高一上學(xué)期金融革命與數(shù)學(xué)再思考試題一、貨幣職能與函數(shù)模型的綜合應(yīng)用（一）基礎(chǔ)概念辨析貨幣職能的數(shù)學(xué)表達(dá)貨幣的價(jià)值尺度職能體現(xiàn)為商品價(jià)格與貨幣數(shù)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系。若某商品價(jià)格為(p)元，銷售量為(x)，則銷售額(y)可表示為一次函數(shù)(y=px)。當(dāng)商品價(jià)格受供求關(guān)系影響波動(dòng)時(shí)，價(jià)格(p)成為關(guān)于時(shí)間(t)的函數(shù)(p(t))，此時(shí)銷售額(y(t)=p(t)\cdotx(t))，需通過(guò)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)分析銷售額隨時(shí)間的變化率。流通手段與分段函數(shù)模型日常生活中，超市促銷常采用“滿減”策略，如“滿300減50”。設(shè)購(gòu)物金額為(x)元，實(shí)際支付金額為(f(x))，則：[f(x)=\begin{cases}x&(x<300)\x-50&(x\geq300)\end{cases}]該分段函數(shù)在(x=300)處存在跳躍間斷點(diǎn)，反映了支付金額隨購(gòu)物金額的非線性變化。（二）應(yīng)用題某電商平臺(tái)推出分期付款服務(wù)：購(gòu)買手機(jī)可選擇“首付1000元，剩余款項(xiàng)分12期，每期利率1%”。若手機(jī)售價(jià)為5800元，建立剩余欠款(y)與還款期數(shù)(n)的函數(shù)關(guān)系；計(jì)算第6期還款后剩余欠款金額（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）。解析：剩余本金為(5800-1000=4800)元，每期利息按剩余本金計(jì)算，故(y=4800(1+1%)^n-4800\cdot\frac{(1+1%)^n-1}{(1+1%)-1})（等額本息模型）；代入(n=6)，得(y\approx2489.76)元。二、利率計(jì)算與數(shù)列的實(shí)際運(yùn)用（一）單利與復(fù)利的數(shù)學(xué)本質(zhì)單利模型：利息僅基于本金計(jì)算，公式為(I=Prt)，本息和(S=P(1+rt))，其中(P)為本金，(r)為年利率，(t)為時(shí)間（年）。該模型對(duì)應(yīng)等差數(shù)列，每年利息固定為(Pr)。復(fù)利模型：利息計(jì)入下期本金重復(fù)計(jì)息，公式為(S=P(1+r)^t)，對(duì)應(yīng)等比數(shù)列，第(n)年本息和為(S_n=P(1+r)^n)。當(dāng)(t)為小數(shù)時(shí)，需用指數(shù)函數(shù)擴(kuò)展計(jì)算，如半年復(fù)利一次時(shí)(S=P(1+\frac{r}{2})^{2t})。（二）應(yīng)用題某家庭為子女教育存入專項(xiàng)基金，方案如下：方案A：一次性存入10萬(wàn)元，年利率3%，單利計(jì)息；方案B：每年年初存入1萬(wàn)元，年利率2.5%，復(fù)利計(jì)息。分別計(jì)算10年后兩種方案的本息和，并比較哪種方案收益更高。解析：方案A：(S=10(1+3%\times10)=13)萬(wàn)元；方案B：終值(S=1\times\frac{(1+2.5%)^{10}-1}{2.5%}\times(1+2.5%)\approx11.54)萬(wàn)元。結(jié)論：方案A收益更高。三、投資組合與概率統(tǒng)計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)度量（一）基礎(chǔ)概念期望收益與方差投資組合的期望收益(E(R)=\sum_{i=1}^nw_iE(R_i))，其中(w_i)為資產(chǎn)權(quán)重，(E(R_i))為單資產(chǎn)期望收益。風(fēng)險(xiǎn)用方差衡量：(\sigma^2=\sum_{i=1}^nw_i^2\sigma_i^2+2\sum_{1\leqi<j\leqn}w_iw_j\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j)，(\rho_{ij})為資產(chǎn)(i)與(j)的相關(guān)系數(shù)。正態(tài)分布與風(fēng)險(xiǎn)概率股票收益率通常假設(shè)服從正態(tài)分布(N(\mu,\sigma^2))，則收益率落在區(qū)間([\mu-2\sigma,\mu+2\sigma])的概率約為95.45%（3σ原則）。