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THEORYMECHANICS電子教案第九章
剛體的平面運(yùn)動(dòng)9.1
剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化及其分解9.2平面圖形上各點(diǎn)的速度分析9.3平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析9.4運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合運(yùn)用第九章剛體的平面運(yùn)動(dòng)9.1剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化及其分解一、剛體平面運(yùn)動(dòng)的定義
觀察上述剛體的運(yùn)動(dòng)發(fā)現(xiàn),它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)的過(guò)程中有一個(gè)共同的特征,即:當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí),剛體內(nèi)任一點(diǎn)至某一固定平面的距離始終保持不變。具備這樣一個(gè)特征的剛體的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為剛體的平面運(yùn)動(dòng),簡(jiǎn)稱(chēng)平面運(yùn)動(dòng)。如圖所示,剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí),剛體上所有與空間某固定平面距離相等的點(diǎn)所構(gòu)成的平面圖形就保持在它自身所在的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。經(jīng)分析可得如下結(jié)論:剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為平面圖形S在其自身所在的平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。9.1剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化及其分解二、剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化三、剛體平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程上式稱(chēng)為剛體的平面運(yùn)動(dòng)方程。平面運(yùn)動(dòng)包含了平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)這兩種基本運(yùn)動(dòng)形式,即:平面運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)。9.1剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化及其分解四、平面運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)在平面圖形S上任選一點(diǎn)作為基點(diǎn),于是:平面運(yùn)動(dòng)(絕對(duì)運(yùn)動(dòng))就可以分解為隨同基點(diǎn)的平動(dòng)(牽連運(yùn)動(dòng))和相對(duì)基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)(相對(duì)運(yùn)動(dòng))。圖形隨同基點(diǎn)平動(dòng)的速度和加速度與基點(diǎn)的位置的選擇有關(guān)。9.1剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化及其分解
四、平面運(yùn)動(dòng)分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)而所以類(lèi)似地即:在任一瞬時(shí),圖形繞其平面內(nèi)任何點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度都相同。亦即:角速度和角加速度與基點(diǎn)的位置的選擇無(wú)關(guān)。9.1剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化及其分解綜上所述:1、剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以分解為隨基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。2、圖形隨同基點(diǎn)平動(dòng)與基點(diǎn)的位置的選擇有關(guān)。轉(zhuǎn)動(dòng)部分與基點(diǎn)的位置的選擇無(wú)關(guān)。3、圖形繞其平面內(nèi)任何點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度都相同。即圖形的絕對(duì)角速度和角加速度。9.1剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化及其分解思路:9.2平面圖形上各點(diǎn)的速度分析1、剛體平面運(yùn)動(dòng)分析隨同基點(diǎn)的平動(dòng)分解2、點(diǎn)的速度合成定理繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)一、基點(diǎn)法如圖,知圖形內(nèi)一點(diǎn)的速度,圖形的角速為,求圖形上任一點(diǎn)B的速度。在基點(diǎn)建立固結(jié)平動(dòng)坐標(biāo)系一、基點(diǎn)法點(diǎn)的速度合成定理:9.2平面圖形上各點(diǎn)的速度分析即:平面圖形內(nèi)任意一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)相對(duì)于基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度的矢量和。這就是平面運(yùn)動(dòng)的速度合成的基點(diǎn)法。選B為動(dòng)點(diǎn),
