線性代數(shù)（慕課版）第2講向量組的線性關(guān)系(1)第3章向量與向量空間101向量組的線性組合02向量組的等價03線性組合的經(jīng)濟學應用舉例04向量組線性相關(guān)性的定義本講內(nèi)容??注意3??定義3.3

成立

(1)零向量可由任一向量組線性表示.(2)向量組中任一向量均可由該向量組線性表示.(3)任一向量均可由其基本單位向量組唯一線性表示.基本單位向量組：

01

向量組的線性組合4??例1設，則，即零向量可由線性表示.更一般地，n維零向量可由任意n維向量組線性表示.設為任意向量組，則有01

向量組的線性組合事實上，5設n維向量則任意n維向量可由線性表示事實上，有我們稱為n維基本單位向量組.??例201

向量組的線性組合6向量組中任一向量都可由這個向量組線性表示.事實上，對于向量組都有所以，可由線性表示.??例301

向量組的線性組合7將向量表示成向量組的線性組合.設存在一組數(shù)使即使用克萊姆法則可解得：故??例4解01

向量組的線性組合8證明：任意??維向量可由其基本單位向量組唯一線性表示.??例5證01

向量組的線性組合設由9

01

向量組的線性組合得即10判斷向量是否為向量組的線性組合.設存在一組數(shù)使即解得：故??例6解01

向量組的線性組合111判斷向量是否可由向量組線性表示.設存在一組數(shù)使即此方程組無解，故??例7解01

向量組的線性組合201向量組的線性組合02向量組的等價03線性組合的經(jīng)濟學應用舉例04向量組線性相關(guān)性的定義本講內(nèi)容13??定義3.4兩個向量組能夠相互線性表示，則稱這兩個向量組等價.??性質(zhì)(1)自反性；(2)對稱性；(3)傳遞性.??定理3.2

條件????=??有解，??定理3.3其中02

向量組的等價

示的是????=??有解，

14設向量組可由向量組線性表示為依題意，有即整理得??例8解02

向量組的等價3試將向量組A用向量組B線性表示.1502

向量組的等價4即向量組A用向量組B線性表示為16??例9證明02

向量組的等價設??,??,??均為??階方陣，若????=??，且??可逆，證明矩陣??的列向量組與矩陣??的列向量組等價.則

17說明??的列向量組可由??的列向量組線性表示.從而??的列向量組與??的列向量組等價；02

向量組的等價而18??例10解則02

向量組的等價設??,??,??均為??階方陣，若????=??，且??可逆，(A)矩陣??的行向量組與矩陣??的行向量組等價.(B)矩陣??的列向量組與矩陣??的列向量組等價.(C)矩陣??的行向量組與矩陣??的行向量組等價.(D)矩陣??的列向量組與矩陣??的列向量組等價.19從而??的列向量組可由??的列向量組線性表示；說明??的列向量組可由??的列向量組線性表示.02

向量組的等價01向量組的線性組合02向量組的等價03線性組合的經(jīng)濟學應用舉例04向量組線性相關(guān)性的定義本講內(nèi)容21在經(jīng)濟學中，需要將某個量，比如成本，分解成幾部分時，常常需要用到線性組合的概念.某公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品??和??.設生產(chǎn)價值1萬元的產(chǎn)品??需要原料成本0.3萬元，人工成本0.25萬元，設備成本0.1萬元，管理成本0.15萬元；生產(chǎn)價值1萬元的產(chǎn)品??需要原料成本0.25萬元，人工成本0.35萬元，設備成本0.1萬元，管理

的產(chǎn)品??，試用向量表示總成本.??例1103

線性組合的經(jīng)濟學應用舉例22

03

線性組合的經(jīng)濟學應用舉例01向量組的線性組合02向量組的等價03線性組合的經(jīng)濟學應用舉例04向量組線性相關(guān)性的定義本講內(nèi)容24??定義3.5

如果存在不全為零的數(shù)

??注(1)線性無關(guān)定義

(2)含有零向量的向量組線性相關(guān)；

04

向量組線性相關(guān)性的定義25(3)基本單位向量組線性無關(guān).

04

向量組線性相關(guān)性的定義26

??例12解故方程組有非零解，

04

向量組線性相關(guān)性的定義設系數(shù)行列式則得2704

向量組線性相關(guān)性的定義??例13討論向量組的線性相關(guān)性.設有一組數(shù)解使即2804

向量組線性相關(guān)性的定義所以方程組有非零解，故該方程組的系數(shù)行列式為：線性相關(guān).2904

向量組線性相關(guān)性的定義??例14討論向量組的線性相關(guān)性.設有一組數(shù)解使即53004

向量組線性相關(guān)性的定義所以方程組只有零解，故該方程組的系數(shù)行列式為：線性無關(guān).631

??例15

解

04

向