4=6,點(diǎn)E是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且&CDE的面積始終等于長(zhǎng)方形ABCD

面枳的四分之一.若"+"的最小值為10,則△CEQ的面枳是（）.

A.10B.12C.14D.16

7.如圖，在水塔。的東北方向32m處有一抽水站兒在水塔的東南方向24m處有一建筑工

地8,在48間建一條直水管，則水管的長(zhǎng)為（）

C.50mD.56m

8.如圖，由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成一個(gè)大長(zhǎng)方形，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得

至U△44C,則△49C中5。邊上的高是（）

A.—2y/j10B.y/2C.25/2D.—3y/r10

JJ

9.如圖，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知S/=4,S?=9,S3=

8,S/=10,貝US=（）

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

C.32D.40

10.如圖①所示，有一個(gè)由傳感器力控制的燈，要裝在門(mén)上方離地高4.5m的墻上，任何

東西只要移至該燈5m及5m以?xún)?nèi)時(shí)，燈就會(huì)自動(dòng)發(fā)光.請(qǐng)問(wèn)一個(gè)身高1.5m的學(xué)生要走到

離墻多遠(yuǎn)的地方燈剛好發(fā)光？（）

圖②

B.3米

C.5米D.7米

二、填空題（共6小題，共24分）

11.如圖，有一個(gè)高為阻刀，底面周長(zhǎng)為6cm的圓柱形容器，在外壁距下沿3cm的點(diǎn)/處

有一只螞蟻，與螞蟻相對(duì)的內(nèi)壁距上沿4cm的點(diǎn)8處有一滴蜂蜜，則螞蟻從4處到蜂蜜〃

處所走的最短路徑長(zhǎng)為.

B8cm

A

12.如圖，在八48。中，rC=90°,8。是的角平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)。作8c的平行線(xiàn)，交AB

于點(diǎn)E,已知，AB=9,BE=4,則CQ的長(zhǎng)為—.

試卷第3頁(yè)，共6頁(yè)

16.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)：連接AE,AC,將AAEC沿AE翻

折得到△AEC,延長(zhǎng)CE交CD邊于F,若普=二3>1）,則鬟=_____（用含n的代數(shù)

CFn-ICE

式表示）.

三、解答題（共5小題，共46分）

17.求如圖的Rt△48。的面積.

18.如圖，四邊形Z8C。中，AB=3,BC=4,CD=\^AD=\2,N8=90。，求四邊形力BCQ

的面積.

試卷第5頁(yè)，共6頁(yè)

19.如圖，在RtZX/BC中，NC=90。，/4=13,JC=5,AD平分NCAB交CB于點(diǎn)、D,

求CD的長(zhǎng).

20.一種機(jī)器零件的形狀如圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中/力和都應(yīng)為直角才符合要

求，工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如圖.請(qǐng)你判斷這個(gè)零件符合要求嗎？并說(shuō)明理由.

21.臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周?chē)细擅椎姆秶鷥?nèi)形成極端氣候，有極

強(qiáng)的破壞力，如圖，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向48由點(diǎn).4向點(diǎn)8移動(dòng)，已知點(diǎn)C為一海港,

且點(diǎn)。與直線(xiàn)48上兩點(diǎn)4、8的距離分別為300km和400km,又48=500km,以臺(tái)風(fēng)中

心為圓心周?chē)?50km以?xún)?nèi)為受影響區(qū)域.

(2)若臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h,臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

1.c

【分析】知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等,

則三角形為直角三角形；否則不是.

【詳解】解：A:62+7H84,?.不能構(gòu)成直角三角形,故不符合題意;

B:52+122*42,.?.不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；

C:62+82=102,...能構(gòu)成直角三角形，故符合題意；

D.：52+72勢(shì)2,...不能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用，判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三

邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

2.B

【分析】本題考杳了勾股定理，設(shè)CQ=x,則力。=7-x,在Rt/\/8O和Rt/\UF力中，由

勾股定理得出方程，解方程即可，根據(jù)勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)CQ=x,貝lJ%Q=7—x,

BD工AC,

NBDA=NBDC=90°,

在0和RtACBO中，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=BC1-CD1,

HP52-(7-X)2=42-X3,

解得：x=y,

即CO的長(zhǎng)為7三()，

故選：B.