為動(dòng)系(隨平動(dòng))。例1圖示平面機(jī)構(gòu)中,AB=BD=DE=l=300mm。圖示位置,BD//AE,桿AB的角速度為ω=5rad/s,求此瞬時(shí)桿BD、DE的角速度。9.2平面圖形上各點(diǎn)的速度分析9.2平面圖形上各點(diǎn)的速度分析×√×√√√()解:1)桿AB、DE—轉(zhuǎn)動(dòng)2)研究BD,基點(diǎn)法()BD—平面運(yùn)動(dòng);大小方向
二、速度投影定理
將速度矢量式投影到上,則有即:在任一瞬時(shí),平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連線上的投影相等。這就是速度投影定理。說(shuō)明了剛體上任意兩點(diǎn)之間的距離保持不變。9.2平面圖形上各點(diǎn)的速度分析例2圖所示平面機(jī)構(gòu)中,曲柄OA=100mm,以角速度ω=2rad·s-1轉(zhuǎn)動(dòng)。連桿AB帶動(dòng)搖桿CD,并拖動(dòng)輪E沿水平面滾動(dòng)。已知CD=3CB,圖示位置時(shí)A,B,E三點(diǎn)恰在一水平線上,且CD⊥ED,試求此瞬時(shí)E點(diǎn)的速度。9.2平面圖形上各點(diǎn)的速度分析ABCODEω9.2平面圖形上各點(diǎn)的速度分析解:由速度投影定理,桿AB上A,B點(diǎn)的速度在AB線上投影相等,即搖桿CD繞C點(diǎn)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)輪E沿水平面滾動(dòng),輪心E的速度水平,由速度投影定理,D,E兩點(diǎn)的速度關(guān)系為vAvBvD速度投影法求得ABCODEωvE
三、瞬心法如圖所示,在垂直于的半直線上必有一點(diǎn)且僅有一點(diǎn),它的相對(duì)速度和牽連速度大小相等而方向相反,因而絕對(duì)速度等于零。點(diǎn)的位置滿(mǎn)足下列關(guān)系即:若某瞬時(shí)平面圖形的角速度不為零,則該瞬時(shí)圖形上總有唯一的速度為零的點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為圖形的瞬時(shí)速度中心,簡(jiǎn)稱(chēng)瞬心。9.2平面圖形上各點(diǎn)的速度分析1、問(wèn)題的提出
利用基點(diǎn)法求平面圖形上點(diǎn)的速度,若基點(diǎn)的速度為零,問(wèn)題的求解將變簡(jiǎn)單。2、瞬心如取瞬心作為基點(diǎn),則平面圖形上任一點(diǎn)M的速度大小為1、某瞬時(shí)剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以認(rèn)為是繞瞬心的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。2、平面圖形在不同的瞬時(shí)具有不同的速度瞬心。瞬心可以在平面圖形內(nèi),也可在平面圖形外,它的位置不是固定的。3、剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以認(rèn)為是繞一系列瞬心作瞬時(shí)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。9.2平面圖形上各點(diǎn)的速度分析說(shuō)明:3、瞬心法求速度9.2平面圖形上各點(diǎn)的速度分析4、確定瞬心的方法:acbd示例:9.2平面圖形上各點(diǎn)的速度分析例3在雙滑塊搖桿機(jī)構(gòu)中,滑塊A和B可沿水平導(dǎo)槽滑動(dòng),搖桿OC可繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng),連桿CA和CB可在圖示平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),且CB=l。當(dāng)機(jī)構(gòu)處于圖所示位置時(shí),已知滑塊A的速度vA,試求該瞬時(shí)滑塊B的速度vB以及連桿CB的角速度ωCB。試用速度瞬心法求解。9.2平面圖形上各點(diǎn)的速度分析解:由圖可知,P1A=P1C,所以連桿AC和BC均作平面運(yùn)動(dòng)。對(duì)于連桿AC:其速度瞬心在點(diǎn)A和C速度vA和vC垂線的交點(diǎn)P1。對(duì)于連桿BC:其速度瞬心在點(diǎn)B和C速度vB和vC垂線的交點(diǎn)P2。因?yàn)楣实眠B桿CB角速度于是滑塊B速度的大小為
(逆時(shí)針)
P1vCP2vB例4橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)如圖。已知連桿AB長(zhǎng),滑塊A的速度,求連桿與水平方向夾角為時(shí),滑塊B的速度及AB桿的角速度。9.2平面圖形上各點(diǎn)的速度分析解:(1)基點(diǎn)法AB作平面運(yùn)動(dòng),以A為基點(diǎn),B點(diǎn)的速度為B點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖所示,建立如圖的投影坐標(biāo)。方向如圖所示。9.2平面圖形上各點(diǎn)的速度分析解得:(2)速度投影定理由速度投影定理得解得方向如圖。9.2平面圖形上各點(diǎn)的速度分析無(wú)法求解AB角速度(3)瞬心法
AB作平面運(yùn)動(dòng),瞬心在點(diǎn)。方向如圖。9.2平面圖形上各點(diǎn)的速度分析求連桿中點(diǎn)M的速度。(分別用基點(diǎn)法、速度投影定理及瞬心法)9.2平面圖形上各點(diǎn)的速度分析
?
課后思考再次比較三種方法,體會(huì)各自的特點(diǎn)!
