2025年大學統(tǒng)計學期末考試題庫：統(tǒng)計與決策案例分析題庫解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______試卷內(nèi)容第一題某快餐連鎖店為了解其新推出的健康套餐的顧客接受程度，在市區(qū)隨機抽取了200名顧客進行調查。調查結果顯示，有120名顧客表示喜歡該套餐。管理層希望了解全體顧客對該套餐的接受比例，并計劃在結果公布時進行一定的宣傳推廣。假設樣本數(shù)據(jù)服從二項分布。請根據(jù)上述背景，回答以下問題：（1）指出本案例中涉及的主要統(tǒng)計推斷目標。（2）若管理層希望以95%的置信水平估計總體接受比例，并要求估計的邊際誤差不超過0.05，試計算所需樣本量（提示：可參考樣本量計算公式，并考慮用近似正態(tài)分布進行計算）。（3）基于本次抽樣結果，計算總體接受比例的95%置信區(qū)間。（4）管理層在宣傳推廣中，可以如何利用上述置信區(qū)間信息？第二題某制造企業(yè)生產(chǎn)一種關鍵零件，零件的直徑是重要的質量指標。已知該零件直徑服從正態(tài)分布，歷史上標準差σ=0.1毫米。為了監(jiān)控近期生產(chǎn)過程的穩(wěn)定性，質檢部門隨機抽取了25個零件，測量其直徑，計算得到樣本均值μ?=5.05毫米。請根據(jù)上述背景，回答以下問題：（5）檢驗近期生產(chǎn)過程是否仍然穩(wěn)定（即零件直徑均值是否仍為設計標準μ=5.0毫米）。請設置原假設和備擇假設，并說明檢驗的基本思路。（6）計算在顯著性水平α=0.05下，該檢驗的p值，并據(jù)此做出統(tǒng)計決策。（7）解釋檢驗結果的實際意義，并說明如果生產(chǎn)過程不穩(wěn)定，企業(yè)應采取什么措施？第三題某汽車銷售公司希望了解顧客的年齡（X，單位：歲）和購買汽車時的花費（Y，單位：萬元）之間的關系。隨機抽取了15位顧客，收集到他們的年齡和花費數(shù)據(jù)。經(jīng)過計算，得到以下統(tǒng)計量：樣本相關系數(shù)r=0.75，樣本均值X?=35歲，Y?=18萬元，樣本方差s?2=25，s<0yx>2=16。請根據(jù)上述背景，回答以下問題：（8）解釋樣本相關系數(shù)r=0.75的含義。（9）建立購買汽車花費Y關于年齡X的簡單線性回歸方程。（10）當某顧客的年齡為40歲時，預測其購買汽車的花費，并說明該預測值的含義。（11）評價該簡單線性回歸模型對數(shù)據(jù)的擬合效果（提示：可考慮使用決定系數(shù)R2）。（12）如果該公司希望將目標客戶群定位在花費不超過20萬元的年輕群體，根據(jù)回歸模型，年齡在哪個范圍內(nèi)可能更符合這一目標？第四題某公司有四個銷售部門（A,B,C,D），為了評估不同銷售策略的效果，收集了他們在某季度各自的銷售額數(shù)據(jù)（單位：萬元）。假設各銷售部門的數(shù)據(jù)均服從正態(tài)分布，且方差可能相等。請根據(jù)以下信息（此處假設提供數(shù)據(jù)，但題目中不寫，只寫分析要求），回答以下問題：（13）檢驗四個銷售部門的平均銷售額是否存在顯著差異。請寫出相應的假設檢驗步驟，包括計算檢驗統(tǒng)計量。（14）解釋該檢驗結果的統(tǒng)計意義和實際意義。如果發(fā)現(xiàn)存在顯著差異，公司管理者可以考慮哪些管理措施或進一步的研究方向？第五題某銀行信用卡中心想了解持卡人每月刷卡消費金額（Y，單位：元）與其年齡（X?，單位：歲）和每月收入（X?，單位：千元）之間的關系。他們收集了100名持卡人的相關數(shù)據(jù)，并使用統(tǒng)計軟件進行了多元線性回歸分析，得到部分輸出結果如下（此處假設提供部分回歸輸出結果，但題目中不寫，只寫分析要求）：常數(shù)項系數(shù)：-500，標準誤：200，t值：-2.5，p值：0.013；X?系數(shù)：80，標準誤：15，t值：5.33，p值：0.000；X?系數(shù)：120，標準誤：30，t值：4.00，p值：0.000；模型決定系數(shù)R2=0.65，調整后決定系數(shù)R2=0.645。請根據(jù)上述背景和假設的輸出結果，回答以下問題：（15）解釋X?和X?系數(shù)的經(jīng)濟含義。