3.C

【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，先求解力5=10,設(shè)。6=入，可得

CZ)=8-x,再利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：vZC=90°,.4C=6,5C=8,

?,?"=162+82=1()，

根據(jù)翻折可得：BD=AD,

設(shè)。8=x,根據(jù)圖形翻折可得：力。=x,CD=8-x,

答案第1頁(yè)，共13頁(yè)

在直角三角形力CO中，根據(jù)勾股定理可得：62+（8-X『=/

解得x=V25

4

：.BD=—

4X

故選C.

4.C

【分析】本題考查勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系.設(shè)這個(gè)等腰三角形的

腰為x，底為八分為的兩部分邊長(zhǎng)分別為〃和2”，再根據(jù)題意列出關(guān)于X、），、〃的方程組,

用〃表示出x、y的值，由三角形的三邊關(guān)系舍去不符合條件的x、y的值，由〃是正整數(shù)求

出△N6C面積的最小值即可.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)等腰三角形的腰為口底為門(mén)分為的兩部分邊長(zhǎng)分別為〃和2〃,

x十二=〃xJ=2〃

2

則2或,

—+v=2/i—+y=n

[2,2

2

x=-nx=n

解得；或＜

n

225

+（此時(shí)不能構(gòu)成二角形，舍去）,

.?.取X=，/7,y=其中〃是3的倍數(shù)，

如圖，AD1BC,

答案第2頁(yè)，共13頁(yè)

當(dāng)〃>0時(shí)，S隨著〃的增大而增大，

故當(dāng)〃=3時(shí)，MBC面積取最小值，最小值為：S-X*=>幣,

124

故選C.

5.A

【分析】直接利用勾股定理的逆定理進(jìn)而結(jié)合直角三角形面枳求法得出答案.

【詳解】解：v52+122=169,132=169

???52+122=132,

???三條邊長(zhǎng)分別為5里，12里，13里，構(gòu)成了直角三角形，

???這塊沙田面積為：7x5x500x12x500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）.

故選A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用，正確得出三角形的形狀是解題關(guān)鍵.

6.B

【分析】本題根據(jù)ACQE的面積始終等于長(zhǎng)方形力8C。面積的四分之得到點(diǎn)￡在仞的

垂直平分線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，連接/E,BE,/C,根據(jù)垂直平分線(xiàn)性質(zhì)和兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短，得

到4C=10,利用勾股定理算出8C,即可解題.

【詳解】解：???△CQE的面積始終等于長(zhǎng)方形488面積的四分之一，

記點(diǎn)￡到CO的高為力，又AB=6,

CD=AB=6t

有6%QX；=；X6力，整理得力:（/。，即點(diǎn)E在力。的垂直平分線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，

連接4E,BE,AC,

???點(diǎn)E任AD的垂直平分線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，

:.AE=DE,BE=CE,

要E1+E8最小，即E4+EC最小，

工當(dāng)E、A、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，口+￡8取得最小值為4C的長(zhǎng),

答案第3頁(yè)，共13頁(yè)

???E/+E8的最小值為10,BPJC=IO,

BC=4AC?-AB?=8,

...△CEO的面積是=1x6x8=12.

44

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、垂直平分線(xiàn)性質(zhì)、兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短、熟練掌

握相關(guān)性質(zhì)并靈活運(yùn)用，即可解題.

7.B

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意抽象出直角三角形是關(guān)鍵.由題意可知東北方

向和東南方向間剛好是一直角，利用勾股定理解圖中直角三角形即可.

【詳解】解：,??在水塔。的東北方向32m處有一抽水站,4,在水塔的東南方向24m處有一建

筑工地8

???40。=/8OC=45。，

???408=90。，

vOA=32m,OB=24m,

???AB=A/322+242=40m?

南

8.A

【分析】本題考查了勾股定理以及三角形的面積，根據(jù)題意得出△44。的面積等于正方形面

積減去其他3個(gè)三角形的面積是解題的關(guān)鍵.根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再利用三角形的

面積求出三角形的高即可.

