專題1.17垂直平分線（分層練習(xí)）

一、單選題

圖.基礎(chǔ)類

1.如圖,RtMBC中,（3C=90°,AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)E,連接BE,若她=35°,則用CBE的度數(shù)是（）

A.15°B.20°C.30°D.45°

2.已知線段AB和點(diǎn)。。且。4=。8,04=。伉那么直線CO是線段48的（）

A.垂線D.平行線

D.過(guò)中點(diǎn)的直線

4.根據(jù)如圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可判斷AD?定為三角形的（)

B.中線C.高線D.都有可能

BDE

圖\鞏固類

6.如圖,AB=AC,AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D,AB=8cm,BC=5cm,則ZkDBC的周長(zhǎng)是()

A.8cmB.5cmC.3cmD.13cm

A.15°B.20°C.25°D,30°

8.下列說(shuō)法不正確的是()

A.角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩條邊的距離相等

B.線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

C.有一邊相等得兩個(gè)等邊三角形全等

D.等腰三角形的對(duì)稱軸是底角的平分線所在的直線

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

10.如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計(jì)算團(tuán)a=()

留.拓展類

BC

D

A.15°B.20°C.25°D.30°

12.如圖，在團(tuán)ABC中，BC=1D,AB的垂直平分線交BC于口，AC的垂直平分線交BC與E,則（3ADE的

周長(zhǎng)等于（）.

A.8B.10C.12D.14

13.如圖，已知在RtaABC中，（3ABC=90。，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，分別以B,C為圓心，大于線段BC

長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓孤，兩弧在直線BC上方的交點(diǎn)為P,直線PD交AC于點(diǎn)E,連結(jié)BE,AB=5cm,

△A三B的周長(zhǎng)為18cm,則Z^ABC的周長(zhǎng)是（）cm.

A.36B.23C.18D.30

DB

A.1B.2C.3D.4

15.如圖，已知（3ABC,按以下步驟作圖：①分別以B、C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧

相交于兩點(diǎn)M、N；②作直線MN交AB于點(diǎn)D,連接CD.5音配=30。，回A=55。，則0ACD的度數(shù)為（）

-k

理鞏固類

22.如圖，在△AAC中，A/J平分姐AC,AC的垂直平分線交于點(diǎn)兒交AC.于點(diǎn)”，皿=48、12I/JA&

=15。，則團(tuán)。=度.

則團(tuán)DAB=

25.數(shù)學(xué)課上，王老師布置如下任務(wù):如圖,I3ABC中,BC>AB>AC,在BC邊上取一點(diǎn)P,使⑦APC=2團(tuán)ABC.

A

小路的作法如下：

①作AB邊的垂直平分線，交BC于點(diǎn)P,交AB于點(diǎn)Q；

②連結(jié)AP.

請(qǐng)你根據(jù)小路同學(xué)的作圖方法，利用直尺和圓規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡）；并完成以下推理，注明其

中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)依據(jù)：

（3PQ是AB的垂直平分線

回AP=,（依據(jù)：）;

00ABC=,（依據(jù)：）.

00APC=20ABC.

回.拓展類

26.在中，A8=AC,點(diǎn)。是團(tuán)48c內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E是C。的中點(diǎn)，連接AE,作E/詞AE,若點(diǎn)尸在

8。的垂直平分線上，團(tuán)84C=a,則團(tuán).（用a含的式子表示）

BC

C

30.如圖，AABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于P點(diǎn).

(1)若0A=35°,則團(tuán)BPC=:

(2)若AB=5cm,BC=3cm,則ZSPBC的周長(zhǎng)=.

A

三、解答題

|g\基礎(chǔ)類

31.如圖，已知：01=02,03=04.

（1）求證：DB=DC；

（2）連接8C,求證：AD0BC.

32.如圖所示，在R坦ABC中，13c=90°,0A=3O°.

（1）尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線I（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；

（2）在已作的圖形中，若I分別交AB、AC及BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、E、F,連接BE.求證：EF=2DE.

