5.1任意角與弧度制一、任意角的定義1、定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。2、角的表示：（1）始邊：射線的起始位置．（2）終邊：射線的終止位置．（3）頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O．（4）記法：圖中的角可記為“角”或“”或“”．3、角的分類：（1）正角：按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；（2）負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；（3）零角：一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角叫做零角二、象限角與其集合表示1、終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整個(gè)周角的和.2、象限角的定義：在直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限的角。3、象限角的集合表示象限角集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角三、軸線角及其集合表示1、軸線角的定義：在直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限，可稱為軸線角。2、軸線角的集合表示角的終邊位置集合表示軸的非負(fù)半軸軸的非正半軸軸上軸非負(fù)半軸軸非正半軸軸上四、弧度制1、角度制：規(guī)定周角的為1度的角，這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.2、弧度制的定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度，這種用弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制.3、弧度制與角度制的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別（1）單位不同，弧度制以“弧度”為度量單位，角度制以“度”為度量單位；（2）定義不同.聯(lián)系不管以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個(gè)與圓的半徑大小無關(guān)的定值.五、角度制與弧度制之間的互化1、角度制與弧度制的換算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)2、一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0六、弧長與扇形面積公式設(shè)扇形的半徑為，弧長為，或°為其圓心角，則弧長公式與扇形面積公式如下：類別/度量單位角度制弧度制扇形的弧長扇形的面積題型一對任意角的概念理解與應(yīng)用【例1】平面直角坐標(biāo)系中，取角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為x軸的非負(fù)半軸，下列說法正確的是（）A．第一象限角一定不是負(fù)角B．三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角C．第二象限角必大于第一象限角D．鈍角的終邊在第二象限【答案】D【解析】－330°角是第一象限角，且是負(fù)角，故A錯(cuò)誤；三角形的內(nèi)角可能為90°，90°角不是第一象限角或第二象限角，故B錯(cuò)誤；α＝390°為第一象限角，β＝120°為第二象限角，此時(shí)α＞β，故C錯(cuò)誤；鈍角是大于90°且小于180°的角，它的終邊在第二象限，故D正確．故選：D．【變式1-1】下列命題中正確的是（）A．第一象限角一定不是負(fù)角B．小于的角一定是銳角C．鈍角一定是第二象限的角D．終邊相同的角一定相等【答案】C【解析】A：角顯然是第一象限角，但它是負(fù)角，本選項(xiàng)命題不正確；B：銳角是小于的正角，所以本選項(xiàng)命題不正確；C：鈍角是大于小于的角，顯然是第二象限的角，所以本選項(xiàng)命題正確；D：角和角顯然是終邊相同的角，但它們不相等，所以本選項(xiàng)命題不正確，故選：C【變式1-2】已知A＝{第二象限角}，B＝{鈍角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C關(guān)系是（）A．B＝A∩CB．B∪C＝CC．ACD．A＝B＝C【答案】B【解析】對A，如在集合里，但是并不是鈍角，所以不在集合里，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對B，鈍角大于90°，小于180°，故BC，故選項(xiàng)B正確；對C，AC，如在第二象限，但是并不大于，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對D，A＝B＝C錯(cuò)誤.如在第二象限，但是并不在集合B,C中.故選：B【變式1-3】喜洋洋從家步行到學(xué)校，一般需要10分鐘，則10分鐘時(shí)間鐘表的分針走過的角度是（）A．30°B．﹣30°C．60°D．﹣60°【答案】D【解析】因?yàn)榉轴槥轫槙r(shí)針旋轉(zhuǎn)，所以10分鐘時(shí)間鐘表的分針走過的角度是.故選：D．【變式1-4】如圖，圓的圓周上一點(diǎn)以為起點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一圈，之后從起始位置轉(zhuǎn)過的角是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)辄c(diǎn)以為起點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一圈，所以點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一分鐘轉(zhuǎn)的度數(shù)為，設(shè)之后從起始位置轉(zhuǎn)過的角為，故選：D．題型二求終邊相同的角【例2】將化為的形式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由知.故選：B.【變式2-1】與終邊相同的角是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴與終邊相同的角是.故選：D【變式2-2】在直角坐標(biāo)系中，若α與β的終邊互相垂直，那么α與β的關(guān)系式為（）A．β＝α+90°B．β＝α±90°C．β＝α+90°+k?360°（k∈Z）D．β＝α±90°+k?360°（k∈Z）【答案】D【解析】∵α與β的終邊互相垂直，∴β＝α±90°+k?360°（k∈Z）．故選：D．【變式2-3】已知角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，求.【答案】【解析】易知角與角的終邊關(guān)于軸對稱.

