§7.5垂直關(guān)系課標(biāo)要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.2.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用．知識(shí)梳理1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的直線都垂直，那么稱直線l與平面α垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的__________垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,,,))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,))?a∥b2.直線和平面的夾角(1)定義：平面的一條斜線與它在平面上的所成的銳角，叫作這條直線與這個(gè)平面的夾角，一條直線垂直于平面，我們說它們的夾角是；一條直線與平面平行，或在平面內(nèi)，就說它們的夾角是0°.(2)范圍：_______.3．二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的所組成的圖形稱為二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作的兩條射線，這兩條射線的夾角稱為二面角的平面角．(3)二面角的范圍：．4．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是，就說這兩個(gè)平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的_________，那么這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,,,))?AB⊥α常用結(jié)論1．三垂線定理若平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的投影垂直，則它也和這條斜線垂直．2．三垂線定理的逆定理若平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的投影垂直．3．兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若直線l與平面α內(nèi)的兩條直線都垂直，則l⊥α.()(2)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.()(3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面．()(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.()2．(多選)下列命題中不正確的是()A．如果直線a不垂直于平面α，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于直線aB．如果平面α垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線平行于平面βC．如果直線a垂直于平面α，那么平面α內(nèi)一定不存在直線平行于直線aD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β3．(2023·石嘴山模擬)如圖，PA是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的任意一點(diǎn)(不與A，B重合)，則下列說法錯(cuò)誤的是()A．PA⊥平面ABCB．BC⊥平面PACC．AC⊥平面PBCD．三棱錐P－ABC的四個(gè)面都是直角三角形4．過平面外一點(diǎn)P的斜線段是過這點(diǎn)的垂線段的eq\f(2\r(3),3)倍，則斜線與平面α的夾角是________．題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1(2024·婁底模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)B1在底面ABC內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)C.(1)若點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，且DA＝DB，證明：AB⊥CC1；(2)已知B1C1＝2，B1C＝2eq\r(3)，求△BCC1的周長(zhǎng)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練1如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1.(1)求證：A1C⊥B1D1；(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點(diǎn)，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2(2023·全國(guó)甲卷)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)設(shè)AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1－BB1C1C的高．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟蹤訓(xùn)練2(2023·邯鄲模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA⊥平面ABCD；(2)平面BEF∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是底面為正方形的長(zhǎng)方體，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，點(diǎn)P是AD1上的動(dòng)點(diǎn)．(1)試判斷不論點(diǎn)P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)P為AD1的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AA1與B1P夾角的余弦值；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(3)求PB1與平面AA1D1D所成角的正切值的最大值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________cosθ＝cosθ1·cosθ2的應(yīng)用已知AO是平面α的斜線，如圖，A是斜足，OB⊥α，B是垂足，則直線AB是斜線AO在平面α內(nèi)的投影，設(shè)AC是α內(nèi)的任一過點(diǎn)A的直