圖7.鞏固類

g7拓展類

35.如圖，點(diǎn)。是團(tuán)48c中國(guó)BAC的平分線和邊8c的垂直平分線QE的交點(diǎn)，QGIM3于點(diǎn)G,DH^AC

交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)”.

(1)求證：BG=CH；

(2)若4B=12,AC=8,求8G的長(zhǎng).

36.如圖，在R5A0B中，0AOB=9O\0BAO=3O%以AB為一邊作等邊^(qū)ABE,作0A的垂直平分線

MN交AB的垂線AD于點(diǎn)D.

(1)連接BD,0E.求證：BD=OE；

(2)連接DE交AB于F.求證：F為DE的中點(diǎn).

參考答案

1.B

【分析】由AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)E,可得AE=BE,繼而求得I3ABE的度數(shù)，然后由RtZkABC中,

囹C=90°,求得回ABC的度數(shù)，繼而求得答案.

解：團(tuán)DE是AB的垂直平分線，

0AE=BE,

E0A=0ABE=35°,

0RtAABCM-?,0C=9OO,0A=35\

[33ABC=55°,

(30CBE=0ABC-[3ABE=2OO.

故選擇B.

【點(diǎn)撥】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì).

2.C

【分析】由已知CA=CB根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)的逆定理可得點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，同理得點(diǎn)

D的位置

解：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)的逆定理，點(diǎn)(:和D都在AB的垂直平分線上，那么直線CD是線段AB

的垂直平分線.

故選C.

【點(diǎn)撥】此題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)的逆定理：和一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，在

這條線段的垂直平分線上.

3.D

即CE垂直平分AD,故A選項(xiàng)正確；

故選D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定，解題時(shí)注意：垂直平分線上

任意?點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等.

4.B

【分析】由作圖的痕跡可知：點(diǎn)。是線段BC的中點(diǎn)，推出線段A。是△人的中線.

解：由作圖的痕跡可知：點(diǎn)。是線段4C的中點(diǎn)，，線段AO是△A/3C的中線.

故選B.

【點(diǎn)撥】本題考查了作圖-基本作圖，線段的垂直平分線，三角形的中線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

5.D

【分析】根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得AD=BD,AE=EC,所以HADE周長(zhǎng)=BC.

解：0AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E,

0AD=BD,AE=CE,

0LAADE=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=6.

故選D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得AD=BD,AE=EC.

6.D

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD=BD,求出ADBC的周長(zhǎng)是BD+DC+BC=AC+BC,代入求出即

可.

解：0AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D,

0AD=BD,

0AB=AC,AB=8cm,BC=5cm,

00DBC的周長(zhǎng)是BD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=8cm+5cm=13:m,

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距高相等是

解答此題的關(guān)鍵.

7.C

【分析】由點(diǎn)D在AC的垂直平分線上，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AD=CD,乂由m=130。，即

可求得團(tuán)DCA的度數(shù)，然后由AB回CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)，求得日BAC的度數(shù).

解:團(tuán)點(diǎn)D在AC的垂直平分線上，

0AD=CD,

00D=13O°,

00DAC=0DCA=25°,

0AB0CD,

00BAC=0DCA=25°.

故答案為C.

【點(diǎn)撥】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的

性質(zhì)和平行線的性質(zhì).

8.D

【分析】由題意根據(jù)角平分線的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形判定以及等腰三角形性

質(zhì)，利用排除法進(jìn)行分析即可.

解：A.角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩條邊的距離相等，此選項(xiàng)正確；

B.線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，此選項(xiàng)正確；

C.有一邊相等得兩個(gè)等邊三角形全等，此選項(xiàng)正確：

D.等腰三角形的對(duì)稱軸是頂角的平分線所在的直線而不是底角的平分線所在的直線，此選項(xiàng)不正確.

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查角平分線的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形判定以及等腰三角形

性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

9.B

【分析】根據(jù)三角形三邊垂直平分線概念即可解題.

