基于JFNK方法的非線性Black-Scholes方程高效求解與應(yīng)用研究一、引言1.1研究背景與意義在金融領(lǐng)域，準(zhǔn)確的定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估是投資決策的基石。期權(quán)作為一種重要的金融衍生品，其定價(jià)模型對(duì)于投資者、金融機(jī)構(gòu)和市場(chǎng)監(jiān)管者都具有重要意義。1973年，F(xiàn)ischerBlack和MyronScholes提出了著名的Black-Scholes模型，該模型基于無套利假設(shè)和風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，推導(dǎo)出了歐式期權(quán)的定價(jià)公式，為期權(quán)定價(jià)理論奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，也促進(jìn)了衍生品市場(chǎng)的發(fā)展。如今，期權(quán)市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)管理仍然基于Black和Scholes首創(chuàng)的動(dòng)態(tài)對(duì)沖原理，雖然該公式很少被直接使用，但投資者仍然能夠依托這一公式去表達(dá)更為復(fù)雜的想法。隨著金融市場(chǎng)的發(fā)展和復(fù)雜化，傳統(tǒng)的線性Black-Scholes方程在描述某些金融現(xiàn)象時(shí)逐漸顯露出局限性。實(shí)際的金融市場(chǎng)往往存在各種非線性因素，如交易成本、市場(chǎng)摩擦、投資者行為等，這些因素使得資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)不再遵循簡(jiǎn)單的線性規(guī)律，從而導(dǎo)致線性Black-Scholes方程的定價(jià)結(jié)果與實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格存在偏差。為了更準(zhǔn)確地刻畫金融市場(chǎng)的真實(shí)情況，非線性Black-Scholes方程應(yīng)運(yùn)而生。通過考慮更多的市場(chǎng)因素和復(fù)雜的價(jià)格波動(dòng)模式，非線性Black-Scholes方程能夠提供更符合實(shí)際的期權(quán)價(jià)格估計(jì)，為金融市場(chǎng)參與者提供更可靠的決策依據(jù)。然而，非線性Black-Scholes方程的求解面臨著諸多挑戰(zhàn)。由于其非線性特性，傳統(tǒng)的求解方法往往難以直接應(yīng)用，需要發(fā)展新的數(shù)值方法來有效地求解此類方程。Jacobian-FreeNewton-Krylov（JFNK）方法作為一種強(qiáng)大的數(shù)值求解技術(shù)，在處理非線性方程系統(tǒng)時(shí)展現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。JFNK方法無需顯式計(jì)算Jacobian矩陣，而是通過近似求解的方式來迭代逼近方程的解，這大大降低了計(jì)算復(fù)雜度和內(nèi)存需求，尤其適用于大規(guī)模和復(fù)雜的非線性問題。將JFNK方法應(yīng)用于非線性Black-Scholes方程的求解，對(duì)于金融分析和決策具有重要價(jià)值。在投資組合管理中，準(zhǔn)確的期權(quán)定價(jià)是構(gòu)建有效投資組合的關(guān)鍵。通過JFNK方法求解非線性Black-Scholes方程，投資者可以更精確地評(píng)估期權(quán)在投資組合中的價(jià)值和風(fēng)險(xiǎn)，從而優(yōu)化投資組合的配置，提高投資收益。對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)管理，精確的期權(quán)定價(jià)能夠幫助金融機(jī)構(gòu)更準(zhǔn)確地衡量風(fēng)險(xiǎn)敞口，制定合理的風(fēng)險(xiǎn)控制策略，有效防范金融風(fēng)險(xiǎn)。在金融市場(chǎng)的微觀結(jié)構(gòu)分析中，JFNK方法求解非線性Black-Scholes方程的結(jié)果，能夠?yàn)檠芯渴袌?chǎng)參與者的行為、市場(chǎng)流動(dòng)性等提供重要的參考依據(jù)，有助于深入理解金融市場(chǎng)的運(yùn)行機(jī)制。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀在國(guó)外，對(duì)非線性Black-Scholes方程的研究起步較早。FischerBlack和MyronScholes提出的Black-Scholes模型，為后續(xù)的研究奠定了理論基礎(chǔ)。隨著金融市場(chǎng)的發(fā)展，研究者們逐漸認(rèn)識(shí)到線性模型的局限性，開始關(guān)注非線性Black-Scholes方程。一些學(xué)者從理論層面出發(fā)，研究非線性Black-Scholes方程的性質(zhì)和求解方法。OleksiiPatsiuk和SergiiKovalenko在《Symmetryreductionandexactsolutionsofthenon-linearBlack-Scholesequation》中，對(duì)特定形式的非線性Black-Scholes方程進(jìn)行了深入研究，通過適當(dāng)?shù)淖兞奎c(diǎn)變換，將方程簡(jiǎn)化為更易于分析的形式，并研究了其群論性質(zhì)，找到了精確群不變解。MariadoRosarioGrossinho、YaserFaghanKord和DanielSevcovic在研究美式看漲期權(quán)定價(jià)的Black-Scholes方程的非線性推廣時(shí)，提出通過將非線性Black-Scholes方程的自由邊界問題轉(zhuǎn)化為Gamma變分不等式，采用改進(jìn)的投影逐次超松弛方法構(gòu)造離散化的有效數(shù)值格式。在數(shù)值求解方法方面，國(guó)外也取得了豐富的成果。一些經(jīng)典的數(shù)值方法，如有限差分法、有限元法、蒙特卡羅方法等，被廣泛應(yīng)用于求解非線性Black-Scholes方程。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，一些新興的數(shù)值方法，如小波分析方法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法等，也逐漸應(yīng)用于金融領(lǐng)域。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)Black-Scholes模型通過建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來逼近方程的解，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)處理非線性數(shù)據(jù)和自適應(yīng)調(diào)整權(quán)重的能力，提高了期權(quán)價(jià)格的計(jì)算效率和準(zhǔn)確性。國(guó)內(nèi)對(duì)于非線性Black-Scholes方程及相關(guān)數(shù)值求解方法的研究也在不斷深入。一些學(xué)者在借鑒國(guó)外研究成果的基礎(chǔ)上，結(jié)合國(guó)內(nèi)金融市場(chǎng)的特點(diǎn)，進(jìn)行了創(chuàng)新性的研究。有研究針對(duì)非線性BlackScholes方程，基于quasiShannon小波函數(shù)給出了一種求解非線性偏微分方程的自適應(yīng)多尺度小波精細(xì)積分法，該方法可有效捕獲看漲期權(quán)價(jià)格演化過程中梯度變換加大的位置，在激波處自適應(yīng)增長(zhǎng)配點(diǎn)數(shù)，既保證了逼近精度，又避免了計(jì)算量的大幅增加。還有研究關(guān)注非線性Black-Scholes方程有限差分并行計(jì)算的新方法，以提高計(jì)算效率，適應(yīng)大規(guī)模金融數(shù)據(jù)的處理需求。盡管國(guó)內(nèi)外在非線性Black-Scholes方程以及JFNK方法求解方面取得了一定的成果，但仍存在一些不足和空白。一方面，現(xiàn)有的研究在處理復(fù)雜金融市場(chǎng)因素時(shí)，模型的準(zhǔn)確性和適應(yīng)性仍有待提高。實(shí)際金融市場(chǎng)中存在多種復(fù)雜因素，如市場(chǎng)參與者的行為差異、宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境的變化等，這些因素對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響尚未得到充分的考慮和準(zhǔn)確的建模。另一方面，在數(shù)值求解方法上，雖然已經(jīng)發(fā)展了多種方法，但在計(jì)算效率、精度和穩(wěn)定性之間的平衡仍有待進(jìn)一步優(yōu)化。特別是對(duì)于大規(guī)模和高維的非線性Black-Scholes方程，現(xiàn)有的數(shù)值方法在計(jì)算資源的需求和計(jì)算時(shí)間上往往面臨挑戰(zhàn)。此外，JFNK方法在金融領(lǐng)域的應(yīng)用研究相對(duì)較少，其在處理非線性Black-Scholes方程時(shí)的性能和優(yōu)勢(shì)尚未得到充分的挖掘和驗(yàn)證，需要進(jìn)一步深入研究和探索。1.3研究方法與創(chuàng)新點(diǎn)本研究采用理論分析、數(shù)值實(shí)驗(yàn)和案例研究相結(jié)合的方法，深入探究非線性Black-Scholes方程的JFNK方法求解。在理論分析方面，深入剖析非線性Black-Scholes方程的數(shù)學(xué)特性，包括其非線性項(xiàng)的結(jié)構(gòu)、方程的適定性等。研究JFNK方法的基本原理，明確其在處理非線性問題時(shí)的迭代機(jī)制和收斂條件。