中學(xué)數(shù)學(xué)分式方程教學(xué)案例分析一、教學(xué)內(nèi)容解析分式方程是初中數(shù)學(xué)代數(shù)部分的重要內(nèi)容，它建立在學(xué)生已經(jīng)掌握了整式方程的解法、分式的概念及其基本運算的基礎(chǔ)之上。從知識體系來看，分式方程是整式方程的自然延伸，也是后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜方程（組）和函數(shù)的基礎(chǔ)。其核心在于通過去分母等方法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”這一重要的數(shù)學(xué)思想方法。同時，由于分式本身分母不能為零的特性，分式方程求解過程中必須進行“驗根”，這又滲透了“嚴謹性”的數(shù)學(xué)思維要求。因此，分式方程的教學(xué)不僅要讓學(xué)生掌握具體的解法步驟，更要讓他們理解轉(zhuǎn)化的原理和驗根的必要性，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。二、教學(xué)目標定位根據(jù)課程標準要求及學(xué)生認知特點，本節(jié)課教學(xué)目標設(shè)定如下：1.知識與技能：學(xué)生能理解分式方程的概念，掌握可化為一元一次方程的分式方程的解法，能正確檢驗分式方程的根。2.過程與方法：通過類比整式方程的解法，引導(dǎo)學(xué)生探索分式方程的解法，經(jīng)歷“觀察——猜想——嘗試——驗證”的過程，體會轉(zhuǎn)化思想在解方程中的應(yīng)用。3.情感態(tài)度與價值觀：在探究活動中，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、合作交流的精神，感受數(shù)學(xué)的嚴謹性和邏輯性，體會數(shù)學(xué)在解決實際問題中的應(yīng)用價值。三、教學(xué)案例呈現(xiàn)與分析（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課情境設(shè)置：教師：“同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式方程的解法，比如一元一次方程。今天，我們來看一個新問題：某校為了美化校園，計劃在一塊空地上種植草皮?，F(xiàn)有甲、乙兩個園藝公司，甲公司報價是每平方米a元，乙公司報價是在甲公司報價的基礎(chǔ)上打九折，但需要另外支付手續(xù)費b元。如果學(xué)校計劃種植的面積是x平方米，那么選擇甲公司需要支付多少元？選擇乙公司呢？”（學(xué)生列出代數(shù)式：甲公司ax元，乙公司(0.9ax+b)元）教師：“如果我們知道，當(dāng)種植面積為某個具體數(shù)值時，選擇甲、乙兩公司的費用相等，你能列出一個方程來表示這個關(guān)系嗎？”（假設(shè)當(dāng)費用相等時，根據(jù)具體a、b的值，引導(dǎo)學(xué)生列出一個分式方程。例如，若a=10，b=100，且已知當(dāng)x=某個值時費用相等，或給出費用相等的具體金額，引導(dǎo)學(xué)生列出如：10x=0.9*10x+100，若將此式稍作變形，或給出另一個情境，使其自然出現(xiàn)分式。）*（此處調(diào)整：為更直接引入分式方程，可設(shè)計如下情境）*教師：“我們換一個例子。小明家和小紅家分別住在學(xué)校的東西兩側(cè)，兩家相距若干千米。小明騎自行車上學(xué)，速度為每小時15千米；小紅步行上學(xué)，速度為每小時5千米。若兩人同時從家出發(fā)，恰好同時到校，已知小明家到學(xué)校的距離比小紅家遠2千米，你能列出方程求出小紅家到學(xué)校的距離嗎？”（引導(dǎo)學(xué)生設(shè)小紅家到學(xué)校的距離為x千米，則小明家到學(xué)校的距離為(x+2)千米。根據(jù)時間相等可列出方程：(x+2)/15=x/5。）分析：通過生活中的實際問題情境引入，不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，更重要的是，這個情境能自然地引出分式方程的形式，使學(xué)生初步感知分式方程的特點——分母中含有未知數(shù)。與整式方程形成對比，為后續(xù)概念的形成做鋪墊。（二）探究新知，形成概念1.分式方程概念的形成教師：“同學(xué)們觀察我們剛才列出的這個方程：(x+2)/15=x/5，它和我們以前學(xué)過的一元一次方程有什么相同點和不同點呢？”（組織學(xué)生小組討論，引導(dǎo)學(xué)生從方程的定義、未知數(shù)的位置等方面比較。）學(xué)生可能回答：“都含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1?！薄安煌氖牵@個新方程的分母中含有未知數(shù)?！苯處熆偨Y(jié)：“像這樣，分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。”