24.1圓的有關(guān)性質(zhì)24.1.4圓周角教學目標：1、理解圓周角的概念．2、掌握圓周角定理及其推論．3、理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，探究四點不共圓的性質(zhì)．教學重難點：圓的性質(zhì)的綜合應用．知識點一：圓周角的定義圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．

注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．例題.下列四個圖中，∠x是圓周角的是（）A． B． C． D．【考點】M5：圓周角定理．【分析】由圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角，即可求得答案．【解答】解：根據(jù)圓周角定義：即可得∠x是圓周角的有：C，不是圓周角的有：A，B，D．故選C．【點評】此題考查了圓周角定義．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是理解圓周角的定義．變式.下列圖形中，是圓周角的是（）A． B． C． D．【考點】M5：圓周角定理．【分析】根據(jù)圓周角的定義對各選項進行判斷．【解答】解：A圖中的角為圓內(nèi)角，B圖中的角為圓周角，C圖中的角為圓心角，D圖中的角為弦切角．故選B．【點評】本題考查了圓周角：頂點在圓周上，且兩邊與圓相交的角叫圓周角．知識點二：圓周角定理圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．例題1．如圖，點A、B、C都在⊙O上，且點C在弦AB所對的優(yōu)弧上，如果∠AOB=64°，那么∠ACB的度數(shù)是（）A．26° B．30° C．32° D．64°【分析】根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=∠AOB，即可求出∠ACB的度數(shù)．【解答】解：∵∠ACB=∠AOB，而∠AOB=64°，∴∠ACB=×64°=32°．即∠ACB的度數(shù)是32°．故選C．【點評】本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．例題2．如圖，在⊙O中，AB是直徑，AC是弦，連接OC，若∠ACO=30°，則∠BOC的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．55° D．60°【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠ACO=30°，再由圓周角定理即可得出答案．【解答】解：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．故選D．【點評】此題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)．熟練掌握圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵．變式1．已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點D，C在⊙O上，連接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度數(shù)是（）A．75° B．65° C．60° D．50°【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到∠ADB=90°，再根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余求得∠B=65°，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等進行求解．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．又∠BAD=25°，∴∠B=65°．∴∠C=65°．故選B．【點評】此題主要是考查了圓周角定理的推論的運用．變式2．如圖，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，則∠BOD=（）A．80° B．50° C．40° D．20°【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BCD=∠ABC=40°，然后根據(jù)圓周角定理求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BCD=∠ABC=40°，∴∠BOD=2∠BCD=80°．故選A．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了平行線的性質(zhì)．變式3．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠A=35°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．55° B．65° C．70° D．75°【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠DBC、∠D的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．【解答】解：連接BD，∵CD是⊙O的直徑，∴∠DBC=90°，∵∠A=35°，∴∠D=∠A=35°，則∠BCD=90°﹣∠A=55°．故選：A．【點評】本題考查的是圓周角定理，掌握直徑所對的圓周角是直角、同弧所對的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．變式4．如圖，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=20°，∠D=15°，則∠BAD的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．20° D．35°【分析】連接OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠DAO與∠BAO的度數(shù)，進而可得出結(jié)論．【解答】解：連接OA，∵OA=OD，OB=OA，∴∠DAO=∠D=15°，∠BAO=∠B=20°，∴∠BAD=∠DAO+∠BAO=15°+20°=35°．故選D．【點評】本題考查的是圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解答此題的關(guān)鍵．知識點三：圓周角定理的推論推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．