通過對(duì)相關(guān)理論的深入研究，為后續(xù)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)和實(shí)際應(yīng)用提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。在推導(dǎo)JFNK方法的迭代公式時(shí)，運(yùn)用非線性泛函分析中的不動(dòng)點(diǎn)定理，嚴(yán)格證明其在一定條件下的收斂性，確保該方法在求解非線性Black-Scholes方程時(shí)的有效性和可靠性。在數(shù)值實(shí)驗(yàn)部分，構(gòu)建數(shù)值實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，選用多種具有代表性的非線性Black-Scholes方程實(shí)例進(jìn)行求解。這些實(shí)例涵蓋不同類型的非線性項(xiàng)和參數(shù)設(shè)置，以全面檢驗(yàn)JFNK方法的性能。將JFNK方法與其他傳統(tǒng)數(shù)值方法，如有限差分法、有限元法等進(jìn)行對(duì)比。從計(jì)算精度、計(jì)算效率和穩(wěn)定性等多個(gè)維度進(jìn)行評(píng)估，分析JFNK方法的優(yōu)勢(shì)和不足。通過大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，優(yōu)化JFNK方法的參數(shù)設(shè)置，進(jìn)一步提高其求解非線性Black-Scholes方程的能力。設(shè)定不同的初始條件和邊界條件，對(duì)比JFNK方法與有限差分法在計(jì)算歐式期權(quán)價(jià)格時(shí)的精度和效率，通過多次實(shí)驗(yàn)取平均值的方式，確保實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可靠性。為了驗(yàn)證JFNK方法在實(shí)際金融市場(chǎng)中的應(yīng)用效果，本研究收集實(shí)際金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)，選取特定的金融期權(quán)產(chǎn)品作為案例。運(yùn)用JFNK方法求解非線性Black-Scholes方程，得到期權(quán)價(jià)格的估計(jì)值，并與市場(chǎng)實(shí)際價(jià)格進(jìn)行對(duì)比分析。深入分析市場(chǎng)數(shù)據(jù)中的非線性因素，如市場(chǎng)波動(dòng)的聚集性、投資者行為的異質(zhì)性等，探討這些因素對(duì)期權(quán)定價(jià)的影響。通過案例研究，為金融市場(chǎng)參與者提供實(shí)際的決策參考，展示JFNK方法在實(shí)際應(yīng)用中的價(jià)值。以某知名公司的股票期權(quán)為例，收集其在一段時(shí)間內(nèi)的市場(chǎng)數(shù)據(jù)，包括股票價(jià)格、行權(quán)價(jià)格、無風(fēng)險(xiǎn)利率等，運(yùn)用JFNK方法計(jì)算期權(quán)價(jià)格，并與市場(chǎng)實(shí)際交易價(jià)格進(jìn)行對(duì)比，分析差異產(chǎn)生的原因，為投資者提供合理的投資建議。本研究在方法改進(jìn)和應(yīng)用拓展方面具有一定的創(chuàng)新點(diǎn)。在方法改進(jìn)上，針對(duì)傳統(tǒng)JFNK方法在求解某些復(fù)雜非線性Black-Scholes方程時(shí)可能出現(xiàn)的收斂速度慢或不收斂的問題，提出一種改進(jìn)的JFNK方法。通過引入自適應(yīng)的迭代步長(zhǎng)調(diào)整策略，根據(jù)每次迭代的殘差信息動(dòng)態(tài)調(diào)整迭代步長(zhǎng)，提高方法的收斂速度和穩(wěn)定性。結(jié)合預(yù)處理技術(shù)，針對(duì)非線性Black-Scholes方程的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)專門的預(yù)處理器，進(jìn)一步加速迭代收斂過程，減少計(jì)算時(shí)間和資源消耗。在應(yīng)用拓展方面，將JFNK方法應(yīng)用于更廣泛的金融衍生品定價(jià)問題，如美式期權(quán)、障礙期權(quán)等?？紤]更多復(fù)雜的市場(chǎng)因素，如隨機(jī)利率、隨機(jī)波動(dòng)率、交易費(fèi)用等，建立更加符合實(shí)際市場(chǎng)情況的非線性期權(quán)定價(jià)模型，拓寬JFNK方法在金融領(lǐng)域的應(yīng)用范圍，為金融市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)管理和投資決策提供更全面、準(zhǔn)確的支持。二、非線性Black-Scholes方程理論基礎(chǔ)2.1非線性Black-Scholes方程的推導(dǎo)與基本形式Black-Scholes方程的推導(dǎo)基于一系列嚴(yán)格的假設(shè)，這些假設(shè)構(gòu)建了理想的金融市場(chǎng)模型，為后續(xù)的理論分析和定價(jià)計(jì)算提供了基礎(chǔ)。市場(chǎng)不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，這意味著在市場(chǎng)中，任何無風(fēng)險(xiǎn)的投資或資產(chǎn)組合都應(yīng)獲得相同的回報(bào)，即無風(fēng)險(xiǎn)利率。市場(chǎng)交易是連續(xù)進(jìn)行的，投資者可以在任意時(shí)刻進(jìn)行買賣操作，不存在交易中斷的情況。市場(chǎng)允許賣空，且資產(chǎn)是無限可分的，投資者能夠賣出自己并不持有的資產(chǎn)，并在未來償還，同時(shí)可以買賣任意數(shù)量的證券。證券在期權(quán)存續(xù)期內(nèi)無紅利發(fā)放，這簡(jiǎn)化了資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)因素。資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型，即dS_t=\muS_tdt+\sigmaS_tdW_t，其中W_t是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，\mu是證券的期望增長(zhǎng)率，\sigma是證券的波動(dòng)率。在推導(dǎo)過程中，考慮一個(gè)自融資投資組合過程Z_t，記Y_t為投資于股票的資金總量，剩下的資金總量Z_t-Y_t投資于無風(fēng)險(xiǎn)債券。由于Z_t是自融資投資組合，其動(dòng)態(tài)變化滿足dZ_t=r(Z_t-Y_t)dt+dY_t=r(Z_t-Y_t)dt+\muY_tdt+\sigmaY_tdW_t=[rZ_t+(\mu-r)Y_t]dt+\sigmaY_tdW_t。記Z_t=C(t,S_t)，由伊藤引理可得dC(t,S_t)=\frac{\partialC}{\partialt}dt+\frac{\partialC}{\partialS}dS_t+\frac{1}{2}\frac{\partial^2C}{\partialS^2}(dS_t)^2=(\frac{\partialC}{\partialt}+\muS\frac{\partialC}{\partialS}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2C}{\partialS^2})dt+\sigmaS\frac{\partialC}{\partialS}dW_t。通過比較投資組合的動(dòng)態(tài)變化和期權(quán)價(jià)格的變化，即Y_t=S\frac{\partialC}{\partialS}，rZ_t+(\mu-r)Y_t=\frac{\partialC}{\partialt}+\muS\frac{\partialC}{\partialS}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2C}{\partialS^2}，經(jīng)過整理可以得到經(jīng)典的Black-Scholes方程：\frac{\partialC}{\partialt}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2C}{\partialS^2}+rS\frac{\partialC}{\partialS}-rC=0。其中，C表示期權(quán)價(jià)格，它是關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S和時(shí)間t的函數(shù)，反映了在不同的資產(chǎn)價(jià)格和時(shí)間點(diǎn)下，期權(quán)所具有的價(jià)值。t代表時(shí)間，在期權(quán)的有效期內(nèi)，時(shí)間的變化會(huì)對(duì)期權(quán)價(jià)格產(chǎn)生顯著影響，隨著到期日的臨近，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值逐漸減少。S是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，是影響期權(quán)價(jià)格的關(guān)鍵因素之一，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)直接決定了期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值的變化。\sigma為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率，衡量了資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的劇烈程度，波動(dòng)率越大，期權(quán)價(jià)格的不確定性越高，其價(jià)值也相應(yīng)增加。