第一章特殊平行四邊形單元試卷20251026學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊

一、選擇

1.下列給出的條件中，不能判斷一個四邊形是矩形的是（）

A.一組對邊平行且相等，有一個內(nèi)角是直角

B.有3個角是直角

C.兩條對角線把四邊形分成兩對全等的等腰三角形

D.一組對邊平行且相等，且兩條對角線相等

2.如圖，菱形ABCD中，NO=150。，貝ljZ1=（）

A.30°B.25°C.20°D.15°

3.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E為邊DC上一點，連接AE,將沿AE翻折,

點D的對應(yīng)點D'落在邊AB上，AE=8,DD'=6,貝J邊BC的長是（）

A.5B.6C.7D.8

4.如圖，在矩形COED中，點D的坐標(biāo)是（1,3）,則CE的長是（）

A.3B.2企C.V10D.4

5.如圖，將知形紙片ABCD沿BE折疊,使點A落在對侑線BD上的4'處.若乙DBC=24°,

則乙AEB等于（）

BC

A.66°B.60°C.57°D.48°

6.如圖，在正方形ABCD中，CE=MN,=35°,那么乙ANM等于（）

B.50°C.55°D.60°

7.如圖，在菱形紙片ABCD對角線AC,BD長分別為16,12,折疊紙片使點A落在DB

上，折痕交AC于點P,則DP的長為（）

C.3百D.3或

8.如圖，延長正方形ABCD的AB邊至點E,使BE=AC,貝I］乙BED=）度.

A.20°B.30°C.22.5°D.32.5°

9.如圖，菱形ABCD中，41=60°,AB=6,點E,F,G分別在AD,CD,AB上，DE=DF,

FG//BC,當(dāng)AEFG為直角三角形時，DE的長為（）

A.3或4B.3C.2或3D.2或4

10.如圖，菱形ABCD中，點E,尸分別是AB,AD上的動點，BE=AF,/-BAD=120°,EF與

AC相交于點G,則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)有（）

①△8ECg△?1”；②△￡1門是等邊三角形；（3）AAGE=Z.AFC.

A.0個B.1個C.2個D.3個

二、填空題

11.如圖，在菱形ABCD中，AC,BD是對角線，如果zF4C=70°,那么^LADC等于.

12.如圖，在△力8C中，Z.ACB=90°,點0是718的中點，CD=2,則AB=

13.如圖，以BC為邊在正方形內(nèi)部ABCD內(nèi)部作等邊△尸8C,連接AP,DP,則/.PAD=

14.如圖，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,對角線AC的垂直平分線分別交AD,BC于點E,F,

連接CE,貝ijCE的氏為.

15.如圖，矩形ABCD面積為40,點P在邊CD上，PELAC,PF1.BD,垂足分別為E,F.若

16.已知：如圖，。為坐標(biāo)原點，四邊形0/18C為矩形，力(20,0),C(0,8),點。是。4的中點,

點P在邊BC上運動，當(dāng)△OOP是腰長為10的等腰三角形時，則P點的坐標(biāo)為.

20.如圖，將矩形ABCD沿對角線AC翻折，點B落在點F處，F(xiàn)C交AD于點E.

(1)求證：△AfEe/XCDE：

(2)若48=4,8c=8,求圖中陰影部分的面積.

21.在平行四邊形ABCD中，對角線AC,BD相交于點0.EF過點。且與ABCD分別相交于點

E,F.

(1)如圖①，求證：OE=OF；

(2)如圖②，若EF1DB,垂足為。，求證：四邊形BEDF是菱形.

22.如圖，在△ABC中，點F是8C的中點，點E是線段AB的延長線上的一動點，連接EF,

過點C作AB的平行線CD,與線段EF的延長線交于點D,連接CE,BD.

⑴求證：四邊形DBEC是平行四邊形.

(2)若LABC=120°,AB=BC=4,則在點E的運動過程中:

①當(dāng)BE=—時，四邊形BECD是矩形，試說明理由;

②當(dāng)BE=時，四邊形BECD是菱形.

23.如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是8C邊上的點，Z/1EF=90°,且EF交正方形外角的

平分線CF于點F.

（1）如圖①，當(dāng)點E是BC邊上任一點（不與點B,。重合）時，求證：AE=EF.

B恒①EcM

（2）如圖②，當(dāng)點、E是BC邊的延長線上一點時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？—（填成立或者

不成立）.

（3）當(dāng)點￡是8C邊上任一點（不與點B,C重合）時，若已知AE=EF,那么^AEF的度

數(shù)是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.

答案

一、選擇題（共10題）

1.【答案】C

2.【答案】D

【解析】???西邊形ABCD是菱形，

AB//CD,/.BAD=2/.1,

---/BAD+NO=180°,

???40=150°,

/.BAD=180°-150°=30°,

:.zl=15°.

故選D.

3.【答案】A

【解析】如圖，設(shè)力E與DD'的交點為0.

???四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AD=HC,CD//AB.

