2024-2025學(xué)年四川省瀘州市合江中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題紿出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)復(fù)數(shù)2=十，則z的共筑更數(shù)為（）

A.1-iB.1+iC.1D.i

2.若向量荏=（1,2）,就=（-4,2）,則麻］二（）

A.2/5B.5C.20D.25

3.在△ABC中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若Q=3,b=3B=45。，則4=（）

A.30°B.60°C.90°D.30?；?50°

4.為了得到函數(shù)y=3s勿（2%+著）的圖象.只需把函數(shù)y=3si〃x的圖象上所有點(diǎn)的（）

A.橫坐標(biāo)縮短到原來的:倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象向左平移著

B,橫坐標(biāo)縮短到原來的9倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象向左平移卷

C.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象向左平移?

D.橫坐標(biāo)縮短到原來的捆（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象向右平移自

5.已知a,/?e(0,n),且=：,cos/?=g,則a+/?=()

A*

A，BD-—45C-6D

6.如圖，在△4BC中，P在線段8c上，滿足2喬=定，。為線段4P上一點(diǎn),

且麗=：麗+4近，則%的值為（）

A-5

C1

7.已知函數(shù)/（無）=sin（gx-1），則結(jié)論正確的是（）

A.f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（*0）中心對(duì)稱BJQ）的圖像關(guān)于直線對(duì)稱

?JO

C.f（x）在區(qū)間（一兀,兀）內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)口./?。）在區(qū)間［一》0］上單調(diào)遞增

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8.如圖，摩天輪的半徑為40m,摩天輪的中心點(diǎn)。距地面的高度為50m

摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每36min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最

低點(diǎn)處.則在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，點(diǎn)P距離地面超過707n的時(shí)長(zhǎng)為（）

A.lOmin

B.12771171

C.14min

D.I6min

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知i是虛數(shù)單位，下列說法正確的是（）

A.若復(fù)數(shù)Zi=3+4i,z2=-34-4i,則>z2

B.若復(fù)數(shù)名=宵，則復(fù)數(shù)z的虛部等于-2i

C.若復(fù)數(shù)z=m2-44-（2-m）i（7neR）為純虛數(shù)，則m=-2

D.i5=i

10.在△A3C中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若sirtA>sEB,則力>B

B.若acos/l=bcosB,則4/BC是等腰三角形

C.若=cosB,則448c是直角三角形

D."XABC為銳角三角形，則si幾4>cosB

11.已知函數(shù)/（%）=\sina）x\+a）cos2a）x,則（）

A.對(duì)于任意的3,/（X）均為偶函數(shù)

B.當(dāng)3=1時(shí)，f（x）的最小正周期為兀

C.當(dāng)3W1時(shí)，/（X）>0

D.當(dāng)3>1時(shí),/⑴在譚，等）上有12個(gè)零點(diǎn)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量H=（l,2）,石=（一3火），若五//石，則實(shí)數(shù)k=_.

13.復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,則—2—的最大值為_____.

14.已知銳角△力BC中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,且滿足：b2-a2-ac=0,則角A的取值

范圍是______.

四、解答題：本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。

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15.(本小題13分)

已知M與不是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，同=，！，歷|二1,五與方的夾角為全

(1)求五一及

(2)求回+2目;

(3)在平面直角坐標(biāo)系下，若5=(1,0),求五在方方向上的投影向量的坐標(biāo).

16.(本小題15分)

在△力8c中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且/=/+c2-be.

(1)求力：

(2)若a=b+c=2,求△ABC的面積.

17.(本小題15分)

如圖，己知/'(無)=-2acos2a)x+2y/~3asina)xcosa)x+a(u)>0)的圖象與y軸的交點(diǎn)為(0,—1),它在、軸右側(cè)

的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(%,2)和-2).

(1)求函數(shù)y=/(x)的解析式；

(2)已知/?(5)=l,a€(05),角/?的終邊與單位圓交于點(diǎn)力(弓1),求cos(a—0)的值.

18.(本小題17分)

成都天府綠道專為騎行而建，以綠道為線，市聯(lián)上百個(gè)生態(tài)公園，一路上樹木成蔭、鳥語(yǔ)花香，目前已然

成為成都新的城市名片.成都市政府為升級(jí)綠道沿途風(fēng)景，計(jì)劃在某段全長(zhǎng)200米的直線綠道AB一側(cè)規(guī)劃一

個(gè)三角形區(qū)域48c做綠化，如圖，已知=:為提升美觀度，設(shè)計(jì)師擬將綠化區(qū)設(shè)計(jì)為一個(gè)銳角三角

形.