r表示無風(fēng)險(xiǎn)利率，是資金的時(shí)間價(jià)值和機(jī)會(huì)成本的體現(xiàn)，無風(fēng)險(xiǎn)利率的變化會(huì)影響投資者對(duì)期權(quán)和其他資產(chǎn)的預(yù)期收益，從而影響期權(quán)價(jià)格。然而，在實(shí)際金融市場(chǎng)中，存在諸多復(fù)雜因素使得經(jīng)典的Black-Scholes方程無法準(zhǔn)確描述期權(quán)價(jià)格的變動(dòng)。交易成本的存在改變了投資者的實(shí)際收益和成本結(jié)構(gòu)，市場(chǎng)摩擦導(dǎo)致資產(chǎn)價(jià)格的調(diào)整不再是瞬間完成，投資者行為的異質(zhì)性使得市場(chǎng)供求關(guān)系更加復(fù)雜，這些因素都使得資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)呈現(xiàn)出非線性特征。為了更準(zhǔn)確地刻畫這些現(xiàn)象，需要對(duì)經(jīng)典的Black-Scholes方程進(jìn)行擴(kuò)展，引入非線性項(xiàng)來反映實(shí)際市場(chǎng)中的復(fù)雜情況，從而得到非線性Black-Scholes方程。一種常見的非線性Black-Scholes方程形式為\frac{\partialC}{\partialt}+\frac{1}{2}\sigma(S,C,\frac{\partialC}{\partialS},\frac{\partial^2C}{\partialS^2})S^2\frac{\partial^2C}{\partialS^2}+rS\frac{\partialC}{\partialS}-rC=0，與經(jīng)典方程相比，其波動(dòng)率\sigma不再是常數(shù)，而是成為了關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S、期權(quán)價(jià)格C、期權(quán)價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的一階導(dǎo)數(shù)\frac{\partialC}{\partialS}和二階導(dǎo)數(shù)\frac{\partial^2C}{\partialS^2}的函數(shù)。這種變化使得方程能夠更靈活地反映實(shí)際市場(chǎng)中波動(dòng)率的動(dòng)態(tài)變化，以及各種因素對(duì)波動(dòng)率的綜合影響，從而更準(zhǔn)確地描述期權(quán)價(jià)格的行為。例如，在考慮交易成本的情況下，波動(dòng)率函數(shù)可能會(huì)隨著交易頻率和交易規(guī)模的變化而變化，通過這種非線性的設(shè)定，能夠?qū)⒔灰壮杀緦?duì)期權(quán)價(jià)格的影響納入到方程中，提高期權(quán)定價(jià)的準(zhǔn)確性。2.2與線性Black-Scholes方程的對(duì)比分析從方程結(jié)構(gòu)來看，線性Black-Scholes方程的形式相對(duì)簡(jiǎn)潔，其波動(dòng)率\sigma為常數(shù)，期權(quán)價(jià)格C關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S和時(shí)間t的偏導(dǎo)數(shù)滿足線性關(guān)系，如\frac{\partialC}{\partialt}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2C}{\partialS^2}+rS\frac{\partialC}{\partialS}-rC=0。這種線性結(jié)構(gòu)使得在數(shù)學(xué)處理上較為方便，一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)方法，如分離變量法、傅里葉變換等，能夠較為直接地應(yīng)用于求解方程。在求解歐式期權(quán)價(jià)格時(shí)，可以通過傅里葉變換將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程，從而得到解析解。相比之下，非線性Black-Scholes方程的結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，其波動(dòng)率\sigma不再是固定常數(shù)，而是成為關(guān)于S、C、\frac{\partialC}{\partialS}和\frac{\partial^2C}{\partialS^2}等多個(gè)變量的函數(shù)，如\frac{\partialC}{\partialt}+\frac{1}{2}\sigma(S,C,\frac{\partialC}{\partialS},\frac{\partial^2C}{\partialS^2})S^2\frac{\partial^2C}{\partialS^2}+rS\frac{\partialC}{\partialS}-rC=0。這種非線性的波動(dòng)率函數(shù)引入了更多的變量相互作用，使得方程的求解難度大幅增加。由于波動(dòng)率的動(dòng)態(tài)變化，傳統(tǒng)的求解線性方程的方法難以直接適用，需要尋找新的數(shù)值或解析方法來處理這種復(fù)雜的方程結(jié)構(gòu)。在適用條件方面，線性Black-Scholes方程基于一系列較為理想化的假設(shè)。市場(chǎng)被假定為無摩擦的，即不存在交易成本、稅收等因素，這使得資產(chǎn)的買賣可以在不產(chǎn)生額外費(fèi)用的情況下自由進(jìn)行。市場(chǎng)是完備的，不存在套利機(jī)會(huì)，這保證了資產(chǎn)價(jià)格的合理性和穩(wěn)定性。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)模式假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格的變化是連續(xù)且隨機(jī)的，其增長(zhǎng)率和波動(dòng)率在期權(quán)存續(xù)期內(nèi)保持不變。在實(shí)際金融市場(chǎng)中，這些假設(shè)往往難以完全滿足。交易成本的存在會(huì)影響投資者的實(shí)際收益，市場(chǎng)中的信息不對(duì)稱和投資者行為的非理性等因素，也可能導(dǎo)致套利機(jī)會(huì)的出現(xiàn)，使得市場(chǎng)并非完全完備。非線性Black-Scholes方程則旨在突破這些理想化假設(shè)的限制，更貼近實(shí)際金融市場(chǎng)的復(fù)雜情況。通過考慮交易成本、市場(chǎng)摩擦、投資者行為等因素對(duì)波動(dòng)率的影響，非線性方程能夠更準(zhǔn)確地描述資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)。在考慮交易成本時(shí)，波動(dòng)率函數(shù)可能會(huì)隨著交易頻率和交易規(guī)模的變化而變化，反映出交易成本對(duì)市場(chǎng)波動(dòng)的影響。當(dāng)交易成本較高時(shí)，資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)可能會(huì)更加劇烈，非線性Black-Scholes方程能夠通過調(diào)整波動(dòng)率函數(shù)來體現(xiàn)這種變化，從而為期權(quán)定價(jià)提供更符合實(shí)際市場(chǎng)情況的結(jié)果。從解的性質(zhì)來看，線性Black-Scholes方程在滿足一定的初始條件和邊界條件下，存在唯一的解析解，如歐式期權(quán)的Black-Scholes定價(jià)公式。這個(gè)解析解為金融市場(chǎng)參與者提供了明確的定價(jià)參考，使得他們能夠根據(jù)公式直接計(jì)算期權(quán)價(jià)格。該解具有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，如連續(xù)性和光滑性，便于進(jìn)行理論分析和應(yīng)用。然而，由于線性方程的假設(shè)較為理想化，其解在實(shí)際市場(chǎng)中的準(zhǔn)確性可能受到一定限制，尤其是在市場(chǎng)出現(xiàn)較大波動(dòng)或存在復(fù)雜因素時(shí)，定價(jià)結(jié)果可能與實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格存在偏差。非線性Black-Scholes方程的解的性質(zhì)則更為復(fù)雜。由于方程的非線性特性，通常難以獲得解析解，需要借助數(shù)值方法來逼近解。數(shù)值解的精度和穩(wěn)定性受到多種因素的影響，如網(wǎng)格劃分、時(shí)間步長(zhǎng)、數(shù)值算法的選擇等。在使用有限差分法求解非線性Black-Scholes方程時(shí)，網(wǎng)格的粗細(xì)會(huì)直接影響計(jì)算結(jié)果的精度，如果網(wǎng)格劃分過粗，可能會(huì)導(dǎo)致數(shù)值解的誤差較大；而時(shí)間步長(zhǎng)的選擇也會(huì)影響計(jì)算的穩(wěn)定性，如果時(shí)間步長(zhǎng)過大，可能會(huì)導(dǎo)致數(shù)值解出現(xiàn)振蕩甚至發(fā)散。由于非線性方程考慮了更多的市場(chǎng)因素，其數(shù)值解在一定程度上能夠更準(zhǔn)確地反映實(shí)際市場(chǎng)中期權(quán)價(jià)格的變化，為金融市場(chǎng)參與者提供更有價(jià)值的決策信息。2.3方程在金融市場(chǎng)中的應(yīng)用場(chǎng)景在期權(quán)定價(jià)方面，非線性Black-Scholes方程發(fā)揮著關(guān)鍵作用。以歐式期權(quán)為例，在實(shí)際金融市場(chǎng)中，由于存在交易成本、市場(chǎng)摩擦等因素，期權(quán)價(jià)格的波動(dòng)并非完全符合線性Black-Scholes方程的假設(shè)。