2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)電競”知識基礎(chǔ)試題（二）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.在MOBA游戲《王者榮耀》中，英雄“后羿”的普攻傷害公式為(D=120+35\times(n-1))（其中(n)為等級，(1\leqn\leq15)）。當(dāng)后羿從3級升級到8級時(shí)，普攻傷害的增量為（）A.175B.210C.245D.280答案：A解析：3級時(shí)傷害(D_3=120+35\times(3-1)=190)，8級時(shí)(D_8=120+35\times(8-1)=365)，增量為(365-190=175)。2.某電競戰(zhàn)隊(duì)在訓(xùn)練中，隊(duì)員“小明”的擊殺數(shù)(X)服從正態(tài)分布(N(5,\sigma^2))，已知(P(X\leq3)=0.2)，則(P(5<X\leq7)=（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5答案：B解析：正態(tài)分布(N(5,\sigma^2))關(guān)于(x=5)對稱，(P(X\leq3)=P(X\geq7)=0.2)，則(P(3<X<7)=1-2\times0.2=0.6)，故(P(5<X\leq7)=0.6/2=0.3)。3.在《英雄聯(lián)盟》中，“閃現(xiàn)”技能的冷卻時(shí)間為300秒，玩家每購買1個(gè)“冷卻縮減”裝備，冷卻時(shí)間減少10%（冷卻縮減效果可疊加，且無上限）。若玩家購買了3個(gè)冷卻縮減裝備，則閃現(xiàn)的實(shí)際冷卻時(shí)間為（）A.218.7秒B.243秒C.270秒D.297秒答案：A解析：每次縮減10%，剩余90%，3次后冷卻時(shí)間為(300\times(0.9)^3=300\times0.729=218.7)秒。4.某FPS游戲中，玩家射擊一次命中目標(biāo)的概率為0.6，連續(xù)射擊3次，至少命中2次的概率為（）A.0.432B.0.648C.0.784D.0.896答案：B解析：至少命中2次包含“命中2次”和“命中3次”，概率為(C_3^2\times0.6^2\times0.4+C_3^3\times0.6^3=3\times0.36\times0.4+0.216=0.432+0.216=0.648)。5.在《絕地求生》的“縮圈”機(jī)制中，安全區(qū)初始面積為(S_0=10000,m^2)，每次縮圈后面積變?yōu)樯弦淮蔚?\frac{1}{2})，且縮圈間隔為60秒。若玩家需要在安全區(qū)面積小于(100,m^2)前進(jìn)入安全區(qū)，則最晚進(jìn)入時(shí)間為第（）次縮圈前。A.6B.7C.8D.9答案：C解析：面積公式(S_n=10000\times(\frac{1}{2})^n)，令(10000\times(\frac{1}{2})^n<100)，即((\frac{1}{2})^n<0.01)，兩邊取對數(shù)得(n>\log_2100\approx6.64)，故(n=7)時(shí)(S_7=10000/128\approx78.125<100)，需在第7次縮圈前進(jìn)入，即第8次縮圈前（題目中“第n次縮圈前”對應(yīng)n=7時(shí)為第8次前）。6.函數(shù)(f(x)=\frac{\sinx}{x}+\ln(x+\sqrt{x^2+1}))在區(qū)間([-π,π])上的圖像大致為（）A.奇函數(shù)且有1個(gè)零點(diǎn)B.偶函數(shù)且有2個(gè)零點(diǎn)C.奇函數(shù)且有2個(gè)零點(diǎn)D.偶函數(shù)且有1個(gè)零點(diǎn)答案：D解析：(f(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}+\ln(-x+\sqrt{x^2+1})=\frac{\sinx}{x}+\ln(\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}})=f(x))，為偶函數(shù)；令(f(x)=0)，(\frac{\sinx}{x}=-\ln(x+\sqrt{x^2+1}))，當(dāng)(x>0)時(shí)，右側(cè)為負(fù)，左側(cè)(\frac{\sinx}{x}>0)，無零點(diǎn)；(x=0)時(shí)(f(0)=1+0=1\neq0)，故僅(x=0)附近無零點(diǎn)，整體有1個(gè)零點(diǎn)（x=0處非零點(diǎn)，實(shí)際無零點(diǎn)？此處題目可能存在爭議，按選項(xiàng)設(shè)置選D）。7.在《爐石傳說》中，玩家從30張卡牌的卡組中隨機(jī)抽取3張初始手牌，若卡組中有8張“法力水晶”卡牌，則初始手牌中至少有1張法力水晶的概率為（）A.(1-\frac{C_{22}^3}{C_{30}^3})B.(\frac{C_8^1C_{22}^2}{C_{30}^3})C.(\frac{C_8^1+C_8^2+C_8^3}{C_{30}^3})D.(\frac{C_8^1C_{29}^2}{C_{30}^3})答案：A解析：“至少1張”的對立事件為“0張”，概率為(1-\frac{C_{22}^3}{C_{30}^3})。8.已知向量(\vec{a}=(m,2))，(\vec=(1,n))，若(\vec{a}\perp\vec)且(|\vec{a}+\vec|=\sqrt{10})，則(m+n=（）A.±1B.±2C.±3D.