?.?將^ADE沿AE翻折，

???AD=AD；DE=DE,LDAE=LD'AE.

vCD//AB,

???/-DEA=Z.EAD

???/.DAE=Z.DEA,

:.DA=DE,

DA=DE=DfE=D'A,

???四邊形4DEZT是菱形,

貝jiAE1DD；4。=￡0=4,00=00=3,

???AD=y/DO2+AO2=5,

???BC=5.

故選A.

4.【答案】C

【解析】連接OD.

???四邊形COED是矩形,

:.CE=00,

,?1點、D的坐標(biāo)是（1,3）,

OD=V12+32=V10?

CE=VTo.

5.【答案】C

【解析】???四邊形ABCD是矩形，

Z/1=Z/1FC=9O°,

由折疊的性質(zhì)得/-BAE="=90°,〃BE=Z-ABE,

二z/1BE=/.ABE=1(90°-乙DBC)=1x(90。-24°)=33°,

???LAEB=90°一乙A'BE=90°-33°=57°.

6.【答案】C

【解析】過8作BF//MN交AD于產(chǎn)，

貝I］乙AFB=乙ANM,

???四邊形ABCD是正方形，

二47l=4E8C=90°,AB=BC,AD//BC,

:.FN〃BM,BF//MN,

???四邊形BFNM是平行四邊形，

BF=MN,

???CE=MN,

:.CE=BF,

在Rt△ABF和Rt△BCE中，

(BF=CE,

lAB=BC,

???RtAABF^RtABCE(HL),

Z48F=2MCE=35°,

二乙ANM=Z.AFB=55°.

7.【答案】A

【解析】設(shè)。點的對應(yīng)點為E,連接PE,

由折疊的性質(zhì)可得：PE=0P,DE=OD,

：,四邊形ABCD是菱形.

.'.ACLBD,OA=-AC=-xl6=8,OB=-BD=-x12=6,

2222

:.AD=>10A1+OD2=V64+36=10,

設(shè)OP=%,則PE=x,AE=AD-DE=10-6=4,AP=OA-OP=8-x,

在Rt△APE中，AP2=AE2+PE2,

即(8-X)2=42+X2,解得：x=3,即。尸=3,

：?DP=>/0P2+OD2=V9+36=3遙.

8.【答案】C

【解析】連接DB,

v四邊形ABCD為正方形，BE=AC,

:.DB=BE,DB平分Z.ABC,

:.Z.DBE=乙DBC+90°=45°+90°=135°,

???在等腰三角形ADBE中，

48EO=^^=22.5。，

2

9.【答案】A

10.【答案】D

【解析】(1)因為^BAD=120°,四邊形ABCD是菱形,

所以Z-BAC==Z-CAD=z.D=60°=Z.ACB=匕ACD,

所以△8EC出△4/C(SAS)：

(2)因為△BEC^△AFC,

所以EC=CF,Z-BCE=Z.ACF,

所以Z.ACE+Z.ACF=Z.ACE4-乙BCE=Z.ACB=60°,

所以Z-ECF=Z.ACB=60°.

所以AECF是等邊三角形；

(3)由②知乙CEF=6U0=乙B,

所以Z.AEF=Z.RCE.

所以Z.AGE=Z.BEC=Z.AFC.

二、填空題（共8題）

11.【答案】40°

【解析】???四邊形ABCD是菱形,

:.AC1BD,

'：Z.BAC=70°,

:.Z.ABD=20°,

???4/100=24/18。=40°.

12.【答案】4

【解析】???4/。8=90°,D為AB中點，

AB=2CD=4(直角三角形中，斜邊中線等于斜邊一半).

13.【答案】15。

【解析】v在正方形ABCD中APBC是等邊三角形，

:.AB=PB=PC=BC,乙PBC=乙PCB=4BPC=60°,

:.Z.PBA=Z.DCP=30°,

vAB=BC=BP,

乙PAB=乙APB=75%

:.LDAP=/.BAD-乙BAP=15°.

14.【答案】蔣

【解析】連接AF,

vAC,EF互相垂直平分，

???四邊形AECF是菱形，

AE=CE=CF=AF,

???AD=BC,

:.BF=DE,

設(shè)DE=X,則AE=CE=4-x,

在Rt△DEC中，

???DC2+DE2=EC2,

???324-X2=(4-x)2

7

二X=-,

AED

15.【答案】4

【解析】AC,BD交于。點，

‘△DOC=:S矩形ABCD=1°.

S^DOC=DOxPFx14-OCxPFx=10?

DO=CO=5,

.-.|(PF+PF)=10.

?*.PE+PF=4.

16.【答案】(6,8)或(4,8)或(16,8)

【解析】(1)。。是等腰三角形的底邊時，P就是OD的垂宜平分線與CB的交點，此時0P

PDH10；

(2)OD是等腰三角形的一條腰時：

①若點。是頂角頂點時，P點就是以點。為圓心，以10為半徑的弧與CB的交點，

在直角△OPC中，CP=V102-82=6,則P的坐標(biāo)是(6,8).

②若D是頂角頂點時，P點就是以點D為圓心，以10為半徑的弧與CB的交點，

過。作OM于點M,

在直角△PDM中，PM=V102-82=6,

當(dāng)P在M的左邊時，CP=10-6=4,則P的坐標(biāo)是(4,8)；

當(dāng)P在M的右側(cè)時，8=5+3=8,則P的坐標(biāo)是(16,8).

