5.2.1三角函數(shù)的概念一、三角函數(shù)的定義1、定義：設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點，則：叫做的正弦函數(shù)，記作.即；叫做的余弦函數(shù)，記作.即；叫做的正切函數(shù)，記作.即。2、三角函數(shù)定義域正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常記為：正弦函數(shù)：余弦函數(shù)：正切函數(shù)：3、三角函數(shù)另一種定義設(shè)點（不與原點重合）為角終邊上任意一點，點P與原點的距離為：，則：，，.三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點P的位置無關(guān)二、三角函數(shù)的符號【口訣記憶】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含義是在第一象限各三角函數(shù)值全為正，在第二象限只有正弦值為正，在第三象限只有正切值為正，在第四象限只有余弦值為正．三、誘導(dǎo)公式一由三角函數(shù)的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，由此得到誘導(dǎo)公式一：其中注意：（1）利用誘導(dǎo)公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0～2π(或0°～360°)范圍內(nèi)角的三角函數(shù)值．（2）上面三個公式也可以統(tǒng)一寫成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．四、特殊角的三角函數(shù)值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010－110---－1001－10五、三角函數(shù)的定義中常見的三種題型及解決方法1、已知角的終邊上一點的坐標(biāo)，求角的三角函數(shù)值方法：先求出點到原點的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解；2、已知角的一個三角函數(shù)值和終邊上的點P的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，求與角有關(guān)的三角函數(shù)值方法：先求出點到原點的距離（帶參數(shù)），根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未知數(shù)，從而求解問題；3、已知角的終邊所在的直線方程（，），求角的三角函數(shù)值方法：先設(shè)出終邊上的一點，求出點到原點的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解（注意的符號，對分類討論）題型一利用三角函數(shù)的定義求值【例1】已知點為角的終邊上的一點，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為點為角的終邊上的一點，所以，故選：C【變式1-1】若角的終邊與單位圓的交點為，則（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】.故選：B．【變式1-2】已知角的頂點與平面直角坐標(biāo)系的原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點，若，則的值為（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】因為角終邊經(jīng)過點，且，所以，解得，故選：C【變式1-3】若點在角的終邊上，則的值是【答案】1【解析】據(jù)題意，得.【變式1-4】在直角坐標(biāo)系中，若角始邊為軸的非負半軸，終邊為射線：，則______.【答案】【解析】在直角坐標(biāo)系中，若角始邊為軸的非負半軸，終邊為射線，在射線上任取一點，則【變式1-5】已知角的終邊經(jīng)過點，且，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】角的終邊經(jīng)過點，由，可得，所以，所以，，所以.故選：A．【變式1-6】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱，若，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)角a與β的終邊分別與單位圓交于點、，因為它們的終邊關(guān)于y軸對稱，所以且，因為，所以，所以．故選：A.題型二三角函數(shù)的符號判斷【例2】已知且，則是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角【答案】D【解析】，則是第三、四象限的角，則是第二、四象限的角∴是第四象限的角，故選：D．【變式2-1】若角滿足，，則在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】B【解析】，是第二或第四象限角；當(dāng)是第二象限角時，，，滿足；當(dāng)是第四象限角時，，，則，不合題意；綜上所述：是第二象限角.故選：B.【變式2-2】坐標(biāo)平面內(nèi)點的坐標(biāo)為，則點位于第（）象限.A．一B．二C．三D．四【答案】B【解析】，，則點位于第二象限，故選：B【變式2-3】若是第四象限角，則點在（）A．第二或第四象限B．第一或第三象限C．第三或第四象限D(zhuǎn)．第一或第二象限【答案】C【解析】因為是第四象限角，即，，所以，．當(dāng)時，，，此時是第二象限角，則，，點P在第三象限；當(dāng)時，，，此時是第四象限角，則，，點P在第四象限．所以點P在第三或第四象限．故選：C.【變式2-4】設(shè)是第三象限角，且，則的終邊所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】D【解析】因為是第三象限角，所以，，所以，，則是第二或第四象限角，又，即，所以是第四象限角.故選：D．【變式2-5】若，則θ角是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】B【解析】由對數(shù)函數(shù)的定義域可知：，，，又，所以有，所以角是第二象限角.故選：B題型三圓上的動點與旋轉(zhuǎn)點【例3】點P從（﹣1，0）出發(fā)，沿單位圓順時針方向運動弧長到達Q點，則Q點坐標(biāo)為__．【答案】（，）【解析】如圖所示，點P沿單位圓順時針方向運動弧長到達Q點，則∠xOQ，∴Q點坐標(biāo)為（cos，sin），即（，）．故答案為：．【變式3-1】已知某質(zhì)點從直角坐標(biāo)系xOy中的點出發(fā)，沿以O(shè)為圓心，2為半徑的圓周作逆時針方向的勻速圓周運動到達B點，若B在y軸上的射影為C，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)點得坐標(biāo)為，根據(jù)三角函數(shù)定義可知：，則∴故選：C．【變式3-2】已知單位圓上第一象限一點沿圓周逆時針旋轉(zhuǎn)到點，若點的橫坐標(biāo)為，則點的橫坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由單位圓上第一象限一點沿圓周逆時針旋轉(zhuǎn)到點，點的橫坐標(biāo)為，所以，即，所以，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則.故選：B【變式3-3】已知P是半徑為3的圓形砂輪邊緣上的一個質(zhì)點，它從初始位置開始，按逆時針方向做勻速圓周運動，角速度為.如圖，以砂輪圓心為原點，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，若，則點P到x軸的距離d關(guān)于時間t（單位：）的函數(shù)關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】經(jīng)過t秒后，點P在角的終邊上，由三角函數(shù)定義可知，點P到x軸的距離.故選：D【變式3-4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點B在第一象限內(nèi)，，，將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，則第2022次旋轉(zhuǎn)后，點B的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖所示，過點作軸與點，在直角中，，所以，因為，所以，可得，由題意，所以點的坐標(biāo)次一個循環(huán)，即周期為，又因為，所以.故選：B.題型四誘導(dǎo)公式一應(yīng)用【例4】求值：（1）tan405°－sin450°＋cos750°；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋＝.（2）原式＝sincos＋tan·cos＝sincos＋tancos＝×＋1