所以角的終邊與角的終邊重合.所以.【變式2-4】求與角終邊相同的最小正角和最大負(fù)角，并指出角是第幾象限角.【答案】最小正角為，最大負(fù)角為，角是第四象限角【解析】，角是第四象限角，與角終邊相同的角可以表示為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；與角終邊相同的最小正角為，最大負(fù)角為.題型三確定已知角所在的象限【例3】角是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】B【解析】因?yàn)椋越呛徒鞘墙K邊相同的角，因?yàn)榻鞘堑诙笙藿?，所以角是第二象限?故選：B.【變式3-1】（多選）下列四個(gè)角為第二象限角的是（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】對于A選項(xiàng)，，故為第二象限角；對于B選項(xiàng)，是第二象限角；對于C選項(xiàng)，是第三象限角；對于D選項(xiàng)，，故為第一象限角.故選：AB.【變式3-2】已知角，則角是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【解析】因?yàn)樗耘c是同一象限角，因?yàn)槭堑谌笙藿?，故為第三象限角．故選：C．【變式3-3】若，則的終邊在（）A．第二或第三象限B．第一或第三象限C．第二或第四象限D(zhuǎn)．第三或第四象限【答案】B【分析】分k為奇數(shù)和偶數(shù)討論可得.【解析】當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，記，則，此時(shí)為第三象限角；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，記，則，此時(shí)為第一象限角.故選：B題型四根據(jù)圖形寫出角的范圍【例4】已知，則角的終邊落在的陰影部分是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，得，則B選項(xiàng)中的陰影部分區(qū)域符合題意.故選：B．【變式4-1】集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，2nπ≤≤2nπ＋(n∈Z)，此時(shí)的終邊和0≤≤的終邊一樣，當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，2nπ＋π≤≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此時(shí)的終邊和π≤≤π＋的終邊一樣．故選：B．【變式4-2】如圖所示，終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是________________.【答案】{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}【解析】終邊落在陰影部分第二象限最左邊的角為,終邊落在陰影部分第四象限最左邊的角為.所以終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}.故答案為：{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}【變式4-3】如圖所示，終邊在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的角的集合為______．【答案】【解析】終邊在直線OM上的角的集合為：．同理可得終邊在直線ON上的角的集合為，所以終邊在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的角的集合為．故答案為：題型五由已知角確定某角所在象限【例5】若α是第四象限角，則90o－α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】B【解析】由題知，，，則，在第二象限，故選：B【變式5-1】若α是第二象限角，則180°－α是第______象限角．【答案】一【解析】若α是第二象限角，則，，所以，，即，，所以180°－α是第一象限角．故答案為：一.【變式5-2】已知為第四象限角，則為（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】A【解析】表示將角α的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得的角，因?yàn)棣翞榈谒南笙藿?，所以為第一象限角．故選：A【變式5-3】已知是第四象限角，則是第象限角.A．一B．二C．三D．四【答案】D【解析】由題意知，則，，顯然是第四象限角.故選：D題型六確定n分角和n倍角的象限【例6】若角是第一象限角，則是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角【答案】C【解析】因?yàn)槭堑谌笙藿?，所以，所以，?dāng)為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角.故選：C．【變式6-1】若α是第一象限的角，則是（）A．第一象限角B．第四象限角C．第二或第三象限角D．第二或第四象限角【答案】D【解析】由題意知，，，則，所以，．當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，為第四象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，為第二象限角．所以是第二或第四象限角.故選：D.【變式6-2】角的終邊屬于第一象限，那么的終邊不可能屬于的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】D【解析】∵角的終邊在第一象限，∴，，則，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的終邊落在第一象限，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的終邊落在第二象限，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的終邊落在第三象限，綜上，角的終邊不可能落在第四象限，故選：D.