2025年中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題及答案本溪2025年中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題一、單項選擇題（每題2分，共30分）1.在保險精算中，對于一組損失數(shù)據(jù)，若要分析其分布特征，以下哪種統(tǒng)計量最能反映數(shù)據(jù)的離散程度？A.均值B.中位數(shù)C.標(biāo)準(zhǔn)差D.眾數(shù)2.已知某保險標(biāo)的在過去10年中的損失數(shù)據(jù)分別為20、30、40、15、25、35、45、22、32、18。則這組數(shù)據(jù)的樣本均值為（）。A.25B.27C.29D.313.若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且已知E(X)=3，則Var(X)的值為（）。A.1B.2C.3D.94.在構(gòu)建精算模型時，對于索賠次數(shù)模型，常用的分布不包括以下哪種？A.泊松分布B.負(fù)二項分布C.正態(tài)分布D.二項分布5.設(shè)X和Y是兩個隨機(jī)變量，已知Cov(X,Y)=-2，Var(X)=4，Var(Y)=9，則X和Y的相關(guān)系數(shù)ρXY為（）。A.-1/3B.-2/3C.1/3D.2/36.對于一組時間序列數(shù)據(jù)，若要判斷其是否存在季節(jié)性變化，可采用以下哪種方法？A.自相關(guān)函數(shù)分析B.偏自相關(guān)函數(shù)分析C.季節(jié)分解法D.單位根檢驗7.已知某保險公司的索賠次數(shù)N服從參數(shù)為λ=5的泊松分布，每次索賠金額X服從均值為100的指數(shù)分布，且索賠次數(shù)和索賠金額相互獨立。則該保險公司的總索賠額S的均值為（）。A.500B.100C.5D.1058.在數(shù)據(jù)分析中，若要對數(shù)據(jù)進(jìn)行降維處理，以下哪種方法較為常用？A.主成分分析B.聚類分析C.判別分析D.回歸分析9.設(shè)X是一個連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為f(x)=2x，0<x<1，其他情況f(x)=0。則X的分布函數(shù)F(x)為（）。A.F(x)=x2，0<x<1；F(x)=0，x≤0；F(x)=1，x≥1B.F(x)=2x，0<x<1；F(x)=0，x≤0；F(x)=1，x≥1C.F(x)=x，0<x<1；F(x)=0，x≤0；F(x)=1，x≥1D.F(x)=x3，0<x<1；F(x)=0，x≤0；F(x)=1，x≥110.對于一個線性回歸模型Y=β0+β1X+ε，其中ε是隨機(jī)誤差項。若要檢驗自變量X對因變量Y是否有顯著影響，應(yīng)采用（）。A.t檢驗B.F檢驗C.卡方檢驗D.正態(tài)性檢驗11.已知某保險產(chǎn)品的賠付率數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的右偏態(tài)分布，在這種情況下，以下哪種集中趨勢度量指標(biāo)更能代表數(shù)據(jù)的典型水平？A.均值B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.以上都不對12.在精算模型中，對于生存模型，常用的生存函數(shù)S(t)表示（）。A.個體在時刻t之前死亡的概率B.個體在時刻t之后生存的概率C.個體在時刻t死亡的概率D.個體在時刻t生存的概率密度13.若要對一組數(shù)據(jù)進(jìn)行異常值檢測，以下哪種方法不適用于連續(xù)型數(shù)據(jù)？A.基于標(biāo)準(zhǔn)差的方法B.箱線圖法C.聚類法D.卡方檢驗法14.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項分布B(n,p)，已知E(X)=6，Var(X)=4.2，則n和p的值分別為（）。A.n=20，p=0.3B.n=10，p=0.6C.n=15，p=0.4D.n=30，p=0.215.在數(shù)據(jù)分析中，若要比較多個總體的均值是否相等，可采用（）。A.方差分析B.相關(guān)分析C.回歸分析D.因子分析二、多項選擇題（每題3分，共15分）1.以下哪些分布可用于描述保險索賠次數(shù)？A.泊松分布B.負(fù)二項分布C.正態(tài)分布D.二項分布E.伽馬分布2.在精算模型與數(shù)據(jù)分析中，以下哪些屬于數(shù)據(jù)預(yù)處理的步驟？A.數(shù)據(jù)清洗B.數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化C.數(shù)據(jù)編碼D.數(shù)據(jù)可視化E.數(shù)據(jù)降維3.對于線性回歸模型的診斷，常用的方法有（）。A.殘差分析B.異方差性檢驗C.自相關(guān)性檢驗D.正態(tài)性檢驗E.多重共線性檢驗4.