浙江金華市2025年中國(guó)精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算數(shù)學(xué)）能力提高訓(xùn)練試題庫(kù)及答案浙江金華市2025年中國(guó)精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算數(shù)學(xué)）能力提高訓(xùn)練試題庫(kù)及答案一、單項(xiàng)選擇題1.已知利率\(i=0.05\)，則\(10\)年后的\(100\)元在當(dāng)前時(shí)刻的現(xiàn)值為（）A.\(61.39\)B.\(62.09\)C.\(63.55\)D.\(64.12\)答案：B解析：根據(jù)現(xiàn)值公式\(PV=\frac{FV}{(1+i)^n}\)，其中\(zhòng)(FV=100\)，\(i=0.05\)，\(n=10\)，則\(PV=\frac{100}{(1+0.05)^{10}}\approx62.09\)。2.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda=2\)的指數(shù)分布，則\(P(X\gt1)\)為（）A.\(e^{-2}\)B.\(1-e^{-2}\)C.\(e^{-1}\)D.\(1-e^{-1}\)答案：A解析：指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax}(x\geq0)\)，分布函數(shù)為\(F(x)=1-e^{-\lambdax}(x\geq0)\)。所以\(P(X\gt1)=1-P(X\leq1)=1-F(1)=1-(1-e^{-2})=e^{-2}\)。3.已知某壽險(xiǎn)保單在時(shí)刻\(t\)的死亡力\(\mu(t)=\frac{1}{100-t}(0\leqt\lt100)\)，則現(xiàn)年\(30\)歲的人在\(40\)歲到\(50\)歲之間死亡的概率為（）A.\(\frac{1}{7}\)B.\(\frac{2}{7}\)C.\(\frac{3}{7}\)D.\(\frac{4}{7}\)答案：B解析：根據(jù)生存函數(shù)與死亡力的關(guān)系，\(l_x=e^{-\int_{0}^{x}\mu(s)ds}\)，對(duì)于\(\mu(t)=\frac{1}{100-t}\)，\(l_x=e^{\int_{0}^{x}\frac{1}{t-100}dt}=(\frac{100-x}{100})\)。則\(_{10}p_{30}=\frac{l_{40}}{l_{30}}=\frac{100-40}{100-30}=\frac{6}{7}\)，\(_{20}p_{30}=\frac{l_{50}}{l_{30}}=\frac{100-50}{100-30}=\frac{5}{7}\)。所以\(_{10|10}q_{30}=_{10}p_{30}-_{20}p_{30}=\frac{6}{7}-\frac{5}{7}=\frac{1}{7}\)。4.對(duì)于一個(gè)完全連續(xù)的終身壽險(xiǎn)，已知\(\overline{A}_x=0.3\)，\(\delta=0.05\)，則該壽險(xiǎn)的保費(fèi)\(\overline{P}(\overline{A}_x)\)為（）A.\(0.015\)B.\(0.02\)C.\(0.025\)D.\(0.03\)答案：A解析：根據(jù)完全連續(xù)終身壽險(xiǎn)保費(fèi)公式\(\overline{P}(\overline{A}_x)=\frac{\overline{A}_x}{\overline{a}_x}\)，又因?yàn)閈(\overline{a}_x=\frac{1-\overline{A}_x}{\delta}\)，所以\(\overline{P}(\overline{A}_x)=\frac{\overline{A}_x\delta}{1-\overline{A}_x}\)，將\(\overline{A}_x=0.3\)，\(\delta=0.05\)代入可得\(\overline{P}(\overline{A}_x)=\frac{0.3\times0.05}{1-0.3}=0.015\)。5.已知某離散型隨機(jī)變量\(X\)的分布列為\(P(X=0)=0.2\)，\(P(X=1)=0.3\)，\(P(X=2)=0.5\)，則\(E(X^2)\)為（）A.\(2.3\)B.\(2.5\)C.\(2.7\)D.\(2.9\)答案：A解析：根據(jù)期望的定義\(E(X^2)=\sum_{i}x_{i}^{2}P(X=x_{i})\)，則\(E(X^2)=0^2\times0.2+1^2\times0.3+2^2\times0.5=0+0.3+2=2.3\)。二、多項(xiàng)選擇題1.以下關(guān)于精算假設(shè)的說(shuō)法正確的有（）A.精算假設(shè)是對(duì)未來(lái)不確定事件的一種估計(jì)B.死亡率假設(shè)是壽險(xiǎn)精算中重要的假設(shè)之一C.利率假設(shè)會(huì)影響保險(xiǎn)產(chǎn)品的定價(jià)和準(zhǔn)備金計(jì)算D.退保率假設(shè)對(duì)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的現(xiàn)金流有重要影響答案：ABCD解析：精算假設(shè)是精算師為了進(jìn)行保險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)、準(zhǔn)備金計(jì)算等工作，對(duì)未來(lái)不確定事件做出的合理估計(jì)。