解：解，由三角形的垂直平分線可知,銳角三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)在國(guó)ABC的內(nèi)部，直角三角形三

邊的垂直平分線的交點(diǎn)在團(tuán)ABC的斜邊上,鈍角三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)在團(tuán)ABC的外部.

故選B.

【點(diǎn)撥】本題考查了二角形近直平分線的概念，屬于簡(jiǎn)單題，熟悉概念是解題關(guān)鍵.

10.A

【分析】根據(jù)圖像,明確團(tuán)a是線段AC的中垂線和團(tuán)DAC的角平分線相交構(gòu)成的銳角即可解題.

解：由圖可知,13a是AC的中垂線和用DAC的角平分線相交構(gòu)成的銳角，

G0ACB=68°Z

E0DAC=68°Z

亞a=90°68°+2=56°,

故選A.

【點(diǎn)撥】本題考查了尺規(guī)作圖，屬于簡(jiǎn)單題，熟悉尺規(guī)作圖的方法是解題關(guān)鍵.

11.B

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DB=DA,EC=EA,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可.

解：0AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D,AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,

0DB=DA,EC=EA,

E0BAC=1OO°,

00B+0C=8O°,

0DB=DA,EC=EA,

00DAB=0B,0EAC=0C,

00DAB+0EAC=8O°,

E0DAE=1OO°8O°=2O°,故選B.

【點(diǎn)撥】本題考杳了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)

到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

12.B

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD=BD,AE=EC,進(jìn)而可得AD+ED+AE=BD+DE+EC,從而可得

答案.

解：0AB的垂直平分線交BC于D,

回AD=BD,

團(tuán)AC的垂直平分線交BC與E,

0AE=CE,

BBC=10,

0BD+CE+DE=1O,

@AD+ED+AE=10,

00ADE的周長(zhǎng)為10,

故選B.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩

端點(diǎn)的距離相等.

13.D

【分析】由作圖步驟知PD是BC的中垂線,據(jù)此得BE=CE,根據(jù)AB+AE+BE=18cm且AB=5cm知AC=13cm,

利用勾股定理求得BC的長(zhǎng)可得答案.

解：由作圖步驟知PD是BC的中垂線，

0BE=CE,

00ABE的周長(zhǎng)為18cm,即AB+AE+BE=18cm且AB=5cm,

回AE+BE=13cm,

0AE+CE=13cm,即AC=13cm,

E0ABC=9O°,

釀ABC的周長(zhǎng)為5+12+13=30(cm),

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查作圖基本作圖，解題關(guān)鍵是掌握線段中垂線的尺規(guī)作圖及線段中垂線的性質(zhì)、勾股

定理等知識(shí)點(diǎn).

14.D

【分析】①根據(jù)作圖的過(guò)程可以判定AD是團(tuán)BAC的角平分線：

②利用等角對(duì)等邊可以證得AADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證明點(diǎn)D在AB

的垂直平分線上；

③利用角平分線的定義可以推知團(tuán)CAD=30。，則由直角三角形的性質(zhì)來(lái)求13ADC的度數(shù)；

④利用30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半、三角形的面積計(jì)算公式來(lái)求兩個(gè)三角形的面積之比.

解：如圖：

根據(jù)作圖方法可得AD是釀AC的平分線，故①正確；

00C=9O°,0B=3O°,

00CAB=6O°,

0AD是團(tuán)BAC的平分線，

E0DAC=0DAB=3O°,

E0B=3O°,0DAB=3O0,

0AD=DB,

①點(diǎn)D在AB的中垂線上，故②正確；

00ADC=6O°,故③正確；

E0CAD=3O°,

0AD=DB,

故④正確.

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及作圖基本作圖.解題時(shí)，需要熟悉

等腰三角形的判定與性質(zhì).

15.A

（分析］先根據(jù)題意得出MN是線段BC的垂直平分線，故可得出CD=BD,即mBWBCD,再由團(tuán)B=3O°、0A=55。

知RACB=18O00A0B=95°,根據(jù)回ACD=[3ACB團(tuán)BCD即可.