生存分析中常用的函數(shù)有（）。A.生存函數(shù)B.死亡力函數(shù)C.累積分布函數(shù)D.概率密度函數(shù)E.危險率函數(shù)5.在時間序列分析中，常用的模型有（）。A.AR模型B.MA模型C.ARMA模型D.ARIMA模型E.GARCH模型三、簡答題（每題10分，共30分）1.簡述精算模型中索賠次數(shù)模型和索賠金額模型的常見類型，并說明它們在實際應(yīng)用中的作用。索賠次數(shù)模型常見類型：-泊松分布：具有參數(shù)λ，其特點是均值和方差相等，即E(N)=Var(N)=λ。它假設(shè)事件的發(fā)生是獨立且在單位時間內(nèi)以恒定的平均速率發(fā)生，適用于描述風(fēng)險相對穩(wěn)定、索賠事件相互獨立的情況，如一些小額、頻繁且相互獨立的保險索賠場景。-負(fù)二項分布：有兩個參數(shù)r和p，它可以看作是多個獨立同分布的幾何分布之和。負(fù)二項分布的方差大于均值，能更好地處理索賠次數(shù)具有過度分散性的情況，當(dāng)實際中索賠次數(shù)的波動比泊松分布所允許的更大時使用。-二項分布：參數(shù)為n和p，描述在n次獨立試驗中成功的次數(shù)，適用于有固定試驗次數(shù)且每次試驗成功概率固定的索賠情況，例如在一定數(shù)量的保險標(biāo)的中發(fā)生索賠的標(biāo)的數(shù)量。索賠金額模型常見類型：-指數(shù)分布：具有參數(shù)λ，概率密度函數(shù)為f(x)=λe-λx（x>0），其特點是無記憶性，常用于描述一些小額索賠金額的分布，如一些簡單的醫(yī)療費用索賠。-伽馬分布：有形狀參數(shù)α和尺度參數(shù)β，它可以靈活地擬合不同形狀的索賠金額分布，當(dāng)索賠金額具有右偏態(tài)且取值為正的特點時較為適用。-對數(shù)正態(tài)分布：若隨機(jī)變量X的自然對數(shù)ln(X)服從正態(tài)分布，則X服從對數(shù)正態(tài)分布。它適合描述一些大額索賠金額的分布，因為它的取值范圍為正且可以呈現(xiàn)出右偏態(tài)。在實際應(yīng)用中的作用：索賠次數(shù)模型用于預(yù)測在一定時期內(nèi)可能發(fā)生的索賠次數(shù)，幫助保險公司合理安排人力、物力來處理索賠事務(wù)，確定保費水平中與索賠頻率相關(guān)的部分。索賠金額模型用于估計每次索賠可能的金額大小，結(jié)合索賠次數(shù)模型可以更準(zhǔn)確地評估總索賠額，為保險公司的準(zhǔn)備金計提、再保險安排等提供依據(jù)。2.請說明主成分分析的基本原理和主要步驟。基本原理：主成分分析是一種數(shù)據(jù)降維技術(shù)，其核心思想是通過線性變換將原始的多個相關(guān)變量轉(zhuǎn)換為一組互不相關(guān)的綜合變量，即主成分。這些主成分是原始變量的線性組合，且按照方差從大到小排列，方差越大的主成分包含的原始數(shù)據(jù)信息越多。通過保留方差較大的主成分，可以在盡量減少信息損失的前提下，降低數(shù)據(jù)的維度，簡化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，便于后續(xù)的分析和處理。主要步驟：-數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化：對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，消除不同變量之間量綱的影響，使每個變量的均值為0，方差為1。-計算協(xié)方差矩陣或相關(guān)系數(shù)矩陣：根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)計算變量之間的協(xié)方差矩陣或相關(guān)系數(shù)矩陣，以反映變量之間的相關(guān)性。-求解特征值和特征向量：對協(xié)方差矩陣或相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行特征值分解，得到特征值和對應(yīng)的特征向量。-確定主成分：將特征值從大到小排序，選擇前k個較大特征值對應(yīng)的特征向量，這些特征向量構(gòu)成的線性組合即為前k個主成分。-計算主成分得分：將標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)代入主成分的線性組合公式，計算每個樣本在主成分上的得分。-解釋主成分：根據(jù)主成分中各原始變量的系數(shù)，解釋主成分所代表的實際意義。3.簡述生存分析中生存函數(shù)、死亡力函數(shù)和危險率函數(shù)的定義和相互關(guān)系。生存函數(shù)S(t)：定義為個體在時刻t之后生存的概率，即S(t)=P(T>t)，其中T表示個體的生存時間。它描述了個體在不同時刻生存的可能性，S(0)=1，且隨著時間t的增加，S(t)單調(diào)遞減，當(dāng)t→∞時，S(t)→0。