第三章：函數(shù)的概念與性質(zhì)重點(diǎn)題型復(fù)習(xí)題型一函數(shù)的概念辨析【例1】下列關(guān)于函數(shù)與區(qū)間的說法正確的是（）A．函數(shù)定義域必不是空集，但值域可以是空集B．函數(shù)定義域和值域確定后，其對應(yīng)法則也就確定了C．?dāng)?shù)集都能用區(qū)間表示D．函數(shù)中一個(gè)函數(shù)值可以有多個(gè)自變量值與之對應(yīng)【答案】D【解析】對于A，函數(shù)的定義域和值域均為非空數(shù)集，A錯(cuò)誤；對于B，若函數(shù)的定義域和值域均為，對應(yīng)法則可以是，也可以是，B錯(cuò)誤；對于C，自然數(shù)集無法用區(qū)間表示，C錯(cuò)誤；對于D，由函數(shù)定義可知，一個(gè)函數(shù)值可以有多個(gè)自變量值與之對應(yīng)，D正確.【變式1-1】下列對應(yīng)關(guān)系或關(guān)系式中是從A到B的函數(shù)的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】B【解析】對于A，可化為，顯然對任意（除外），y值不唯一，故不符合函數(shù)的定義；對于B，符合函數(shù)的定義；對于C，當(dāng)時(shí)，對應(yīng)關(guān)系無意義，故不符合函數(shù)的定義；對于D，當(dāng)為非正整數(shù)時(shí)，對應(yīng)關(guān)系無意義，故不符合函數(shù)的定義.故選：B【變式1-2】已知集合，，下列對應(yīng)關(guān)系中，從A到B的函數(shù)為（）A．f：B．f：C．f：D．f：【答案】D【解析】對A：當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的為0,1,2，所以選項(xiàng)A不能構(gòu)成函數(shù)；對B：當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的為0,1,4，所以選項(xiàng)B不能構(gòu)成函數(shù)；對C：當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的為0,2,4，所以選項(xiàng)C不能構(gòu)成函數(shù)；對D：當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的為,1,3，所以選項(xiàng)D能構(gòu)成函數(shù)；故選：D.【變式1-3】如圖所示，下列對應(yīng)法則，其中是函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A．B．C．D．【答案】A【解析】①②③這三個(gè)圖所示的對應(yīng)法則都符合函數(shù)的定義，即A中每一個(gè)元素在對應(yīng)法則下，在中都有唯一的元素與之對應(yīng)，對于④⑤，A的每一個(gè)元素在中有個(gè)元素與之對應(yīng)，∴不是A到的函數(shù)，對于⑥，A中的元素、在中沒有元素與之對應(yīng)，∴不是A到的函數(shù)，綜上可知，是函數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選：A.【變式1-4】下列關(guān)系中是函數(shù)關(guān)系的是（）A．等邊三角形的邊長和周長關(guān)系B．電腦的銷售額和利潤的關(guān)系C．玉米的產(chǎn)量和施肥量的關(guān)系D．日光燈的產(chǎn)量和單位生產(chǎn)成本關(guān)系【答案】A【解析】根據(jù)函數(shù)關(guān)系的定義可得，選項(xiàng)A中，當(dāng)?shù)冗吶切蔚倪呴L取一定的值時(shí)，周長有唯一且確定的值與其對應(yīng)，所以等邊三角形的邊長和周長符合函數(shù)關(guān)系；其他選項(xiàng)中，兩個(gè)量之間沒有明確的對應(yīng)關(guān)系，所以不是函數(shù)關(guān)系故選：A【變式1-5】若函數(shù)的定義域M＝{x|}，值域?yàn)镹＝{y|}，則函數(shù)的圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A中定義域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，故錯(cuò)誤；C中圖象不表示函數(shù)關(guān)系，因?yàn)榇嬖谝粋€(gè)對應(yīng)兩個(gè)，不滿足函數(shù)定義；D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}.只有中的定義域和值域滿足題意，且表示函數(shù)關(guān)系，符合題意.故選：B.題型二判斷是否為同一個(gè)函數(shù)【例2】下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A.函數(shù)的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)镽，故不是同一函數(shù)；B.的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)椋什皇峭缓瘮?shù)；C.的定義域都是R，且解析式相同，故是同一函數(shù)；D.的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)榛颍什皇峭缓瘮?shù)，故選：C【變式2-1】下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】A中，，定義域都為，對應(yīng)關(guān)系以及值域相同，故為同一函數(shù)；B中，，定義域?yàn)?，定義域?yàn)镽，故不是同一函數(shù)；C中，，定義域?yàn)椋x域?yàn)榛?，故不是同一函?shù)；D中，，定義域?yàn)镽，定義域?yàn)?，故不是同一函?shù)；故選：A【變式2-2】下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）A．與B．與C．與D．與【答案】C【解析】對于A，，，對應(yīng)關(guān)系不同，即不是同一函數(shù)，故A不正確；對于B，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，定義域相同，對應(yīng)關(guān)系不同，函數(shù)不是同一函數(shù)，故B不正確；對于C，，定義域?yàn)?，，定義域?yàn)?，定義域、對應(yīng)關(guān)系相同，故為同一函數(shù)，故C正確；對于D，定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，定義域不同，函數(shù)不是同一函數(shù)，故D不正確；故選：C【變式2-3】下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）A．與B．與C．與D．與【答案】A【解析】對于A，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，則兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，是同一函數(shù)；對于B，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，則兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；對于C，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，則兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；對于D，和的對應(yīng)關(guān)系不同，故不是同一函數(shù).