【詳解】解：設(shè)ZU8C中邊上的高為比

由勾股定理，得3。="后=/而，

答案第4頁(yè)，共13頁(yè)

=2X3——xlxl——xlx3——X2X2=2,S=—BCh=—xy/\Oh=?

'222s八ih凱c2)?

.麗

,--------N,

2

解得〃=|屈

：4ABC中8。邊上的高是|屈.

故選：A.

9.B

【分析】如圖，分別求出AB?、AC2,進(jìn)而得到BC?,即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：如圖，由題意得：

4*=S/+S2=13,

/C2=S,+S4=18,

：.B(y=/iB2+A(y=3i,

.--S=BC2=3\,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題：解題的關(guān)鍵是牢

固掌握勾股定理.

10.A

【分析】根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理解答.

【詳解】由題意可知，BE=CD=1.5m,AE=AB-BE=4.5-1.5=3m,AC=5m,

由勾股定理，得CE=,52-32=4m,

故離門(mén)4米遠(yuǎn)的地方，燈剛好發(fā)光，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用.

答案第5頁(yè)，共13頁(yè)

11.sVlOcin

【分析】本題考查了最短路徑問(wèn)題，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并作出適當(dāng)?shù)?/p>

輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵；

將杯子側(cè)面展開(kāi)，作點(diǎn)4關(guān)于QE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)4,根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，可知力力的長(zhǎng)度即

為所求.

【詳解】如圖：將杯子側(cè)面展開(kāi)，作點(diǎn)力關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)力'，過(guò)點(diǎn)、B作BF上4E于點(diǎn)、尸,

A'

連接AB，則A'B即為螞蟻從A處到蜂蜜B處所走的最題路徑,

由題易得，AE=S-3=5cm,BF=3cm,EF=4cm,

由對(duì)稱(chēng)可知，HE=/E=5cm,

...4尸=HE+E/=5+4=9cm,

由勾股定理得，A,B=四勾+//尸=^32+92=3Vu)cm.

???螞蟻從A處到蜂蜜B處所走的最短路徑長(zhǎng)為3Mm.

故答案為：3\ZT6cm.

12,烏

5

【分析】過(guò)。點(diǎn)作月8于，，如圖，利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到DC=DH,

再證明則可根據(jù)勾股定理計(jì)算出力。，然后利用面積求出?！?/p>

的長(zhǎng)，從而得到CD的長(zhǎng).

【詳解】解：過(guò)D點(diǎn)、作DH工4B于H,如圖，

8。是A48C的角平分線(xiàn)，

:"CBD=/EBD,DC=DH,

答案第6頁(yè)，共13頁(yè)

?：DE//BCt

:.NCBD=NEDB,N=NC=90°,

ZEBD=ZEDB,

:.ED=EB=4,

AE=AB-BE=9-4=5t

在RtAADE中，AD=^AEZ-DE2=752-42=3，

???-AEDH=-ADDE,

22

故答案為三I?.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.也考查了

平行線(xiàn)的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì).

13.12

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，能夠在實(shí)際問(wèn)題中找到直角三角形并應(yīng)用勾股定理是解

決本題的關(guān)鍵.

將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知BC=5尺，設(shè)水深4C=x尺，則蘆

葦長(zhǎng)(x+1)尺，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L(zhǎng)和水深.

【詳解】解：設(shè)水深工尺,則蘆葦長(zhǎng)(x+1)尺,

在中，AC2+BC=A*,

即x2+52=(x+l)2,

解得：x=12,

x+1=13,

故水深12尺，蘆葦長(zhǎng)13尺，

答案第7頁(yè)，共13頁(yè)

故答案為：12.

14.36

【分析】延長(zhǎng)AE與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于F,證明根七。也AEEC利川勾股定理可得答案.

【詳解】解：延長(zhǎng)AE與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于F,

???點(diǎn)E為線(xiàn)段C。的中點(diǎn)，

DE=CE,

?/ADHBC,

ND=NECF,

Z.AED=NFEC,

ME哈MEC,

AE=EF=3,AD=CF=1,

/.AF=6,8F=3,

???N8=90°,

故答案為：3G.