（二）應(yīng)用題某投資者將資金分配于股票A和債券B，相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：資產(chǎn)期望收益標(biāo)準(zhǔn)差相關(guān)系數(shù)(\rho)股票A10%15%-0.2（A與B的相關(guān)系數(shù)）債券B5%5%若投資比例為股票A占60%，債券B占40%，計(jì)算：組合的期望收益；組合的標(biāo)準(zhǔn)差（精確到小數(shù)點(diǎn)后一位）。解析：(E(R)=0.6\times10%+0.4\times5%=8%)；(\sigma=\sqrt{0.6^2\times15%^2+0.4^2\times5%^2+2\times0.6\times0.4\times(-0.2)\times15%\times5%}\approx8.7%)。四、匯率波動(dòng)與三角函數(shù)模型（一）匯率的周期性變化匯率受經(jīng)濟(jì)周期、政策調(diào)整等因素影響，呈現(xiàn)周期性波動(dòng)，可近似用正弦函數(shù)描述：(e(t)=A\sin(\omegat+\phi)+e_0)，其中(A)為振幅（波動(dòng)幅度），(\omega=\frac{2\pi}{T})（(T)為周期），(\phi)為初相位，(e_0)為均衡匯率。（二）應(yīng)用題假設(shè)美元兌人民幣匯率(e(t))符合模型(e(t)=0.5\sin(\frac{\pi}{6}t)+7.0)（(t)以月為單位，(t=0)為1月），計(jì)算：匯率的最大值與最小值；第4個(gè)月（(t=4)）的匯率預(yù)測(cè)值。解析：最大值(7.0+0.5=7.5)，最小值(7.0-0.5=6.5)；(e(4)=0.5\sin(\frac{\pi}{6}\times4)+7.0=0.5\times\frac{1}{2}+7.0=7.25)。五、金融衍生品與分段函數(shù)定價(jià)（一）期權(quán)定價(jià)的簡(jiǎn)化模型看漲期權(quán)的收益函數(shù)為(\max(S_T-K,0))，其中(S_T)為到期日股票價(jià)格，(K)為執(zhí)行價(jià)格。該函數(shù)為分段函數(shù)，當(dāng)(S_T>K)時(shí)收益為(S_T-K)，否則為0。（二）應(yīng)用題某股票當(dāng)前價(jià)格為100元，投資者購(gòu)買執(zhí)行價(jià)格為105元的看漲期權(quán)，期權(quán)費(fèi)為3元。建立到期日投資者凈收益(y)與股票價(jià)格(S_T)的函數(shù)關(guān)系；計(jì)算(S_T=110)元時(shí)的凈收益。解析：(y=\max(S_T-105,0)-3)，即：[y=\begin{cases}-3&(S_T\leq105)\S_T-108&(S_T>105)\end{cases}]當(dāng)(S_T=110)時(shí)，(y=110-108=2)元。六、綜合探究題背景材料2024年，某國(guó)發(fā)生通貨膨脹，CPI（居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)）從年初的100上漲至年末的112，假設(shè)通貨膨脹率均勻分布，且銀行一年期存款利率為3%（單利）。問(wèn)題建立CPI指數(shù)(C(t))與時(shí)間(t)（月）的函數(shù)關(guān)系（(t=0)為年初）；若年初存入1萬(wàn)元，計(jì)算年末實(shí)際購(gòu)買力（即扣除通脹后的本息和）；為使實(shí)際購(gòu)買力不下降，存款利率至少需達(dá)到多少？解析：月通脹率為(\frac{12%}{12}=1%)，故(C(t)=100(1+1%)^t)；年末本息和為(10000(1+3%)=10300)元，CPI為112，實(shí)際購(gòu)買力(=\frac{10300}{112}\times100\approx9196.43)元；設(shè)利率為(r)，則(10000(1+r)\geq10000\times\frac{112}{100})，解得(r\geq12%)。七、數(shù)學(xué)思想方法的金融遷移（一）函數(shù)思想通過(guò)建立變量間的函數(shù)關(guān)系（如收益與風(fēng)險(xiǎn)、價(jià)格與需求），將金融問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)、極值等工具求解最優(yōu)解。（二）數(shù)形結(jié)合利用函數(shù)圖像分析金融變量關(guān)系，如通過(guò)正態(tài)分布曲線直觀理解風(fēng)險(xiǎn)概率，或通過(guò)折線圖觀察匯率波動(dòng)周期。（三）分類討論在利率計(jì)算（單利/復(fù)利）、期權(quán)收益（行權(quán)/不行權(quán)）等問(wèn)題中，需根據(jù)不同條件進(jìn)行分類建模，體