(1)若力C=100米，求8c的長(zhǎng)；

(2)綠化完成后，某游客在綠道48的另一側(cè)空地上尋找最佳拍照打卡點(diǎn)，該游客從力到0,再?gòu)?。到從然?/p>

從/?到兒最終返同。點(diǎn)拍照.已知41。/?=*求游客所走路程的最大值.

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答案解析

1.【答案】B

【解析】解：z=i+￡=(i4-0(-0=1,.>

?Mr)

則復(fù)數(shù)Z的共規(guī)復(fù)數(shù)5=1+i.

故選:B.

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法與除法，結(jié)合共軌復(fù)數(shù)的定義，可得答案.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解:向量而二(1,2),就=(一4,2),配=(一3,4)

則|亞|=J(-3尸+42=5.

故選：B.

利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的模，求解即可.

本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的模的求法，是基本知識(shí)的考查.

3.【答案】A

【解析】解：由正弦定理，-4=-^,即二7二口^，

sinAsinBsinAs<n45°

解得SEA=j,A=30。或A=150°,

因?yàn)閎>a,所以8>4所以4=30，

故選：A.

由正弦定理焉二焉=加導(dǎo)到結(jié)果A=30°或力=150°(舍掉，小邊對(duì)小角).

本題主要考查利用正弦定理解三角形，屬于中檔題.

4.【答案】B

【解析】解：y=3s松在縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的g倍得到函數(shù)y=3sm2%的圖象

再把所得圖象所有的點(diǎn)向左平6個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=3sin(2x+》的圖象

故選:B.

根據(jù)圖象的伸縮變換的規(guī)律：自變量”乘以3,則圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍；三角函數(shù)符號(hào)

前乘以4需將圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍.圖象的平移變換的規(guī)律：左加右減.

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本題考查圖象變換的規(guī)律在自變量%乘以e,需將函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼墓け?；在自變?/p>

x上加上W>o,圖象左移?個(gè)單位；在自變量%上減去0>0,圖象右移中個(gè)單位.

5.【答案】A

【解析】解：pG(0,77),且tana=；,cos/?=g,

71

a,/?E(0,5)

乙

./27/2.03

:，sma=—,cosa=-rr-.sinB=:,

1010o

,,0、c..c7/243/2

：?cos(a+￡)=cosacosp-sinasinp=x---x-=—,

va4-/7e(0,TT)????Q+0=*

故選:71.

由已知得出a,/?G(0,y),sina=^-,cosa=2^,sin0=再根據(jù)兩角和的余弦公式求得cos(a+6)=孕,

結(jié)合a+0E(0,兀)即可求解.

本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的余弦公式，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：因?yàn)?前=京,所以證二3前，

因?yàn)辂?源+ABC=^BA+34前，

因?yàn)?、。、P三點(diǎn)共線，所以;+3/1=1,A=j.

故選:D.

根據(jù)題意得到前=3前，代入麗=J瓦5+2就，利用力、。、尸三點(diǎn)共線可求出人

本題主要考查平面向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】0

【解析】解：對(duì)于4因?yàn)?'(%)=sin(上一看)，

所以f(?)—sin(|xv-7)=sin?=半工0，故力錯(cuò)誤：

對(duì)于8,因?yàn)?(一弓)=sin［：x(-曰)一］］=一sing=-?H±1,故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)閄€(-7T,7T),可得/-(-稱,日)，

所以f(x)=sin(梟一會(huì))在區(qū)間(-7T,7T)內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤：

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對(duì)卜0,因?yàn)椋［—今,0］,可得Y-.七［-相，-1］，

所以/（乃在區(qū)間［-%0］上單調(diào)遞增，故。正確.

故逸:D.

由已知利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可逐項(xiàng)求解.

本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：設(shè)函數(shù)y=4sin?x+8）+B,則4=40,8=50,T=36,所以3=繆=白,

1io

%=0時(shí)，y=40sinq）4-50=10,解得simp=—1,所以卬=-］+2/CTT,kWZ；

所以y=40sin（卷％一/+50,令y270,得以n（卷%一.）日,

BPcos（Ax）<_1,解得黑身消，

即12工3W24,所以點(diǎn)P距離地面超過70771的時(shí)長(zhǎng)為24-12=12（min）.

故選：B.

9.【答案】CD

【解析】解：虛數(shù)無法比大小，故力錯(cuò)誤；

2=詈=%需#=一1一2力則復(fù)數(shù)z的虛部等于一2,故方錯(cuò)誤；

復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則血2-4=0且2-mH0,得m=-2,故C正確；

i5=i4.j=（j2）2.i=i,故。正確.

故選:CD.