（16）判斷年齡和每月收入是否對每月刷卡消費金額有顯著影響（請分別說明，并給出p值依據(jù)）。（17）評價該多元線性回歸模型的整體擬合效果。（18）銀行若想提高信用卡業(yè)務收入，根據(jù)此模型，可以采取哪些基于年齡和收入的營銷策略或產(chǎn)品建議？試卷答案第一題（1）估計全體顧客對健康套餐的接受比例（或稱總體比例、總體接受度）。（2）所需樣本量n≈246。（3）總體接受比例的95%置信區(qū)間為（0.547,0.653）。（4）管理層可以說：“我們有95%的信心認為，全體顧客中喜歡該套餐的比例在54.7%到65.3%之間。”這為制定宣傳策略提供了數(shù)據(jù)支持，例如可以宣傳‘超過半數(shù)顧客認可’等信息，具體宣傳點可根據(jù)區(qū)間范圍細化。第二題（5）原假設H?：μ=5.0毫米；備擇假設H?：μ≠5.0毫米。檢驗思路是計算樣本均值μ?與假設的總體均值μ=5.0之間的差距，用標準誤差來標準化這個差距（計算檢驗統(tǒng)計量），然后查找對應分布（正態(tài)分布）下的p值，判斷差距是否顯著。（6）檢驗統(tǒng)計量z=(5.05-5.0)/(0.1/√25)=2.5。在α=0.05下，雙側檢驗的臨界值約為±1.96。由于|z|=2.5>1.96，或p值<0.05（查表或計算得到p值約為0.0125），因此拒絕原假設。（7）統(tǒng)計決策：有證據(jù)表明近期生產(chǎn)過程的平均零件直徑與設計標準5.0毫米存在顯著差異，即生產(chǎn)過程可能不穩(wěn)定。實際意義：需要檢查生產(chǎn)設備是否需要調整，原材料是否發(fā)生變化，或操作流程是否有問題，以恢復生產(chǎn)過程的穩(wěn)定性。第三題（8）樣本相關系數(shù)r=0.75表示年齡與購買汽車花費之間存在較強的正線性相關關系。具體來說，年齡每增加一個單位，購買汽車花費平均增加約0.75個單位（在其他條件不變的情況下）。（9）簡單線性回歸方程：?=b?+b?X=-500+80X。其中b?=-500是截距，b?=80是斜率。（10）當X=40時，預測花費?=-500+80*(40)=3000。該預測值3000表示，根據(jù)模型，年齡為40歲的顧客購買汽車的平均花費預測值為3萬元。（11）決定系數(shù)R2=0.752=0.5625。說明模型可以解釋樣本數(shù)據(jù)中約56.25%的變異。（12）從回歸系數(shù)b?=80（即年齡每增加1歲，花費增加0.08萬元）可知花費隨年齡增長而增加。要找到花費不超過20萬元（即Y≤20）的年齡范圍，解不等式-500+80X≤20，得X≤27.25。結合R2值（模型有一定解釋力），可以建議將目標客戶群年齡定位在27歲及以下。第四題（13）假設檢驗步驟：a.原假設H?：μA=μB=μC=μD；備擇假設H?：至少有兩個總體均值不等。b.選擇檢驗方法：如使用單因素方差分析（ANOVA）。c.計算檢驗統(tǒng)計量：如F統(tǒng)計量，其計算涉及組間平方和（SSbetween）、組內(nèi)平方和（SSwithin）、組數(shù)k和樣本總個數(shù)N。假設計算得F統(tǒng)計量為F_calculated。d.確定p值：查找F分布表（自由度df?=k-1,df?=N-k）或使用軟件，得到p_value。（14）統(tǒng)計意義：若p_value≤α（如0.05），則拒絕H?，認為四個部門的平均銷售額存在顯著差異。實際意義：表明不同的銷售策略或部門本身可能存在差異，影響了銷售額。管理措施可包括：分析具體是哪個部門表現(xiàn)突出或落后，了解其成功或失敗的原因，推廣優(yōu)秀部門的經(jīng)驗，改進表現(xiàn)不佳部門的工作，或進行進一步的配對比較分析以識別具體差異。第五題（15）X?系數(shù)（80）表示在其他變量（每月收入X?）保持不變的情況下，顧客年齡（X?）每增加1歲，預計每月刷卡消費金額（Y）平均增加80元。（16）對于年齡X?：p值=0.000<0.05，因此拒絕H?，認為年齡對每月刷卡消費金額有顯著正向影響。對于每月收入X?：p值=0.000<0.05，因此拒絕H?，認為每月收入對每月刷卡消費金額有顯著正向影響。（17）R2=0.65，調整后R2=0.645。這兩個值都接近0.65，說明模型整體上能解釋約65%的月刷卡消費金額的變異，擬