故選：A.題型三求函數(shù)的定義域【例3】函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．且B．或C．D．且【答案】D【解析】由題得且.所以函數(shù)的定義域?yàn)榍夜蔬x：D【變式3-1】函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】C【解析】要使函數(shù)有意義，則有，解得且，所以其定義域?yàn)椋蔬x：C.【變式3-2】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，則，所以，解得，所以的定義域?yàn)?，故選：B【變式3-3】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?)A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意得：，解得：，由，解得：，故函數(shù)的定義域是，故選：B．【變式3-4】函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（0，1）B．（﹣∞，﹣1]C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【答案】B【解析】f（x）的定義域是R，則恒成立，即恒成立，則，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：B.【變式3-5】若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】的定義域是R，則恒成立，時(shí)，恒成立，時(shí)，則，解得，綜上，．故答案為：．題型四求函數(shù)的解析式【例4】已知函數(shù)是一次函數(shù)，且恒成立，則（）A．1B．3C．7D．9【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是一次函數(shù)，且恒成立，令，則，所以，解得，所以，，故選：D【變式4-1】已知二次函數(shù)滿足，求的解析式；【答案】【解析】設(shè)二次函數(shù)，則，故，解得，故.【變式4-2】若函數(shù)，且，則等于（）A．B．C．3D．【答案】D【解析】令，則，即故選：D.【變式4-3】設(shè)函數(shù)，則的表達(dá)式為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，則可得所以，所以，故選：B【變式4-4】若對任意實(shí)數(shù)，均有，求.【答案】.【解析】利用方程組法求解即可；∵（1）∴（2）由得，∴.故答案為：.【變式4-5】設(shè)函數(shù)是→的函數(shù)，滿足對一切，都有，則的解析式為______．【答案】【解析】由，得，將和看成兩個(gè)未知數(shù)，可解得，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，故答案為：.題型五定義法證明函數(shù)的單調(diào)性【例5】已知函數(shù)，判斷并證明在區(qū)間上的單調(diào)性．【答案】單調(diào)遞增，證明見解析【解析】在區(qū)間上單調(diào)遞增，理由如下：任取，，且，．因?yàn)?，所以，，，所以所以，所以，即，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．【變式5-1】已知函數(shù)，試判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．【答案】增函數(shù)，證明見解析【解析】在區(qū)間上是增函數(shù)．證明如下：設(shè)，且，則，因?yàn)?，所以，，又，所以，且與不可能同時(shí)為0，所以，故，故在區(qū)間上是增函數(shù)．【變式5-2】證明：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).【答案】證明見解析.【解析】設(shè)，且，而因?yàn)?，則，所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).【變式5-3】已知函數(shù)對任意的，，都有，且當(dāng)時(shí)，，判斷并證明的單調(diào)性；【答案】函數(shù)在上為增函數(shù)；（2）．【解析】設(shè)是上任意兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)，且，則，，由已知條件當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以函數(shù)在上為增函數(shù)；題型六利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【例6】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】由題意知，第一步函數(shù)單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)同增異減可知，第二步考慮函數(shù)定義域，在恒成立，得到故答案為：.【變式6-1】若在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的增減性可知，若在為增函數(shù)，，，【變式6-2】（多選）函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍可以是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】二次函數(shù)圖象對稱軸為：，因函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，于是有：當(dāng)函數(shù)在上遞減時(shí)，，解得，當(dāng)函數(shù)在上遞增時(shí)，，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是：或.故選：AD【變式6-3】已知函數(shù)對于且，都有，則的取值范圍為______．【答案】【解析】由題意可知，在上為單調(diào)增函數(shù)，要使在上單調(diào)遞增，則，即，要使在上單調(diào)遞增，則，同時(shí)，解得：，綜上可知：.題型七求函數(shù)的最值或值域【例7】求函數(shù)，的最大值與最小值.【答案】最大值，最小值【解析】函數(shù)，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得：在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)取到最小值.又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)取到最大值，所以函數(shù)的最大值，最小值【變式7-1】的值域是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，又在時(shí)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為，所以值域是，故選：A.