（1）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．

（2）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”---圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．例題1．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．AD=DC B． C．∠ADB=∠ACB D．∠DAB=∠CBA【分析】根據(jù)圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系對各選項進行逐一分析即可．【解答】解：∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD，∴=，AD=DC，故A、B正確；∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°，故C正確；∵無法確定∠DAB=∠CBA，故D錯誤，符合題意．故選D．【點評】本題考查的是圓周角定理及圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟知直徑所對的圓周角是直角是解答此題的關(guān)鍵．例題2．如圖，OA是⊙O的半徑，弦BC⊥OA，D是⊙O上一點，若∠ADB=28°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．14° B．28° C．56° D．84°【分析】先根據(jù)垂徑定理得到=，然后根據(jù)圓周角定理求解．【解答】解：∵BC⊥OA，∴=，∴∠AOC=2∠ADB=2×28°=56°．故選：C．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理．變式1．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E是⊙O上的點，則∠1+∠2等于（）A．90° B．45° C．180° D．60°【分析】求出∠AOB=180°，根據(jù)圓周角定理得出∠1+∠2=∠AOB，代入求出即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠AOB=180°，∵由圓周角定理得：∠1+∠2=∠AOB=90°，故選A．【點評】本題考查了圓周角定理的應用，解此題的關(guān)鍵是推出∠1+∠2=∠AOB．變式2．如圖，C、D是以AB為直徑的⊙O上的兩個點，∠ACD=15°，則∠BAD的度數(shù)為（）A．15° B．30° C．60° D．75°【分析】由AB為⊙O的直徑，根據(jù)半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，即可得∠ADB=90°，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可求得∠ACB的度數(shù)，然后根據(jù)直角三角形中兩銳角互余，求得∠BAD的度數(shù)．【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=∠ACD=15°，∴∠BAD=90°﹣∠ABD=75°．故選D．【點評】此題考查了圓周角定理與直角三角形的性質(zhì)．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是掌握半圓（或直徑）所對的圓周角是直角與在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等定理的應用．變式3．如圖，AB是半圓O的直徑，C、D、E是半圓的四等分點，CH⊥AB于H，連接BD、EC相交于F點，連接AC、EH，下列結(jié)論：①CE=2CH；②∠ACH=∠CEH；③∠CFD=2∠ACH，其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．只有①② C．只有①③ D．只有③【分析】連結(jié)OC、BC、OD，OD交CE于G，如圖，由于C、D、E是半圓的四等分點，根據(jù)垂徑定理得到OD⊥CE，CE=2CG，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到∠AOC=∠COD=45°，根據(jù)圓周角定理得∠BCE=∠ABC，再證明四邊形CHOG為正方形，則CH=CG，所以CE=2CH；利用等角的余角相等得∠ACH=∠ABC，而∠CEH所對的弧大于AC弧，則∠CEH＞∠ABC，所以∠ACH＜∠CEH；利用CE∥AB得到∠CFD=∠ABD，而∠ABD=2∠ABC=2∠ACH，于是有∠CFD=2∠ACH．【解答】解：連結(jié)OC、BC、OD，OD交CE于G，如圖，∵C、D、E是半圓的四等分點，∴OD⊥CE，∠AOC=∠COD=45°，∠BCE=∠ABC，∴CE=2CG，CE∥AB∵CH⊥AB，∴四邊形CHOG為正方形，∴CH=CG，∴CE=2CH，所以①正確；∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACH=∠ABC，而∠CEH所對的弧大于AC弧，∴∠CEH＞∠ABC，∴∠ACH＜∠CEH，所以②錯誤；∵CE∥AB，∴∠CFD=∠ABD，∵弧AC=弧CD，∴∠ACB=∠CBD，∴∠ABD=2∠ABC=2∠ACH，∴∠CFD=2∠ACH，所以③正確．故選C．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系．知識點四：圓內(nèi)接多邊形及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)四個頂點都在圓上的四邊形叫圓內(nèi)接四邊形，且圓內(nèi)接四邊形對角互補例題．如圖，點A，B，C，D在⊙O上，O點在∠D的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，則∠OAD+∠OCD等于（）A．105° B．90° C．75° D．60°【分析】首先連接OD，由四邊形OABC為平行四邊形，可得∠B=∠AOC，然后由圓的內(nèi)接四邊新的性質(zhì)以及圓周角定理，可得∠B+∠ADC=180°，∠AOC=2∠ADC，則可求得∠ADC的度數(shù)，繼而求得答案．