【變式6-3】已知α銳角，那么2α是（）A．小于180°的正角B．第一象限角C．第二象限角D．第一或二象限角【答案】A【解析】∵α銳角，∴0°<α<90°，∴0°<2α<180°，故選：A．【變式6-4】角的終邊在第二象限，則角的終邊在_________．【答案】第三、四象限或y軸非正半軸【解析】是第二象限角，，．，．的終邊的位置是第三或第四象限，的非正半軸．故答案為：第三、第四象限或軸的非正半軸題型七角度制與弧度制的概念【例7】下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．的角是周角的的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角時(shí)，角的大小與圓的半徑有關(guān)【答案】D【解析】根據(jù)角度和弧度的概念可知二者都是角的度量單位，的角是周角的，1rad的角是周角的，故A、B正確；1rad的角是，故C正確；無論哪種角的度量方法，角的大小都與圓的半徑無關(guān)，只與角的始邊和終邊的位置有關(guān)，故D錯(cuò)誤.故選：D【變式7-1】下列敘述中，正確的是（）A．1弧度是1度的圓心角所對的弧B．1弧度是長度為半徑的弧C．1弧度是1度的弧與1度的角的和D．1弧度是長度等于半徑的弧所對的圓心角，它是角的一種度量單位【答案】D【解析】根據(jù)弧度的定義，在單位圓中，長度為1的弧所對的圓心角稱為1弧度角.故選：D．【變式7-2】圓的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，而弧長也增加到原來的2倍，則（）A．扇形的圓心角大小不變B．扇形的圓心角增大到原來的2倍C．扇形的圓心角增大到原來的4倍D．不能確定【答案】A【解析】設(shè)圓心角的半徑與弧長分別為、，此時(shí)圓心角的弧度數(shù)為，當(dāng)圓心角的半徑與弧長都擴(kuò)大2倍后分別為、，此時(shí)圓心角的弧度數(shù)為，故選：A.【變式7-3】下列說法中，錯(cuò)誤的是()A．半圓所對的圓心角是πradB．周角的大小等于2πC．1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑D．長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度【答案】D【解析】由弧度制的定義可知：長度等于半徑的弧所對的圓心角的大小是1弧度，則長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小不是1弧度，D的說法錯(cuò)誤，很明顯ABC的說法正確.本題選擇D選項(xiàng).題型八角度與弧度之間的互化【例8】角的弧度數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】角對應(yīng)的弧度數(shù)為，故選：B.【變式8-1】下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．－150°化成弧度是B．化成度是－600°C．化成弧度是D．化成度是15°【答案】A【解析】對于A，，A錯(cuò)誤；對于B，，B正確；對于C，，C正確；對于D，，D正確．故選：A【變式8-2】教室里的鐘表慢了30分鐘，在同學(xué)將它校正的過程中，時(shí)針需要旋轉(zhuǎn)多少弧度?（）A．B．C．D．【答案】A【解析】將鐘表校正的過程中，需要順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)針，其大小為，故時(shí)針需要旋轉(zhuǎn)弧度，故選：A.【變式8-3】已知．（1）把表示成的形式，其中，；（2）求，使與的終邊相同，且．【答案】（1）；（2）【解析】（1）.（2），設(shè)，由可得，解得，，則，故.題型九扇形的弧長、面積計(jì)算【例9】一個(gè)扇形的半徑為3，圓心角為，且周長為8，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)扇形的弧長為l，則，則故選：B．【變式9-1】如圖為某校數(shù)學(xué)興趣小組用數(shù)學(xué)軟件制作的“螺旋蚊香”圖案，畫法如下：在水平直線l上取長度為1的線段AB，作一個(gè)等邊三角形ABC，然后以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑逆時(shí)針畫圓弧，交線段CB的延長線于點(diǎn)D，再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑逆時(shí)針畫圓弧，交線段AC的延長線于點(diǎn)E，以此類推，則如圖所示的“螺旋蚊香”圖案的總長度為（）A．B．14πC．24πD．10π【答案】B【解析】扇形ABD的半徑為1，圓心角為，所以的長，同理可得之后的各段弧長分別為，，，，，所以“螺旋蚊香”圖案的總長度.故選：B．【變式9-2】已知扇形的圓心角為，面積為，則該扇形所在圓的半徑為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因扇形的圓心角為，則此圓心角的弧度數(shù)是，設(shè)圓的半徑為r，則由扇形面積公式得：，而，解得，所以該扇形所在圓的半徑為2.故選：B【變式9-3】玉雕壁畫是采用傳統(tǒng)的手工雕刻工藝，加工生產(chǎn)成的玉雕工藝畫．某扇形玉雕壁畫尺寸（單位：cm）如圖所示，則該玉雕壁畫的扇面面積約為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖，設(shè)，，由題圖及弧長公式可得解得設(shè)扇形COD、扇形AOB的面積分別為，，則該玉雕壁畫的扇面面積．故選：D.題型十