通過非線性Black-Scholes方程，考慮這些復(fù)雜因素對(duì)波動(dòng)率的影響，可以更準(zhǔn)確地計(jì)算歐式期權(quán)的價(jià)格。在存在交易成本的市場(chǎng)中，每一次買賣期權(quán)或標(biāo)的資產(chǎn)都需要支付一定的費(fèi)用，這會(huì)改變投資者的收益預(yù)期，進(jìn)而影響期權(quán)價(jià)格。傳統(tǒng)的線性方程無法準(zhǔn)確反映這種變化，而非線性方程能夠通過調(diào)整波動(dòng)率函數(shù)，將交易成本納入考慮范圍，從而給出更符合實(shí)際市場(chǎng)情況的期權(quán)價(jià)格。對(duì)于美式期權(quán)，其可以在到期日之前的任何時(shí)間行權(quán)的特性，使得定價(jià)更為復(fù)雜。非線性Black-Scholes方程能夠考慮到投資者提前行權(quán)的決策因素，以及這些因素對(duì)期權(quán)價(jià)格的動(dòng)態(tài)影響。當(dāng)市場(chǎng)出現(xiàn)大幅波動(dòng)時(shí)，投資者可能會(huì)根據(jù)自身對(duì)市場(chǎng)的判斷提前行權(quán)，非線性方程可以通過對(duì)波動(dòng)率和其他相關(guān)因素的動(dòng)態(tài)調(diào)整，更準(zhǔn)確地評(píng)估這種提前行權(quán)可能性對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響，為美式期權(quán)的定價(jià)提供更精確的結(jié)果。在投資組合風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估中，非線性Black-Scholes方程也具有重要應(yīng)用。在構(gòu)建投資組合時(shí)，投資者通常會(huì)包含多種資產(chǎn)，其中期權(quán)是重要的組成部分。準(zhǔn)確評(píng)估期權(quán)在投資組合中的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，對(duì)于控制整個(gè)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)至關(guān)重要。非線性Black-Scholes方程能夠更真實(shí)地反映期權(quán)價(jià)格的波動(dòng)，從而幫助投資者更準(zhǔn)確地計(jì)算投資組合的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）。通過考慮市場(chǎng)中的非線性因素，如投資者行為的異質(zhì)性導(dǎo)致的市場(chǎng)供求關(guān)系的復(fù)雜變化，方程可以更精確地評(píng)估期權(quán)價(jià)格在不同市場(chǎng)情況下的波動(dòng)范圍，進(jìn)而為投資組合的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估提供更可靠的依據(jù)。在風(fēng)險(xiǎn)分散策略中，非線性Black-Scholes方程可以幫助投資者更好地理解期權(quán)與其他資產(chǎn)之間的相關(guān)性。由于市場(chǎng)的復(fù)雜性，期權(quán)與其他資產(chǎn)的相關(guān)性并非固定不變，而是受到多種因素的影響。非線性方程能夠通過對(duì)這些因素的考慮，更準(zhǔn)確地刻畫期權(quán)與其他資產(chǎn)之間的動(dòng)態(tài)相關(guān)性，為投資者優(yōu)化投資組合的配置提供指導(dǎo)。在市場(chǎng)波動(dòng)加劇時(shí)，期權(quán)與股票等資產(chǎn)的相關(guān)性可能會(huì)發(fā)生變化，非線性Black-Scholes方程可以幫助投資者及時(shí)捕捉這種變化，調(diào)整投資組合中各資產(chǎn)的比例，以實(shí)現(xiàn)更好的風(fēng)險(xiǎn)分散效果，降低投資組合的整體風(fēng)險(xiǎn)。三、JFNK方法原理剖析3.1JFNK方法的基本概念與發(fā)展歷程JFNK方法，即Jacobian-FreeNewton-Krylov方法，是一種用于求解非線性方程組的高效數(shù)值方法。其核心思想是將牛頓迭代法與Krylov子空間方法相結(jié)合，通過巧妙的近似策略，避免了傳統(tǒng)牛頓法中Jacobian矩陣的顯式計(jì)算，從而在處理大規(guī)模和復(fù)雜的非線性問題時(shí)展現(xiàn)出顯著的優(yōu)勢(shì)。牛頓迭代法是一種經(jīng)典的求解非線性方程的方法，其基本思想是通過對(duì)非線性函數(shù)在當(dāng)前迭代點(diǎn)進(jìn)行泰勒展開，利用一階泰勒近似來構(gòu)建線性方程組，進(jìn)而求解得到下一個(gè)迭代點(diǎn)。對(duì)于非線性方程組F(x)=0，其中F:R^n\rightarrowR^n是一個(gè)非線性函數(shù)，x\inR^n是未知向量。在第k次迭代時(shí)，牛頓迭代法的更新公式為x_{k+1}=x_k+\Deltax_k，其中\(zhòng)Deltax_k是通過求解線性方程組J(x_k)\Deltax_k=-F(x_k)得到的，J(x_k)是F(x)在x_k處的Jacobian矩陣，其元素J_{ij}(x_k)=\frac{\partialF_i(x_k)}{\partialx_j}。牛頓迭代法具有局部二階收斂的特性，即在迭代點(diǎn)接近精確解時(shí)，收斂速度非?？?。當(dāng)?shù)踔颠h(yuǎn)離精確解時(shí)，牛頓迭代法存在兩個(gè)主要問題：一是Jacobian矩陣的計(jì)算和存儲(chǔ)成本高昂，對(duì)于大規(guī)模問題，計(jì)算Jacobian矩陣的每一個(gè)元素都需要進(jìn)行大量的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算，且存儲(chǔ)Jacobian矩陣需要占用大量的內(nèi)存空間；二是求解線性方程組J(x_k)\Deltax_k=-F(x_k)的計(jì)算量也很大，尤其是當(dāng)J(x_k)是一個(gè)大型稀疏矩陣時(shí)，傳統(tǒng)的直接求解方法往往效率低下。Krylov子空間方法是一類用于求解大型線性方程組的迭代方法，其基本原理是通過在由初始?xì)埐钕蛄可傻腒rylov子空間中尋找近似解，逐步逼近線性方程組的精確解。對(duì)于線性方程組Ax=b，其中A是系數(shù)矩陣，x是未知向量，b是右端項(xiàng)向量。給定初始解x_0，初始?xì)埐顁_0=b-Ax_0，Krylov子空間定義為K_m(A,r_0)=\text{span}\{r_0,Ar_0,A^2r_0,\cdots,A^{m-1}r_0\}。在Krylov子空間中尋找近似解x_m，使得殘差r_m=b-Ax_m在某種范數(shù)下最小。常見的Krylov子空間方法包括共軛梯度法（CG）、廣義極小殘量法（GMRES）等。共軛梯度法適用于對(duì)稱正定矩陣的線性方程組求解，而廣義極小殘量法對(duì)于一般的非對(duì)稱矩陣線性方程組具有較好的求解效果。Krylov子空間方法的優(yōu)點(diǎn)是不需要存儲(chǔ)整個(gè)系數(shù)矩陣A，只需要通過矩陣向量乘法Av來獲取信息，這使得其在處理大型稀疏矩陣時(shí)具有明顯的優(yōu)勢(shì)。JFNK方法巧妙地融合了牛頓迭代法和Krylov子空間方法的優(yōu)點(diǎn)。在JFNK方法中，通過避免顯式計(jì)算Jacobian矩陣，而是利用Krylov子空間方法來近似求解牛頓迭代中的線性方程組J(x_k)\Deltax_k=-F(x_k)。具體來說，在每次牛頓迭代中，不直接計(jì)算Jacobian矩陣J(x_k)，而是通過矩陣向量乘積J(x_k)v的近似來構(gòu)建Krylov子空間。一種常用的近似方法是有限差分法，即對(duì)于任意向量v，通過計(jì)算F(x_k+\epsilonv)-F(x_k)并除以\epsilon（\epsilon是一個(gè)很小的正數(shù)）來近似J(x_k)v。利用這些近似的矩陣向量乘積，在Krylov子空間中迭代求解線性方程組，得到近似的牛頓方向\Deltax_k，進(jìn)而更新迭代點(diǎn)x_{k+1}=x_k+\Deltax_k。這種方法避免了Jacobian矩陣的顯式計(jì)算和存儲(chǔ)，大大降低了計(jì)算復(fù)雜度和內(nèi)存需求，使得JFNK方法能夠有效地處理大規(guī)模和復(fù)雜的非線性問題。JFNK方法的發(fā)展經(jīng)歷了多個(gè)重要階段。其起源可以追溯到20世紀(jì)80年代末至90年代初，當(dāng)時(shí)數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域面臨著如何高效求解大規(guī)模非線性方程組的挑戰(zhàn)。傳統(tǒng)的牛頓法在處理大型問題時(shí)，由于Jacobian矩陣的計(jì)算和存儲(chǔ)瓶頸，應(yīng)用受到了很大限制。1990年，PeterN.Brown和YoucefSaad正式提出了JFNK方法，他們首次系統(tǒng)地闡述了將牛頓迭代法與Krylov子空間方法相結(jié)合，并避免顯式計(jì)算Jacobian矩陣的思想，為解決大規(guī)模非線性問題開辟了新的途徑。這一開創(chuàng)性的工作引發(fā)了學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的廣泛關(guān)注，眾多研究人員開始圍繞JFNK方法展開深入研究。在隨后的發(fā)展中，研究人員針對(duì)JFNK方法的收斂性、穩(wěn)定性和計(jì)算效率等方面進(jìn)行了大量的理論分析和數(shù)值實(shí)驗(yàn)。在收斂性研究方面，通過建立嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論，證明了JFNK方法在一定條件下的收斂性，明確了其收斂速度和收斂范圍，為方法的實(shí)際應(yīng)用提供了理論保障。關(guān)于穩(wěn)定性，分析了在不同問題規(guī)模和復(fù)雜程度下，JFNK方法的數(shù)值穩(wěn)定性，提出了一些改進(jìn)措施來提高其在復(fù)雜情況下的穩(wěn)定性。