專題1.1二次函數(shù)教學目標學生能夠準確理解二次函數(shù)的概念；

2.熟練掌握根據(jù)具體實際問題，構(gòu)建簡單的二次函數(shù)模型，確定函數(shù)關(guān)系式，且能依據(jù)實際意義正確確定自變量的取值范圍；

3.學會運用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，提升數(shù)學運算與函數(shù)表達式確定的能力；4.積極感受數(shù)學與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系，充分認識數(shù)學在解決實際問題中的重要價值，從而激發(fā)學習數(shù)學的濃厚興趣和應(yīng)用數(shù)學的強烈意識。教學重難點1.重點（1）y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)，以及各系數(shù)的意義；（2）根據(jù)實際問題準確列出函數(shù)關(guān)系式；（3）二次函數(shù)值。2.難點（1）能夠從實際情境中準確提煉出數(shù)學問題，并構(gòu)建二次函數(shù)模型；（2）實際問題中自變量取值范圍。知識點01二次函數(shù)的相關(guān)概念二次函數(shù)的概念:一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).其中x是自變量，a，b，c分別表示函數(shù)解析式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項．注意：二次函數(shù)的判斷方法：①函數(shù)關(guān)系式是整式；②化簡后自變量的最高次數(shù)是2；③二次項系數(shù)不為0．二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2．⑵是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項注意：二次函數(shù)除了一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a≠0）外，

還有y=ax2，y=ax2+bx，y=ax2+c。

【即學即練】1．（24-25九年級上·黑龍江大慶·期中）下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（

）A．y=3x-C．y=1x【答案】B【分析】本題主要考查二次函數(shù)的定義：形如y=ax2+bx+c（【詳解】解：A、y=3B、y=-C、y=D、y=2故選：B．2．（24-25九年級上·廣西南寧·期中）在圓的面積公式S=πr2中，s與A．一次函數(shù)關(guān)系 B．正比例函數(shù)關(guān)系C．反比例函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義即可判斷，解題的關(guān)鍵是正確理解：一般地形如y=ax2+【詳解】解：圓的面積公式S=πr2中，故選：D．知識點02二次函數(shù)的值根據(jù)題意把x值代入函數(shù)解析式，求出y值即可?！炯磳W即練】1．（24-25九年級上·山西呂梁·期中）當x=1時，y=2xA．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)值的求解，是基礎(chǔ)題，準確計算是解題的關(guān)鍵．把x=1【詳解】解：當x=1時，y=2x故選：B．題型01列二次函數(shù)關(guān)系式【典例1】（24-25九年級上·天津河西·期末）一矩形綠地的長和寬分別為30?m和20?m，如果長和寬各增加了x?m，則擴充后綠地的面積A．y=x2C．y=x2【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用問題．根據(jù)題意列出y與x的關(guān)系式可得答案．【詳解】解：由題意得，y=故選：B．【變式1】（23-24九年級上·浙江溫州·階段練習）已知某種產(chǎn)品的成本價為30元/千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關(guān)系：y=-2x+80．設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為w（元），則w與xA．w=x-30-2x+80 B【答案】A【分析】利用這種產(chǎn)品每天的銷售利潤等于每千克的銷售利潤乘以每天的銷售量，即可得出w與x之間的函數(shù)表達式．【詳解】解：根據(jù)題意得，w=即w=故選：A．【點睛】本題考查根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w與x之間的函數(shù)表達式是解題的關(guān)鍵．【變式2】（23-24九年級上·黑龍江牡丹江·階段練習）一部售價為5000元的手機，一年內(nèi)連續(xù)兩次降價，如果每次降價的百分率都是x，則兩次降價后的價格y（元）與每次降價的百分率x之間的函數(shù)關(guān)系式是．【答案】y【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)兩次降價后的價格等于原價乘以(1-每次降價的百分率)2，列出函數(shù)關(guān)系式，即可求解．【詳解】解：依題意，每次降價的百分率都是x，兩次降價后的價格y(元)與每次降價的百分率x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=5000故答案為：y=5000【變式3】（22-23七年級下·山東棗莊·期中）長方形的周長為30cm，其中一邊長為xcm（其中0<x<15），面積為ycm2，則這樣的長方形中【答案】y【分析】利用周長公式可得另一邊長為15-x【詳解】解：其中一邊長為xcm，則另一邊長為：30-2∴y與x的關(guān)系可以寫成：y=故答案為：y=【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握其基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．題型02二次函數(shù)的判斷【典例2】（24-25九年級上·陜西西安·階段練習）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（

）A．y=axC．y=3x2【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的概念：二次函數(shù)的一般形式為y=ax2+bx+c，其中【詳解】解：A、當a=0B、是一次函數(shù)，故不符合題意；C、右邊不是整式，故不符合題意；D、由二次函數(shù)的概念知，y=8故選：D．【變式1】（24-25九年級上·江蘇宿遷·期末）下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是（

