第2講正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法高等數(shù)學(xué)（下冊）（慕課版）第7章無窮級數(shù)主講教師|本講內(nèi)容01正項(xiàng)級數(shù)02正項(xiàng)級數(shù)審斂法01正項(xiàng)級數(shù)31.正項(xiàng)級數(shù)的定義??定理7.1若

則稱級數(shù)

為正項(xiàng)級數(shù).對于正項(xiàng)級數(shù)

由于

因而部分和數(shù)列

是單調(diào)遞增數(shù)列.因此,得到正項(xiàng)級數(shù)收斂的一個充要條件.根據(jù)單調(diào)有界原理,若部分和數(shù)列

有界,可知極限

存在;此時正項(xiàng)級數(shù)收斂.反之,若正項(xiàng)級數(shù)收斂,

則極限

存在,從而部分和數(shù)列

一定有界.01正項(xiàng)級數(shù)42.正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件??定理7.2正項(xiàng)級數(shù)

收斂的充分必要條件是其部分和數(shù)列

有界.??注如果正項(xiàng)級數(shù)的部分和數(shù)列

無界,

則級數(shù)一定發(fā)散,且

即

01正項(xiàng)級數(shù)5??例1判別級數(shù)

的斂散性.解對任意

有

即

所以級數(shù)的前n項(xiàng)和

01正項(xiàng)級數(shù)6即正項(xiàng)級數(shù)

的部分和數(shù)列

有界,所以級數(shù)

收斂．本講內(nèi)容01正項(xiàng)級數(shù)02正項(xiàng)級數(shù)審斂法802正項(xiàng)級數(shù)審斂法??定理7.31.比較審斂法（比較審斂法）設(shè)

和

是兩個正項(xiàng)級數(shù),且

(1)若級數(shù)

收斂,則級數(shù)

也收斂;(2)若級數(shù)發(fā)散,

則級數(shù)也發(fā)散.

902正項(xiàng)級數(shù)審斂法??注(1)“大收小亦收,小散大亦散”;(2)條件

可降低為"存在正整數(shù)N,使當(dāng)

時,有

（K為正常數(shù)）成立”即可.10??例2解02正項(xiàng)級數(shù)審斂法級數(shù)

稱為

級數(shù),試討論其斂散性,

其中常數(shù)P＞0.P10

例7.8(拓展解法)當(dāng)0＜p≤1時,由于

而級數(shù)

發(fā)散,

所以

級數(shù)發(fā)散.1102正項(xiàng)級數(shù)審斂法當(dāng)p＞1時,此時有

1202正項(xiàng)級數(shù)審斂法右端是公比為

的等比級數(shù),由比較審斂法可知

級數(shù)收斂．綜上：當(dāng)

時,級數(shù)

收斂;常見的重要級數(shù)之一

級數(shù)

發(fā)散．

1302正項(xiàng)級數(shù)審斂法??定理7.4(比較審斂法的極限形式)設(shè)

和

都是正項(xiàng)級數(shù),

1402正項(xiàng)級數(shù)審斂法??注

15??例3解02正項(xiàng)級數(shù)審斂法判別級數(shù)的斂散性.

因?yàn)?/p>

,而級數(shù)

發(fā)散.根據(jù)定理7.4,級數(shù)

發(fā)散.16??例4解02正項(xiàng)級數(shù)審斂法判別級數(shù)

的斂散性．

P11例7.11因?yàn)?/p>

而級數(shù)

收斂,

由比較審斂法的極限形式可知,級數(shù)

收斂.

1702正項(xiàng)級數(shù)審斂法??定理7.52.比值審斂法(比值審斂法,達(dá)郎貝爾判別法)設(shè)

是正項(xiàng)級數(shù),

18??例5解02正項(xiàng)級數(shù)審斂法判斷級數(shù)的斂散性.

因?yàn)?/p>

所以,根據(jù)定理7.5知級數(shù)

收斂．

19??例6解02正項(xiàng)級數(shù)審斂法判斷級數(shù)

的斂散性.由于

因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂．因?yàn)?/p>

而級數(shù)

收斂

20??例7解02正項(xiàng)級數(shù)審斂法判斷級數(shù)的斂散性.

由于

所以,根據(jù)定理7.6知原級數(shù)收斂.

2102正項(xiàng)級數(shù)審斂法??注??例級數(shù)發(fā)散,

級數(shù)收斂,

(2)條件是充分而非必要的.(逆命題不成立)??例

2202正項(xiàng)級數(shù)審斂法但

不存在.

2302正項(xiàng)級數(shù)審斂法??例8判別級數(shù)

的斂散性．

P12例7.12(2)解因?yàn)?/p>

由比值審斂法可知,級數(shù)

發(fā)散.

2402正項(xiàng)級數(shù)審斂法??定理7.6(根值審斂法,柯西判別法)設(shè)

是正項(xiàng)級數(shù),

如果

??注(2)條件是充分而非必要的.(逆命題不成立)

2502正項(xiàng)級數(shù)審斂法??例9解因?yàn)榕袆e級數(shù)

的