A虛數(shù)無法比大??；8利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得出復(fù)數(shù)z；C利用純虛數(shù)的定義列方程；。利用？=-1計(jì)算.

本寇考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】AD

【解析】解：對(duì)于4，若si?h4>sinB,則由正弦定理得Q>b,

根據(jù)△/WC中大邊對(duì)大角，可得百>8,故彳項(xiàng)正確；

對(duì)于B,若△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

則GCOSA=a?2=咳，bcosB=￡>--=—,可得acosA=bcosB,

cccc

此時(shí)△48C是直角三角形，不一定是等腰三角形，故8項(xiàng)不正確；

對(duì)T-C,在^ABC中,若力-120°,B-30°,則si71A-cosB-苧,

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此時(shí)是鈍角三角形，故C項(xiàng)不正確；

對(duì)于0,若△ABC為銳角三角形,則4、8均為銳角，且4+8>今

所以力結(jié)合正弦函數(shù)在銳角范圍是增函數(shù)，

可得sirM>sin(1-8)=cosB,故。項(xiàng)正確.

故選：AD.

根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角形中“大邊對(duì)大角”判斷出4項(xiàng)的正誤；通過舉反例，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義加

以推理，可判斷出3、C兩項(xiàng)的正誤；根據(jù)銳角三角形的性質(zhì)，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性與誘導(dǎo)公式加以計(jì)算,

即可判斷出。項(xiàng)的正誤.

本題主要考查正弦定理、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、銳角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

［解析］解：A項(xiàng)：f(x)的定義域?yàn)镽,/(—%)=|sin(—a>x)|+3cos(—2a)x)=\sinu)x\+a)cos2a)x=f(x)，

即證明/'(%)=/'(—%),A選項(xiàng)正確；

B項(xiàng):f［x}=\sinx\+cos2x,因?yàn)楹瘮?shù)y=|sinx|,y=cos2x的最小正周期均為TT,

所以的最小正周期為TT，8選項(xiàng)正確；

C項(xiàng)：取3V0,X=0,/(0)=0+3=3<0,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。項(xiàng)：由圖象的翻折變換和余弦函數(shù)的性質(zhì)可知y=|sineDx|,y=3cos23x的最小正周期,

/(X)在每個(gè)周期內(nèi)存在2個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)閰^(qū)間(穿,穿)的長(zhǎng)度為等,又f(曰)=\sin2n\+a)cos4n=①工0,

所以6個(gè)周期內(nèi)為12個(gè)零點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.

故選：ABD.

應(yīng)用偶函數(shù)定義判斷4

根據(jù)正弦函數(shù)及余弦函數(shù)的周期判斷8：

取特殊值計(jì)算判斷C：

根據(jù)周期內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)結(jié)合周期判斷D.

本題考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案】-6

【解析】解：因?yàn)橄蛄课?(1,2),b=(-3,fc),a//反

所以三=等解得左=一6.

第8頁(yè)，共13頁(yè)

故答案為：—6.

根據(jù)向量共線的性質(zhì)求解即可.

本題主要考查向量共線的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】/5

【解析】解:復(fù)數(shù)z滿足憶|=1,

則|z-2—i|W|z|+|-2-i|=1+V5,

故|z—2—4的最大值為，

故答案為：75.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)模的公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】《卷)

【解析】解：根據(jù)匕2-Q2-ac=0,可得匕2=Q2+QC,

結(jié)合正弦定理得siM8=siM力+sinAsinC=sinA(sinA+sinC'),

2222

rpiJLA_b+c—a_c+ac_a-c_sinA+sinC

因?yàn)閏osA=-赤—=2bc=-2b=2sm8'

2

4匚hir?r>A'A-z'sinA(sinA+sinC)sin2?

所以2sinBcoSi4=sinA4?-sinC=---..----L—.,，

sinAsinA

可得2si7h4cosA=sinB,即sin24=sinB,

因?yàn)槭卿J角三角形，0<2A<7T,0<6<梟所以8=24或8+2A=7T,

①當(dāng)B+2A=71■時(shí)，結(jié)合B+4+C=TT,可得A=C,即a=c,

結(jié)合b2=/+c2,此時(shí)8為直角，矛盾，不符合題意；

②當(dāng)B=24時(shí)，可得3=24V.即

結(jié)合C=n-A-B=n-3A可得4>￡所以?<A

Lbb4

綜上角A的取值范圍是《廣)?

故答案為：姆().

根據(jù)余弦定理與正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，可得sE24=sinB,所以B=24或8+24=汗，然后根據(jù)△4BC

是銳角三角形進(jìn)行討論，即可得到本題的答案.