【變式7-2】函數(shù)的值域（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題意，，其中的值域?yàn)?，故函?shù)的值域?yàn)?，故選D．【變式7-3】若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故選：B．【變式7-4】已知設(shè)，則函數(shù)的最大值是（）A．B．1C．2D．3【答案】B【解析】當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以；綜上：函數(shù)的最大值為1，故選：B題型八函數(shù)奇偶性的判斷【例8】判斷下列函數(shù)的奇偶性．（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）奇函數(shù)；（2）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)（3）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；（4）偶函數(shù)【解析】（1）的定義域是，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以是奇函數(shù)．（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．（3）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，則既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．（4）方法一（定義法）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．①當(dāng)x＞1時(shí)，，所以；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，，所以．綜上，可知函數(shù)為偶函數(shù)．方法二（圖象法）

作出函數(shù)的圖象，如圖所示，易知函數(shù)為偶函數(shù)．【變式8-1】函數(shù)的圖象關(guān)于_________對稱．【答案】原點(diǎn)【解析】要使函數(shù)有意義，則，得，解得或，則定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．此時(shí)，則函數(shù)，，函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱故答案為：原點(diǎn)【變式8-2】判斷的奇偶性.【答案】當(dāng)時(shí)，既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)【解析】因?yàn)椋远x域關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)時(shí)，則，所以既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以是奇函?shù).綜上所述，當(dāng)時(shí)，既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù).【變式8-3】設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)?選項(xiàng)A：，定義域?yàn)?，定義域不對稱，故A錯(cuò).選項(xiàng)B：，定義域?yàn)?，定義域不對稱，故B錯(cuò).選項(xiàng)C：，定義域?yàn)?，定義域不對稱，故C錯(cuò).選項(xiàng)D：，定義域?yàn)?，定義域?qū)ΨQ，為奇函數(shù).故D正確.故選：D.【變式8-4】設(shè)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是（）A．是奇函數(shù)B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù)D．是奇函數(shù)【答案】C【解析】A選項(xiàng)：設(shè)，，則為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：設(shè)，則，與關(guān)系不定，即不確定的奇偶性，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：設(shè)，則，則為奇函數(shù)，C正確；D選項(xiàng)：設(shè)，則，則為偶函數(shù)，D錯(cuò)誤．故選：C.題型九利用函數(shù)的奇偶性求值或求參【例9】若函數(shù)在上為奇函數(shù)，則___________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上為奇函數(shù)，所以，得，又，即，即恒成立，所以，所以.故答案為：.【變式9-1】若函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A．B．C．D．1【答案】B【解析】根據(jù)題意得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即，整理得：，所以，解得.故選：B【變式9-2】已知函數(shù)是偶函數(shù)，則a＝______．【答案】1【解析】函數(shù)是偶函數(shù)，則，即，解之得經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故答案為：1【變式9-3】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么等于（）A．﹣2B．﹣1C．0D．2【答案】A【解析】因?yàn)闀r(shí)，，可得，又因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，可得.故選：A.【變式9-4】設(shè)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，（m為常數(shù)），則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，，所以.故選：C.【變式9-5】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M，最小值為N，則的值為______.【答案】1【解析】由題意知，（），設(shè)，則，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，在區(qū)間上的最大值與最小值的和為0，故，所以.題型十利用函數(shù)的奇偶性求解析式【例10】設(shè)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)，則，所以，又為奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，.故選：B.【變式10-1】函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，則，則，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，.故選：D.