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第4講冪級數(shù)及其收斂性高等數(shù)學(xué)(下冊)(慕課版)主講教師|第7章無窮級數(shù)本講內(nèi)容01函數(shù)項級數(shù)02冪級數(shù)及其收斂性01函數(shù)項級數(shù)31.函數(shù)項級數(shù)的定義表達(dá)式
叫做函數(shù)項無窮級數(shù),簡稱為函數(shù)項級數(shù).
的通項或一般項.
01函數(shù)項級數(shù)42.收斂點與收斂域
否則稱為函數(shù)項級數(shù)
的發(fā)散點.
函數(shù)項級數(shù)
的所有收斂點組成的集合稱為函數(shù)項級數(shù)的收斂域;所有發(fā)散點組成的集合稱為發(fā)散域.
01函數(shù)項級數(shù)53.和函數(shù)
??注(1)和函數(shù)的定義域就是該級數(shù)的收斂域.在收斂域上有
6??例1解求級數(shù)
的收斂域.
P18例7.19由比值審斂法可知
原級數(shù)絕對收斂.
原級數(shù)發(fā)散.01函數(shù)項級數(shù)
701函數(shù)項級數(shù)
本講內(nèi)容01函數(shù)項級數(shù)02冪級數(shù)及其收斂性02冪級數(shù)及其收斂性91.冪級數(shù)的定義??定義7.1
02冪級數(shù)及其收斂性102.冪級數(shù)的收斂性??定理7.1
(阿貝爾定理)
絕對收斂;反之,如果冪級數(shù)
發(fā)散.02冪級數(shù)及其收斂性11??推論如果冪級數(shù)
它具有以下性質(zhì):
02冪級數(shù)及其收斂性12??定義
的收斂半徑.
的收斂區(qū)間.收斂區(qū)間加上收斂的端點構(gòu)成冪級數(shù)
的收斂域.
02冪級數(shù)及其收斂性13
規(guī)定若冪級數(shù)
若冪級數(shù)
02冪級數(shù)及其收斂性14??例2解試分別討論冪級數(shù)
在以下三種情況下,
的大小關(guān)系.P20即時提問7.3(1)若冪級數(shù)
(2)若冪級數(shù)
(3)若冪級數(shù)
02冪級數(shù)及其收斂性15??例3解已知冪級數(shù)
A.條件收斂;B.絕對收斂;C.發(fā)散;D.無法確定斂散性.P25同步習(xí)題7.3
基礎(chǔ)題1(1)由冪級數(shù)
B02冪級數(shù)及其收斂性16所以冪級數(shù)
02冪級數(shù)及其收斂性17??例4解已知冪級數(shù)
的收斂域為
______.P25同步習(xí)題7.3
基礎(chǔ)題2(2)由題意可知冪級數(shù)
從而冪級數(shù)
(1,5]02冪級數(shù)及其收斂性18又
由
所以冪級數(shù)
02冪級數(shù)及其收斂性193.冪級數(shù)收斂域的求解方法??定理7.2設(shè)冪級數(shù)
的系數(shù)全不為零,如果
則冪級數(shù)的收斂半徑為
02冪級數(shù)及其收斂性20??例5解
求冪級數(shù)
的收斂區(qū)間和收斂域.因為
02冪級數(shù)及其收斂性21
02冪級數(shù)及其收斂性22??例6解求冪級數(shù)
的收斂區(qū)間.
因為
02冪級數(shù)及其收斂性23??例7解求冪級數(shù)
的收斂區(qū)間.
因為
02冪級數(shù)及其收斂性24??例8解求冪級數(shù)
的收斂半徑.
級數(shù)缺少奇次冪的項,定理7.9不能應(yīng)用.可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑.冪級數(shù)的一般項記為
02冪級數(shù)及其收斂性25因為
02冪級數(shù)及其收斂性26求冪級數(shù)
的收斂域的基本步驟:(1)?先觀察
缺項與否;(2)若不缺項,應(yīng)用定理7.10求
則
02冪級數(shù)及其收斂性27(2)′?若缺項,應(yīng)用比值判別法或根值判別法
(3)?考察冪級數(shù)在兩端點的收斂性,寫出收斂域.02冪級數(shù)及其收斂性28??例9解求冪級數(shù)
的收斂域.P22例7.24
因為
所以收斂半徑
02冪級數(shù)及其收斂性29
此級數(shù)發(fā)散;
此級數(shù)收斂.因此級數(shù)
02冪級數(shù)及其收斂性30??例10解求冪級數(shù)
的收斂域.原冪級數(shù)缺少偶次冪的項,直接應(yīng)用比值審斂法來求收斂區(qū)間.由
P26
同步習(xí)題7.3
基礎(chǔ)題4(4)
02冪級數(shù)及其收斂性31
該級數(shù)發(fā)散;
02冪級數(shù)及其收斂性32??例11解
1
02冪級數(shù)及其收斂性33
02冪級數(shù)及其收斂性34??例12解
2
02冪級數(shù)及其收斂性35??例13解
3
02冪級數(shù)及其收斂性36??例14解求冪級數(shù)
的收斂半徑和收斂區(qū)間.4記
,則有故收斂半徑為
,收斂區(qū)間為
,即
。02冪級數(shù)及其收斂性37??例15解求冪級數(shù)
的收斂半徑和收斂區(qū)間.5記
,則有故收斂半徑為
,收斂區(qū)間為.02冪級數(shù)及其收斂性38??例16解求冪級數(shù)
的收斂半徑和收
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