（板書定義）教師：“請大家判斷一下，我們以前學(xué)過的方程，比如2x+3=5，1/2x-1=0是分式方程嗎？為什么？”（鞏固概念，強調(diào)“分母中含有未知數(shù)”是分式方程的關(guān)鍵特征。）2.分式方程的解法探究教師：“我們已經(jīng)知道了什么是分式方程，那么如何解分式方程呢？比如我們剛列出的(x+2)/15=x/5?！币龑?dǎo)學(xué)生思考：“這個方程的分母中含有未知數(shù)，給我們求解帶來了困難。我們能不能想辦法把它變成我們熟悉的整式方程來解呢？”學(xué)生思考，可能會想到利用等式的性質(zhì)，在方程兩邊同時乘以分母的最小公倍數(shù)，去掉分母。教師：“這個想法非常好！我們試試看。方程兩邊同時乘以15和5的最小公倍數(shù)15，會得到什么？”學(xué)生演算：15*[(x+2)/15]=15*(x/5)→x+2=3x。教師：“現(xiàn)在這個方程變成了什么方程？”（一元一次方程）“我們會解嗎？”學(xué)生獨立求解：x+2=3x→2x=2→x=1。教師：“x=1是原分式方程的解嗎？我們怎么知道？”引導(dǎo)學(xué)生將x=1代入原方程檢驗：左邊=(1+2)/15=3/15=1/5，右邊=1/5，左邊=右邊。所以x=1是原分式方程的解。教師：“看來，通過在方程兩邊同時乘以各分母的最簡公分母，我們可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后求解。這個過程叫做‘去分母’?！保ò鍟悍质椒匠獭ㄈシ帜福椒匠獭蠼狻鷻z驗→得出結(jié)論）分析：概念的形成過程注重學(xué)生的自主觀察與比較，而非直接灌輸。解法的探究則充分利用學(xué)生已有的整式方程求解經(jīng)驗，通過“如何將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題”這一設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)“去分母”的關(guān)鍵步驟，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的滲透。檢驗步驟的強調(diào)，初步培養(yǎng)了學(xué)生嚴謹?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。（三）例題講解，規(guī)范步驟例題：解分式方程1/x=2/(x+3)教師：“我們來解這個方程。第一步做什么？”（找最簡公分母）學(xué)生：“x和x+3的最簡公分母是x(x+3)?！苯處煟骸叭缓竽兀俊保ǚ匠虄蛇呁俗詈喒帜福┙處熯叞鍟厪娬{(diào)規(guī)范步驟：解：方程兩邊同乘x(x+3)，得x+3=2x（這一步要強調(diào)是整式方程）解這個整式方程，得x=3檢驗：當(dāng)x=3時，x(x+3)=3*(3+3)=18≠0所以，x=3是原分式方程的解。教師：“大家思考一下，如果我們在檢驗時，發(fā)現(xiàn)代入后分母的值為零，會怎么樣？”（引出增根的概念做鋪墊）變式練習(xí)：解分式方程2/(x-1)=4/(x2-1)讓學(xué)生獨立嘗試完成，教師巡視指導(dǎo)，關(guān)注學(xué)生是否規(guī)范步驟，特別是最簡公分母的確定和檢驗。學(xué)生可能出現(xiàn)的問題：1.最簡公分母找錯，如寫成(x-1)(x2-1)而非(x-1)(x+1)。2.去分母時漏乘不含分母的項（本題中方程右邊是分式，左邊也是分式，可能不存在漏乘，但后續(xù)題目會出現(xiàn)）。3.忘記檢驗。學(xué)生板演后，教師組織評講。當(dāng)學(xué)生解出x=1時，代入檢驗：當(dāng)x=1時，分母x-1=0，x2-1=0。教師：“分母為零，分式無意義。這說明x=1不是原分式方程的解，我們稱之為‘增根’?！苯處熖釂枺骸盀槭裁磿霈F(xiàn)增根呢？”引導(dǎo)學(xué)生思考：去分母的過程中，方程兩邊同乘的是一個含有未知數(shù)的整式（最簡公分母），當(dāng)這個整式的值為零時，相當(dāng)于方程兩邊同乘了零，這可能會改變原方程的解的情況，導(dǎo)致增根的產(chǎn)生。因此，解分式方程必須檢驗。教師總結(jié)解分式方程的一般步驟：1.去分母：在方程兩邊都乘以最簡公分母，化成整式方程；2.解這個整式方程；3.檢驗：把整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為零，則整式方程的解是原分式方程的解；否則（最簡公分母的值為零），這個解不是原分式方程的解，是增根，原分式方程無解。分析：例題的選擇具有代表性，包含了常規(guī)求解和可能產(chǎn)生增根的情況。通過規(guī)范的板書和對易錯點的強調(diào)，幫助學(xué)生形成清晰的解題思路和規(guī)范的書寫習(xí)慣。增根的出現(xiàn)是分式方程教學(xué)中的一個難點，通過具體例子讓學(xué)生親身體驗，并引導(dǎo)他們探究增根產(chǎn)生的原因，有助于學(xué)生從本質(zhì)上理解驗根的必要性，突破難點。