線性代數(shù)（慕課版）第6講逆矩陣

(1)第2章矩陣01矩陣逆的定義02矩陣可逆的充要條件本講內(nèi)容3??定義2.14對于n

階方陣A，如果存在n

階方陣B，使得AB=BA=E，則稱方陣A是可逆的，并稱方陣B

為A

的逆矩陣.??注1定義提供了驗證B為A

的逆矩陣的方法例如，01

矩陣逆的定義4??例1解已知根據(jù)定義驗證且01

矩陣逆的定義5因為故B=A-1.??注2若AB=E;=E，則BA??注2若方陣A可逆，則A

的逆矩陣唯一.01

矩陣逆的定義6??例2求A-1.猜測對否？只須驗證AB=E.01

矩陣逆的定義7解.01

矩陣逆的定義8??例3解證明：由得由由得得初等矩陣的逆矩陣仍為初等矩陣.01

矩陣逆的定義9??性質(zhì)2.9初等矩陣的逆矩陣仍為初等矩陣，且有01

矩陣逆的定義01矩陣逆的定義02矩陣可逆的充要條件本講內(nèi)容11代數(shù)余子式的順序!??定義2.15設A為n

階方陣，Aij

為行列式|A|的各個元素的代數(shù)余子式，稱為A的伴隨矩陣.??結論1??結論202

矩陣可逆的充要條件12??定理2.3方陣A

可逆的充要條件是|A|≠0，且在A

可逆時，有證必要性?若A可逆，則

A-1

存在，有等式兩邊取行列式，得AA-1=E.|A||A

-1|=1?從而|A|≠0.充分性?若|A|≠0，則由AA*=A*A=|A|E,得知A可逆,且02

矩陣可逆的充要條件13??例4解求的逆矩陣.則02

矩陣可逆的充要條件14??例5解判斷是否可逆，并求其逆矩陣.02

矩陣可逆的充要條件1由故A可逆.1502

矩陣可逆的充要條件2故16??例6解判斷是否可逆，并求其逆矩陣.02

矩陣可逆的充要條件3由故A可逆.1702

矩陣可逆的充要條件4故18??例7解判斷是否可逆.02

矩陣可逆的充要條件5由故A不可逆.19消去律成立.??性質(zhì)2.9—運算規(guī)律若A可逆(6)?設A可逆，若=C.AB=AC，則B=C

；若BA=CA

，則B02

矩陣可逆的充要條件20??注一般情況下但??性質(zhì)2.10若=B-1.AB=E(或BA=E)，則有B=A-1，A02

矩陣可逆的充要條件21??例7解有由矩陣方程從而因此D02

矩陣可逆的充要條件若n

階方陣A滿足A2-2A-3E=0,則矩陣A

可逆,且A-1=.22??例8解若n

階方陣A滿足A2-2A-3E=0,求(A-2E)－1.由矩陣方程有從而因此02

矩陣可逆的充要條件23??例9解若n

階方陣A滿足A2-2A-3E=0,求(A+5E)－1.由矩陣方程有從而因此02

矩陣可逆的充要條件??例10解

02

矩陣可逆的充要條件

|A-1|=|A|-1

|KA|=Kn|A|.

所以

??例11解02

矩陣可逆的充要條件6設A為三階矩陣，，求故A可逆.由得??例12解02

矩陣可逆的充要條件7故已知矩陣由已知矩陣方程，得又2702

矩陣可逆的充要條件8即兩邊取行列式，得又故28??例13解設Ak=O?(k為正整數(shù)),證明:(E-A)-1=E+A+A2+?+Ak-1.02

矩陣可逆的充要條件29(2)?由(1)即從而02

矩陣可逆的充要條件30??例14解設A,B為n

階方陣,且AB=A+B.(1)證明：A-E為可逆矩陣,其中E

為n

階單位矩陣；(2)證明：AB=BA;(1)?由AB得AB-A-B+E=A+B,=E,即這說明矩陣A-E可逆,且02

矩陣可逆的充要條件31??例15解由于02

矩陣可逆的充要條件9設A,B為n

階對稱陣,則下列結論不正確的是()(A)A+B是對稱矩陣；(C)A*+B*是對稱矩陣；(B)AB是對稱矩陣；(D)A-2B是對稱矩陣.所以A、C、D均正確。3202

矩陣可逆的充要條件所以正確答案選B.AB是對稱矩陣的充要條件是又10因此33??例16解由于02

矩陣可逆的充要條件11設A,B為三階反對稱陣,則下列結論不正確的是()(A)A+B是反對稱矩陣；(C)A*+B*是反對稱