死亡率假設(shè)直接關(guān)系到壽險(xiǎn)產(chǎn)品的賠付概率，是壽險(xiǎn)精算的關(guān)鍵假設(shè)。利率假設(shè)會(huì)影響保險(xiǎn)資金的投資收益，進(jìn)而影響產(chǎn)品定價(jià)和準(zhǔn)備金的計(jì)算。退保率假設(shè)會(huì)影響保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的現(xiàn)金流，因?yàn)橥吮?huì)導(dǎo)致保險(xiǎn)公司提前支付現(xiàn)金。2.下列屬于年金的有（）A.定期支付的房租B.每月的工資收入C.每年支付的保險(xiǎn)費(fèi)D.不定期的獎(jiǎng)金答案：ABC解析：年金是指在一定時(shí)期內(nèi)，每隔相同時(shí)間間隔收付相等金額的款項(xiàng)。定期支付的房租、每月的工資收入、每年支付的保險(xiǎn)費(fèi)都符合年金的定義，而不定期的獎(jiǎng)金不符合每隔相同時(shí)間間隔收付的特點(diǎn)，不屬于年金。3.關(guān)于生存函數(shù)\(S(x)\)的性質(zhì)，以下說(shuō)法正確的有（）A.\(S(x)\)是單調(diào)遞減函數(shù)B.\(S(0)=1\)C.\(\lim_{x\rightarrow+\infty}S(x)=0\)D.\(S(x)\)是右連續(xù)函數(shù)答案：ABC解析：生存函數(shù)\(S(x)\)表示現(xiàn)年\(0\)歲的人活到\(x\)歲的概率，隨著年齡\(x\)的增加，活到該年齡的人數(shù)會(huì)逐漸減少，所以\(S(x)\)是單調(diào)遞減函數(shù)；顯然\(S(0)\)表示剛出生的人存活的概率，為\(1\)；當(dāng)\(x\)趨于無(wú)窮大時(shí)，活到該年齡的概率趨近于\(0\)，即\(\lim_{x\rightarrow+\infty}S(x)=0\)；生存函數(shù)\(S(x)\)是左連續(xù)函數(shù)，不是右連續(xù)函數(shù)。4.對(duì)于一個(gè)完全離散的兩全保險(xiǎn)，以下公式正確的有（）A.\(A_{x:\overline{n}|}=A_{x:\overline{n}|}^1+_{n}E_x\)B.\(P(A_{x:\overline{n}|})=\frac{A_{x:\overline{n}|}}{a_{x:\overline{n}|}}\)C.\(1=da_{x:\overline{n}|}+A_{x:\overline{n}|}\)D.\(A_{x:\overline{n}|}^1\)表示\(n\)年期死亡保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)答案：ABCD解析：在完全離散的兩全保險(xiǎn)中，兩全保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)\(A_{x:\overline{n}|}\)等于\(n\)年期死亡保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)\(A_{x:\overline{n}|}^1\)與\(n\)年定期生存保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)\(_{n}E_x\)之和；保費(fèi)\(P(A_{x:\overline{n}|})\)等于躉繳純保費(fèi)\(A_{x:\overline{n}|}\)除以年金現(xiàn)值\(a_{x:\overline{n}|}\)；根據(jù)精算恒等式\(1=da_{x:\overline{n}|}+A_{x:\overline{n}|}\)；\(A_{x:\overline{n}|}^1\)確實(shí)表示\(n\)年期死亡保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)。5.若隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)滿足\(Cov(X,Y)=0\)，則以下說(shuō)法正確的有（）A.\(X\)和\(Y\)不相關(guān)B.\(E(XY)=E(X)E(Y)\)C.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)D.\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立答案：ABC解析：協(xié)方差\(Cov(X,Y)=0\)時(shí)，隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)不相關(guān)，根據(jù)協(xié)方差的定義\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\)，可得\(E(XY)=E(X)E(Y)\)；又因?yàn)閈(D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)\)，所以\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)；但是\(Cov(X,Y)=0\)不能推出\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，相互獨(dú)立是比不相關(guān)更強(qiáng)的條件。