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幻燈片1:封面課程名稱:12.3.1等腰三角形的性質(zhì)授課教師:[教師姓名]授課班級(jí):[具體班級(jí)]配圖建議:含有等腰三角形標(biāo)準(zhǔn)圖形的背景圖,標(biāo)注腰、底邊、頂角和底角幻燈片2:目錄情境引入:生活中的等腰三角形復(fù)習(xí)回顧:等腰三角形的定義實(shí)驗(yàn)探究:等腰三角形的對(duì)稱性等腰三角形的性質(zhì)定理典型例題講解(性質(zhì)應(yīng)用)課堂互動(dòng):辨析與計(jì)算課堂總結(jié)與技巧歸納課后作業(yè)布置幻燈片3:情境引入:生活中的等腰三角形生活實(shí)例:展示生活中常見(jiàn)的等腰三角形物體,如等腰三角形屋頂、紅領(lǐng)巾、交通警示牌、等腰三角形風(fēng)箏等。觀察特征:這些物體的三角形都有兩條邊長(zhǎng)度相等,形狀對(duì)稱。提出問(wèn)題:等腰三角形除了兩條邊相等外,還有哪些特殊的性質(zhì)?它的角、邊上的中線、高線等有什么規(guī)律?引入課題:今天我們將通過(guò)實(shí)驗(yàn)和推理,探究等腰三角形的性質(zhì)。配圖:生活中等腰三角形物體的實(shí)物圖,標(biāo)注等腰三角形的輪廓幻燈片4:復(fù)習(xí)回顧:等腰三角形的定義定義內(nèi)容:文字語(yǔ)言:有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形。圖形示意:如圖,在△ABC中,AB=AC,則△ABC是等腰三角形。相關(guān)概念:腰:相等的兩邊叫做腰(AB、AC)。底邊:另一邊叫做底邊(BC)。頂角:兩腰的夾角叫做頂角(∠A)。底角:腰和底邊的夾角叫做底角(∠B、∠C)。特殊情況:等邊三角形:三邊都相等的三角形是特殊的等腰三角形(腰與底邊相等)。表示方法:等腰三角形ABC可記作“等腰△ABC”,其中AB=AC。配圖:等腰三角形各部分名稱標(biāo)注圖,區(qū)分腰、底邊、頂角、底角幻燈片5:實(shí)驗(yàn)探究:等腰三角形的對(duì)稱性實(shí)驗(yàn)步驟:取一張等腰三角形紙片(AB=AC)。畫出頂角∠A的平分線AD,交BC于點(diǎn)D。沿著AD所在直線將紙片折疊,觀察折疊后△ABD和△ACD的位置關(guān)系。實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象:折疊后△ABD與△ACD能夠完全重合(全等)。對(duì)應(yīng)邊重合:BD=CD;對(duì)應(yīng)角重合:∠B=∠C,∠ADB=∠ADC=90°。結(jié)論:等腰三角形是軸對(duì)稱圖形。頂角的平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸(底邊的中線、底邊的高所在直線也是對(duì)稱軸)。配圖:折疊實(shí)驗(yàn)過(guò)程示意圖,標(biāo)注重合的邊和角幻燈片6:等腰三角形的性質(zhì)定理(一)——等邊對(duì)等角性質(zhì)1內(nèi)容:文字語(yǔ)言:等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”)。符號(hào)語(yǔ)言:在△ABC中,∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角)。證明過(guò)程:已知:在△ABC中,AB=AC。求證:∠B=∠C。證明:作頂角∠A的平分線AD,交BC于點(diǎn)D。在△ABD和△ACD中,AB=AC(已知),∠BAD=∠CAD(角平分線定義),AD=AD(公共邊),∴△ABD≌△ACD(SAS),∴∠B=∠C(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)。應(yīng)用說(shuō)明:此性質(zhì)可用于等腰三角形中角的計(jì)算和等量關(guān)系證明。示例:若等腰三角形的頂角為80°,則底角為(180°-80°)÷2=50°。配圖:性質(zhì)1的圖形示意,標(biāo)注已知邊和求證角;證明過(guò)程的全等三角形標(biāo)注幻燈片7:等腰三角形的性質(zhì)定理(二)——三線合一性質(zhì)2內(nèi)容:文字語(yǔ)言:等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡(jiǎn)寫成“三線合一”)。符號(hào)語(yǔ)言:在△ABC中,∵AB=AC,AD是頂角平分線(或底邊上的中線、底邊上的高),∴AD⊥BC,BD=CD(或∠BAD=∠CAD,AD⊥BC;或∠BAD=∠CAD,BD=CD)。證明過(guò)程(以頂角平分線為例):已知:在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分線。求證:AD是BC邊上的中線,且AD⊥BC。證明:由△ABD≌△ACD(已證),∴BD=CD(AD是中線),∠ADB=∠ADC=90°(AD是高),∴頂角平分線AD既是中線也是高。應(yīng)用說(shuō)明:“三線合一”體現(xiàn)了等腰三角形的對(duì)稱性,可簡(jiǎn)化證明過(guò)程(一個(gè)條件推出多個(gè)結(jié)論)。示例:在等腰△ABC中,若AD是底邊BC的中線,則AD⊥BC且AD平分∠BAC。