【解答】解：連接OD，∵四邊形OABC為平行四邊形，∴∠B=∠AOC，∵∠B+∠ADC=180°，∠AOC=2∠ADC，∴3∠ADC=180°，∴∠ADC=60°，∵OA=OD=OC，∴∠OAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC，∴∠OAD+∠OCD=∠ODA+∠ODC=∠ADC=60°．故選D．【點評】此題考查了圓周角定理、平行四邊形的性質(zhì)以及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．變式1．如圖，點A、B、C、D都在⊙O上，且四邊形OABC是平行四邊形，則∠D的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．75° D．不能確定【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠D=∠AOC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到∠B=∠AOC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得到∠B+∠D=180°，得到答案．【解答】解：∠D=∠AOC，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴∠B=∠AOC，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠B+∠D=180°，3∠D=180°，∴∠D=60°，故選：B．【點評】本題考查的是圓周角定理的應用，掌握圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式2．如圖，AB是⊙O的直徑，D為的中點，∠B=40°，則∠C的度數(shù)為（）A．80° B．100° C．110° D．140°【分析】首先連接AC，根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=90°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補可得∠D=140°，再根據(jù)在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等可得AD=CD，進而可得∠DCA=20°，然后可得答案．【解答】解：連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠B=40°，∴∠D=140°，∵D為的中點，∴AD=CD，∴∠DCA=20°，∴∠DCB=90°+20°=110°，故選：C．【點評】此題主要考查了圓周角定理，以及圓心角、弧、弦的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．變式3．如圖，以AC為斜邊在異側(cè)作Rt△ABC和Rt△ADC，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD=45°，BD=4，則AC的長度為（）A．8 B．4 C．6 D．【分析】取AC的中點O，連接OD、OB，根據(jù)題意得到A、B、C、D四點共圓，根據(jù)圓周角定理和等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：取AC的中點O，連接OD、OB，由Rt△ABC和Rt△ADC可知，A、B、C、D四點共圓，AC為圓的直徑，∵∠BCD=45°，∴∠BOD=90°，又BD=4，∴OD=OB=2，∴AC=4，故選：B．【點評】本題考查的是圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握90°的圓周角所對的弦是直徑是解題的關(guān)鍵．拓展點一：與圓周角有關(guān)的計算例題1．如圖，已知點A，B，C，D均在⊙O上，CD為∠ACE的角平分線．（1）求證：△ABD為等腰三角形；（2）若∠DCE=45°，BD=6，求⊙O的半徑．【分析】（1）欲證明△ABD為等腰三角形，只要證明∠DBA=∠DAB即可．（2）如圖2中，只要證明AB是直徑即可解決問題．【解答】解：（1）如圖1中，∵CD平分∠EAC，∴∠ECD=∠DCA，∵∠ECD=∠DAB，∠DCA=∠DBA，∴∠DBA=∠DAB，∴DB=DA．∵△DBA是等腰三角形．（2）如圖2中，∵∠DCE=∠DCA=45°，∴∠ECA=∠ACB=90°，∴AB是直徑，∴∠BDA=90°，∵BD=AD=6，∴AB===6．∴⊙O的半徑為3【點評】本題考查圓周角、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、直角三角形的判定、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應用這些知識解決問題，屬于基礎題，中考?？碱}型．例題2．如圖，BE是⊙O的直徑，半徑OA⊥弦BC，點D為垂足，連AE，EC．（1）若∠AEC=28°，求∠AOB的度數(shù)；（2）若∠BEA=∠B，BC=6，求⊙O的半徑．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到=，根據(jù)圓周角定理解答；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠C=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=30°，根據(jù)余弦的定義求出BE即可．【解答】解：（1）∵OA⊥BC，∴=，∴∠AEB=∠AEC=28°，由圓周角定理得，∠AOB=2∠AEB=56°；（2）∵BE是⊙O的直徑，∴∠C=90°，∴∠CEB+∠B=90°，∵∠BEA=∠B，∠AEB=∠AEC，∴∠B=30°，∴BE==4，∴⊙O的半徑為2．【點評】本題考查的是垂徑定理和圓周角定理的應用，掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧、同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．變式1．如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點，且OD∥BC，OD與AC交于點E．（1）若∠B=80°，求∠CAD的度數(shù)；（2）若AB=8，AC=6，求DE的長．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠AOD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠OAD，根據(jù)圓周角定理求出∠CAB，計算即可；（2）根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)三角形中位線定理求出OE，結(jié)合圖形計算．