充分條件與必要條件溫故知新【命題】用語言、符號或式子表達的可以判斷真假的陳述句.判斷為真的語句是真命題，判斷為假的語句是假命題.常見命題的形式：“若p，則q”.p稱為命題的條件，q稱為命題的結論.

如：若A是北京人，則A是中國人.條件p結論q

真命題真命題假命題假命題在命題(1)(4)中，由條件p可以得到結論q，所以它們是真命題.在命題(2)(3)中，由條件p不能得到結論q，所以它們是假命題.【充分條件與必要條件的定義】一般地，“若p，則q”為真命題，即p能推出q，記作p?q.并且說，p是q的充分條件，同時，q是p的必要條件.概念形成

“若p，則q”為假命題，即p不能推出q，記作p

?

q.并且說，p不是q的充分條件，同時，q不是p的必要條件.概念形成

問題1：如何理解充分條件，必要條件的含義？

如：

p：A是北京人，q：A是中國人.追問（1）：如果q不成立，則p一定不成立，即q

對于p成立是必要的，請舉例說明.必要條件充分條件有它即可缺它不行典例剖析例1(1)p：四邊形的兩組對角分別相等，q：這個四邊形是平行四邊形;(2)p：兩個三角形的三邊成比例，q：這兩個三角形相似;(3)p：四邊形為菱形，q：這個四邊形的對角線互相垂直；(4)p：x2=1，q：x=1;(5)p：a=b.，q：ac=bc;(6)p：x，y為無理數，q：xy為無理數.問題2：上述6個命題，哪些命題中p是q的充分條件？典例剖析例1(1)p：四邊形的兩組對角分別相等，q：這個四邊形是平行四邊形;(2)p：兩個三角形的三邊成比例，q：這兩個三角形相似;(3)p：四邊形為菱形，q：這個四邊形的對角線互相垂直；(1)這是一條平行四邊形的判定定理，p?q，所以p是q的充分條件.問題2：上述6個命題，哪些命題中p是q的充分條件？

(2)這是一條相似三角形的判定定理，p?q，所以p是q的充分條件.(3)這是一條菱形的性質定理，p?q，所以p是q的充分條件.典例剖析例1(4)p：x2=1，q：x=1;(5)p：a=b.，q：ac=bc;(6)p：x，y為無理數，q：xy為無理數.問題2：上述6個命題，哪些命題中p是q的充分條件？解：(4)由于x2=1,則x=±1，p?q，所以p不是q的充分條件.

(5)由等式的性質知，p?q，所以p是q的充分條件.

追問（1）：例1命題（1）中給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即“四邊形的兩組對角分別相等”，這樣的充分條件唯一嗎？不唯一充分條件：條件是充足的，條件是足夠的，條件是足以保證結論成立的，但不是唯一的．即“有之必成立，無之未必不成立”.

如：

p：A是北京人，q：A是中國人.

如：

p：A是上海人，q：A是中國人.追問（2）：你能再給出幾個不同的充分條件嗎？四邊形的兩組對邊分別相等；四邊形的一組對邊平行且相等；四邊形的兩條對角線互相平分；四邊形的兩組對邊分別平行；四邊形的對角分別相等；四邊形是正方形…（?）?“四邊形是平行四邊形”追問（3）：你能寫出兩個三角形全等的判定定理嗎？三組對邊分別相等的兩個三角形；兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形；兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形;兩角及其一角的對邊對應相等的兩個三角形…結論：數學中的每一條判定定理都給出了相應數學

結論成立的一個充分條件.（判定定理）?“兩個三角形全等”追問（4）：這些判定定理能推出兩個三角形全等嗎？典例剖析例2

(1)p：四邊形為平行四邊形，q：這個四邊形的兩組對角分別相等；

(2)p：兩個三角形相似，q：這兩個三角形的三邊成比例；

(3)p：四邊形的對角線互相垂直，q：這個四邊形為菱形；

(4)p：x＝1，q：x2＝1；

(5)p：ac＝bc，q：a＝b；

(6)p：xy為無理數，q：x，y為無理數．問題3：上述6個命題，哪些命題中q是p的必要條件？典例剖析例2

(1)p：四邊形為平行四邊形，q：這個四邊形的兩組對角分別相等；

(2)p：兩個三角形相似，q：這兩個三角形的三邊成比例；

(3)p：四邊形的對角線互相垂直，q：這個四邊形為菱形；問題3：上述6個命題，哪些命題中q是p的必要條件？解：（1）這是一條平行四邊形的性質定理，p?q，所以q是p的必要條件.

（2）這是一條相似三角形的性質定理，p?q，所以q是p的必要條件.

例2

(4)p：x＝1，q：x2＝1；(5)p：ac＝bc，q：a＝b；(6)p：xy為無理數，q：x，y為無理數．解：(4)顯然，p?q，所以，q是p的必要條件.

追問（1）：例2命題（1）中給出了“四邊形是平行四邊形”的一個必要條件，即“四邊形的兩組對角分別相等”；這樣的必要條件唯一嗎？不唯一必要條件：必要就是必須的，必不可少的，但不是唯一的，即“有之未必成立，無之必不成立”.

如：

p：四邊形是正方形，q：四邊形是平行四邊形.

如：

p：四邊形是正方形，q：四邊形是菱形.追問（2）：你能給出“四邊形是平行四邊形”的

幾個其他必要條件嗎？四邊形的兩組對邊分別相等；四邊形的一組對邊平行且相等；四邊形的兩條對角線互相平分；四邊形的兩組對邊分別平行；四邊形的對角分別相等；四邊形的一組對邊平行…“四邊形是平行四邊形”?（?）追問(3)：在平面內，你能寫出兩直線

平行的性質定理嗎？同位角相等；內錯角相等；同旁內角互補…“兩直線平行”?（性質定理）追問(4)：在平面內兩條直線平行能推出這些性質定理嗎？結論：數學中的每一條性質定理都給出了相應

數學結論成立的一個必要條件.鞏固練習

解：(1)因為等腰梯形的對角線相等，但

等腰梯形不是矩形，p?q，所以p不

是q的充分條件.

鞏固練習

定義法判斷充