（四）鞏固練習(xí)，深化理解1.基礎(chǔ)練習(xí)：解下列分式方程(1)3/x=2/(x-1)(2)(x+1)/(x-1)=4/(x2-1)+1（學(xué)生獨立完成，同桌互查，教師抽查，重點關(guān)注去分母是否正確，是否驗根。）2.辨析與討論：方程(x)/(x-2)-1=2/(x-2)的求解過程如下：解：方程兩邊同乘(x-2)，得x-1=2→x=3。所以原方程的解是x=3。問：上述解法正確嗎？為什么？（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)去分母時，“-1”這一項沒有乘以最簡公分母(x-2)，從而導(dǎo)致錯誤，強調(diào)去分母時每一項都要乘。）分析：練習(xí)設(shè)計遵循了由淺入深、循序漸進的原則?；A(chǔ)練習(xí)鞏固基本解法，辨析討論則針對學(xué)生在解題過程中容易出現(xiàn)的典型錯誤進行強化，幫助學(xué)生查漏補缺，深化對解法步驟的理解和掌握。（五）課堂小結(jié)，布置作業(yè)1.課堂小結(jié)：教師：“今天我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？你有哪些收獲？還有什么疑問？”（引導(dǎo)學(xué)生回顧分式方程的概念、解法步驟（去分母、解整式方程、驗根）、增根的概念及產(chǎn)生原因，強調(diào)轉(zhuǎn)化思想和驗根的重要性。）2.布置作業(yè)：*必做題：教材習(xí)題若干，側(cè)重基礎(chǔ)解法和驗根。*選做題：結(jié)合本節(jié)課開始的情境，若給出具體的a、b值和費用相等的條件，讓學(xué)生列出分式方程并求解，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；或者設(shè)計一個可能產(chǎn)生增根的分式方程，讓學(xué)生求解并解釋為什么無解。分析：課堂小結(jié)鼓勵學(xué)生主動梳理知識脈絡(luò)，形成知識體系。作業(yè)布置兼顧了基礎(chǔ)性和發(fā)展性，必做題鞏固所學(xué)，選做題則為學(xué)有余力的學(xué)生提供了拓展空間，體現(xiàn)了分層教學(xué)的理念。四、教學(xué)反思與拓展（一）教學(xué)反思本節(jié)課的設(shè)計以學(xué)生為主體，通過情境引入激發(fā)興趣，通過問題驅(qū)動引導(dǎo)探究，注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透和學(xué)生能力的培養(yǎng)。在分式方程概念的形成、解法的探究以及增根的理解等環(huán)節(jié)，都力求讓學(xué)生主動參與，經(jīng)歷知識的發(fā)生與發(fā)展過程。成功之處在于：1.情境創(chuàng)設(shè)與問題設(shè)計貼近學(xué)生生活，能有效激發(fā)學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力。2.注重知識的形成過程，鼓勵學(xué)生自主思考與合作交流，體現(xiàn)了新課標的理念。3.對重點步驟（如去分母）和難點（如增根）的處理比較細致，通過具體實例和對比辨析幫助學(xué)生理解。有待改進之處：1.在探究去分母的過程中，可以給予學(xué)生更多嘗試不同方法的機會，例如是否可以先通分再求解等，雖然最終可能回歸到最簡方法，但探究過程本身就是寶貴的。2.對于增根產(chǎn)生的原因，部分學(xué)生可能仍停留在表面記憶，如何用更直觀或更嚴謹?shù)姆绞剑ㄈ鐝牡仁叫再|(zhì)的限制條件入手）幫助學(xué)生理解，值得進一步思考。3.課堂練習(xí)的多樣性和層次性可以進一步加強，例如可以增加一些結(jié)合實際問題的應(yīng)用題，讓學(xué)生體會分式方程的工具性。（二）教學(xué)拓展1.數(shù)學(xué)思想方法的提煉：本節(jié)課充分體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化與化歸”的數(shù)學(xué)思想，即將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。在后續(xù)學(xué)習(xí)中，可以引導(dǎo)學(xué)生回顧這一思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的廣泛應(yīng)用，如將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，將無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程等。2.實際應(yīng)用：可以設(shè)計更多與生活實際相關(guān)的分式方程應(yīng)用題，如行程問題、工程問題、利潤問題等，讓學(xué)生在解決實際問題的過程中，進一步鞏固分式方程的解法，提升分析問題和解決問題的能力，感受數(shù)學(xué)的實用價值。3