解：根據(jù)題意得出MN是線段BC的垂直平分線，

0CD=BD,

00B=0BCD=3O°.

00B=3O°,0A=55°,

00ACB=18O00A0B=95°,

00ACD=0ACB0BCD=65°,故選A.

【點(diǎn)撥】本題考杳的是作圖一基本作圖，熟知線段垂直平分線的作法是解答此題的關(guān)鍵.

16.18cm

【分析】由于CD垂直平分AB,所以AC=BC,AD=BD,而AC=4cm,AD=5cm,由此即可求出四邊形ADBC

的周長(zhǎng).

解：OCD垂直平分AB,AC=4cm,AD=5cm,

@AC=BC=4cm,AD=BD=5cm,

用四邊形ADBC的周長(zhǎng)為AD+AC+BD+BC=18cm.

故答案為18cm.

【點(diǎn)撥】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離

相等是解題的關(guān)鍵.

17.104

【分析】連接OB、OC,根據(jù)角平分線的定義求出團(tuán)BAO,根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出0ABC,再根

據(jù)線段垂直平分線.上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得OA=OB,根據(jù)等邊對(duì)等角可得團(tuán)ABOWBAO,再求出

0OBC,然后判斷出點(diǎn)0是她BC的外心，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得OB=OC,再根據(jù)等邊對(duì)等角求出

(3OCB=(3OBC,根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE=CE,然后根據(jù)等邊對(duì)等先求出團(tuán)COE,再利用三角形的直角和定理列

式計(jì)算即可

解：如圖，連接OB、0C,

.??點(diǎn)。在BC的垂直平分線上，

故答案為104。.

【點(diǎn)撥】本題考查線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性

質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形.

18.垂直平分線段8D.

【分析】根據(jù)ASA證團(tuán)ABCHMDC,推出AB=AD,BC=CD,可得AC和BD的關(guān)系.

解：解:AC垂直平分線段BD,

理由是::在團(tuán)ABC和0ADC中，

/.0ABC00ADC

.?.AB=AC,BC=CD

???AC垂直平分線段BD.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等二角形的性質(zhì)和判定及垂直平分線的性質(zhì).

19.37.5。或67.5°.

【分析】求出AD=BD,推出配詞DAB,0B+0BAC=9O°,分為兩種情況并畫(huà)出圖形后，根據(jù)三角形內(nèi)角和

定理求出即可.

解：團(tuán)DE是AB的垂直平分線，

回AD=BD,

00B=0DAB,

E0ACB=90°,

00B+0BAC=90°,

分為兩種情況:①如圖1,00B+團(tuán)BAC=90,由BAD團(tuán)DAC=22.5°,

00B=0DAB=0DAC+22.5°

團(tuán)

0QDAC+22.50+DAC+22.5°+0DAC=9O0/0DAC=15°

團(tuán)團(tuán)B=15°+22.5°=37.5°

②如圖

2,E0B+E)BAC=90°z0BADSDAC=22.5°

B0B=0DAB=0DAC+22.5°,

00DAC+22.5°+0DAC+22.500CAC=90°,

00DAC=45°,

038=450+22.5°=67.5°

【點(diǎn)撥】本題考查中垂線性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，中等難度，分類討論是解題關(guān)鍵.

20.52

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得8尸=CE進(jìn)而可

得BFCE=26。，然后可算出MBC的度數(shù).

解：團(tuán)8。平分財(cái)BC,

W)BC=^ABD,

(2財(cái)=60°,

的48C+財(cái)CB=120。，

限4a7=48°,

(3BC的中垂線交BC于點(diǎn)E,

^BF=CF,

(20FCZ?=0FZ?C,

0(M^C=20FCE,

0(2L4CF=42%

030FCE=12O0-42°=78°,

^FCE=26°,

回(M8c=52°,

故答案為52.

【點(diǎn)撥】此題主要考杳了線段垂直平分線的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分

線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等.