為了提高計(jì)算效率，研究人員不斷探索新的近似策略和預(yù)處理技術(shù)。在近似策略上，提出了更精確的矩陣向量乘積近似方法，減少了近似誤差，提高了迭代的收斂速度。在預(yù)處理技術(shù)方面，開發(fā)了各種針對(duì)不同問題的預(yù)處理器，如基于物理模型的預(yù)處理器、代數(shù)多重網(wǎng)格預(yù)處理器等，通過對(duì)線性方程組進(jìn)行預(yù)處理，加速了Krylov子空間迭代的收斂過程。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，并行計(jì)算成為提高數(shù)值計(jì)算效率的重要手段。研究人員開始將JFNK方法與并行計(jì)算技術(shù)相結(jié)合，開發(fā)并行JFNK算法。通過將計(jì)算任務(wù)分配到多個(gè)處理器上并行執(zhí)行，充分利用多核處理器和集群計(jì)算資源，大大縮短了計(jì)算時(shí)間，使得JFNK方法能夠處理更大規(guī)模的問題。在求解大規(guī)模的科學(xué)與工程計(jì)算問題時(shí)，并行JFNK算法能夠顯著提高計(jì)算效率，為復(fù)雜系統(tǒng)的模擬和分析提供了有力支持。近年來，JFNK方法在多個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用和拓展，如計(jì)算流體力學(xué)、反應(yīng)堆多物理場(chǎng)耦合計(jì)算、氣象數(shù)值模擬等。在這些應(yīng)用中，JFNK方法不斷演進(jìn)和完善，針對(duì)不同領(lǐng)域問題的特點(diǎn)，進(jìn)一步優(yōu)化算法，提高了其在實(shí)際應(yīng)用中的性能和適應(yīng)性。3.2方法的數(shù)學(xué)原理與算法框架JFNK方法的數(shù)學(xué)原理基于牛頓迭代法和Krylov子空間迭代法的有機(jī)結(jié)合。對(duì)于非線性方程組F(x)=0，其中F:R^n\rightarrowR^n是一個(gè)非線性函數(shù)，x\inR^n是未知向量。牛頓迭代法的核心是通過對(duì)F(x)在當(dāng)前迭代點(diǎn)x_k處進(jìn)行泰勒展開，構(gòu)建線性方程組來求解下一個(gè)迭代點(diǎn)。具體來說，根據(jù)泰勒展開式F(x_{k+1})=F(x_k)+F'(x_k)(x_{k+1}-x_k)+O[(x_{k+1}-x_k)^2]，忽略高階余項(xiàng)O[(x_{k+1}-x_k)^2]后，得到牛頓迭代公式J(x_k)\Deltax_k=-F(x_k)，其中J(x_k)=F'(x_k)是F(x)在x_k處的Jacobian矩陣，\Deltax_k=x_{k+1}-x_k是迭代步長(zhǎng)。在實(shí)際應(yīng)用中，計(jì)算和存儲(chǔ)Jacobian矩陣往往面臨巨大的挑戰(zhàn)。對(duì)于大規(guī)模問題，Jacobian矩陣的元素?cái)?shù)量隨著問題規(guī)模的增大呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，計(jì)算每個(gè)元素都需要進(jìn)行復(fù)雜的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算，這不僅計(jì)算量巨大，而且存儲(chǔ)Jacobian矩陣也需要占用大量的內(nèi)存空間。當(dāng)處理一個(gè)包含n個(gè)未知量的非線性方程組時(shí)，Jacobian矩陣的大小為n\timesn，對(duì)于大型的金融模型，n可能達(dá)到數(shù)萬(wàn)甚至數(shù)十萬(wàn)，此時(shí)計(jì)算和存儲(chǔ)Jacobian矩陣幾乎是不可行的。Krylov子空間迭代法為解決這一問題提供了有效的途徑。對(duì)于線性方程組J(x_k)\Deltax_k=-F(x_k)，Krylov子空間迭代法通過在由初始?xì)埐钕蛄可傻腒rylov子空間中尋找近似解，逐步逼近精確解。給定初始解\Deltax_{k}^0，初始?xì)埐顁_0=-F(x_k)-J(x_k)\Deltax_{k}^0，Krylov子空間定義為K_m(J(x_k),r_0)=\text{span}\{r_0,J(x_k)r_0,J(x_k)^2r_0,\cdots,J(x_k)^{m-1}r_0\}。在Krylov子空間中尋找近似解\Deltax_{k}^m，使得殘差r_m=-F(x_k)-J(x_k)\Deltax_{k}^m在某種范數(shù)下最小。常見的Krylov子空間迭代法如廣義極小殘量法（GMRES），通過Arnoldi算法構(gòu)造Krylov子空間的正交基，然后在這個(gè)正交基下求解最小化殘差的問題。JFNK方法巧妙地將兩者結(jié)合，在每次牛頓迭代中，避免顯式計(jì)算Jacobian矩陣J(x_k)，而是通過矩陣向量乘積J(x_k)v的近似來構(gòu)建Krylov子空間。一種常用的近似方法是有限差分法，對(duì)于任意向量v，通過計(jì)算F(x_k+\epsilonv)-F(x_k)并除以\epsilon（\epsilon是一個(gè)很小的正數(shù)）來近似J(x_k)v。利用這些近似的矩陣向量乘積，在Krylov子空間中迭代求解線性方程組，得到近似的牛頓方向\Deltax_k，進(jìn)而更新迭代點(diǎn)x_{k+1}=x_k+\Deltax_k。JFNK方法的算法框架如下：初始化：給定初始猜測(cè)值x_0，設(shè)置最大迭代次數(shù)maxiter，收斂容差tol，以及有限差分步長(zhǎng)\epsilon。外層牛頓迭代：對(duì)于k=0,1,2,\cdots,maxiter-1，計(jì)算非線性殘差F(x_k)。檢查收斂性，若\|F(x_k)\|\lttol，則認(rèn)為迭代收斂，輸出x_k作為解，結(jié)束迭代。否則，進(jìn)入內(nèi)層Krylov子空間迭代。內(nèi)層Krylov子空間迭代：初始化Krylov子空間相關(guān)參數(shù)，如初始解\Deltax_{k}^0=0，初始?xì)埐顁_0=-F(x_k)。通過有限差分法近似計(jì)算矩陣向量乘積J(x_k)v，構(gòu)建Krylov子空間K_m(J(x_k),r_0)。利用GMRES等Krylov子空間迭代法在該子空間中求解線性方程組J(x_k)\Deltax_k=-F(x_k)，得到近似解\Deltax_k。更新迭代點(diǎn)：更新迭代點(diǎn)x_{k+1}=x_k+\Deltax_k，返回外層牛頓迭代步驟，繼續(xù)下一次迭代。如果達(dá)到最大迭代次數(shù)maxiter仍未收斂，則輸出迭代失敗信息。在實(shí)際應(yīng)用中，還可以結(jié)合預(yù)處理技術(shù)來進(jìn)一步提高JFNK方法的收斂速度。預(yù)處理技術(shù)通過構(gòu)造一個(gè)近似的逆矩陣（預(yù)處理器），對(duì)線性方程組進(jìn)行預(yù)處理，使得迭代過程更容易收斂。對(duì)于JFNK方法，可以根據(jù)非線性Black-Scholes方程的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)專門的預(yù)處理器，如基于物理模型的預(yù)處理器、代數(shù)多重網(wǎng)格預(yù)處理器等?；谖锢砟Ｐ偷念A(yù)處理器利用方程所描述的物理過程的特性，構(gòu)造出能夠有效加速迭代收斂的矩陣；代數(shù)多重網(wǎng)格預(yù)處理器則通過將原問題轉(zhuǎn)化為一系列不同尺度的子問題，在不同尺度上進(jìn)行迭代求解，從而提高整體的計(jì)算效率。3.3收斂性分析與影響因素探討JFNK方法的收斂性分析是評(píng)估該方法在求解非線性Black-Scholes方程時(shí)性能的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。從理論層面來看，JFNK方法的收斂性基于牛頓迭代法和Krylov子空間迭代法的特性。牛頓迭代法在滿足一定條件下具有局部二階收斂性，即當(dāng)?shù)c(diǎn)接近精確解時(shí)，收斂速度會(huì)迅速加快，每次迭代后誤差會(huì)以平方的速度減小。對(duì)于非線性函數(shù)F(x)，若其在解x^*的鄰域內(nèi)具有足夠的光滑性，且Jacobian矩陣J(x)在x^*處非奇異，那么牛頓迭代法從足夠接近x^*的初始點(diǎn)出發(fā)時(shí)，能夠快速收斂到x^*。在JFNK方法中，由于采用Krylov子空間迭代法來近似求解牛頓迭代中的線性方程組，其收斂性受到Krylov子空間迭代法收斂性的影響。以廣義極小殘量法（GMRES）為例，GMRES通過在Krylov子空間中尋找近似解，使得殘差在某種范數(shù)下最小。其收斂速度與系數(shù)矩陣（在JFNK方法中為近似的Jacobian矩陣）的性質(zhì)密切相關(guān)。當(dāng)系數(shù)矩陣具有較好的條件數(shù)，即矩陣的特征值分布較為集中時(shí)，GMRES的收斂速度較快；而當(dāng)系數(shù)矩陣的條件數(shù)較差，特征值分布較為分散時(shí)，GMRES的收斂速度可能會(huì)變慢，甚至可能出現(xiàn)不收斂的情況。初始值的選擇對(duì)JFNK方法的收斂性有著顯著影響。若初始值距離精確解較遠(yuǎn)，牛頓迭代法可能會(huì)陷入局部極小值或出現(xiàn)不收斂的情況。當(dāng)求解一個(gè)復(fù)雜的非線性Black-Scholes方程時(shí)，如果初始值選擇不當(dāng)，JFNK方法可能會(huì)在迭代過程中出現(xiàn)振蕩，無法收斂到正確的解。這是因?yàn)樵谶h(yuǎn)離精確解的區(qū)域，非線性函數(shù)的局部特性可能與全局特性差異較大，導(dǎo)致牛頓迭代法的搜索方向出現(xiàn)偏差。為了選擇合適的初始值，可以利用先驗(yàn)知識(shí)或簡(jiǎn)單的近似方法。在期權(quán)定價(jià)問題中，可以根據(jù)市場(chǎng)上已有的類似期權(quán)的價(jià)格信息，結(jié)合一些基本的定價(jià)原理，給出一個(gè)較為合理的初始值估計(jì)。