）A．y=x2C．y=ax【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，掌握二次函數(shù)都是整式成為解題的關(guān)鍵．直接根據(jù)二次函數(shù)的定義逐項判斷即可．【詳解】解：A、y=B、s=2C、y=ax2D、y=故選：B．【變式2】（24-25九年級上·江蘇宿遷·期末）下列函數(shù)屬于二次函數(shù)的是（

）A．y=x+1C．y=3x D【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義．一般地，形如y=ax2+bx+c（根據(jù)定義逐一判定．判斷一個函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡整理（去括號、合并同類項）后，能寫成y=ax2+bx+c（【詳解】解：A．y=B．y=C．y=3D．y=ax故選：B．【變式3】（2025·上海·模擬預(yù)測）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（

）A．y=1x2 B．y=x【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，形如y=ax2+根據(jù)二次函數(shù)的定義逐項判斷即可．【詳解】解：A．y=B．y=C．y=2D．y=故選：D．題型03利用二次函數(shù)的概念含參數(shù)取值范圍【典例3】（24-25九年級上·廣東惠州·期中）若函數(shù)y=(m-1)xA．-1 B．1 C．1或-1 D【答案】A【分析】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，正確把握二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（根據(jù)“形如y=ax2+bx+【詳解】解：∵y=(m|∴|m|+1=2且解得：m=-1故選：A．【變式1】（24-25九年級上·廣東肇慶·期中）若函數(shù)y=mxm-【答案】4【分析】本題主要考查二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)“形如y=ax【詳解】解：由題意得：m≠0解得：m=4故答案為4．【變式2】（22-23九年級上·全國·單元測試）若y=m+2xm2-【答案】2【分析】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)定義，要抓住二次項系數(shù)不為0這個關(guān)鍵條件．利用二次函數(shù)定義進行解答即可．【詳解】解：由題意可知m2-2=2解得：m=2故答案為：2．【變式3】（23-24九年級上·山東濟南·期中）若拋物線y=(m-3)xm2A．3 B．-2 C．2 D．2或【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的最高指數(shù)是2，二次項系數(shù)不等于0列出方程求解即可．本題考查二次函數(shù)的定義，要注意二次項系數(shù)不等于0，同時也考察了因式分解法進行解方程．【詳解】解：∵拋物線y=(m-∴m2-5則m2解得m1=2，m2∴m=2故選：C．題型04二次函數(shù)的一般形式【典例4】（24-25九年級上·吉林·階段練習）將二次函數(shù)y=xxA．y=x2C．y=x2【答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的一般式，根據(jù)整式乘法展開后合并同類項即可．【詳解】y=故選：D．【變式1】（24-25九年級上·浙江金華·期中）二次函數(shù)y=2x2A．2，0，-1 B．2，2，-1 C．2，2，1 D．2，0【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的一般式，根據(jù)二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax2+【詳解】解：二次函數(shù)y=2x2故選：A．【變式2】（24-25九年級上·浙江寧波·階段練習）二次函數(shù)y=3x2-4【答案】3-【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，對于二次函數(shù)ax2+bx+c=0（a、b，c是常數(shù)且a根據(jù)二次函數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：∵y=3∴該函數(shù)解析式的二次項系數(shù)是3，一次項系數(shù)是-4，常數(shù)項是5故答案是：3，-4【變式3】（24-25九年級上·遼寧鞍山·階段練習）在二次函數(shù)y=2x2【答案】-【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫作二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b由題意可得二次項系數(shù)是2，常數(shù)項是-3【詳解】解：在二次函數(shù)y=2二次項系數(shù)為2，一次項次數(shù)為-3∴二次項系數(shù)與一次項系數(shù)的和是：2+-故答案為：-1題型05二次函數(shù)的函數(shù)值【典例5】（22-23九年級上·浙江紹興·期末）已知二次函數(shù)y=ax2+2c，當x=2A．a(chǎn)+2c=8 B．2a+c【答案】B【分析】把x=2,【詳解】解：由題意得：把x=2,y=88=4等號兩邊同除以2得：2故選B．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)，熟練掌握代入法轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,【變式1】（22-23九年級上·廣東廣州·期末）已知函數(shù)y=x2-2x，x=a時，記函數(shù)值y為f(a)，則f(-10)f(-1)（填寫【答案】>【分析】分別當x=-10，x=-1時，求出f(-10)，f(【詳解】解：由題意得f(-10)=120，f(-1)=3，∵120>3，∴f(-10)>f(-1故答案：>．【點睛】本題主要考查了求函數(shù)值，掌握求法是解題的關(guān)鍵．【變式2】（22-23九年級上·福建福州·階段練習）已知二次函數(shù)y=ax2+x?-0123?y?30-03?則代數(shù)式a+b+【答案】-【分析】根據(jù)表格得出x=1時，y=a+b+c【詳解】解：由表格可知，當x=1時，y=a+b∴a+故答案為：-3【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)的函數(shù)值，找出合適的自變量代入是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（24-25九年級上·廣西南寧·階段練習）下列函數(shù)屬于二次函數(shù)的是（）A．y=3x-1 B．y=x【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的定義條件：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的定義條件是：a、【詳解】解：A、y=3B、y=x3+C、y=2D、y=故選：C．2．（24-25九年級上·浙江溫州·期中）二次函數(shù)y=3x2A．-5 B．1 C．3 D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，一般地，形如y=ax2+bx+【詳解】解：二次函數(shù)y=3x故選：A．3．（24-25九年級上·全國·期中）已知y=(a+2)x2-5A．a(chǎn)≥-2 B．a(chǎn)≠2 C．a(chǎn)≥2【答案】D【分析】此題考查了二次函數(shù)的定義，形如y=ax2【詳解】解：∵y=(a+2)∴a+2≠0∴a≠-2故選：D4．（23-24九年級上·河南許昌·階段練習）拋物線y=ax2+A．0 B．1 C．-1 D．【答案】C【分析】本題考查了拋物線與點的關(guān)系，熟練掌握把(0,0)代入函數(shù)解析式，求解關(guān)于【詳解】解：∵拋物線y=∴a≠0-a故選C．5.（23-24九年級上·四川成都·期末）若y=(m-4)x2-A．m≠0 B．m>4 C．m<4【答案】D【分析】本題考查的是二次函數(shù)的定義．根據(jù)二次函數(shù)的定義得出關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可．【詳解】解：∵y=(m-4)∴m解得m≠4故選：D．6．（23-24九年級上·山西大同·階段練習）如圖，一個正方體的邊長為xcm，它的表面積為ycm2，則y與x

