第4章相似三角形(單元測試?基礎(chǔ)卷)

【要點回顧】

【知識點1】比例線段定義：

【知識點2】比例線段的性質(zhì)

【知識點3】平行線分線段成比例定理

兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.即如圖所示,

【知識點4】平行線分線段成比例推論

推論：平行于三角形一邊的宜線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例.

【知識點5】分割

?_________?______?

ACB

【知識點6】相似多邊形的性質(zhì)

(1)相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.

(2)相似多邊形的周長的比等于相似比，面枳的比等于相似比的平方.

【知識點7】相似多邊形的判定

(I)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.

(2)兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似.

(3)三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似.

(4)滿足斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似.

【知識點8】相似三角形的性質(zhì)

(1)對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.

(2)周K之比等丁相似比，面積之比等丁相似比的平方.

(3)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)角平分線的比和對應(yīng)中線的比等于相似比.

【知識點9】相似三角形的應(yīng)用

測量物體的高度：利用影長、利用標桿、利用鏡子.

【知識點10］相似三角形的常見模型

仝i“

射能定S1援刑

一成二吉一線三等角

^BAE=^DCE=^BED=90°

【知識點11】位似圖形的定義性質(zhì)與畫法

1.定義如果兩個圖形不僅形狀相似，而且每組對應(yīng)頂點所在的直線都經(jīng)過同?個點，那么這樣的兩個

圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比.

2.位似圖形性質(zhì)：位似圖形上的任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比.

3.位似圖形的畫法：

（1）確定位似中心；

（2）確定原圖形中的關(guān)鍵點關(guān)于位似中心的對應(yīng)點；

（3）描出新圖形.

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

A.2B.3C.6D.27

2.（2U19秋?廣東佛山?九年級西樵中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，有三個矩形，其中是相似矩形的是（）

A.甲與乙B.卬與丙C.乙與丙D.以上都不對

A.一定相似B.一定不相似

C.不一定相似D.無法判定是否相似

c

255

C.D.

T7

12

D.2

c.T

32

c.D.

55

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

DEB

23.（10分）（2022春?全國?九年級專題練習(xí)）感知：（1）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個模型:

②當點尸為8c中點時，求CD的長；

24.（12分）（2023春?湖北?九年級專題練習(xí)）感知:如圖①,在四邊形ABCD中,AB//CD,05=90°,

點P在BC邊上，當財產(chǎn)。=90。時，bABP與"CD是否相似？_（填"是"或"否"）.

探究：如圖②，在四邊形ABCD中，點P在BC邊上,當鼬蛾。=西PQ時，求證：“BmiPCD.

拓展：如圖③，在A/WC中，點P是邊BC的中點，點D,E分別在邊AB.AC上.若貼=回。=跑"345。,

圖①圖②圖③

參考答案

1.B

解：己知a,b,c,d是成比洌線段，

故選：B.

2.B

【分析】根據(jù)矩形相似的條件，判斷對應(yīng)邊的比是否相等即可.

3

解；矩形甲長與寬比為

回所以甲和丙的長與寬的比相等，故這兩個矩形相似，

故選:B.

【點撥】本題考查了相似多邊形的判定，解題關(guān)鍵是運用了對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的多邊形是相

似多邊形這一-知識點.

3.A

【分析】求出三組對應(yīng)邊的比，觀察是否相等即可作出判斷.

故選:A.

【點撥】本題考查相似三角形的判定條件，熟練掌握對應(yīng)邊長度成比例的三角形相似是本題的解題關(guān)

鍵.

4.A

【分析】三角形相似的判定方法:兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似;三邊成比例的兩個三角形相

似;兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似;根據(jù)三角形相似的判定方法容易得出結(jié)論.

若0ADEWB,又???0AM3A,

.1.0ADE-0ABC,正確；

所以選A.

【點撥】本題考查相似三角形的判定方法;熟練掌握三角形相似的判定方法是解決問題的關(guān)鍵.

5.C

故選：C.

【點撥】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形面積

比與相似比之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

6.C

【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算，得到答案.