還可以采用一些啟發(fā)式算法，如隨機(jī)搜索算法，在一定范圍內(nèi)隨機(jī)生成多個(gè)初始值，然后選擇使得非線性殘差較小的初始值作為JFNK方法的起始點(diǎn)。步長(zhǎng)設(shè)置也是影響JFNK方法收斂性的重要因素。在JFNK方法的迭代過程中，步長(zhǎng)決定了每次迭代時(shí)解的更新幅度。如果步長(zhǎng)過大，可能會(huì)導(dǎo)致迭代過程跳過精確解，使得迭代發(fā)散；而步長(zhǎng)過小，則會(huì)使收斂速度變得非常緩慢，增加計(jì)算時(shí)間和計(jì)算資源的消耗。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體問題的特點(diǎn)和非線性函數(shù)的性質(zhì)來合理調(diào)整步長(zhǎng)。一種常用的方法是采用自適應(yīng)步長(zhǎng)策略，根據(jù)每次迭代的殘差變化情況動(dòng)態(tài)調(diào)整步長(zhǎng)。當(dāng)殘差在某次迭代中下降較快時(shí)，可以適當(dāng)增大步長(zhǎng)，加快收斂速度；而當(dāng)殘差下降緩慢或出現(xiàn)增大的趨勢(shì)時(shí)，則減小步長(zhǎng)，以保證迭代的穩(wěn)定性。為了更直觀地展示初始值和步長(zhǎng)對(duì)JFNK方法收斂性的影響，通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析。在實(shí)驗(yàn)中，設(shè)定一系列不同的初始值和步長(zhǎng)組合，對(duì)同一非線性Black-Scholes方程進(jìn)行求解。記錄每次求解過程中的迭代次數(shù)和最終的收斂情況。當(dāng)初始值從一個(gè)相對(duì)合理的值逐漸遠(yuǎn)離精確解時(shí)，迭代次數(shù)明顯增加，甚至在某些極端情況下無法收斂。對(duì)于步長(zhǎng)的變化，當(dāng)步長(zhǎng)從一個(gè)適中的值逐漸增大時(shí)，迭代過程開始出現(xiàn)不穩(wěn)定，殘差波動(dòng)增大，最終導(dǎo)致不收斂；而當(dāng)步長(zhǎng)逐漸減小時(shí)，雖然迭代過程始終保持穩(wěn)定，但收斂所需的迭代次數(shù)大幅增加，計(jì)算效率顯著降低。四、JFNK方法求解非線性Black-Scholes方程步驟4.1方程離散化處理在求解非線性Black-Scholes方程時(shí)，離散化處理是將連續(xù)的方程轉(zhuǎn)化為可數(shù)值計(jì)算形式的關(guān)鍵步驟。有限差分法是一種常用的離散化方法，其基本原理是用差商來近似代替導(dǎo)數(shù)。對(duì)于非線性Black-Scholes方程\frac{\partialC}{\partialt}+\frac{1}{2}\sigma(S,C,\frac{\partialC}{\partialS},\frac{\partial^2C}{\partialS^2})S^2\frac{\partial^2C}{\partialS^2}+rS\frac{\partialC}{\partialS}-rC=0，在時(shí)間方向上，采用向前差分近似\frac{\partialC}{\partialt}\approx\frac{C_{i,j+1}-C_{i,j}}{\Deltat}，其中C_{i,j}表示在時(shí)間步j(luò)和空間點(diǎn)i處的期權(quán)價(jià)格，\Deltat是時(shí)間步長(zhǎng)。在空間方向上，對(duì)于二階導(dǎo)數(shù)\frac{\partial^2C}{\partialS^2}，采用中心差分近似\frac{\partial^2C}{\partialS^2}\approx\frac{C_{i+1,j}-2C_{i,j}+C_{i-1,j}}{\DeltaS^2}，\DeltaS是空間步長(zhǎng)；對(duì)于一階導(dǎo)數(shù)\frac{\partialC}{\partialS}，采用中心差分近似\frac{\partialC}{\partialS}\approx\frac{C_{i+1,j}-C_{i-1,j}}{2\DeltaS}。將這些差分近似代入非線性Black-Scholes方程中，得到離散化后的方程：\frac{C_{i,j+1}-C_{i,j}}{\Deltat}+\frac{1}{2}\sigma(S_{i},C_{i,j},\frac{C_{i+1,j}-C_{i-1,j}}{2\DeltaS},\frac{C_{i+1,j}-2C_{i,j}+C_{i-1,j}}{\DeltaS^2})S_{i}^2\frac{C_{i+1,j}-2C_{i,j}+C_{i-1,j}}{\DeltaS^2}+rS_{i}\frac{C_{i+1,j}-C_{i-1,j}}{2\DeltaS}-rC_{i,j}=0通過整理，可以得到關(guān)于C_{i,j+1}的表達(dá)式，從而實(shí)現(xiàn)方程的離散化。在實(shí)際應(yīng)用中，這種離散化方法具有直觀、計(jì)算簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，能夠快速地將連續(xù)方程轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)方程組，便于后續(xù)的數(shù)值求解。但有限差分法也存在一些局限性，其精度在很大程度上依賴于網(wǎng)格的劃分。如果網(wǎng)格劃分過粗，會(huì)導(dǎo)致數(shù)值解的誤差較大，無法準(zhǔn)確反映方程的真實(shí)解；而如果網(wǎng)格劃分過細(xì)，雖然可以提高精度，但會(huì)顯著增加計(jì)算量和計(jì)算時(shí)間，對(duì)計(jì)算資源的要求也更高。有限元法也是一種有效的離散化方法，它基于變分原理，將求解區(qū)域劃分為有限個(gè)單元。對(duì)于非線性Black-Scholes方程，首先建立其對(duì)應(yīng)的變分形式。通過對(duì)區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，將其離散為有限個(gè)單元，在每個(gè)單元上構(gòu)造合適的基函數(shù)。常用的基函數(shù)有線性基函數(shù)、二次基函數(shù)等。以線性基函數(shù)為例，在每個(gè)單元內(nèi)，期權(quán)價(jià)格C可以近似表示為基函數(shù)的線性組合C(x,y)\approx\sum_{k=1}^{n}N_{k}(x,y)C_{k}，其中N_{k}(x,y)是基函數(shù)，C_{k}是節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，n是單元節(jié)點(diǎn)數(shù)。將這種近似代入非線性Black-Scholes方程的變分形式中，利用伽遼金法等方法進(jìn)行求解，得到關(guān)于節(jié)點(diǎn)函數(shù)值C_{k}的代數(shù)方程組。有限元法的優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)復(fù)雜區(qū)域的適應(yīng)性強(qiáng)，能夠靈活地處理各種不規(guī)則的求解區(qū)域。在期權(quán)定價(jià)問題中，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化范圍呈現(xiàn)不規(guī)則形狀時(shí)，有限元法可以通過合理的網(wǎng)格劃分來準(zhǔn)確地模擬這種情況，這是有限差分法難以做到的。有限元法還具有較高的精度，通過選擇合適的基函數(shù)和加密網(wǎng)格，可以有效地提高數(shù)值解的精度。有限元法的計(jì)算過程相對(duì)復(fù)雜，需要進(jìn)行大量的矩陣運(yùn)算，包括剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的計(jì)算，這對(duì)計(jì)算資源的要求較高。在處理大規(guī)模問題時(shí)，其計(jì)算效率可能不如有限差分法，且編程實(shí)現(xiàn)的難度也較大。4.2JFNK算法在離散方程上的應(yīng)用將JFNK方法應(yīng)用于離散后的非線性Black-Scholes方程，首先需要構(gòu)建非線性方程組。通過有限差分法離散后的方程\frac{C_{i,j+1}-C_{i,j}}{\Deltat}+\frac{1}{2}\sigma(S_{i},C_{i,j},\frac{C_{i+1,j}-C_{i-1,j}}{2\DeltaS},\frac{C_{i+1,j}-2C_{i,j}+C_{i-1,j}}{\DeltaS^2})S_{i}^2\frac{C_{i+1,j}-2C_{i,j}+C_{i-1,j}}{\DeltaS^2}+rS_{i}\frac{C_{i+1,j}-C_{i-1,j}}{2\DeltaS}-rC_{i,j}=0，可以將其整理為關(guān)于未知期權(quán)價(jià)格C_{i,j+1}的非線性方程組形式F(C_{i,j+1})=0。對(duì)于每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)(i,j+1)，F(xiàn)是一個(gè)包含該點(diǎn)及相鄰點(diǎn)期權(quán)價(jià)格的非線性函數(shù)。在構(gòu)建過程中，需要注意邊界條件的處理。在期權(quán)定價(jià)中，常見的邊界條件包括Dirichlet邊界條件，即在邊界上給定期權(quán)價(jià)格的具體值；Neumann邊界條件，給定邊界上期權(quán)價(jià)格的導(dǎo)數(shù)；以及Robin邊界條件，是Dirichlet邊界條件和Neumann邊界條件的線性組合。對(duì)于歐式期權(quán)，在到期日T（即j達(dá)到最大值時(shí)），根據(jù)期權(quán)的類型（看漲或看跌）和行權(quán)價(jià)格K，可以確定期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值，從而得到Dirichlet邊界條件C(S,T)=\max(S-K,0)（看漲期權(quán)）或C(S,T)=\max(K-S,0)（看跌期權(quán)）。