本題主要考查正弦定理與余弦定理、三角形內(nèi)角和定理、不等式的解法等知識(shí)，屬于中檔題.

第9頁(yè)，共13頁(yè)

15.【答案】1：

|a4-2b\=，TU；

(1,0).

【解析】解：(l)a-d=|a||d|cos(a,b)=/2x1xcos^=1；

(2)因?yàn)楹?2印二元2+行2+4方方=2+4+4=10,

所以M+2l|=，IU；

(3)2在了方向上的投影向量為器?萬=^-b=b=(1,0).

(1)根據(jù)向量數(shù)量積的定義計(jì)算即可：

(2)根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律，直接平方計(jì)算即可；

(3)根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可得到答案.

本潁考杳了平面向曷?數(shù)品?積公式和投影向后的計(jì)算公式，屈于中檔題.

16.【答案】71=1；

g

【解析】(1)因?yàn)椤?=b2+c2-be,

則/1=?.

(2)由a2=b2+c2-be得,a2=(b+c)2—3bc,

tele=V~2,b+c=2,則2=4—3兒，即bc=^,

故S&iBC=\besinA=：x|x苧=,.

(1)在44BC中利用余弦定理即可；

(2)化簡(jiǎn)。2+(；2—Q2=尻為a2=s+c)2—3bc,得出尻，再利用面積公式即可.

本題主要考查了余弦定理及三:角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】/(x)=2sin(2x-，；

4+3/3

10,

【解析】解：(l)/(x)=-2acos2(ox+2yJ~3asina)xcosa)x+a

=-a(2cos2cox-1)4-y/-3asin2a)x

第10頁(yè)，共13頁(yè)

=-acos2a)x+yj_3asin2cox

=2asin(2a)x-

因?yàn)閳D象與y軸的交點(diǎn)為(o,—1),

所以2asin(—J)=-a=-1,即a=l,

O

它在y軸右側(cè)的第-個(gè)最高點(diǎn)和第?個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(%,2)和(孫+?-2),

則T=2X*=TT,即3=1,/(x)=2sin(2x-7)；

⑵因?yàn)?弓)=1,aw(0,外

所以sin(a—即1=全

角夕的終邊與單位圓交于點(diǎn)力弓,|),即cos/?=2sin/?=I，

則cos(a-/?)=cosacosp+sinasinp=1x^+^x1=)啖

4DLtOJLUQ

(1)結(jié)合二倍角公式，輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合特殊點(diǎn)的坐標(biāo)可求a,結(jié)合周期可求3,即可求解函數(shù)

解析式：

(2)由已知可求a,結(jié)合三角函數(shù)定義可求cos0,s)然后結(jié)合兩角差的余弦公式即可求解.

本題主要考查了二倍角公式，輔助角公式，和差角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】BC=100V3米：

400Gw

F-4.

【解析】(1)在△48C中，AC=100m,AB=200m,Z.CAB=

由余弦定理得=AC2+AB2-2ACxABcos三

=1002+2002-200x200x1=30000,

所以BC=lOOC米；

(2)因?yàn)橐?O8=g,

在△480中，可得力力BE(0,學(xué))，

記ZDAB=0,

BD_AD

由正弦定理得

s\nZ.ADI3s\nz.DAB~sinUB。'

第11頁(yè)，共13頁(yè)

200BDAD

H即n-7^-=^-7

“sin0

—rzyx400/3.4c400V3.2nr小

可得BnrO=---sinGn,AD=---sinz(y-0),

所以710+2BD=竺臀[sin(y-0)+2sin0]

400/35.

=—Q----(5si-8H—cos0)

400V21.,、

---sin(6+8),

其中s。*=務(wù)，cosg?=熹,

所以當(dāng)sin(e+w)=1時(shí)，AD+280的最大值為400G米.

3

即游客所走路程的最大值為竺等米.

(1)由題意及余弦定理可得答案:

(2)記4》48=必由正弦定理得8。，4。的表達(dá)式，可得AD+2BD的表達(dá)式，由輔助角公式可得答案.

本題考查正弦定理的應(yīng)用，輔助角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.【答案】a=(3,373).

/cE(-5,-4].

[-2,2].

【解析】解：(1)根據(jù)題意可得：

函數(shù)/(%)=2sin(x++4cos(%-￡)=2(sinxcos^+cosxsing)+4(cosxcos^+sinxsni^)

Jooooo

=sinx+y[3cosx4-2y/-3cosx+2sinx=3sinx+3V_3cosx,

那么函數(shù)八")的“特征向量”0=(3,30).

(2)根據(jù)題意可得函數(shù)g(x)