故選:c.

【點撥】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心,

相似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于4或-h

7.B

故選：B.

【點撥】本題考查了三角形相似的性質(zhì)，掌握“相似三角形對應(yīng)邊成比例”是解題的關(guān)鍵.

8.B

故選：B.

【點撥】此題重點考查平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，正確理解和掌握平行線

分線段成比例定理、相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

9.B

【分析】利用相似二角形的性質(zhì)解決問題即可.

故選13B.

【點撥】本題考查作圖基本作圖，角平分線的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

10.B

ROE的長最小時，EG的長最小,

故選：B.

11.4:5

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.

故答案為：4:5.

【點撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的周長之比等于相似比，面積之比等于相似

比的平方是解題的關(guān)鍵.

13.8

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例求出AC，減去AE可得結(jié)果.

故答案為：8.

【點撥】本題考查了平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是能根據(jù)平行線得出正確的比例式.

【分析】再添加一組角可以利用有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似來進行判定.

【點撥】本題考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的幾個判定定理是解題的關(guān)鍵.

12

15.——

5

【分析】根據(jù)對應(yīng)邊成比例的兩個三角形互為相似三角形可以求解.

解：v@ACB=90°,AC=4,BC=3,

故答案為:1?2

【點撥】本題考杳相似三角形的判定定理,關(guān)鍵是知道對應(yīng)邊成比例兩個三角形互為相似三角形.

16.1

故答案為：1

17.5

故答案為：5.

【點撥】此題考查相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確利用勾股定理.易錯點：如果學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)

相似三角形就無從入手解題了，或相似三角形對應(yīng)邊的比找不對.

18.-

4

解：延長8Q,交石產(chǎn)的延長線于點M,

【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形中位線定理，熟練掌握知

識點，并添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

19.（1）見分析；（2）EF=2.

【分析】（1）根據(jù)4碗。C,可得團B=（3。，再由AB=2OC,BE=2DF,可得A&DC=BE：DF=2,

即可證得;

解：（1）證明：財施DC,

\SAB=2DC,BE=2DF,

IMB：DC=BE：DF=2,

m\BE^CDFx

（2）解：⑦BE=2DF,DF=2t

[38。=8,

^EF=BD-DF-BE=2.

【點撥】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似

是解題的關(guān)鍵.

20.（1）詳見分析；（2）16.

【點撥】此題考查的是成比例的線段的證法，掌握平行線分線段成比例定理是解決此題的關(guān)鍵.

21.樹高A4約是7m.

【分析】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)求出財8瓦水力已再根據(jù)其相似比解答.

解得：AB=7m,

答：樹高A8約是7m.

【點撥】此題考查相似三角形的應(yīng)用，應(yīng)用反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，運用相似比即可解.

（1）解：同意.理由如下：

【點撥】此題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識，掌握其性質(zhì)定理

是解決此題的關(guān)鍵.

23.感知：（1）嘿；應(yīng)用：（2）①見分析；②3.6；拓展：（3）2或；

.5

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；

（2）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得至膽尻團C,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得至幅84PWCPO,即可求證；

②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算，即可求解；

（3）分附=PQ、AP=AD.D4=。P三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，即可求解.

解：感知：（1）mUABC^DAE,

故答案為：發(fā)；

DE

應(yīng)用：（2）①豳4尸。=朋+團朋P,^APC=^APD-^CPD,^APD=^B,

^BAP=^CPD,

^AB=AC,

00B=0C,

(31MBH30PCD：

②BC=12,點P為AC中點，

(38P=PC=6,

^ABP^PCD,

解得：CD=3.6：

拓展：(3)當以=PD時，^ABP^PCD,

回PC=A8=10,

□5P=BCPC=1210=2：

當APS。時，MDP=SAP。，

00APD=0B=0C,

004DP=0C,不合題意，

財P“。；

當04=DP時，0D4P=a4PD=0B,

E@C=@C,

^BCA^ACP,

【點撥】本題考查的是三角形相似的判定定理和性質(zhì)定理、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及三

角形