故P的坐標(biāo)為：(6,8)或(4,8)或(16,8).

B

17.【答案】2V10

【解析】過G作GM14B于M,連接AE,

貝ijMG=AD=AB,

???將正方形ABCD的一角折向邊CD,使點4與CB上一點E重合,

**?AE-LGF,

LFAE+/.AFG=Z.AFG+乙MGF,

二Z.BAE=Z.MGF,

在△A8E與△MGF中，

(Z.B=Z,GMF,

\AB=GM,

UMGF=/.BAM,

ABEg△GMF,

MF=BE=2,

???MG=AD=BC=6,

/.FG=y/FM2+MG2=2V10.

18.【答案】|或3

【解析】當(dāng)△(;￡夕為直角三角形時，有兩種情況：

①當(dāng)點夕落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示.連接AC,

在Rt△ABC中，AB=3,BC=4,

Z1C=V42+32=5,

?:乙B沿AE折疊，使點B落在點夕處，

???4/186=48=90°,

當(dāng)△CE8'為直角三角形時，只能得到乙EBC=90。,

.?.點A,B,C共線，即乙B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點夕處,

:.ER=ER\AR=ARr=3,

二。夕=5-3=2,

設(shè)BE=x,則EB'=x,CE=4-x,

在Rt△CEB'中,

?:EBBC”=C『,

.y2+22=(4-幻2,解得x=

??BE=I；

②當(dāng)點夕落在AD邊上時，如答圖2所示.

此時ABEB'為正方形,

BE=AB=3.

綜上所述，8E的長為弓或3.

圖I圖2

三、解答題(共5題)

19.【答案】

(1)四邊形ABCD是菱形，

AD//BC,

:.AE〃CF,

:.Z.OAE=Z.OCF,Z.OEA=Z.OFC.

???。是八C中點，

???0A=0C.

(LOEA=乙OFC

在△04F和△OCF中\(zhòng)z.OAE=ZOCF,

(0A=0C

???△OAE^△OCF,

???AE=CF,

'：AE//CF

二四邊形AECF是平行四邊形，

???Z.CAE=Z.FEA,

二Z.OAE=Z.OCF=Z.OEA=Z.OFC,

A0A=OE,OF=0C.

???0A=0C,

0A=0E=OF=OC,

vAC=OA+OC,EF=OE+OF,

AC=EF,

???四邊形AECF是矩形.

(2)8

【解析】

(2)v四邊形AECF是矩形，

?""C=90°,

Z.AFB=180°-Z.AFC=90°,

AB2-BF2=AF2,AC2-FC2=AF2,

AB2-BF2=AC2-FC2.

?:四邊形ABCD是菱形，

???AB=BC=5?

設(shè)FC=x,貝ijBF=5-x,

???52-(5-x)2=(2x/5)2-x2,解得x=2,

:.FC=2,

AF=ylAC2-FC2=J(2可-22=4,

S四邊形4FCE=4?=4x2=8.

20.【答案】

(1)由翻折性質(zhì)知：AF=AB,zF=zB=90%

???四邊形ABCD為矩形，

???AB=CD,乙B=Z.D=90°?

二A卜'=CD,ZF=Z/；=9OU,

在△4FE和ACDE中，

ZF=Z.D,

Z.AEF=MED,

AF=CD,

???△AFE^△CDF(AAS).

(2)v△4FE絲△CUE,

:.AE=CE,

設(shè)AE=CE=x,則DE=8-x,

在RtACDE中，EC2=ED2+DC2,

即X2=(8-X)2+42,解得無二5,

???AE=5,

???陰影部分的面積為1/!ExDC=1x5x4=10.

21.【答案】

(1)四邊形ABCD是平行四邊形,

:.OB=OD,AR//CD,

/.Z-EBO=Z.FDO,

zEBO=Z.FDO,

在4OBE與△00尸中，lOB=OD,

乙BOE=Z.DOF,

???△08E出△ODF(ASA),

???OE=OF；

(2)vOB=OD,OE=OF,

???四邊形BEDF是平行四邊形，

???EFLBD,

???四邊形BEDF是菱形.

22.【答案】

(1)-AB//CD,

:.Z.CDF=乙FEB,乙DCF=乙EBF,

???點/是BC的中點，

:.BF=CF,

在ADCF和AEBF中，

(Z-CDF=乙FEB,

乙DCF=乙EBF,

FC=BF,

ADCF(AAS),

:.DC—BE,

：,四邊形BECD是平行四邊形.

(2)①2

???當(dāng)四邊形BECD是矩形時，Z.CEB=90°,

vZ.ABC=120°,

:.乙CBE=60°,

???乙ECB=30°,

/.BE=-BC=2.

4

②4

【解析】

(2)四邊形BECD是菱形時，BE=EC,

?:乙ABC=120%

二“BE=60°,

/.ACBE是等邊三角形，

:.BE=BC=4.

23.【答案】

(1)在BA邊取一點G,使BG=BE,連接EG,

???四邊形ARCD是正方形.

Z.B=90