江西省中國精算師職業(yè)資格考試（準精算師精算數學）復習題庫及答案(2025年)一、單項選擇題1.已知某壽險保單在時刻$t$的責任準備金為$V_t$，保險金額為$A$，年繳純保費為$P$，利息力為$\delta$，死亡力為$\mu_{x+t}$。則責任準備金的連續(xù)型全微分方程為（）A.$\frac{dV_t}{dt}=\deltaV_t+P-\mu_{x+t}(A-V_t)$B.$\frac{dV_t}{dt}=\deltaV_t-P-\mu_{x+t}(A-V_t)$C.$\frac{dV_t}{dt}=\deltaV_t+P+\mu_{x+t}(A-V_t)$D.$\frac{dV_t}{dt}=\deltaV_t-P+\mu_{x+t}(A-V_t)$答案：A解析：根據責任準備金的連續(xù)型全微分方程的推導原理。在一個很小的時間區(qū)間$[t,t+dt]$內，責任準備金的變化由三部分組成：利息收入、保費收入和死亡給付支出。利息收入為$\deltaV_tdt$，保費收入為$Pdt$，死亡給付支出為$\mu_{x+t}(A-V_t)dt$。根據收支平衡原理，責任準備金的變化量$dV_t$等于利息收入加上保費收入減去死亡給付支出，即$dV_t=\deltaV_tdt+Pdt-\mu_{x+t}(A-V_t)dt$，兩邊同時除以$dt$就得到$\frac{dV_t}{dt}=\deltaV_t+P-\mu_{x+t}(A-V_t)$。2.設隨機變量$X$服從參數為$\lambda$的泊松分布，已知$E[(X-1)(X-2)]=1$，則$\lambda$等于（）A.1B.2C.3D.4答案：A解析：首先，根據期望的性質展開$E[(X-1)(X-2)]$：$E[(X-1)(X-2)]=E[X^2-3X+2]=E[X^2]-3E[X]+2$對于泊松分布$X\simP(\lambda)$，有$E[X]=\lambda$，$Var(X)=\lambda$，又因為$Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2$，所以$E[X^2]=\lambda+\lambda^2$。將$E[X]=\lambda$和$E[X^2]=\lambda+\lambda^2$代入$E[(X-1)(X-2)]=E[X^2]-3E[X]+2$中，得到：$\lambda+\lambda^2-3\lambda+2=1$即$\lambda^2-2\lambda+1=0$，根據完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，這里$a=\lambda$，$b=1$，則$(\lambda-1)^2=0$，解得$\lambda=1$。3.已知利率$i=0.05$，則$v^5$等于（）A.$1.05^5$B.$\frac{1}{1.05^5}$C.$0.05^5$D.$\frac{1}{0.05^5}$答案：B解析：在利息理論中，貼現因子$v=\frac{1}{1+i}$。已知$i=0.05$，則$v=\frac{1}{1+0.05}=\frac{1}{1.05}$。那么$v^5=(\frac{1}{1.05})^5=\frac{1}{1.05^5}$。4.設$X$和$Y$是兩個隨機變量，且$Cov(X,Y)=0$，則下列結論正確的是（）A.$X$和$Y$相互獨立B.$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$C.$E(XY)=E(X)E(Y)$D.以上都不對答案：B解析：-選項A：$Cov(X,Y)=0$只能說明$X$和$Y$不相關，但不相關并不一定意味著相互獨立。例如，設$X\simU(-1,1)$，$Y=X^2$，可以計算出$Cov(X,Y)=0$，但$X$和$Y$顯然不相互獨立，所以選項A錯誤。-選項B：根據方差的性質$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$，當$Cov(X,Y)=0$時，$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$，所以選項B正確。-選項C：雖然$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$時可以推出$E(XY)=E(X)E(Y)$，但這是在$Cov(X,Y)=0$的條件下，不能直接由$Cov(X,Y)=0$就默認該結論一定成立，需要根據協方差的定義來推導，而且其本質和選項B是基于協方差為0的性質，這里更強調的是方差的計算性質，所以選項C不準確。5.已知某年金在第一年末支付100元，以后每年比上一年增加10元，共支付10年，年利率為$i=0.05$。則該年金的現值為（）A.$\sum_{k=1}^{10}(100+10(k-1))v^k$B.$\sum_{k=1}^{10}(100+10k)v^k$C.$\sum_{k=0}^{9}(100+10k)v^k$D.$\sum_{k=0}^{9}(100+10(k+1))v^k$答案：A解析：這是一個變額年金問題。年金在第一年末支付100元，第二年末支付$100+10$元，第三年末支付$100+10\times2$元，以此類推，第$k$年末支付$100+10(k-1)$元（$k=1,2,\cdots,10$）。