三、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述精算數(shù)學(xué)在保險(xiǎn)行業(yè)中的作用。精算數(shù)學(xué)在保險(xiǎn)行業(yè)中起著至關(guān)重要的作用，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：-保險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)：精算師運(yùn)用精算數(shù)學(xué)的方法，結(jié)合死亡率、發(fā)病率、利率等多種假設(shè)，計(jì)算出保險(xiǎn)產(chǎn)品的合理價(jià)格。例如在壽險(xiǎn)產(chǎn)品中，通過(guò)對(duì)不同年齡段的死亡率進(jìn)行分析，確定不同保險(xiǎn)金額、保險(xiǎn)期限下的保費(fèi)，確保保險(xiǎn)公司在承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)能夠獲得合理的利潤(rùn)。-準(zhǔn)備金計(jì)算：為了保證保險(xiǎn)公司有足夠的資金來(lái)履行未來(lái)的賠付義務(wù)，需要計(jì)算準(zhǔn)備金。精算數(shù)學(xué)通過(guò)對(duì)未來(lái)現(xiàn)金流的預(yù)測(cè)和折現(xiàn)，確定準(zhǔn)備金的規(guī)模。如在長(zhǎng)期健康險(xiǎn)中，考慮到疾病的發(fā)生概率和治療費(fèi)用的不確定性，運(yùn)用精算模型計(jì)算準(zhǔn)備金，以應(yīng)對(duì)可能的賠付。-風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估與管理：通過(guò)精算數(shù)學(xué)模型，對(duì)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)面臨的各種風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行量化評(píng)估。例如，對(duì)巨災(zāi)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，評(píng)估地震、洪水等自然災(zāi)害發(fā)生的概率和可能造成的損失，幫助保險(xiǎn)公司制定風(fēng)險(xiǎn)管理策略，合理安排再保險(xiǎn)，降低風(fēng)險(xiǎn)暴露。-利潤(rùn)分析與業(yè)務(wù)決策：精算數(shù)學(xué)可以幫助保險(xiǎn)公司分析業(yè)務(wù)的盈利能力。通過(guò)對(duì)保費(fèi)收入、賠付支出、費(fèi)用等因素的分析，評(píng)估不同業(yè)務(wù)線的利潤(rùn)貢獻(xiàn)，為保險(xiǎn)公司的業(yè)務(wù)拓展、產(chǎn)品調(diào)整等決策提供依據(jù)。例如，分析不同地區(qū)、不同客戶群體的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)利潤(rùn)情況，決定是否加大在某些地區(qū)或客戶群體的市場(chǎng)投入。2.解釋死亡力\(\mu(x)\)的含義，并說(shuō)明它與生存函數(shù)\(S(x)\)的關(guān)系。死亡力\(\mu(x)\)表示在存活到\(x\)歲的條件下，在\(x\)歲這一時(shí)刻的瞬時(shí)死亡概率。它反映了在某一特定年齡上死亡的相對(duì)速率。死亡力\(\mu(x)\)與生存函數(shù)\(S(x)\)有密切的關(guān)系。從數(shù)學(xué)定義上，死亡力\(\mu(x)=-\frac{S^{\prime}(x)}{S(x)}\)，這表明死亡力是生存函數(shù)的負(fù)導(dǎo)數(shù)與生存函數(shù)本身的比值。通過(guò)對(duì)該式進(jìn)行變形和積分，可以得到生存函數(shù)\(S(x)\)與死亡力\(\mu(x)\)的另一種關(guān)系\(S(x)=e^{-\int_{0}^{x}\mu(t)dt}\)。也就是說(shuō)，給定死亡力函數(shù)\(\mu(x)\)，可以通過(guò)積分運(yùn)算得到生存函數(shù)\(S(x)\)；反之，已知生存函數(shù)\(S(x)\)，也可以通過(guò)求導(dǎo)運(yùn)算得到死亡力\(\mu(x)\)。這種關(guān)系在精算學(xué)中非常重要，它是計(jì)算各種生存概率和保險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)的基礎(chǔ)。例如，在計(jì)算\(n\)年期生存概率\(_{n}p_{x}=\frac{S(x+n)}{S(x)}\)時(shí)，就可以利用死亡力與生存函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)和計(jì)算。3.簡(jiǎn)述年金的分類方式及常見的年金類型。年金的分類方式主要有以下幾種：-按支付時(shí)間間隔分類：可分為年付年金、半年付年金、季付年金和月付年金等。年付年金是每年支付一次款項(xiàng)，半年付年金是每半年支付一次，以此類推。-按支付起始時(shí)間分類：分為即期年金和延期年金。