【變式10-2】已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，即，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以．故選：．【變式10-3】若定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足（e為無理數(shù)，），則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由可得，根據(jù)與的奇偶性可得，故.整理得，即.故選：D.題型十一利用單調(diào)性奇偶性解不等式【例11】定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵是偶函數(shù)，，故可變形為，∵在區(qū)間上單調(diào)遞減，故.故選：C.【變式11-1】若偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是__________.【答案】【解析】因?yàn)榕己瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，則不等式等價(jià)于，解得，所以原不等式的解集為.故答案為：【變式11-2】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)且單調(diào)遞減，若則a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)且單調(diào)遞減，可化為則，解之得故選：C【變式11-3】奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，所以函?shù)的定義域?yàn)椋?，解得．又奇函?shù)是上的減函數(shù)，所以是上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減．由，得，所以，所以，解得．綜上，．故答案為：．【變式11-4】已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，若，，且，都有成立，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的偶函數(shù)，所以，即是定義在R上奇函數(shù)．又，，且，都有成立，所以在上單調(diào)遞減，又是定義在R上奇函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞減，所以，即，所以，解得．故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C．題型十二利用單調(diào)性奇偶性比較大小【例12】定義在R上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，則下列判斷正確的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，，又，且在上是減函數(shù)，所以.故選：A【變式12-1】已知定義在R上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①；②，當(dāng)時(shí)，．記，，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意，，，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．又，，所以函數(shù)是R上的偶函數(shù)，所以,則有，所以，故選：B．【變式12-2】已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵當(dāng)時(shí)，恒成立，∴當(dāng)時(shí)，，即，∴函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，∵函數(shù)是偶函數(shù)，即，∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，∴，又函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，∴，即，∴，故選：B．【變式12-3】已知對于任意都有，且在區(qū)間上是單調(diào)遞增的，則的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對于任意都有，周期為，偶函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增，，，，即故選：D題型十三利用函數(shù)的周期性求值【例13】已知是R上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（）A．3B．C．255D．【答案】B【解析】由可得，，故是以4為周期的周期函數(shù)，故，故選：B【變式13-1】已知是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，滿足，若，則（）A．2B．C．0D．2022【答案】A【解析】,又，，函數(shù)的周期.又函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，，，，，又.故選：A.【變式13-2】已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且對都有當(dāng)時(shí)，.則（）A．B．1C．2D．【答案】D【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，，取可得，∴又對有，取可得，所以.，，，，即，的周期.故選：D.【變式13-3】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則________.【答案】【解析】由為奇函數(shù)，可得，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，又定義域?yàn)镽，則有；又為偶函數(shù)，可得，函數(shù)關(guān)于直線對稱，，又，則，則，函數(shù)周期為4，則；由上可得，則，解得，則，則.故答案為：.題型十四抽象函數(shù)綜合問題【例4】函數(shù)f（x）對于任意的實(shí)數(shù)x，y都有f(x+y)=f（x）+f（y）成立，且當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＜0恒成立．（1）證明函數(shù)f（x）的奇偶性；（2）若f（1）=－2，求函數(shù)f（x）在[－2，2]上的最大值；（3）解關(guān)于x的不等式【答案】（1）證明見解析；（2）4；（3）或【解析】（1）令x=y=0得f(0)=0,再令y=—x即得f(－x)=－f(x）,∴是奇函數(shù).（2）設(shè)任意，且，則，由已知得①，又②，由①②可知，由函數(shù)的單調(diào)性定義知f(x)在(-∞，+∞)上是減函數(shù)，∴x∈[－2，2]時(shí)，，∴f(x)當(dāng)x∈[－2，2]時(shí)的最大值為4．（3）由已知得：，由（1）知f(x）是奇函數(shù)，∴上式又可化為：，由（2）知f(x）是R上的減函數(shù)，∴上式即：，化簡得，∴原不等式的解集為或.【變式14-1】已知函數(shù)的定義域是，對定義域內(nèi)的任意都有，且當(dāng)時(shí)，.