【解答】解：（1）∵OD∥BC，∴∠AOD=∠B=80°，∴∠OAD=∠ODA=50°，∵AB是半圓O的直徑，∴∠C=90°，∴∠CAB=10°，∴∠CAD=50°﹣10°=40°；（2）∵∠C=90°，AB=8，AC=6，∴BC==2，∵OD∥BC，OA=OB，∴OE=BC=，∴DE=4﹣．【點評】本題考查的是圓周角定理、三角形中位線定理的應用，掌握直徑所對的圓周角是直角、靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．變式2．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，點D是上一點，且∠DAC=∠DBA，過點D作DE⊥AB，垂足為點E，連結(jié)AD．（1）求證：DB平分∠CBA；（2）連接CD，若CD=5，BD=12，求⊙O的半徑．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論；（2）連接CD，由∠CBD=∠DBA，得到CD=AD，根據(jù)AB為直徑，得到∠ADB=90°，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵∠DAC=∠DBC，∠DAC=∠DBA，∴∠DBA=∠CBD，∴DB平分∠CBA；（2）解：連接CD，∵∠CBD=∠DBA，∴=，∴CD=AD，∵CD﹦5，∴AD=5，∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，∵BD=12，∴AB==13，故⊙O的半徑為6.5．【點評】此題主要考查了圓周角定理和勾股定理，熟練利用圓周角定理得出各等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．拓展點二：與圓周角有關(guān)的證明例題1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，G是弧AC上任意一點，延長AG，與DC的延長線交于點F，連接AD，GD，CG．（1）求證：∠AGD=∠FGC；（2）若AG?AF=48，CD=4，求⊙O的半徑．【分析】（1）由AB⊥CD，推出EC=ED，推出AC=AD，推出∠3=∠ADC，由∠1+∠AGC=180°，∠AGC+∠ADC=180°，推出∠1=∠ADC，由∠2=∠3，即可證明∠1=∠2；（2）由△CAG∽△FAC，推出=，推出AC2=AG?AF=48，推出AC=4，在Rt△ACE中，由∠AEC=90°，AC=4，CE=2，推出AE==6，由△ACE∽△ABC，可得AC2=AE?AB，推出AB=8即可解決問題．【解答】（1）證明：∵AB⊥CD，∴EC=ED，∴AC=AD，∴∠3=∠ADC，∵∠1+∠AGC=180°，∠AGC+∠ADC=180°，∴∠1=∠ADC，∵∠2=∠3，∴∠1=∠2，即：∠AGD=∠FGC；（2）解：∵∠FCG+∠DCG=180°，∠DCG+∠DAG=180°，∴∠FCG=∠DAG，∵∠1=∠2，∴∠ADG=∠F，∵∠ADG=∠ACG，∴∠ACG=∠F，∵∠CAG=∠CAF，∴△CAG∽△FAC，∴=，∴AC2=AG?AF=48，∴AC=4，在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，AC=4，CE=2，∴AE==6，易知△ACE∽△ABC，∴AC2=AE?AB，∴AB=8，∴⊙O的半徑為4．【點評】本題考查圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，教育的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．例題2．如圖，已知⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC=∠CPB=60°（1）當點P位于的什么位置時，四邊形APBC的面積最大？并求出最大面積；（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）過點P作PE⊥AB，垂足為E，過點C作CF⊥AB，垂足為F，把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個三角形的面積進行計算，當點P為的中點時，PE+CF=PC從而得出最大面積；（2）在PC上截取PD=AP，則△APD是等邊三角形，然后證明△APB≌△ADC，證明BP=CD，即可證得．【解答】解：（1）當點P為的中點時，四邊形APBC的面積最大．理由如下，如圖2，過點P作PE⊥AB，垂足為E．過點C作CF⊥AB，垂足為F．∵S△APB=AB?PE，S△ABC=AB?CF，∴S四邊形APBC=AB?（PE+CF），當點P為的中點時，PE+CF=PC，PC為⊙O的直徑，∴此時四邊形APBC的面積最大．又∵⊙O的半徑為1，∴其內(nèi)接正三角形的邊長AB=，∴S四邊形APBC=×2×=；（2）在PC上截取PD=AP，如圖1，又∵∠APC=60°，∴△APD是等邊三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP．【點評】本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形的面積公式以及三角形的全等的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，證明△APB≌△ADC是關(guān)鍵．變式1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC長為，弦AC長為2，∠ACB的平分線交⊙O于點D．（1）求AD的長．（2）求CD的長．【分析】（1）由AB是⊙O的直徑，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后由勾股定理求得AB的長，又由∠ACB的平分線交⊙O于點D，易得△ABD是等腰直角三角形，則可求得答案；（2）過點D分別作DM⊥CA于M，DN⊥CB于N，可證DM=DN，再證Rt△DAM≌Rt△DBN，得AM=BN，易證正方形DMCB，故CM=CN，然后設AM=x，可得方程，繼而求得答案．【解答】解：（1）∵AB是直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC中，∴，∵∠ACB的平分線交⊙O于點D，∴∠DCA=∠BCD，∴=，∴AD=BD=，（2）過點D分別作DM⊥CA于M，DN⊥CB于N，∵∠ACB的平分線交⊙O于點D，∴DM=DN，在Rt△DAM和Rt△DBN中，，∴Rt△DAM≌Rt△DBN（HL）），∴AM=BN，∴四邊形BDMC是正方形DMCB，∴CM=CN，設AM=x，則，解得：，∴．