即期年金是在合同生效后立即開始支付款項(xiàng)，延期年金則是在合同生效一段時(shí)間后才開始支付。-按支付期限分類：分為定期年金和終身年金。定期年金在一定的期限內(nèi)支付款項(xiàng)，期限結(jié)束后支付停止；終身年金則是在被保險(xiǎn)人存活期間持續(xù)支付，直到被保險(xiǎn)人死亡。-按支付金額是否固定分類：分為固定金額年金和變額年金。固定金額年金在整個(gè)支付期間支付的金額保持不變，變額年金的支付金額會(huì)根據(jù)投資收益等因素發(fā)生變化。常見的年金類型有：-普通年金：也稱為后付年金，是指在每期期末支付款項(xiàng)的年金。例如，每年年末支付一定金額的房租。-先付年金：又稱預(yù)付年金，是在每期期初支付款項(xiàng)的年金。如每年年初支付的保險(xiǎn)費(fèi)。-永續(xù)年金：是指無(wú)限期支付的年金。雖然在現(xiàn)實(shí)中不存在真正意義上的永續(xù)年金，但在理論研究和一些金融產(chǎn)品的定價(jià)中會(huì)用到，如某些優(yōu)先股的股息可以近似看作永續(xù)年金。四、計(jì)算題1.已知某年金在第\(1\)年末支付\(100\)元，第\(2\)年末支付\(200\)元，第\(3\)年末支付\(300\)元，\(\cdots\)，第\(n\)年末支付\(100n\)元，利率\(i=0.05\)。求該年金在第\(0\)時(shí)刻的現(xiàn)值。解：設(shè)該年金的現(xiàn)值為\(PV\)，則\[\begin{align}PV&=100v+200v^{2}+300v^{3}+\cdots+100nv^{n}\\&=100(v+2v^{2}+3v^{3}+\cdots+nv^{n})\end{align}\]令\(S=v+2v^{2}+3v^{3}+\cdots+nv^{n}\)，則\(vS=v^{2}+2v^{3}+\cdots+(n-1)v^{n}+nv^{n+1}\)。兩式相減得：\[\begin{align}S-vS&=(v+v^{2}+v^{3}+\cdots+v^{n})-nv^{n+1}\\S(1-v)&=\frac{v(1-v^{n})}{1-v}-nv^{n+1}\\S&=\frac{v(1-v^{n})}{(1-v)^2}-\frac{nv^{n+1}}{1-v}\end{align}\]已知\(v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1.05}\)，則\[\begin{align}PV&=100\left[\frac{\frac{1}{1.05}(1-(\frac{1}{1.05})^{n})}{(1-\frac{1}{1.05})^2}-\frac{n(\frac{1}{1.05})^{n+1}}{1-\frac{1}{1.05}}\right]\end{align}\]2.設(shè)某壽險(xiǎn)保單的死亡力\(\mu(x)=\frac{1}{100-x}(0\leqx\lt100)\)，求現(xiàn)年\(20\)歲的人在\(30\)歲到\(40\)歲之間死亡的概率。解：首先，根據(jù)生存函數(shù)與死亡力的關(guān)系\(S(x)=e^{-\int_{0}^{x}\mu(t)dt}\)，對(duì)于\(\mu(x)=\frac{1}{100-x}\)，有：\[\begin{align}S(x)&=e^{\int_{0}^{x}\frac{1}{t-100}dt}\\&=e^{\ln(\frac{100-x}{100})}\\&=\frac{100-x}{100}\end{align}\]則\(_{10}p_{20}=\frac{S(30)}{S(20)}=\frac{100-30}{100-20}=\frac{7}{8}\)，\(_{20}p_{20}=\frac{S(40)}{S(20)}=\frac{100-40}{100-20}=\frac{3}{4}\)。所以現(xiàn)年\(20\)歲的人在\(30\)歲到\(40\)歲之間死亡的概率為：\[\begin{align}_{10|10}q_{20}&=_{10}p_{20}-_{20}p_{20}\\&=\frac{7}{8}-\frac{3}{4}\\&=\frac{7-6}{8}\\&=\frac{1}{8}\end{align}\]3.對(duì)于一個(gè)完全連續(xù)的終身壽險(xiǎn)，已知\(\overline{A}_x=0.4\)，\(\delta=0.06\)，求該壽險(xiǎn)的責(zé)任準(zhǔn)備金\(V(\overline{A}_x)\)在\(t=10\)時(shí)的值（假設(shè)保費(fèi)按均衡保費(fèi)繳納）。解：首先求均衡保費(fèi)\(\overline{P}(\overline{A}_x)\)，根據(jù)公式\(\overline{P}(\overline{A}_x)=\frac{\overline{A}_x}{\overline{a}_x}\)，又因?yàn)閈(\overline{a}_x=\frac{1-\overline{A}_x}{\delta}\)，所以\(\overline{P}(\overline{A}_x)=\frac{\overline{A}_x\delta}{1-\overline{A}_x}\)。將\(\overline{A}_x=0.4\)，\(\delta=0.06\)代入可得：\[\begin{align}\overline{P}(\overline{A}_x)&=\frac{0.4\times0.06}{1-0.4}\\&=\frac{