21.350/35度

解：連接。C,

22.34.

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA=EC,得到既ACWC,根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角

和定理計(jì)算即可.

解：團(tuán)后尸是4c的垂直平分線，

(3EA=EC,

00E4C=0C,

盟。人c=(ac+i5°,

斯。平分團(tuán)R4C,

00DA^=(3DAC=0C+15*,,

團(tuán)團(tuán)8+m8AC+aC=180°,

回480+團(tuán)C+15°+回C+15°+(3C=180°,

解得，0C=34°,

故答案為34.

【點(diǎn)撥】本題考查垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義和二角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握垂直

平分線的性質(zhì)、角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理.

23.11

【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出AD=DC,得出4ABD周長(zhǎng)=AB+BC即可.

解：團(tuán)DE是AC的垂直平分線，

0AD=DC,

E0ABD的周長(zhǎng)為AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC,

0CAABD=16cm,AB=5cm,

EBC=llcm,

故答案為11.

【點(diǎn)撥】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)

的距離相等解答.

24.72°

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到回B=13C=36。，由線段垂直平分線的性質(zhì)得到CD=AD,得到國(guó)CAD

=RC=36。，根據(jù)外角的性質(zhì)得到(3ADB=13C+SCAD=72。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論.

解：0AB=AC,0C=36°,

00B=0C=36°,

0AC的垂直平分線MN交BC于點(diǎn)D,

BCD=AD,

E0CAD=0C=36°,

E0ADB=0C+0CAD=72°,

00DAB=18O°-0ADB-mB=72°,

故答案為720

【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

25.尺規(guī)作圖見(jiàn)分析；BP,線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；團(tuán)BAP,等邊對(duì)等角.

【分析】按照線段垂宜平分線的作圖方法作出A8的垂直平分線，然后按照線段垂直平分線的性質(zhì)、等

腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)求解即可.

解：如圖,

團(tuán)PQ是AB的垂直平分線

@AP=BP,（依據(jù)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）;

00ABC=0BAP,（依據(jù)：等邊燈等角）.

00APC=20ABC.

【點(diǎn)撥】本題考查了尺規(guī)作圖，段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，熟練

掌握各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

26.180°-a.

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到團(tuán)AC=DM,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到

FM,FB=FDf推出國(guó)M。/遜48F：SSS）,得到財(cái)WMF=^BAF,根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論.

解：延長(zhǎng)AE至M,使EM=AE,

連接4F,FM,DM,

⑦點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，

^DE=CE,

在血4EC與團(tuán)MEO中，

^AEC^BMED(SAS),

^EAC=BEMD,AC=DM,

^EF^AE,

\SAF=FM,

團(tuán)點(diǎn)尸在B。的垂直平分線上：

⑦FR=FD,

在(3M。產(chǎn)與財(cái)8〃中，

^MDFWABF(SSS),

^AFB=^MFD,WMF=WAF,

E0BFD+SDM=^DFA-^AFM,

^BFD=^AFM

=180°-2CWMF+^EMD)

=180°-(^FAM+^BAF^EAC)

=180°-MAC

=180°-a,

故答案為：180。-a.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等

三角形是解題的關(guān)犍.

【分析】由于SaPAB=S^PCD,這兩個(gè)三角形等底同高，可得點(diǎn)P在線段AD的垂直平分線上，根據(jù)最

短路徑問(wèn)題，可得PC+PD=AC此時(shí)最小，有勾股定理可求結(jié)果.

點(diǎn)2到AB的距離與到COf勺距離相等，即點(diǎn)P線段AO垂直平分線MN上,

【點(diǎn)撥】此題考查垂直平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，勾股定理，解題關(guān)鍵在于作輔助線

28.j

【分析】如圖連接0C,作DMI3OC于M,根據(jù)已知條件只要證明出(3OCB=30。，根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)

即可解決問(wèn)題.