A．y=x2 B．y=3x2【答案】C【分析】正方體有6個面，每一個面都是邊長為x的正方形，這6個正方形的面積和就是該正方體的表面積．【詳解】解：∵正方體有6個面，每一個面都是邊長為x的正方形，∴表面積y=6故選：C．【點睛】本題考查了列二次函數(shù)關(guān)系式，理解兩個變量之間的關(guān)系是得出關(guān)系式的關(guān)鍵．7．（24-25九年級上·北京·期中）如圖，用繩子圍成周長為10m的矩形，記矩形的一邊長為xm，它的鄰邊長為ym，矩形的面積為Sm2．當x在一定范圍內(nèi)變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，SA．二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系C．正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 D．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系【答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的識別、矩形的周長與面積公式，根據(jù)長方形的周長公式和面積公式得出y與x、S與x的關(guān)系式即可做出判斷．【詳解】解：由題意可得：2x即：y=5-∴y與x是一次函數(shù)關(guān)系，S與x故選：D．8．（24-25九年級上·浙江溫州·階段練習）深高小學部飼養(yǎng)了兩只萌萌的羊駝，建筑隊在學校一邊靠墻處，計劃用15米長的鐵柵欄圍成三個相連的長方形羊駝草料倉庫，倉庫總面積為y平方米，為方便取物，在各個倉庫之間留出了1米寬的缺口作通道，在平行于墻的一邊留下一個1米寬的缺口作小門，若設(shè)AB=x米，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（A．y=x18-4C．y=x12-4【答案】A【分析】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，由鐵柵欄的全長及AB的長，可得出平行于墻的一邊長為18-4x米，再利用長方形的面積公式，即可找出y關(guān)于x【詳解】解：∵鐵柵欄的全長為15米，AB=∴平行于墻的一邊長為15+3-4x根據(jù)題意得：y=故選：A．二、填空題9.（24-25九年級上·廣東肇慶·期末）二次函數(shù)y=2x2【答案】-【分析】本題考查二次函數(shù)的定義，根據(jù)常數(shù)項是指不含字母的項，即可解答．【詳解】解：二次函數(shù)y=2x2故答案為：-610．（24-25九年級下·湖南湘西·開學考試）把y=2-3x【答案】12【分析】本題考查了二次函數(shù)的一般形式，二次函數(shù)的一般形式為y=ax2+bx根據(jù)整式的乘法法則將右邊展開，再合并同類項，即可將其化為一般形式，即可得到答案.【詳解】解：∵y=∴把y=2-3x故答案為：12.11．（24-25九年級上·浙江溫州·開學考試）原價為160元的電器連續(xù)兩次降價后的價格為y元，若平均每次降價的百分率是x，則y與x的函數(shù)表達式為．【答案】y【分析】本題考查了根