（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）判斷的單調(diào)性并加以證明；（3）如果對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）函數(shù)單調(diào)遞減，證明見解析；（3）【解析】（1）；；當(dāng)時(shí)，；；當(dāng)時(shí)，.（2）單調(diào)遞減.證明：，，，即單調(diào)遞減（3）函數(shù)的定義域是；恒成立；由（2），單調(diào)遞減，恒成立，恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以；又有意義，所以綜上：.【變式14-2】已知函數(shù)對任意，都有，且當(dāng)時(shí)，．（1）求證：在上是增函數(shù)；（2）若關(guān)于a的方程的一個(gè)實(shí)根是1，求的值；（3）在（2）的條件下，已知，解關(guān)于x的不等式．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）詳見解析【解析】（1）依題意，且時(shí)，，令，則，，任取，，由于，所以，所以，所以在上遞增.（2）由（1）知，在上遞增，，.（3）依題意，在上遞增，.，，，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為空集.當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.【變式14-3】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，并且滿足，且當(dāng)時(shí)，（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并給出證明；（3）如果，求的取值范圍；【答案】（1）0；（2）函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，詳見解析；（3）.【解析】（1）令，則，∴；（2）函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，設(shè)，且，則，∴，∵當(dāng)時(shí)，∴，即∴，∴函數(shù)是定義在上的減函數(shù)；（3）∵∴,又，∴，∴函數(shù)是奇函數(shù)，∵，∴，∴，又函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，∴，即，∴的取值范圍為.題型十五冪函數(shù)的圖象性質(zhì)【例15】現(xiàn)有下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】冪函數(shù)滿足形式，故，滿足條件，共2個(gè)故選：B【變式15-1】（多選）已知冪函數(shù)，其中，則下列說法正確的是（）A．B．恒過定點(diǎn)C．若時(shí)，關(guān)于軸對稱D．若時(shí)，【答案】ABC【解析】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，解得，故A正確；則，故恒過定點(diǎn)，故B正確；當(dāng)時(shí)，，，所以為偶函數(shù)，則關(guān)于軸對稱，故C正確；當(dāng)時(shí)，，則在上為增函數(shù)，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC【變式15-2】圖中，，分別為冪函數(shù)，，在第一象限內(nèi)的圖象，則，，依次可以是（）A．，3，B．，3，C．，，3D．，，3【答案】D【解析】由題圖知：，，，所以，，依次可以是，，3．故選：D【變式15-3】當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為減函數(shù)，則_________．【答案】2【解析】函數(shù)為冪函數(shù)，則，解得或，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，可得，可得，故答案為：2【變式15-4】已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則m＝______．【答案】4【解析】由題意可得，解得故答案為：4.【變式15-5】已知冪函數(shù)為奇函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意，冪函數(shù)，可得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為非奇非偶函數(shù)，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以.（2）由（1）知，可得在上為增函數(shù)，因?yàn)?，所以，解得，所以的取值范圍?題型十六簡單函數(shù)模型的應(yīng)用【例16】“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn).研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時(shí)，某種魚在一定的條件下，把每尾魚的平均生長速度v（單位：千克/年）表示為養(yǎng)殖密度x（單位：尾/立方米）的函數(shù).當(dāng)時(shí)，v的值為2；當(dāng)時(shí)，v是關(guān)于x的一次函數(shù).當(dāng)x＝20時(shí)，因缺氧等原因，v的值為0.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)x為多大時(shí)，魚的年生長量（單位：千克/立方米）可以達(dá)到最大？并求出最大值.【答案】（1）；（2）x＝10，最大值為12.5千克/立方米【解析】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，是關(guān)于x的一次函數(shù)，假設(shè)，則，解得，所以.（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值.因?yàn)?，所以?dāng)x＝10時(shí)，魚的年生長量可以達(dá)到最大，最大值為12.5.【變式16-1】吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奧會(huì)強(qiáng)勢出圈，并衍生出很多不同品類的吉祥物手辦．某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本為200萬元．每生產(chǎn)萬盒，需投入成本萬元，當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時(shí)；當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時(shí)，若每盒玩具手辦售價(jià)200元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售完（利潤＝售價(jià)－成本，成本＝固定成本＋生產(chǎn)中投入成本）（1）求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少萬盒時(shí)，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲利潤最大？【答案】（1）；（2）70萬盒【解析