解：如圖，連接0C,作DM[3OC于M,

00ABC是等邊二角形，

00BAF=HABE=0ACB=6O°,

X0AF=BE,AB=BA,

酶ABF更BAE,

S@ABO=[2OBA,

SOA=OB,

0CA=CB,

(30C垂直平分線段AB,

0(?)OCB=0ACO=3OO,

回當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)M重合時(shí)，OD的值最小，最小值為：DM=yCD=1,

故答案為:.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定、角平分

線的判定、垂線段最短等知識(shí)，正確添加輔助線并熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

29.40°

【分析】先利用互余計(jì)算出朋BC=65。，再利用基本作圖得到MN垂直平分AB,所以EA=EB,從而得到

0EBA=SA=25°,然后計(jì)算0ABG3EBA即可.

解：團(tuán)在ABC中，0C=9OO,0A=25°

H3ABC=90°25°=65°,

由作法得MN垂直平分AB,

0EA=EB,

團(tuán)團(tuán)EBA=SA=25°,

E0CBE=（?1ABC0EBA=65O25O=4OO.

故答案為40。.

【點(diǎn)撥】本題考杳了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等

于已知角；作已如線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過(guò)一點(diǎn)作已如直線的垂線）.也考查了線段垂

直平分線的性質(zhì).

30.708

【分析】（1）由垂直平分線的性質(zhì)，AP=BP,EA=0ABP=35°,0BPA=11O°,0BPC=7O°.（2）APBC的

周長(zhǎng)=BP+PC+BC=AP+PC+BC=5+3=8cm.

解：（1）回AB的垂直平分線交AC于P點(diǎn)，

0AP=BP,

E0A=0ABP=35°,

團(tuán)團(tuán)BPC=0A+0ABP=35°+35°=7O°：

（2）0PBC的周長(zhǎng)=BP+PC+BC,

=AP+PC+BC,

=AC+BC,

=AB+BC,

回AB=5cm,BC=3cm,

00PBC的周長(zhǎng)=5+3=8cm.

故答案為70。；8cm.

【點(diǎn)撥】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是

解題的關(guān)鍵.

31.(1)證明見(jiàn)分析；(2)證明見(jiàn)分析.

【分析】(1)由"ASA"可證囹ADB00ADC,可得DB=DC；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得AB=AC,DB=DC,即可得AD0BC.

解：證明：(1)003=04,

00ADB=0ADC,且回1=m2,AD=AD,

00ADBS3ADC(ASA)

0DB=DC

00ADBE0ADC

0AB=AC,DB=DC,

回AD垂直平分BC,

即AD0BC

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，證明0ADB甌ADC解題的關(guān)鍵.

32.(1)見(jiàn)分析；(2)見(jiàn)分析.

【分析】(1)根據(jù)垂直平分線的做法即可畫(huà)出(2)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)與含30。角的直角三角形的

性質(zhì)即可證明.

解：(1)直線I即為所求.

分別以AB為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑，兩圓相交于兩點(diǎn)，連接此兩點(diǎn)即可.作圖正

確.

(2)證明：在Rt團(tuán)ABC中，03A=3O°,0ABC=6O°.

又因?yàn)榫€段AB的垂直平分線，

0EA=EB,

00EBA=0A=3O%0AED=0BED=6O°,

00EBC=3O°=0EBA,0FEC=6D°.

又回ED回AB,EC0BC,

0ED=EC.

在RtlSECF中，0FEC=6O°,

00EFC=3O°,

0EF=2EC,0EF=2ED.

【點(diǎn)撥】此題主要考查垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知含30。的直角三角形的性質(zhì).

33.36°

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形兩銳角互余可得結(jié)論.

解：EIDE垂直平分AB,

0AD=BD,

00A=0ABD,

設(shè)國(guó)CBD=x,

貝|J0A=SABD=2國(guó)CBD=2x,

甌=90°,

E0A+0ABD+0CBD=5x=9O°,

取=18°,

00A=2x=36°.

【點(diǎn)撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟練掌握它們的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

34.（1）見(jiàn)分析；（2）見(jiàn)分析

（2）利用垂直平分線