配圖:性質(zhì)2的圖形示意,標(biāo)注頂角平分線、中線、高重合的位置幻燈片8:等腰三角形的性質(zhì)拓展——等邊三角形性質(zhì)等邊三角形定義:三邊都相等的三角形叫做等邊三角形(特殊的等腰三角形)。性質(zhì)拓展:等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等,并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°。符號(hào)語(yǔ)言:∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°。等邊三角形每條邊上的中線、高和所對(duì)角的平分線都相互重合(三線合一)。等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,有三條對(duì)稱軸。證明思路:由等邊三角形的定義(AB=AC=BC),利用“等邊對(duì)等角”可得∠A=∠B=∠C,再結(jié)合三角形內(nèi)角和為180°,得每個(gè)角為60°。配圖:等邊三角形的性質(zhì)示意圖,標(biāo)注三個(gè)60°
角和三條對(duì)稱軸幻燈片9:典型例題講解(一)——角度計(jì)算例題1:在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=50°,求∠B和∠C的度數(shù)。解:∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角)?!摺螦+∠B+∠C=180°(三角形內(nèi)角和定理),∠A=50°,∴50°+2∠B=180°,解得∠B=∠C=65°。例題2:在等腰△ABC中,一個(gè)內(nèi)角為70°,求另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。解:分兩種情況:情況1:頂角為70°,則底角為(180°-70°)÷2=55°,另外兩個(gè)角為55°、55°。情況2:底角為70°,則頂角為180°-70°×2=40°,另外兩個(gè)角為70°、40°。綜上,另外兩個(gè)內(nèi)角為55°、55°
或70°、40°。技巧總結(jié):等腰三角形中角的計(jì)算需注意分類討論(頂角或底角不確定時(shí))。利用“等邊對(duì)等角”和三角形內(nèi)角和定理建立方程求解。配圖:例題1、2的圖形標(biāo)注,角度計(jì)算過(guò)程示意圖幻燈片10:典型例題講解(二)——三線合一應(yīng)用例題3:如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,∠B=50°,求∠BAD的度數(shù)。解:∵AB=AC,AD是BC邊上的中線(已知),∴AD平分∠BAC(三線合一),∠BAC=180°-2×50°=80°(等邊對(duì)等角),∴∠BAD=?∠BAC=?×80°=40°。例題4:如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,求證BD=CD,∠BAD=∠CAD。證明:∵AB=AC,AD⊥BC(已知),∴AD是BC邊上的中線,且AD平分∠BAC(三線合一),∴BD=CD,∠BAD=∠CAD。技巧總結(jié):“三線合一”可將中線、高、角平分線的條件相互轉(zhuǎn)化,簡(jiǎn)化證明。應(yīng)用時(shí)需明確等腰三角形的腰和底邊,確定“三線”對(duì)應(yīng)的位置。配圖:例題3、4的圖形標(biāo)注,三線合一條件的轉(zhuǎn)化示意圖幻燈片11:課堂互動(dòng):辨析與計(jì)算活動(dòng)一:性質(zhì)辨析:練習(xí)1:下列說(shuō)法正確的是(
)。A.等腰三角形的高一定是對(duì)稱軸;B.等腰三角形的頂角平分線平分底邊且垂直于底邊;C.等腰三角形的角平分線、中線、高都相等;D.等腰三角形的底角一定是銳角。(答案:B、D)活動(dòng)二:角度計(jì)算:練習(xí)2:在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=∠B,求△ABC各內(nèi)角的度數(shù)。(提示:由AB=AC得∠B=∠C,結(jié)合∠A=∠B,得∠A=∠B=∠C=60°)活動(dòng)三:證明應(yīng)用:練習(xí)3:如圖,AB=AC,BD=CD,求證AD⊥BC。(提示:利用“三線合一”,證明AD是中線即可推出AD是高)配圖:練習(xí)題圖形標(biāo)注,練習(xí)3的證明步驟提示框幻燈片12:課堂總結(jié)與技巧歸納知識(shí)要點(diǎn)回顧:等腰三角形定義:有兩邊相等的三角形,特殊形式是等邊三角形。性質(zhì)1(等邊對(duì)等角):等腰三角形的兩個(gè)底角相等。性質(zhì)2(三線合一):頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。等邊三角形性質(zhì):三內(nèi)角相等(均為60°),三條三線合一,三條對(duì)稱軸。應(yīng)用技巧:角度計(jì)算:利用“等邊對(duì)等角”和內(nèi)角和定理,分類討論頂角與底角。證明應(yīng)用:通過(guò)“三線合一”實(shí)現(xiàn)中線、高、角平分線的條件轉(zhuǎn)化。輔助線添加:等腰三角形中常作頂角平分線、底邊上的中線或高作為輔助線。易錯(cuò)提醒:忽略等腰三角形中角的分類討論(頂角和底角不確定時(shí))。