根據年金現值的定義，將每一期的支付額按照貼現因子$v=\frac{1}{1+i}$進行貼現，得到該年金的現值為$\sum_{k=1}^{10}(100+10(k-1))v^k$，其中$v=\frac{1}{1+0.05}$。二、多項選擇題1.下列關于正態(tài)分布的說法正確的有（）A.正態(tài)分布是一種連續(xù)型概率分布B.正態(tài)分布的概率密度函數是關于均值對稱的C.若$X\simN(\mu,\sigma^2)$，則$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\simN(0,1)$D.正態(tài)分布的兩個參數$\mu$和$\sigma^2$分別決定了分布的位置和形狀答案：ABCD解析：-選項A：正態(tài)分布的概率密度函數為$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$，$x\in(-\infty,+\infty)$，其取值是連續(xù)的，所以正態(tài)分布是一種連續(xù)型概率分布，選項A正確。-選項B：正態(tài)分布的概率密度函數$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$是關于$x=\mu$對稱的，即$f(\mu+a)=f(\mu-a)$對于任意實數$a$都成立，選項B正確。-選項C：若$X\simN(\mu,\sigma^2)$，通過標準化變換$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$，根據正態(tài)分布的性質，$Z$服從標準正態(tài)分布$N(0,1)$，選項C正確。-選項D：參數$\mu$決定了正態(tài)分布的位置，當$\mu$變化時，分布的中心位置會移動；參數$\sigma^2$決定了分布的形狀，$\sigma^2$越大，分布越分散，$\sigma^2$越小，分布越集中，選項D正確。2.在精算中，關于生命表的說法正確的有（）A.生命表反映了一定年齡的人群的死亡規(guī)律B.終極生命表和選擇生命表是生命表的兩種常見類型C.生命表中的$l_x$表示$x$歲的生存人數D.生命表中的$q_x$表示$x$歲的人在一年內死亡的概率答案：ABCD解析：-選項A：生命表是根據一定時期的特定人群的死亡統(tǒng)計資料編制的，它反映了該人群在不同年齡的死亡概率等死亡規(guī)律，是精算中評估風險和計算保費等的重要依據，選項A正確。-選項B：終極生命表是不考慮被保險人投保時的選擇因素，只根據達到某一年齡后的死亡情況編制的；選擇生命表則考慮了被保險人在投保時的健康等選擇因素，它們是生命表的兩種常見類型，選項B正確。-選項C：在生命表中，$l_x$通常表示$x$歲的生存人數，它是生命表中的一個基本指標，選項C正確。-選項D：$q_x$定義為$x$歲的人在一年內死亡的概率，計算公式為$q_x=\frac{d_x}{l_x}$，其中$d_x$是$x$歲的人在一年內死亡的人數，選項D正確。3.關于利息理論中的積累函數$a(t)$，下列說法正確的有（）A.$a(0)=1$B.$a(t)$是單調遞增函數C.$a(t)$表示1單位本金在$t$時刻的積累值D.若利息按單利計算，則$a(t)=1+it$答案：ABCD解析：-選項A：積累函數$a(t)$表示1單位本金在$t$時刻的積累值，當$t=0$時，本金沒有經過任何時間的積累，所以$a(0)=1$，選項A正確。-選項B：因為隨著時間$t$的增加，本金會不斷積累利息，所以積累值會不斷增加，即$a(t)$是單調遞增函數，選項B正確。-選項C：這是積累函數的定義，$a(t)$就是用來描述1單位本金在$t$時刻的積累值，選項C正確。-選項D：在單利情況下，利息的計算公式為$I=Pit$，其中$P$是本金，$i$是利率，$t$是時間。對于1單位本金，$P=1$，則1單位本金在$t$時刻的積累值$a(t)=1+it$，選項D正確。4.設$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體$X$的一個樣本，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$是樣本均值，$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$是樣本方差。下列說法正確的有（）A.$\overline{X}$是總體均值$E(X)$的無偏估計B.$S^2$是總體方差$Var(X)$的無偏估計C.當$n$充分大時，$\overline{X}$近似服從正態(tài)分布D.樣本均值$\overline{X}$和樣本方差$S^2$相互獨立答案：ABC解析：-選項A：根據無偏估計的定義，$E(\overline{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)$，因為$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體$X$的樣本，所以$E(X_i)=E(X)$，則$E(\overline{X})=\frac{1}{n}\timesnE(X)=E(X)$，所以$\overline{X}$是總體均值$E(X)$的無偏估計，選項A正確。