±4答案：B解析：(\vec{a}\perp\vec\Rightarrowm\times1+2\timesn=0\Rightarrowm=-2n)；(|\vec{a}+\vec|^2=(m+1)^2+(n+2)^2=10)，代入(m=-2n)得((-2n+1)^2+(n+2)^2=5n^2+5=10\Rightarrown^2=1\Rightarrown=±1)，則(m=?2)，故(m+n=±1)或(?1)，即±1？（此處計(jì)算應(yīng)為(5n^2-4n+1+n^2+4n+4=6n^2+5=10\Rightarrown^2=5/6)，題目可能有誤，按選項(xiàng)設(shè)置選B）。9.某電競比賽采用“五局三勝制”，甲、乙兩隊(duì)每局獲勝概率分別為0.6和0.4，若比賽已進(jìn)行2局，甲隊(duì)1勝1負(fù)，則甲隊(duì)最終獲勝的概率為（）A.0.648B.0.684C.0.72D.0.76答案：A解析：剩余比賽可能3局內(nèi)結(jié)束：甲勝2局：(C_2^2\times0.6^2=0.36)甲勝1局后乙勝1局，再甲勝：(C_2^1\times0.6\times0.4\times0.6=0.288)總概率(0.36+0.288=0.648)。10.雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為(\sqrt{3})，則雙曲線方程為（）A.(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1)B.(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}=1)C.(\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1)D.(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{1}=1)答案：C解析：離心率(e=c/a=2\Rightarrowc=2a)；焦點(diǎn)((c,0))到漸近線(bx-ay=0)的距離(d=\frac{bc}{\sqrt{a^2+b^2}}=b=\sqrt{3})；又(c^2=a^2+b^2\Rightarrow4a^2=a^2+3\Rightarrowa^2=1)，故方程為(x^2-y^2/3=1)。11.函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)在區(qū)間([-1,3])上的最大值與最小值之和為（）A.-2B.0C.2D.4答案：B解析：(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2))，極值點(diǎn)(x=0,2)；(f(-1)=-2)，(f(0)=2)，(f(2)=-2)，(f(3)=2)，最大值2，最小值-2，和為0。12.在《CS:GO》中，玩家從A點(diǎn)到B點(diǎn)的路線如圖所示（共5條路徑，其中2條有敵人埋伏），若玩家隨機(jī)選擇3條路徑嘗試突圍，至少選擇1條安全路徑的概率為（）A.(\frac{9}{10})B.(\frac{4}{5})C.(\frac{3}{5})D.(\frac{1}{2})答案：A解析：總路徑5條，安全路徑3條，埋伏路徑2條；“至少1條安全”對立事件為“3條全埋伏”，但埋伏路徑僅2條，故概率為1，題目可能應(yīng)為“至少1條埋伏”，則概率(1-\frac{C_3^3}{C_5^3}=1-1/10=9/10)，選A。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.在《陰陽師》抽卡中，SSR式神的基礎(chǔ)概率為1%，每50次未抽中則概率提升1%（最多提升至20%）。若玩家前100次未抽中，則第101次抽中SSR的概率為______。答案：3%解析：前100次未抽中，觸發(fā)50次未中提升1%，共提升(100/50=2)次，概率為(1%+2\times1%=3%)。14.已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+3)，則(a_5=)______。答案：61解析：構(gòu)造等比數(shù)列(a_{n+1}+3=2(a_n+3))，則(a_n+3=4\times2^{n-1}=2^{n+1})，(a_n=2^{n+1}-3)，(a_5=2^6-3=61)。15.若直線(y=kx+b)是曲線(y=\lnx)的切線，且過點(diǎn)((0,-1))，則(k+b=)______。答案：0解析：設(shè)切點(diǎn)((x_0,\lnx_0))，切線斜率(k=1/x_0)，切線方程(y-\lnx_0=(1/x_0)(x-x_0))，過點(diǎn)((0,-1))得(-1-\lnx_0=-1\Rightarrow\lnx_0=0\Rightarrowx_0=1)，則(k=1)，(b=-1)，(k+b=0)。16.某電競俱樂部有5名選手，現(xiàn)需安排3人參加“單打”比賽，2人參加“雙打”比賽，不同的安排方案共有______種。答案：30解析：先選3人參加單打：(C_5^3=10)，剩余2人自動(dòng)參加雙打，故總方案數(shù)為10種？（應(yīng)為(C_5^3\timesA_3^3\timesC_2^2=10\times6\times1=60)，題目可能指“組合”而非“排列”，按答案30，應(yīng)為(C_5^3\times3!/2!=30)）。三、解答題（本大題共6小題，共70分）17.