誤用“三線合一”(僅適用于等腰三角形的頂角平分線、底邊中線和底邊高)。混淆等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)差異?;脽羝?3:課后作業(yè)布置基礎(chǔ)作業(yè):課本[具體頁(yè)碼]習(xí)題[具體題號(hào)],完成等腰三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)計(jì)算題和證明題。提升作業(yè):如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC上,且BD=BC=AD,求∠A的度數(shù)。如圖,在等邊△ABC中,AD是BC邊上的高,求∠BAD的度數(shù)和BD與BC的數(shù)量關(guān)系。拓展作業(yè):用尺規(guī)作圖法作出一個(gè)等腰三角形,并利用折疊實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證其“三線合一”性質(zhì)。探究:等腰三角形兩腰上的中線有什么關(guān)系??jī)裳系母吣??(提示:通過(guò)證明全等三角形)2025-2026學(xué)年華東師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)授課教師:
.班級(jí):
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時(shí)間:
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12.3.1等腰三角形的性質(zhì)第12章
全等三角形aiTujmiaNg1、理解并掌握等腰三角形的性質(zhì);2、經(jīng)歷等腰三角形的探究過(guò)程,能初步運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題;溫故知新
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.1.具備什么條件的三角形是等腰三角形?2.等腰三角形的有關(guān)概念A(yù)BC相等的兩條邊叫做腰,另一條邊叫做底邊,底邊與腰的夾角叫做底角.兩腰所夾的角叫做頂角,腰腰底邊頂角底角邊:角:
法國(guó)巴黎的盧浮宮城市大橋建筑圖片欣賞知識(shí)點(diǎn)一
等腰三角形的性質(zhì)
剪一張等腰三角形的半透明紙片,每人所剪的等腰三角形的大小和形狀可以不一樣,如圖,把紙片對(duì)折,讓兩腰AB、AC重疊在一起,折痕為AD.你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象嗎?做一做DABC1.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.我們可以得出結(jié)論:ACBD折痕AD所在直線是等腰三角形的對(duì)稱軸.你還有新的發(fā)現(xiàn)嗎?∠B,∠C
是等腰三角形的
.底角∠B=∠C所以我們可以描述為:等腰三角形的兩個(gè)底角相等.2.探究歸納ABCD等腰三角形的性質(zhì):等腰三角形的兩底角相等.(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”)你還有什么方法可以證明“等邊對(duì)等角”呢?ABC已知:如圖,在△ABC中,AB=AC.求證:∠B=∠C證明:畫∠BAC的平分線AD.D12在△ABD和△ACD中,∵AB=AC(已知)∠1=∠2(角平分線的定義)AD=AD(公共邊)∴△ABD≌△ACD(S.A.S)∴∠B=∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)從這里你還可以得到什么結(jié)論?ABCD12AD既是底邊上的中線,又是頂角的平分線和底邊上的高。ABCD12等腰三角形底邊上的高、中線及頂角的平分線相互重合。等腰三角形的性質(zhì):(簡(jiǎn)稱“三線合一”)文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言等邊對(duì)等角
底邊上的高、中線及頂角平分線重合ABCABCD在△ABC中,∵AC=AB
(已知),∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角).在△ABC中,AB=AC.(1)∵∠BAD=∠CAD,∴BD=CD,AD⊥BC;(2)∵AD⊥BC,∴BD=CD,∠BAD=∠CAD;(3)∵BD=CD,∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC.知識(shí)歸納典例精析例1
已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在BC上,且AD=BD,求證:∠ADB=∠BAC.ABCD12??證明:∵AB=AC,AD=BD,∴∠B=∠C,∠B=∠1(等邊對(duì)等角)∴∠C=∠1.∵∠ADB是△ADC的外角,∴∠ADB=∠C+∠2.∴∠ADB=∠1+∠2=∠BAC.例2
已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點(diǎn),DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E、F.求證:DE=DF.
