3.2

復(fù)數(shù)的四則運算第3章數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入1.掌握兩個復(fù)數(shù)相加減的法則，會正確地進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減運算.2.掌握共軛復(fù)數(shù)的概念及其簡單的性質(zhì).3.掌握兩個復(fù)數(shù)相乘除的法則，能熟練地進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運算及復(fù)數(shù)乘方的運算.學(xué)習(xí)目標(biāo)欄目索引知識梳理自主學(xué)習(xí)題型探究重點突破當(dāng)堂檢測自查自糾知識梳理自主學(xué)習(xí)知識點一復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算1.復(fù)數(shù)的加減法法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，則z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i，即兩個復(fù)數(shù)相加(減)，只需要把它們的實部與實部、虛部與虛部分別相加(減).2.復(fù)數(shù)的加法的運算律依復(fù)數(shù)加法法則，容易驗證：復(fù)數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律.即對于任意的復(fù)數(shù)z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝z2＋z1；(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).思考(1)兩個復(fù)數(shù)的和是個什么數(shù)，它的值唯一確定嗎？答案是復(fù)數(shù)，唯一確定.(2)若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1－z2＞0，能否認(rèn)為z1＞z2?答案不能，例如可取z1＝3＋2i，z2＝2i.答案知識點二復(fù)數(shù)的乘法1.復(fù)數(shù)的乘法法則(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2.復(fù)數(shù)乘法的運算律對任意的z1，z2，z3∈C，有(1)z1z2＝z2z1；(2)(z1z2)z3＝z1(z2z3)；(3)z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.3.復(fù)數(shù)的乘方設(shè)z1，z2∈C，m，n∈N*，則(1)zmzn＝zm＋n；(2)(zm)n＝zmn；(3)(z1z2)n＝

.其中，應(yīng)注意特別的重要結(jié)論：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.思考寫出下列各題的計算結(jié)果.(1)(a±b)2＝___________；(2)(3a＋2b)(3a－2b)＝________；(3)(3a＋2b)(－a－3b)＝________________.答案a2±2ab＋b29a2－4b2－3a2－11ab－6b2思考判斷.(1)兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)是它們的模相等的必要條件.(

)(2)若z1，z2∈C，且

＝0，則z1＝z2＝0.(

)(3)兩個共軛虛數(shù)的差為純虛數(shù).(

)(4)在復(fù)平面內(nèi)，兩個共軛復(fù)數(shù)的對應(yīng)點關(guān)于實軸對稱.(

)答案××√√知識點四復(fù)數(shù)的除法利用共軛復(fù)數(shù)的乘積為實數(shù)這一性質(zhì)，對分母實數(shù)化，即得復(fù)數(shù)除法法則：其中c＋di≠0.這一公式不必背記，只需理解其分母實數(shù)化的思想方法就可以了.思考寫出下列各題的計算結(jié)果.－ii－i答案返回題型探究重點突破解析答案題型一復(fù)數(shù)加減法的運算例1

計算：(1)(3＋4i)－(4＋3i)；解原式＝(3－4)＋(4－3)i＝－1＋i.(2)(5－6i)＋(－1＋2i)－(3－4i).解原式＝(5－6i)＋(－1＋2i)＋(－3＋4i)＝(5－1－3)＋(－6＋2＋4)i＝1＋0·i＝1.反思與感悟反思與感悟當(dāng)多個復(fù)數(shù)進(jìn)行加減時，既可以直接按加減法的法則進(jìn)行運算，也可以先化減為加，然后分別求其實部、虛部的代數(shù)和.解析答案跟蹤訓(xùn)練1

計算(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2011－2012i)－(2012－2013i).解方法一原式＝(1－2＋3－4＋…＋2011－2012)＋(－2＋3－4＋5＋…－2012＋2013)i＝－1006＋1006i.方法二(1－2i)－(2－3i)＝－1＋i，(3－4i)－(4－5i)＝－1＋i，…，(2011－2012i)－(2012－2013i)＝－1＋i.將上列1006個式子累加可得原式＝1006(－1＋i)＝－1006＋1006i.解析答案題型二復(fù)數(shù)乘除法的運算例2

計算：(1)(2＋i)(2－i)；解(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2.解(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.反思與感悟

(1)復(fù)數(shù)的乘法可以按照多項式的乘法法則進(jìn)行，注意選用恰當(dāng)?shù)某朔ü竭M(jìn)行簡便運算，例如平方差公式、完全平方公式等.(2)像3＋4i和3－4i這樣的兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)，其形態(tài)特征為a＋bi和a－bi，其數(shù)值特征為(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練2

計算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；解(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i；(2)(3＋4i)(3－4i)；解(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；(3)(1＋i)2.解(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.解析答案例3

計算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)；反思與感悟反思與感悟復(fù)數(shù)的除法先寫成分式的形式，再把分母實數(shù)化(方法是分母與分子同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，若分母是純虛數(shù)，則只需同時乘以i).解析答案解析答案題型三共軛復(fù)數(shù)及應(yīng)用所以2(a－bi)＋(a＋bi)＝6－i，即3a－bi＝6－i.故f(－z)＝2(－2－i)＋(－2＋i)－3i＝－6－4i.反思與感悟反思與感悟解析答案即(z＋1)(z＋1－3i)＝0，∴z＝－1或z＝－1＋3i.復(fù)數(shù)的運算在復(fù)數(shù)開平方運算和分解因式中有廣泛應(yīng)用，下面通過具體的實例加以說明.1.求復(fù)數(shù)的平方根復(fù)數(shù)z＝a＋bi開平方，只要令其平方根為x＋yi，利用平方根的定義，以及復(fù)數(shù)相等的充要條件，即可求出未知量，從而得到復(fù)數(shù)z的平方根.知識拓展復(fù)數(shù)運算的應(yīng)用解析答案例5

求8－6i的平方根.解設(shè)8－6i的平方根為x＋yi(x，y∈R)，則(x＋yi)2＝8－6i，即(x2－y2)＋2xyi＝8－6i，則8－6i的平方根為3－i或－3＋i.2.分解因式由于a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，則很多在實數(shù)集內(nèi)不能分解的因式在復(fù)數(shù)集內(nèi)可分解因式.例6

分解因式：(1)x2＋2xy＋y2＋z2；解x2＋2xy＋y2＋z2＝(x＋y)2＋z2＝(x＋y＋zi)(x＋y－zi)；(2)x4－81.解x4－81＝(x2＋9)(x2－9)＝(x＋3i)(x－3i)(x＋3)(x－3).解析答案返回當(dāng)堂檢測12345解析答案1.若復(fù)數(shù)z滿足z＋i－3＝3－i，則z＝______.解析據(jù)題意，得z＝3－i－(i－3)＝6－2i.6－2i解析答案123452.已知復(fù)數(shù)z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2