?若求連桿中點(diǎn)M的速度。解:(1)基點(diǎn)法9.2平面圖形上各點(diǎn)的速度分析以A為基點(diǎn),則M點(diǎn)的速度為M點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖所示。建立如圖的投影坐標(biāo),由速度合成矢量式,將各矢量投影到軸上得解之得(2)瞬心法
AB作平面運(yùn)動(dòng),瞬心在點(diǎn)。方向如圖。9.2平面圖形上各點(diǎn)的速度分析用瞬心法求解速度問(wèn)題全面且簡(jiǎn)單快捷思路:9.3平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析1、剛體平面運(yùn)動(dòng)分析隨同基點(diǎn)的平動(dòng)分解繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)一、基點(diǎn)法如圖,知圖形內(nèi)一點(diǎn)的加速度,圖形的角速為,角速為,求圖形上任一點(diǎn)B的加速度。在基點(diǎn)建立固結(jié)平動(dòng)坐標(biāo)系2、點(diǎn)的加速度合成定理其中故平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與相對(duì)基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度的矢量和。牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)的加速度合成定理:9.3平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析選B為動(dòng)點(diǎn),
為動(dòng)系(隨平動(dòng))。例5圖示曲柄連桿機(jī)構(gòu)中,已知曲柄OA長(zhǎng)0.2m,連桿AB長(zhǎng)1m,OA以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求圖示位置滑塊B的加速度和AB桿的角加速度。9.3平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析解:AB作平面運(yùn)動(dòng),瞬心在點(diǎn),則轉(zhuǎn)向如圖。9.3平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析
?取如圖的投影軸,將各矢量投影到投影軸上,得:解之得于是方向如圖所示。9.3平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析AB作平面運(yùn)動(dòng),以A點(diǎn)為基點(diǎn),則B點(diǎn)的加速度為其中:任一瞬時(shí),但例6圖示曲柄連桿機(jī)構(gòu)中,已知曲柄OA長(zhǎng)0.2m,連桿AB長(zhǎng)1m,OA以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求OA位于鉛垂位置時(shí)滑塊B的加速度和AB桿的角加速度。9.3平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析解:AB作平面運(yùn)動(dòng),瞬心在無(wú)窮遠(yuǎn)處AB作瞬時(shí)平動(dòng)瞬心加速度≠0此瞬時(shí)剛體的角速度為0,角加速度≠0?瞬時(shí)平動(dòng)特點(diǎn):此瞬時(shí)剛體上任意兩點(diǎn)速度相同,加速度不同?8.3平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析AB作平面運(yùn)動(dòng),以A點(diǎn)為基點(diǎn),則B點(diǎn)的加速度為其中:取投影軸、,將各矢量投影到投影軸上得:解之得a≠0瞬時(shí)平動(dòng)特點(diǎn):此瞬時(shí)剛體上任意兩點(diǎn)速度相同,加速度不同此瞬時(shí)剛體的角速度為0,但角加速度≠0平面圖形瞬時(shí)平動(dòng)時(shí),任意兩點(diǎn)的加速度在兩點(diǎn)連線的投影相同。9.3平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析(2)平面圖形瞬時(shí)平動(dòng)時(shí),任意兩點(diǎn)的加速度在兩點(diǎn)連線的投影相同。(3)有加速度瞬心法,但加速度瞬心不好找,故不常用;加速度瞬心與速度瞬心不是同一點(diǎn)。說(shuō)明:(1)當(dāng)基點(diǎn)A與所求點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡為已知曲線,則加速度合成關(guān)系為:9.3平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析?課后思考C例7車(chē)輪在地面上作純滾動(dòng),已知輪心O在圖示瞬時(shí)的速度為,加速度為,車(chē)輪半徑為r,如圖。試求輪緣與地面接觸點(diǎn)C的加速度。解:車(chē)輪作平面運(yùn)動(dòng),取O點(diǎn)為基點(diǎn),則C點(diǎn)的加速度為由于于是可得9.3平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析取如圖的投影軸,由以上的加速度合成矢量式,將各矢量投影到投影軸上得于是方向由C點(diǎn)指向O點(diǎn)。9.3平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析例8如圖所示四連桿機(jī)構(gòu)中,AB=1m,AD=3m,BC=CD=2m,已知AB以勻角速度繞A軸轉(zhuǎn)動(dòng)。試求BC和CD桿的角加速度及BC桿中點(diǎn)G的加速度。