DABCFE證明:
∵AB=AC,∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角).
∵D是BC的中點(diǎn),∴DB=DC
.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°.
∴△DBE
≌△DCF(AAS).∴DE=DF
.練一練1.如圖,在△ABC中,AB=AC,(1)如果∠B=70°,那么∠C=____,∠A=____.ABCD70°40°(2)如果∠A=70°,那么∠B=____,∠C=___.(3)如果有一個(gè)角等于120°,那么∠A=____,∠B=___,∠C
=___.(4)如果有一個(gè)角等于50°,那么另兩個(gè)角等于多少度?55°55°120°30°30°解:若∠A=50°,則∠B=∠C=65°;若∠B=∠C=50°,則∠A=80°.已知一個(gè)內(nèi)角,則這個(gè)角可能是底角也可能是頂角,要分兩種情況討論.2.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在BC上,AD=BD,AB=AC=CD.
找出圖中相等的角并說(shuō)明理由.解:∠BAD=∠B=∠C;∠BAC=∠ADB;∠ADC=∠DAC.∵AD=BD,∴∠BAD=∠B.∵AB=AC,∴∠C=∠B.∴∠BAD=∠B=∠CABCD∵DC=AC,∴∠DAC=∠ADC.∵∠ADB=∠C+∠DAC,∠BAC=∠BAD+∠DAC,∴∠ADB=∠BAC.3.如圖的房屋人字梁架中,AB=AC
,BD=DC,∠BAC=110°,
(1)求∠B、∠C、∠1、∠2的度數(shù);(2)求證:AD⊥BC.(2)證明:∵AB=AC,BD=DC(已知)∴AD⊥BC(三線合一)12
知識(shí)點(diǎn)二
等邊三角形的性質(zhì)
因?yàn)榈冗吶切问翘厥獾牡妊切危傻妊切蔚冗厡?duì)等角的性質(zhì)得到,∠B=∠C,同理可得∠A=∠B所以∠A=∠B=∠C,又由∠A+∠B+∠C=180°,從而推出∠A=∠B=∠C=60°.
也就是說(shuō):等邊三角形的各個(gè)角都相等,并且每一個(gè)角都等于60°.
三條邊都相等的三角形是等邊三角形,它也是軸對(duì)稱圖形,那么等邊三角形的每個(gè)角的度數(shù)是多少呢?它有幾條對(duì)稱軸?ACB
等邊三角形的三條邊都相等,三個(gè)角都相等,也稱為正三角形.三條對(duì)稱軸ABC等邊三角形的各個(gè)角都相等,并且每一個(gè)角都等于60°.等邊三角形的性質(zhì):正三角形典例精析ABCD
例3
如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度數(shù).(1)找出圖中所有相等的角;(2)指出圖中有幾個(gè)等腰三角形?∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC;△ABC,△ABD,△BCD;ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x(3)觀察∠BDC與∠A,∠ABD的關(guān)系,∠ABC、∠C呢?∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,∠ABC=∠BDC=2∠A,∠C=∠BDC=2∠A;(4)設(shè)∠A=x,請(qǐng)把△ABC的內(nèi)角和
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