-選項B：可以通過一系列的推導證明$E(S^2)=Var(X)$，所以$S^2$是總體方差$Var(X)$的無偏估計，選項B正確。-選項C：根據中心極限定理，當$n$充分大時，無論總體$X$服從什么分布，樣本均值$\overline{X}$近似服從正態(tài)分布$N(E(X),\frac{Var(X)}{n})$，選項C正確。-選項D：只有當總體$X$服從正態(tài)分布時，樣本均值$\overline{X}$和樣本方差$S^2$才相互獨立，一般情況下該結論不成立，所以選項D錯誤。5.在保險精算中，厘定保險費率的基本原則有（）A.公平性原則B.充足性原則C.合理性原則D.穩(wěn)定性原則答案：ABCD解析：-選項A：公平性原則要求保險人向投保人收取的保險費應與其承擔的保險責任和被保險人所獲得的保障程度相適應，不同風險程度的被保險人應繳納不同的保險費，選項A正確。-選項B：充足性原則是指保險費率應足以抵補一切可能發(fā)生的損失以及有關的營業(yè)費用，以保證保險人有足夠的資金來履行其賠償或給付義務，選項B正確。-選項C：合理性原則是指保險費率不應過高，保險人不能為追求過高的利潤而制定過高的保險費率，要在保證充足性的前提下，使保險費率合理，選項C正確。-選項D：穩(wěn)定性原則要求保險費率在一定時期內保持相對穩(wěn)定，以便于保險人進行經營管理和投保人進行財務規(guī)劃，避免保險費率頻繁波動給雙方帶來不利影響，選項D正確。三、解答題1.已知某保險公司承保的一類風險，索賠次數$N$服從參數為$\lambda=2$的泊松分布，每次索賠金額$X_i$相互獨立且都服從均值為5的指數分布，且索賠次數$N$與每次索賠金額$X_i$相互獨立。求該類風險的總索賠金額$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$的期望和方差。解：-步驟一：求總索賠金額$S$的期望根據復合泊松分布的期望公式$E(S)=E(N)E(X)$。已知索賠次數$N$服從參數為$\lambda=2$的泊松分布，對于泊松分布$N\simP(\lambda)$，有$E(N)=\lambda$，所以$E(N)=2$。又因為每次索賠金額$X_i$服從均值為5的指數分布，對于指數分布$X\simExp(\theta)$，其均值為$\theta$，所以$E(X)=5$。則$E(S)=E(N)E(X)=2\times5=10$。-步驟二：求總索賠金額$S$的方差根據復合泊松分布的方差公式$Var(S)=E(N)E(X^2)$。先求$E(X^2)$，對于指數分布$X\simExp(\theta)$，其方差$Var(X)=\theta^2$，且$Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2$，已知$E(X)=\theta=5$，則$Var(X)=25$，所以$E(X^2)=Var(X)+(E(X))^2=25+25=50$。又因為$E(N)=2$，所以$Var(S)=E(N)E(X^2)=2\times50=100$。綜上，該類風險的總索賠金額$S$的期望為10，方差為100。2.設某壽險保單，保險金額為10000元，保險期限為5年，年利率$i=0.05$。已知$l_x=1000$，$l_{x+1}=980$，$l_{x+2}=960$，$l_{x+3}=940$，$l_{x+4}=920$，$l_{x+5}=900$。計算該保單的躉繳純保費。解：躉繳純保費是指在保險合同開始時一次性繳納的純保費，它等于保險金額的現值乘以相應的死亡概率之和。-步驟一：計算每年的死亡概率根據生命表的定義，$q_x=\frac{l_x-l_{x+1}}{l_x}$。-$q_x=\frac{l_x-l_{x+1}}{l_x}=\frac{1000-980}{1000}=0.02$-$q_{x+1}=\frac{l_{x+1}-l_{x+2}}{l_{x+1}}=\frac{980-960}{980}\approx0.0204$-$q_{x+2}=\frac{l_{x+2}-l_{x+3}}{l_{x+2}}=\frac{960-940}{960}\approx0.0208$-$q_{x+3}=\frac{l_{x+3}-l_{x+4}}{l_{x+3}}=\frac{940-920}{940}\approx0.0213$-$q_{x+4}=\frac{l_{x+4}-l_{x+5}}{l_{x+4}}=\frac{920-900}{920}\approx0.0217$-步驟二：計算躉繳純保費躉繳純保費$P$的計算公式為：$P=10000\sum_{k=0}^{4}v^{k+1}{}_{k}p_xq_{x+k}$其中$v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1.05}$，${}_{k}p_x=\frac{l_{x+k}}{l_x}$。