解:BC作平面運(yùn)動(dòng),瞬心在點(diǎn),則9.3平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析BC作平面運(yùn)動(dòng),以B為基點(diǎn),則C點(diǎn)的加速度為其中建立如圖所示的投影軸,由以上形式的加速度合成矢量式,將各矢量投影到投影軸上得解得所以9.3平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析BC作平面運(yùn)動(dòng),以B為基點(diǎn),則G點(diǎn)的加速度為其中建立如圖所示的投影軸,由以上形式的加速度合成矢量式,將各矢量投影到投影軸上得解之得9.3平面圖形上各點(diǎn)的加速度分析停車(chē)“難”問(wèn)題研究停車(chē)入庫(kù)或側(cè)方停車(chē)問(wèn)題時(shí),車(chē)身的運(yùn)動(dòng)能否視為平面運(yùn)動(dòng)?停車(chē)入庫(kù)側(cè)方停車(chē)問(wèn)題:1、轉(zhuǎn)彎時(shí)兩個(gè)前輪的轉(zhuǎn)向角是否相同?課外思考題:兩個(gè)輪的轉(zhuǎn)向角應(yīng)滿(mǎn)足什么關(guān)系,轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)如何設(shè)計(jì)?RR2、最小轉(zhuǎn)彎半徑與哪些因素有關(guān)?3、多輪大貨車(chē)如何實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)彎?4、側(cè)方停車(chē)為什么要倒入車(chē)位?9.4運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用一、運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用:
機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。剛體平面運(yùn)動(dòng)方法與點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)方法的應(yīng)用條件1.平面運(yùn)動(dòng)方法適用于研究一個(gè)平面運(yùn)動(dòng)剛體上任意兩點(diǎn)的速度、加速度之間的關(guān)系及任意一點(diǎn)的速度、加速度與圖形角速度、角加速度之間的關(guān)系。2.點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)方法適用于確定兩個(gè)相接觸的物體在接觸點(diǎn)處有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)關(guān)系的傳遞。9.4運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用二.解題步驟和要點(diǎn)
1.根據(jù)題意和剛體各種運(yùn)動(dòng)的定義,判斷機(jī)構(gòu)中各剛體的運(yùn)動(dòng)形式。注意每一次的研究對(duì)象只是一個(gè)剛體。
2.對(duì)作平面運(yùn)動(dòng)的剛體,根據(jù)已知條件和待求量,選擇求解速度(圖形角速度)問(wèn)題的方法,用基點(diǎn)法求加速度(圖形角加速度)。3.作速度分析和加速度分析,求出待求量。
(基點(diǎn)法:恰當(dāng)選取基點(diǎn),作速度平行四邊形,加速度矢量圖;
速度投影法:不能求出圖形
;
速度瞬心法:確定瞬心的位置是關(guān)鍵。)9.4運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用
例9
如圖所示平面機(jī)構(gòu),滑塊B可沿桿OA滑動(dòng)。桿BE與BD分別與套筒B鉸接,BD桿可沿水平導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)?;瑝KE以勻速v沿鉛直導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng),桿BE長(zhǎng)為。圖示瞬時(shí)桿OA鉛直,且與桿BE夾角為。求該瞬時(shí)桿OA的角速度與角加速度。
9.4運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用由v及vB方向可知此瞬時(shí)點(diǎn)O為BE桿的速度瞬心,所以有以E為基點(diǎn),B點(diǎn)的加速度為桿BE作平面運(yùn)動(dòng),可先求出套筒B的速度和加速度。套筒在OA桿上滑動(dòng),并帶動(dòng)桿OA轉(zhuǎn)動(dòng),可按復(fù)合運(yùn)動(dòng)方法求解桿OA的角速度和加角速度。1.求B點(diǎn)的速度。2.求B點(diǎn)的加速度。
OEBDllωOAvAvB解:aB
9.4運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用OEBDllωOAvA從而求得由于滑塊E作勻速直線運(yùn)動(dòng),故aE=0。
的大小為
沿方向投影上式,得
aB
9.4運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用OEBDllωOAvA應(yīng)用速度合成定理于是得桿OA的角速度用剛體平面運(yùn)動(dòng)方法求出了B點(diǎn)的速度和加速度。由于B滑塊可以在OA桿上滑動(dòng),因此可利用點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)方法求解桿OA的角速度和角加速度。式中va=vB;牽連速度ve其方向垂直于OA,因此與va同向;相對(duì)速度vr沿OA桿,即垂直于va
。顯然有3.求OA桿的角速度。vrveva動(dòng)系-固連于OA桿。動(dòng)點(diǎn)-滑塊B。(逆時(shí)針轉(zhuǎn)向)
9.4運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合應(yīng)用OEBDllωOAvA故桿OA的角加速度為aaαOA牽連法向加速度滑塊B的絕對(duì)加速度將上式投影到與ar垂直的BD線上,得滑塊B的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為沿OA的直線運(yùn)動(dòng),相對(duì)加速度大小未知。4.求桿OA的角加速度。應(yīng)用加速度合成定理則滑塊B的牽連切向加速度為(順時(shí)針轉(zhuǎn)向)牽連切向加速度沿BD桿。a
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