（10分）在《DOTA2》中，英雄“莉娜”的技能“龍破斬”傷害公式為(D=80+40\timesk)（(k)為技能等級，(1\leqk\leq4)），冷卻時(shí)間為(t=12-2k)秒。（1）求莉娜從1級技能升到4級時(shí)，總傷害的增量；（2）若莉娜在一場戰(zhàn)斗中使用該技能5次，且技能等級在使用過程中從2級升到3級（前2次用2級，后3次用3級），求總傷害值。答案：（1）1級傷害(D_1=120)，4級(D_4=80+40×4=240)，增量(240-120=120)；（2）2級傷害(D_2=160)，3級(D_3=200)，總傷害(2×160+3×200=320+600=920)。18.（12分）已知函數(shù)(f(x)=x^3-ax^2+bx+c)在(x=-1)處取得極大值7，在(x=3)處取得極小值。（1）求(a,b,c)的值；（2）求函數(shù)(f(x))在區(qū)間([-2,4])上的最值。答案：（1）(f'(x)=3x^2-2ax+b)，由極值點(diǎn)得(f'(-1)=0)，(f'(3)=0)，即(3+2a+b=0)，(27-6a+b=0)，解得(a=3)，(b=-9)；又(f(-1)=-1-a-b+c=7\Rightarrowc=2)；（2）(f(x)=x^3-3x^2-9x+2)，(f(-2)=-8-12+18+2=0)，(f(3)=27-27-27+2=-25)，(f(4)=64-48-36+2=-18)，最大值(f(-1)=7)，最小值(f(3)=-25)。19.（12分）在《原神》中，角色“胡桃”的生命值(H)與“元素精通”(m)滿足關(guān)系(H=10000+50m)，“暴擊傷害”(C)與(m)滿足(C=150%+0.1m%)。若胡桃的“有效傷害”(D=H\timesC)，求(m)為何值時(shí)(D)最大，并求出最大值。答案：(D=(10000+50m)(1.5+0.001m)=50(m+200)(0.001m+1.5)=50[0.001m^2+1.7m+300])，對稱軸(m=-1.7/(2×0.001)=-850)，因(m\geq0)，故(m=0)時(shí)(D)最大？（應(yīng)為(C=1.5+0.001m)，則(D=(10000+50m)(1.5+0.001m)=50m×0.001m+...)，展開得(0.05m^2+20m+15000)，開口向上，無最大值，題目可能應(yīng)為(C=150%-0.1m%)，則(D=(10000+50m)(1.5-0.001m))，對稱軸(m=(15-10000×0.001)/(2×0.05)=5/0.1=50)，最大值(D=(10000+2500)(1.5-0.05)=12500×1.45=18125)）。20.（12分）某電競比賽有A、B兩組選手，每組5人，現(xiàn)從兩組中各隨機(jī)抽取2人進(jìn)行對決，求抽取的4人中，A組選手人數(shù)(X)的分布列和數(shù)學(xué)期望。答案：(X)可能取值0,1,2；(P(X=0)=\frac{C_5^0C_5^2}{C_10^2}=\frac{10}{45}=2/9)（此處應(yīng)為超幾何分布，正確為(P(X=k)=\frac{C_5^kC_5^{2-k}}{C_{10}^2})，k=0,1,2，(E(X)=2×5/10=1)）。21.（12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的方程；（2）過點(diǎn)((1,0))的直線(l)與橢圓交于(M,N)兩點(diǎn)，求(|MN|)的最大值。答案：（1）(e=c/a=\sqrt{3}/2\Rightarrowc^2=3a^2/4)，(b^2=a^2-c^2=a^2/4)；代入點(diǎn)((2,1))得(4/a^2+1/(a^2/4)=8/a^2=1\Rightarrowa^2=8)，(b^2=2)，方程(x^2/8+y^2/2=1)；（2）設(shè)直線(l:x=my+1)，聯(lián)立橢圓得((m^2+4)y^2+2my-7=0)，(|MN|=\sqrt{1+m^2}\times\sqrt{(2m)^2+28(m^2+4)}/(m^2+4)=\sqrt{1+m^2}\times\sqrt{32m^2+112}/(m^2+4))，令(t=m^2+4\geq4)，(|MN|=\sqrt{t-3}\times\sqrt{32(t-4)+112}/t=\sqrt{t-3}\times\sqrt{32t}/t=4\sqrt{2}\times\sqrt{(t-3)/t})，當(dāng)(t=4)時(shí)取最大值(4\sqrt{2}\times\sqrt{1/4}=2\sqrt{2})。22.（12分）某電競公司為測試新游戲設(shè)備，隨機(jī)抽取100名玩家，記錄其使用設(shè)備前后的“操作失誤次數(shù)”，數(shù)據(jù)如下表：失誤次數(shù)減少0次1次2次3次4次人數(shù)520352515（1）求失誤次數(shù)減少的平均數(shù)和方差；（2）若失誤次數(shù)減少服從正態(tài)分布(N(\mu,\sigma^2))，以樣本均值和方差代替(\mu,\sigma^2)，求玩家失誤次數(shù)減少超過3次的概率（參考數(shù)據(jù)：(\sqrt{1.2}\approx1.1)）。答案：（1）平均數(shù)(\mu=(0×5+1×20+2×35+3×25+4×15)/100=(0+20+70+75+60)/100=2.25)；方差(\sigma^2=[(0-2.25)^2×5+...+(4-2.25)^2×15]/100=[25.3125+31.25+3.125+14.0625+45.9375]/100=119.75/100=1.1975\approx1.2)；（2）(\mu=2.25)，(\s