死亡力函數(shù)μ(t)：定義為在時刻t存活的個體在時刻t瞬間死亡的概率密度，即μ(t)=-S'(t)/S(t)，它反映了個體在存活到時刻t時的死亡風(fēng)險程度。危險率函數(shù)h(t)：也稱為失效率函數(shù)，定義為在時刻t存活的個體在時刻t之后單位時間內(nèi)死亡的概率，在連續(xù)時間情況下，h(t)=μ(t)，在離散時間情況下，h(t)=P(t≤T<t+1|T≥t)。相互關(guān)系：-從生存函數(shù)可以推導(dǎo)出死亡力函數(shù)和危險率函數(shù)，如前面提到的μ(t)=-S'(t)/S(t)。-生存函數(shù)與危險率函數(shù)的關(guān)系可以通過積分表示，S(t)=exp(-∫??h(s)ds)，即生存函數(shù)可以由危險率函數(shù)的積分得到。-死亡力函數(shù)和危險率函數(shù)在連續(xù)時間下是等價的概念，它們都反映了個體在存活過程中的死亡風(fēng)險情況。四、計算題（每題12.5分，共25分）1.某保險公司的索賠次數(shù)N服從參數(shù)為λ=4的泊松分布，每次索賠金額X服從均值為200的指數(shù)分布，且索賠次數(shù)和索賠金額相互獨立。（1）計算該保險公司的總索賠額S的均值和方差。已知索賠次數(shù)N服從參數(shù)為λ=4的泊松分布，則E(N)=Var(N)=4。每次索賠金額X服從均值為200的指數(shù)分布，對于指數(shù)分布，若均值為μ，則方差為μ2，所以E(X)=200，Var(X)=2002=40000。根據(jù)復(fù)合泊松分布的性質(zhì)，總索賠額S的均值為E(S)=E(N)×E(X)=4×200=800?？偹髻r額S的方差為Var(S)=E(N)×E(X2)，又因為E(X2)=Var(X)+[E(X)]2=40000+2002=80000，所以Var(S)=4×80000=320000。（2）若該保險公司為了應(yīng)對總索賠額，準(zhǔn)備了1000的資金，求資金不足以支付總索賠額的概率（可使用正態(tài)近似）。由中心極限定理，當(dāng)N較大時，復(fù)合泊松分布S近似服從正態(tài)分布N(E(S),Var(S))，即S近似服從N(800,320000)。設(shè)Z=(S-E(S))/√Var(S)=(S-800)/√320000近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。要求資金不足以支付總索賠額的概率，即P(S>1000)。P(S>1000)=1-P(S≤1000)=1-P((S-800)/√320000≤(1000-800)/√320000)=1-Φ((1000-800)/√320000)，其中Φ是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。(1000-800)/√320000=200/√320000≈200/565.69≈0.35。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得Φ(0.35)≈0.6368，所以P(S>1000)=1-0.6368=0.3632。2.有一組關(guān)于某保險產(chǎn)品賠付率的數(shù)據(jù)如下：10%、12%、15%、13%、11%、14%、16%、18%、17%、19%。（1）計算這組數(shù)據(jù)的樣本均值、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。樣本均值x?=(10%+12%+15%+13%+11%+14%+16%+18%+17%+19%)/10=14.5%。樣本方差s2=∑(xi-x?)2/(n-1)，其中xi為每個數(shù)據(jù)，n=10。(10%-14.5%)2+(12%-14.5%)2+(15%-14.5%)2+(13%-14.5%)2+(11%-14.5%)2+(14%-14.5%)2+(16%-14.5%)2+(18%-14.5%)2+(17%-14.5%)2+(19%-14.5%)2=(-4.5%)2+(-2.5%)2+(0.5%)2+(-1.5%)2+(-3.5%)2+(-0.5%)2+(1.5%)2+(3.5%)2+(2.5%)2+(4.5%)2=0.002025+0.000625+0.000025+0.000225+0.001225+0.000025+0.000225+0.001225+0.000625+0.002025=0.00825。樣本方差s2=0.00825/(10-1)≈0.000917。樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=√s2=√0.000917≈3.03%。（2）假設(shè)這組數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，求賠付率在12%-16%之間的概率。設(shè)賠付率為X，X近似服從N(14.5%,0.000917)。先進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，Z=(X-μ)/