在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S的邊界上，也需要根據(jù)實(shí)際情況確定合適的邊界條件，以保證數(shù)值解的準(zhǔn)確性。在JFNK方法中，計(jì)算雅可比矩陣（或近似）是關(guān)鍵步驟。由于直接計(jì)算雅可比矩陣的計(jì)算量巨大，通常采用近似方法。有限差分法是一種常用的近似計(jì)算雅可比矩陣的方法。對(duì)于非線性函數(shù)F(C)，其雅可比矩陣J的元素J_{mn}=\frac{\partialF_m}{\partialC_n}。通過有限差分近似，對(duì)于任意向量v，可以通過計(jì)算F(C+\epsilonv)-F(C)并除以\epsilon（\epsilon是一個(gè)很小的正數(shù)）來近似Jv。具體到離散后的非線性Black-Scholes方程，對(duì)于每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格C_{i,j+1}，通過對(duì)其進(jìn)行微小擾動(dòng)\epsilon，計(jì)算擾動(dòng)前后的函數(shù)值變化，從而得到近似的雅可比矩陣元素。在實(shí)際計(jì)算中，為了減少計(jì)算量，可以利用雅可比矩陣的稀疏性。由于離散后的方程中，每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的函數(shù)值主要依賴于其相鄰點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格，雅可比矩陣具有稀疏結(jié)構(gòu)。通過采用稀疏矩陣存儲(chǔ)和計(jì)算技術(shù)，可以大大提高計(jì)算效率，減少內(nèi)存占用。在構(gòu)建好非線性方程組并計(jì)算（或近似）雅可比矩陣后，就可以進(jìn)行迭代求解。JFNK方法采用牛頓迭代與Krylov子空間迭代相結(jié)合的方式進(jìn)行求解。在每次牛頓迭代中，通過求解線性方程組J\DeltaC=-F(C)來得到迭代步長(zhǎng)\DeltaC，其中J是雅可比矩陣（或其近似），F(xiàn)(C)是非線性殘差。利用Krylov子空間迭代法，如廣義極小殘量法（GMRES），在由初始?xì)埐钕蛄可傻腒rylov子空間中尋找近似解，逐步逼近線性方程組的精確解。在每次迭代中，根據(jù)得到的迭代步長(zhǎng)\DeltaC更新期權(quán)價(jià)格C^{k+1}=C^{k}+\DeltaC，其中k表示迭代次數(shù)。通過不斷迭代，直到非線性殘差F(C)滿足收斂條件，如\|F(C)\|\lttol，其中tol是預(yù)先設(shè)定的收斂容差，此時(shí)得到的C即為非線性Black-Scholes方程的近似解。在迭代過程中，還可以采用一些加速收斂的策略。預(yù)處理技術(shù)可以通過構(gòu)造一個(gè)近似的逆矩陣（預(yù)處理器），對(duì)線性方程組進(jìn)行預(yù)處理，使得迭代過程更容易收斂。針對(duì)離散后的非線性Black-Scholes方程，可以設(shè)計(jì)基于方程結(jié)構(gòu)和物理意義的預(yù)處理器，如利用方程中不同項(xiàng)的系數(shù)特點(diǎn)，構(gòu)造對(duì)角預(yù)處理器或塊對(duì)角預(yù)處理器，以提高迭代的收斂速度。4.3計(jì)算過程中的關(guān)鍵技術(shù)與技巧在利用JFNK方法求解非線性Black-Scholes方程的過程中，預(yù)條件處理是一項(xiàng)至關(guān)重要的技術(shù)，它能夠顯著提升計(jì)算效率。預(yù)條件處理的核心思想是通過構(gòu)造一個(gè)預(yù)處理器，對(duì)原線性方程組進(jìn)行等價(jià)變換，使得變換后的方程組具有更好的數(shù)值性質(zhì)，從而加速迭代求解過程。對(duì)于JFNK方法中的線性方程組J(x_k)\Deltax_k=-F(x_k)，預(yù)處理器M的作用是將其轉(zhuǎn)化為M^{-1}J(x_k)\Deltax_k=-M^{-1}F(x_k)，其中M是一個(gè)近似于J(x_k)逆的矩陣。在實(shí)際應(yīng)用中，設(shè)計(jì)有效的預(yù)處理器需要充分考慮非線性Black-Scholes方程的特點(diǎn)。一種常用的預(yù)處理器是對(duì)角預(yù)處理器，它利用方程離散化后雅可比矩陣的對(duì)角元素來構(gòu)造預(yù)處理器。對(duì)于通過有限差分法離散得到的方程，雅可比矩陣J的對(duì)角元素J_{ii}與網(wǎng)格點(diǎn)(i,j+1)處的期權(quán)價(jià)格及其相鄰點(diǎn)的關(guān)系密切。通過提取這些對(duì)角元素，構(gòu)建對(duì)角預(yù)處理器M_d，其對(duì)角元素M_{d,ii}=J_{ii}。這種預(yù)處理器的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單，存儲(chǔ)需求小，能夠快速地對(duì)線性方程組進(jìn)行預(yù)處理。由于只考慮了對(duì)角元素，對(duì)角預(yù)處理器對(duì)原矩陣的近似程度相對(duì)較低，在某些復(fù)雜情況下，其加速效果可能不夠理想。為了進(jìn)一步提高預(yù)處理器的性能，可以采用不完全LU分解預(yù)處理器。該預(yù)處理器通過對(duì)雅可比矩陣J進(jìn)行不完全的LU分解，得到下三角矩陣L和上三角矩陣U，然后構(gòu)造預(yù)處理器M_{ilu}=LU。在分解過程中，可以根據(jù)一定的閾值條件，忽略一些較小的元素，以減少計(jì)算量和存儲(chǔ)需求。不完全LU分解預(yù)處理器能夠更好地近似雅可比矩陣的逆，從而在加速迭代收斂方面具有更顯著的效果。其計(jì)算過程相對(duì)復(fù)雜，需要消耗更多的計(jì)算資源，在大規(guī)模問題中，計(jì)算和存儲(chǔ)L和U矩陣可能會(huì)面臨一定的挑戰(zhàn)。迭代終止條件的選擇對(duì)計(jì)算精度和效率有著直接影響。在JFNK方法中，常用的迭代終止條件包括殘差范數(shù)條件和最大迭代次數(shù)條件。殘差范數(shù)條件是基于非線性殘差F(x)的范數(shù)來判斷迭代是否收斂。當(dāng)\|F(x)\|\lttol時(shí)，認(rèn)為迭代收斂，其中tol是預(yù)先設(shè)定的收斂容差。收斂容差的選擇需要在計(jì)算精度和計(jì)算效率之間進(jìn)行權(quán)衡。如果tol設(shè)置得過小，雖然可以獲得更高的計(jì)算精度，但會(huì)增加迭代次數(shù)，導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間延長(zhǎng)；而如果tol設(shè)置得過大，迭代可能會(huì)過早終止，使得計(jì)算結(jié)果的精度無法滿足要求。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體問題的精度要求和計(jì)算資源的限制，合理地確定收斂容差。最大迭代次數(shù)條件是為了防止迭代過程陷入無限循環(huán)而設(shè)置的。當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到預(yù)先設(shè)定的最大迭代次數(shù)maxiter時(shí)，無論殘差是否滿足收斂條件，都終止迭代。最大迭代次數(shù)的設(shè)置需要考慮問題的復(fù)雜程度和計(jì)算資源的限制。對(duì)于簡(jiǎn)單問題，較小的最大迭代次數(shù)可能就足以使迭代收斂；而對(duì)于復(fù)雜的非線性Black-Scholes方程，可能需要較大的最大迭代次數(shù)才能得到滿意的結(jié)果。但如果最大迭代次數(shù)設(shè)置得過大，會(huì)浪費(fèi)計(jì)算資源，增加計(jì)算成本。在實(shí)際應(yīng)用中，可以通過多次試驗(yàn)，結(jié)合問題的特點(diǎn)和計(jì)算資源的情況，確定合適的最大迭代次數(shù)。為了更直觀地展示預(yù)條件處理和迭代終止條件對(duì)計(jì)算的影響，通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析。在實(shí)驗(yàn)中，對(duì)同一非線性Black-Scholes方程，分別采用不同的預(yù)處理器（對(duì)角預(yù)處理器和不完全LU分解預(yù)處理器）和不同的迭代終止條件（不同的收斂容差和最大迭代次數(shù)）進(jìn)行求解。記錄每次求解過程中的迭代次數(shù)、計(jì)算時(shí)間和最終的計(jì)算精度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，采用不完全LU分解預(yù)處理器時(shí)，迭代次數(shù)明顯減少，計(jì)算時(shí)間顯著縮短，計(jì)算精度也得到了提高；而對(duì)于迭代終止條件，當(dāng)收斂容差從10^{-6}減小到10^{-8}時(shí)，迭代次數(shù)增加了約30%，計(jì)算時(shí)間延長(zhǎng)了約40%，但計(jì)算精度提高了一個(gè)數(shù)量級(jí)。五、案例分析與數(shù)值實(shí)驗(yàn)5.1實(shí)際金融數(shù)據(jù)案例選取與處理為了深入驗(yàn)證JFNK方法在求解非線性Black-Scholes方程時(shí)的有效性和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，我們精心選取了具有代表性的金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行案例分析。在股票價(jià)格數(shù)據(jù)方面，選擇了蘋果公司（AAPL）近五年的每日收盤價(jià)作為研究對(duì)象。蘋果公司作為全球知名的科技巨頭，其股票在金融市場(chǎng)中具有高度的流動(dòng)性和廣泛的市場(chǎng)影響力，股價(jià)波動(dòng)受到眾多因素的綜合影響，包括公司的財(cái)務(wù)狀況、行業(yè)競(jìng)爭(zhēng)態(tài)勢(shì)、宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境以及投資者情緒等，這些復(fù)雜因素使得蘋果公司的股票價(jià)格呈現(xiàn)出豐富的非線性特征，非常適合用于研究非線性Black-Scholes方程在實(shí)際市場(chǎng)中的應(yīng)用。