函數(shù)專題：指數(shù)型與對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與值域一、復(fù)合函數(shù)的概念如果函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)為與在上的復(fù)合函數(shù)，其中叫做內(nèi)層函數(shù)，叫做外層函數(shù)二、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性1、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律：“同增異減”若內(nèi)外兩層函數(shù)的單調(diào)性相同，則它們的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若內(nèi)外兩層函數(shù)的單調(diào)性相反，則它們的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)2、具體判斷步驟（1）求出原函數(shù)的定義域；（2）將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；（3）分析內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性；（4）利用復(fù)合函數(shù)法“同增異減”可得出結(jié)論.三、指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法1、形如（，且）的函數(shù)求值域借助換元法：令，將求原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求的值域，但要注意“新元”的范圍2、形如（，且）的函數(shù)求值域借助換元法：令，先求出的值域，再利用的單調(diào)性求出的值域。四、對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法1、形如（，且）的函數(shù)求值域借助換元法：令，先求出的值域，再利用在上的單調(diào)性，再求出的值域。2、形如（，且）的函數(shù)的值域借助換元法：令，先求出的值域，再利用的單調(diào)性求出的值域。題型一復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷【例1】（多選）函數(shù)在下列哪些區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，結(jié)合選項(xiàng)，可得選項(xiàng)符合題意.故選：ACD.【變式1-1】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間___________.【答案】增區(qū)間為，減區(qū)間為【解析】設(shè)t＝>0，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x<－2.而函數(shù)t＝在R上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.故答案為：增區(qū)間為，減區(qū)間為【變式1-2】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得：，即定義域?yàn)椋涣?，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又在上單調(diào)遞減，的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：B.【變式1-3】函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是______．【答案】【解析】由，得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則，因?yàn)樵谏线f增，在上遞減，而在上為增函數(shù)，所以在上遞增，在上遞減，故答案為：題型二根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【例2】若函數(shù)在單調(diào)遞減，則a的取值范圍（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依題意函數(shù)在單調(diào)遞減，在上遞減，的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，.故選：C【變式2-1】若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】由復(fù)合函數(shù)的同增異減性質(zhì)可得，在上嚴(yán)格單調(diào)遞減，二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為所以，即故答案為：【變式2-2】已知f（x）＝在區(qū)間[2，＋∞）上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，由已知，應(yīng)有，且滿足當(dāng)x≥2時(shí)y＝x2－ax＋3a>0，即，解得．故答案為：【變式2-3】若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，所以，函數(shù)在單調(diào)遞減，且函數(shù)值非負(fù)，所以函數(shù)在是單調(diào)遞增且，故

，解得，故選：C【變式2-4】已知且，對(duì)任意且，不等式恒成立，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】因?yàn)閷?duì)任意且，不等式恒成立，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，又由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域知，當(dāng)時(shí)，恒成立，可得，解得，綜上可得；，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式2-5】已知函數(shù)，記，若在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，則，令，由，所以，令，因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以在也是增函數(shù)，所以，則，即故選：A.題型三復(fù)合函數(shù)的值域求解【例3】函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】C【解析】令，則，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，所以，故函數(shù)的值域?yàn)椋蔬x：C【變式3-1】函數(shù)在上的值域?yàn)開(kāi)__________.【答案】【解析】∵則令，在遞增∴【變式3-2】已知函數(shù)，則其值域?yàn)開(kāi)__________.【答案】【解析】令，∵，∴，∴，又關(guān)于對(duì)稱，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，即，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，,.【變式3-3】已知函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間及最大值．【答案】單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；【解析】由得：，的定義域?yàn)?；，令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；由單調(diào)性可知：.【變式3-4】已知．（1）設(shè)，求t的最大值與最小值；（2）求的值域．【答案】（1），；（2）[3，4].【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間[2，4]上是單調(diào)遞增的，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．（2）令，則，由（1）得，因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，所以當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，故的值域?yàn)?【變式3-5】已知函數(shù)，求函數(shù)在上的最小值．【答案】【解析】設(shè)，由得，，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，綜上．【變式3-6】已知函數(shù)，若，求在區(qū)間上的最大值．【答案】.【解析】令，即求在區(qū)間上的最大值．當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，，則；③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)，，則；④當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，.綜上所述，.題型四根據(jù)復(fù)合函數(shù)的值域求解【例4】若函數(shù)的最大值是2，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由在定義域上遞減，要使有最大值，則在定義域上先減后增，當(dāng)，則的最小值為，所以，可得.故選：A【變式4-1】已知函數(shù)的值域?yàn)?，若不等式在上恒成立，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，函數(shù)的值域?yàn)?，可得函?shù)的最大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)顯然不存在最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即，解得；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)無(wú)最大值，所以在上恒成立，即在上恒成立，由在上恒成立，可得；由在上恒成立，即在上恒成立，可得；由在上恒成立，即在上恒成立，令，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，綜上可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【變式4-2】已知函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．3B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，即，所以，其中，所以，解得，所以，所以，故函數(shù)的最小值為．令，則，故函數(shù)的最小值為等價(jià)于的最小值為，等價(jià)于或，解得．故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B．【變式4-3】函數(shù)沒(méi)有最小值，則的取值范圍是______．【答案】【解析】令，則外函數(shù)為，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，要使