-當$k=0$時，${}_{0}p_x=1$，$v^{1}{}_{0}p_xq_{x}=\frac{1}{1.05}\times1\times0.02\approx0.0190$-當$k=1$時，${}_{1}p_x=\frac{l_{x+1}}{l_x}=\frac{980}{1000}=0.98$，$v^{2}{}_{1}p_xq_{x+1}=(\frac{1}{1.05})^2\times0.98\times0.0204\approx0.0184$-當$k=2$時，${}_{2}p_x=\frac{l_{x+2}}{l_x}=\frac{960}{1000}=0.96$，$v^{3}{}_{2}p_xq_{x+2}=(\frac{1}{1.05})^3\times0.96\times0.0208\approx0.0178$-當$k=3$時，${}_{3}p_x=\frac{l_{x+3}}{l_x}=\frac{940}{1000}=0.94$，$v^{4}{}_{3}p_xq_{x+3}=(\frac{1}{1.05})^4\times0.94\times0.0213\approx0.0173$-當$k=4$時，${}_{4}p_x=\frac{l_{x+4}}{l_x}=\frac{920}{1000}=0.92$，$v^{5}{}_{4}p_xq_{x+4}=(\frac{1}{1.05})^5\times0.92\times0.0217\approx0.0167$$P=10000\times(0.0190+0.0184+0.0178+0.0173+0.0167)=10000\times0.0892=892$（元）所以，該保單的躉繳純保費為892元。3.已知某年金在第一年末支付1元，以后每年支付的金額是上一年的1.1倍，共支付10年，年利率$i=0.05$。求該年金的現值。解：設該年金的現值為$PV$。該年金是一個等比增長年金，每年支付金額構成一個等比數列，首項$a=1$，公比$g=1.1$。等比增長年金現值公式為$PV=\sum_{k=1}^{n}a\timesg^{k-1}v^k$，其中$v=\frac{1}{1+i}$，$n$是支付期數。這里$a=1$，$g=1.1$，$i=0.05$，$v=\frac{1}{1.05}$，$n=10$。則$PV=\sum_{k=1}^{10}1\times(1.1)^{k-1}(\frac{1}{1.05})^k$$=\sum_{k=1}^{10}(\frac{1.1}{1.05})^{k-1}\times\frac{1}{1.05}$令$r=\frac{1.1}{1.05}\approx1.0476$，則$PV=\frac{1}{1.05}\sum_{k=1}^{10}r^{k-1}$根據等比數列求和公式$\sum_{k=1}^{n}b\timesm^{k-1}=\frac{b(1-m^n)}{1-m}$（這里$b=1$，$m=r$），可得：$\sum_{k=1}^{10}r^{k-1}=\frac{1-r^{10}}{1-r}=\frac{1-(1.0476)^{10}}{1-1.0476}$先計算$(1.0476)^{10}\approx1.59$，則$\sum_{k=1}^{10}r^{k-1}=\frac{1-1.59}{1-1.0476}=\frac{-0.59}{-0.0476}\approx12.39$$PV=\frac{1}{1.05}\times12.39\approx11.8$所以，該年金的現值約為11.8元。4.設總體$X$的概率密度函數為$f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{2x}{\theta^2},&0\ltx\lt\theta\\0,&\text{其他}\end{cases}$，其中$\theta\gt0$為未知參數，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體$X$的一個樣本。求$\theta$的矩估計量和最大似然估計量。解：-步驟一：求$\theta$的矩估計量首先計算總體$X$的一階矩$E(X)$：$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x;\theta)dx=\int_{0}^{\theta}x\times\frac{2x}{\theta^2}dx=\frac{2}{\theta^2}\int_{0}^{\theta}x^2dx$$=\frac{2}{\theta^2}\times\frac{x^3}{3}\big|_{0}^{\theta}=\frac{2}{3}\theta$令樣本一階矩$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$等于總體一階矩$E(X)$，即$\overline{X}=\frac{2}{3}\theta$，解得$\theta$的矩估計量為$\hat{\theta}=\frac{3}{2}\overline{X}$。-步驟二：求$\theta$的最大似然估計量似然函數為$L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(X_i;\theta)$。因為$f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{2x}{\theta^2},&0\ltx\lt\theta\\0,&\text{其他}\end{cases}$，所以當$0\ltX_i\lt\theta$（$i=1,2,\cdots,n$）時，$L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}\frac{2X_i}{\theta^2}=\