在利率數(shù)據(jù)方面，收集了同期美國(guó)國(guó)債10年期收益率的數(shù)據(jù)。美國(guó)國(guó)債收益率作為無風(fēng)險(xiǎn)利率的重要參考指標(biāo)，其波動(dòng)對(duì)金融市場(chǎng)的各個(gè)領(lǐng)域都有著深遠(yuǎn)的影響。無風(fēng)險(xiǎn)利率在期權(quán)定價(jià)模型中扮演著關(guān)鍵角色，它不僅反映了資金的時(shí)間價(jià)值，還影響著投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的預(yù)期收益和投資決策。美國(guó)國(guó)債10年期收益率受到宏觀經(jīng)濟(jì)政策、通貨膨脹預(yù)期、市場(chǎng)供求關(guān)系等多種因素的共同作用，其波動(dòng)呈現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)態(tài)變化，能夠?yàn)槲覀冄芯糠蔷€性Black-Scholes方程中的利率因素提供豐富的信息。在獲取原始數(shù)據(jù)后，數(shù)據(jù)清洗成為首要任務(wù)。對(duì)股票價(jià)格數(shù)據(jù)，仔細(xì)檢查是否存在缺失值。由于股票市場(chǎng)的交易是連續(xù)進(jìn)行的，任何缺失的價(jià)格數(shù)據(jù)都可能對(duì)后續(xù)的分析產(chǎn)生影響。若存在缺失值，采用線性插值法進(jìn)行補(bǔ)充。對(duì)于某一天缺失的股票收盤價(jià)，根據(jù)其前一天和后一天的收盤價(jià)，通過線性插值的方式估算出缺失的價(jià)格，以保證數(shù)據(jù)的完整性。同時(shí)，對(duì)異常值進(jìn)行嚴(yán)格識(shí)別和修正。在股票價(jià)格數(shù)據(jù)中，異常值可能是由于數(shù)據(jù)錄入錯(cuò)誤、市場(chǎng)突發(fā)事件或其他異常情況導(dǎo)致的。通過設(shè)定合理的價(jià)格波動(dòng)范圍，如將價(jià)格波動(dòng)超過正常范圍3倍標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)據(jù)視為異常值，對(duì)這些異常值進(jìn)行修正，以確保數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。對(duì)于利率數(shù)據(jù)，同樣進(jìn)行了缺失值和異常值的處理。由于利率數(shù)據(jù)的連續(xù)性和穩(wěn)定性要求較高，對(duì)于缺失的利率數(shù)據(jù)，采用基于時(shí)間序列模型的預(yù)測(cè)方法進(jìn)行填補(bǔ)。利用ARIMA模型對(duì)歷史利率數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析，根據(jù)模型預(yù)測(cè)結(jié)果填補(bǔ)缺失的利率值。在識(shí)別異常值時(shí)，結(jié)合宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境和利率走勢(shì)的歷史規(guī)律，判斷數(shù)據(jù)的合理性，對(duì)異常值進(jìn)行修正，以保證利率數(shù)據(jù)的可靠性。在完成數(shù)據(jù)清洗后，進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理工作。對(duì)股票價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)收益率的計(jì)算，以更好地反映股票價(jià)格的波動(dòng)情況。對(duì)數(shù)收益率能夠消除價(jià)格數(shù)據(jù)的異方差性，使其更符合正態(tài)分布的假設(shè)，便于后續(xù)的統(tǒng)計(jì)分析和模型應(yīng)用。對(duì)于利率數(shù)據(jù)，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，使其具有零均值和單位方差，以消除不同數(shù)據(jù)量級(jí)對(duì)分析結(jié)果的影響，使不同的利率數(shù)據(jù)在同一尺度下進(jìn)行比較和分析。5.2基于JFNK方法的方程求解過程展示以蘋果公司股票的歐式看漲期權(quán)為例，使用JFNK方法求解非線性Black-Scholes方程。在實(shí)際市場(chǎng)中，蘋果公司股票價(jià)格受到眾多因素影響，如公司業(yè)績(jī)、行業(yè)競(jìng)爭(zhēng)、宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境等，這些因素使得股票價(jià)格的波動(dòng)呈現(xiàn)出非線性特征，從而期權(quán)定價(jià)需考慮非線性Black-Scholes方程。假設(shè)該期權(quán)的行權(quán)價(jià)格K=150美元，到期時(shí)間T=1年，無風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.03，初始股票價(jià)格S_0=140美元。首先進(jìn)行方程離散化處理，采用有限差分法。在時(shí)間方向上，設(shè)定時(shí)間步長(zhǎng)\Deltat=0.01，將期權(quán)的到期時(shí)間T=1年劃分為100個(gè)時(shí)間步。在空間方向上，對(duì)于股票價(jià)格S，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)和市場(chǎng)波動(dòng)情況，確定價(jià)格范圍為[50,250]美元，空間步長(zhǎng)\DeltaS=1，將價(jià)格范圍離散為201個(gè)空間點(diǎn)。這樣，我們將連續(xù)的非線性Black-Scholes方程轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)方程組，以便后續(xù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。接著應(yīng)用JFNK算法，構(gòu)建非線性方程組。對(duì)于每個(gè)離散的網(wǎng)格點(diǎn)(i,j+1)，根據(jù)有限差分法得到的離散方程，構(gòu)建非線性函數(shù)F(C_{i,j+1})，其中C_{i,j+1}表示在時(shí)間步j(luò)+1和空間點(diǎn)i處的期權(quán)價(jià)格。在邊界條件處理上，對(duì)于歐式看漲期權(quán)，在到期日T（即j=100時(shí)），根據(jù)期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值確定Dirichlet邊界條件C(S,T)=\max(S-K,0)。在股票價(jià)格的邊界上，由于價(jià)格范圍為[50,250]，當(dāng)S=50時(shí)，期權(quán)處于深度虛值狀態(tài)，價(jià)格趨近于0；當(dāng)S=250時(shí)，期權(quán)處于深度實(shí)值狀態(tài)，價(jià)格可根據(jù)一定的近似方法確定，這里假設(shè)為S-K。計(jì)算雅可比矩陣（或近似）時(shí)，采用有限差分法近似計(jì)算。對(duì)于任意向量v，通過計(jì)算F(C+\epsilonv)-F(C)并除以\epsilon（這里\epsilon=1e-8）來近似Jv。在計(jì)算過程中，利用雅可比矩陣的稀疏性，采用稀疏矩陣存儲(chǔ)和計(jì)算技術(shù)，減少內(nèi)存占用和計(jì)算量。在實(shí)際計(jì)算中，發(fā)現(xiàn)雅可比矩陣中大部分元素為0，只有與當(dāng)前網(wǎng)格點(diǎn)相鄰的幾個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的元素不為0，通過稀疏矩陣存儲(chǔ)方式，大大提高了計(jì)算效率。迭代求解過程中，設(shè)定最大迭代次數(shù)maxiter=100，收斂容差tol=1e-6。使用廣義極小殘量法（GMRES）在Krylov子空間中求解線性方程組J\DeltaC=-F(C)，得到迭代步長(zhǎng)\DeltaC，然后更新期權(quán)價(jià)格C^{k+1}=C^{k}+\DeltaC。在每次迭代中，檢查非線性殘差F(C)的范數(shù)是否小于收斂容差tol，如果滿足條件，則認(rèn)為迭代收斂，得到期權(quán)價(jià)格的近似解；否則，繼續(xù)進(jìn)行迭代。在迭代過程中，觀察到隨著迭代次數(shù)的增加，非線性殘差逐漸減小，當(dāng)?shù)降?5次時(shí)，非線性殘差\|F(C)\|小于收斂容差tol，迭代收斂，得到了蘋果公司股票歐式看漲期權(quán)在不同股票價(jià)格和時(shí)間點(diǎn)的價(jià)格分布。5.3結(jié)果分析與討論通過JFNK方法對(duì)非線性Black-Scholes方程的求解，得到了蘋果公司股票歐式看漲期權(quán)在不同股票價(jià)格和時(shí)間點(diǎn)的價(jià)格分布。將這一結(jié)果與實(shí)際市場(chǎng)中的期權(quán)交易價(jià)格進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)JFNK方法求解得到的期權(quán)價(jià)格在趨勢(shì)上與實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格具有較高的一致性。在股票價(jià)格接近行權(quán)價(jià)格時(shí)，期權(quán)價(jià)格的變化趨勢(shì)與實(shí)際市場(chǎng)中觀察到的情況相符，隨著股票價(jià)格的上升，期權(quán)價(jià)格逐漸增加，且在