【點(diǎn)睛】本題考查添加輔助線(xiàn)構(gòu)造三角形全等，勾股定理的應(yīng)用，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的

關(guān)鍵.

15.20

【分析】要求最短路徑，首先要把圓柱的側(cè)面展開(kāi)，利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，然后利用勾股

定理即可求解.

【詳解】解：把圓柱側(cè)面展開(kāi)，展開(kāi)圖如右圖所示，點(diǎn)/、。的最短距離為線(xiàn)段力。的長(zhǎng).

答案第8頁(yè)，共13頁(yè)

在R/A4QC中，乙40c=90°,CD=AB=6cm,力。為底面半圓弧長(zhǎng)，40=8?！?

所以4C=y/cD2+AD2=1Ocm,

.?.從C點(diǎn)爬到力點(diǎn)，然后再沿另一面爬回。點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路程為2ZC=20c%

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是會(huì)將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，并利用

勾股定理解答.

16.

3n+6

【分析】先過(guò)A作AHJ.FE于H,連接AF,構(gòu)造全等三角形，再根據(jù)直角三角形，利用勾

進(jìn)而得到B票E的值.

CE

則/B=/AHE=90°,

由折疊可得，NAEC'=/AEC,而NBEC'=NHEC,

ZAEB=ZAEH,

在AABE和AAHE中,

NB=NAHE

<NAEB=ZAEH,

AE=AE

「.△ABEWAAHE(AAS),

/.BE=HE,AB=AH=AD,

答案第9頁(yè)，共13頁(yè)

在RLADF和RLAHF中,

AD=AH

(AF=AF,

...RtaADF三RsAHF(HL),

DF=HF,

設(shè)DF=n+l,CF=n-l,則CD=2n,HF=n+l,設(shè)BE=HE=x,則CE=2n-x,

???R^CEF中，CF2+CE2=EF2,

.\(n-l)2+(2n-x)2=(n+l+x)2,

解得x=2nJ2n,

3n+l

cl2n2-2n___2n2-2n4n2+4n

/.BE=-------，CE=2n-=-------，

3n+l3n+l3n+l

BEn-1

,CE-2n+2?

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解

決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等以及勾股定理列方

程求解.

17.7.5.

【分析】首先利用勾股定理得到三邊關(guān)系，進(jìn)而建立關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，再

利用三角形的面枳公式計(jì)算即可.

【詳解】由勾股定理得：J+4)2=36+./,

解得：尸j,

所以△/14C的面積=gx6x-=7.5.

故答案為：7.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及三角形面積公式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用勾股定

理建立方程.

18.36

【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再利用勾股

定理的逆定理證明NC4)=90。，最后根據(jù)際邊形.s=進(jìn)行求解即可.

答案第10頁(yè)，共13頁(yè)

【詳解】解:如圖所示，連接力C,

vZ.B=90°,AB=3,BC=4,

在RtZs/BC中，由勾股定理得，C=何+叱2=5,

???8=13,AD=12,

???AC2+/。2=52+12?=25+144=169=13?=CD2，

???”CO是直角三角形，且/。。=90。，

S四邊形/BCD=S^ABC+SdAS=yx3x4+yx5x!2=36.

19.W

3

【分析】設(shè)CQ=x,過(guò)點(diǎn)D作DEqAB,垂足為點(diǎn)E,證明4E=/1C,進(jìn)而可得8E,在

中，利用勾股定理列出方程，解方程即可求得CO的長(zhǎng).

【詳解】解：設(shè)CD=x,

?.%。平分NC48,且/C=90。，

.-.DE=DC=xt且N4EO=NC=90。，ZCAD=ZEAD,

:."CD三AAEDGIAS),

二AE=AC=5,

則=—4E=13—5=8.

vZC=90°,48=13,AC=5t

.?.在RtZ\/8C中，

BC~=AB1-AC2=,

:.BC=12,貝i]A〃=12-x,

答案第11頁(yè)，共13頁(yè)

.?.在中,

DE2+BE2=BD2，

B|JX2+82=(12-X)2,

解得x=￥，

C—D=—io.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

20.這個(gè)零件符合要求，理由見(jiàn)解析.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷出△44。、△8QC的形狀，從而判斷這個(gè)