高等數(shù)學(xué)(下冊)(慕課版)課件 第7章 第4講 冪級數(shù)及其收斂性_第1頁
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第4講冪級數(shù)及其收斂性高等數(shù)學(xué)(下冊)(慕課版)主講教師|第7章無窮級數(shù)本講內(nèi)容01函數(shù)項級數(shù)02冪級數(shù)及其收斂性01函數(shù)項級數(shù)31.函數(shù)項級數(shù)的定義表達(dá)式

叫做函數(shù)項無窮級數(shù),簡稱為函數(shù)項級數(shù).

的通項或一般項.

01函數(shù)項級數(shù)42.收斂點與收斂域

否則稱為函數(shù)項級數(shù)

的發(fā)散點.

函數(shù)項級數(shù)

的所有收斂點組成的集合稱為函數(shù)項級數(shù)的收斂域;所有發(fā)散點組成的集合稱為發(fā)散域.

01函數(shù)項級數(shù)53.和函數(shù)

??注(1)和函數(shù)的定義域就是該級數(shù)的收斂域.在收斂域上有

6??例1解求級數(shù)

的收斂域.

P18例7.19由比值審斂法可知

原級數(shù)絕對收斂.

原級數(shù)發(fā)散.01函數(shù)項級數(shù)

701函數(shù)項級數(shù)

本講內(nèi)容01函數(shù)項級數(shù)02冪級數(shù)及其收斂性02冪級數(shù)及其收斂性91.冪級數(shù)的定義??定義7.1

02冪級數(shù)及其收斂性102.冪級數(shù)的收斂性??定理7.1

(阿貝爾定理)

絕對收斂;反之,如果冪級數(shù)

發(fā)散.02冪級數(shù)及其收斂性11??推論如果冪級數(shù)

它具有以下性質(zhì):

02冪級數(shù)及其收斂性12??定義

的收斂半徑.

的收斂區(qū)間.收斂區(qū)間加上收斂的端點構(gòu)成冪級數(shù)

的收斂域.

02冪級數(shù)及其收斂性13

規(guī)定若冪級數(shù)

若冪級數(shù)

02冪級數(shù)及其收斂性14??例2解試分別討論冪級數(shù)

在以下三種情況下,

的大小關(guān)系.P20即時提問7.3(1)若冪級數(shù)

(2)若冪級數(shù)

(3)若冪級數(shù)

02冪級數(shù)及其收斂性15??例3解已知冪級數(shù)

A.條件收斂;B.絕對收斂;C.發(fā)散;D.無法確定斂散性.P25同步習(xí)題7.3

基礎(chǔ)題1(1)由冪級數(shù)

B02冪級數(shù)及其收斂性16所以冪級數(shù)

02冪級數(shù)及其收斂性17??例4解已知冪級數(shù)

的收斂域為

______.P25同步習(xí)題7.3

基礎(chǔ)題2(2)由題意可知冪級數(shù)

從而冪級數(shù)

(1,5]02冪級數(shù)及其收斂性18又

所以冪級數(shù)

02冪級數(shù)及其收斂性193.冪級數(shù)收斂域的求解方法??定理7.2設(shè)冪級數(shù)

的系數(shù)全不為零,如果

則冪級數(shù)的收斂半徑為

02冪級數(shù)及其收斂性20??例5解

求冪級數(shù)

的收斂區(qū)間和收斂域.因為

02冪級數(shù)及其收斂性21

02冪級數(shù)及其收斂性22??例6解求冪級數(shù)

的收斂區(qū)間.

因為

02冪級數(shù)及其收斂性23??例7解求冪級數(shù)

的收斂區(qū)間.

因為

02冪級數(shù)及其收斂性24??例8解求冪級數(shù)

的收斂半徑.

級數(shù)缺少奇次冪的項,定理7.9不能應(yīng)用.可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑.冪級數(shù)的一般項記為

02冪級數(shù)及其收斂性25因為

02冪級數(shù)及其收斂性26求冪級數(shù)

的收斂域的基本步驟:(1)?先觀察

缺項與否;(2)若不缺項,應(yīng)用定理7.10求

02冪級數(shù)及其收斂性27(2)′?若缺項,應(yīng)用比值判別法或根值判別法

(3)?考察冪級數(shù)在兩端點的收斂性,寫出收斂域.02冪級數(shù)及其收斂性28??例9解求冪級數(shù)

的收斂域.P22例7.24

因為

所以收斂半徑

02冪級數(shù)及其收斂性29

此級數(shù)發(fā)散;

此級數(shù)收斂.因此級數(shù)

02冪級數(shù)及其收斂性30??例10解求冪級數(shù)

的收斂域.原冪級數(shù)缺少偶次冪的項,直接應(yīng)用比值審斂法來求收斂區(qū)間.由

P26

同步習(xí)題7.3

基礎(chǔ)題4(4)

02冪級數(shù)及其收斂性31

該級數(shù)發(fā)散;

02冪級數(shù)及其收斂性32??例11解

1

02冪級數(shù)及其收斂性33

02冪級數(shù)及其收斂性34??例12解

2

02冪級數(shù)及其收斂性35??例13解

3

02冪級數(shù)及其收斂性36??例14解求冪級數(shù)

的收斂半徑和收斂區(qū)間.4記

,則有故收斂半徑為

,收斂區(qū)間為

,即

。02冪級數(shù)及其收斂性37??例15解求冪級數(shù)

的收斂半徑和收斂區(qū)間.5記

,則有故收斂半徑為

,收斂區(qū)間為.02冪級數(shù)及其收斂性38??例16解求冪級數(shù)

的收斂半徑和收

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