【點評】此題考查了圓周角定理、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的判定與性質(zhì)．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．變式2．如圖，A、P、B、C是⊙O上的四點，∠APC=∠BPC=60°，AB與PC交于點Q；（1）判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）若∠ABP=15°，△ABC的面積為4，求PC的長．【分析】（1）由圓周角定理知，∠BAC=∠BPC=∠APC=∠BPC=60°，即可證明△ABC是等邊三角形；（2）通過作輔助線，構(gòu)造等腰直角三角形求解．【解答】（1）解：△ABC是等邊三角形．證明：∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形；（2）解：設正△ABC的高為h，則h=BC?sin60°．∵BC?h=4，即BC?BC?sin60°=4，解得BC=4，如圖1，連接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E，由△ABC是正三角形知∠BOC=120°，從而得∠OCE=30°，∴OC==，由∠ABP=15°得∠PBC=∠ABC+∠ABP=75°，于是∠POC=2∠PBC=150°，∴∠PCO=（180°﹣150°）÷2=15°，如圖2，作等腰直角△RMN，在直角邊RM上取點G，使∠GNM=15°，則∠RNG=30°，作GH⊥RN，垂足為H．設GH=1，則cos∠GNM=cos15°=．在Rt△GHN中，NH=GN?cos30°，GH=GN?sin30°，∴RH=GH，MN=RN?sin45°，∴cos15°=．在圖中，作OF⊥PC于F，∴PC=2CF=2OC?cos15°=2+．【點評】本題考查的是圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的概念，三角形的面積公式，等腰直角三角形的性質(zhì)，通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形和等腰直角三角形求解，有很強的綜合性．拓展點三：與圓內(nèi)四邊形性質(zhì)相關(guān)的證明題例題1．如圖，⊙O的直徑AB=10m，C為直徑AB下方半圓上一點，∠ACB的平分線交⊙O于點D，連接AD、BD．（1）判斷△ABD的形狀，并說明理由；（2）若弦AC=6cm，求BC的長．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得到AD=BD，可以判斷△ABD的形狀；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，運用勾股定理計算即可．【解答】解：（1）△ABD是等腰直角三角形，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵CD是∠ACB的平分線，∴=，∴AD=BD，∴△ABD是等腰直角三角形；（2）∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴BC==8cm．【點評】本題考查的是圓周角定理的應用、等腰直角三角形的判定，掌握直徑所對的圓周角是直角、理解等腰直角三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．例題2．已知：A、B、C、D四點均在⊙O上，點E在CD的延長線上，AB=AC．求證：DA平分∠BDE．【分析】根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ADE=∠ABC，∠ADB=∠ACB，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠ABC，等量代換得到∠ADE=∠ADB，于是得到結(jié)論．【解答】證明：∵A，B，C，D四點共圓，∴∠ADE=∠ABC，∠ADB=∠ACB，∵AC=BA，∴∠ACB=∠ABC，∴∠ADE=∠ADB，∴DA平分∠BDE．【點評】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，角平分線的判定，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．變式1．已知點A、B、C、D四點在O上；（1）若∠ABC=∠ADB，求證：AB=AC；（2）若∠CAD=∠ACD，求證：BD平分∠ABC．【分析】（1）由∠ABC=∠ADB，根據(jù)圓周角與弧的關(guān)系，可證得=，又由弧與弦的關(guān)系，即可證得結(jié)論；（2）由圓周角定理可證得：∠CAD=∠CBD，∠ACD=∠ABD，又由∠CAD=∠ACD，即可證得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵∠ABC=∠ADB，∴=，∴AB=AC；（2）∵∠CAD=∠CBD，∠ACD=∠ABD，又∵∠CAD=∠ACD，∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠ABC．【點評】此題考查了圓周角定理以及弧與弦的關(guān)系．注意在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等．變式2．如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC長為，弦AC長為2，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求AB和AD的長．【分析】由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后由勾股定理求得AB的長，又由CD平分∠ACB，可得△ABD是等腰直角三角形，繼而求得答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵弦BC長為，弦AC長為2，∴AB==6；∵CD平分∠ACB，∴=，∴AD=BD，∴∠BAD=45°，∴AD=AB?cos45°=．【點評】此題考查了圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理．注意直徑所對的圓周角是直角定理的應用是解此題的關(guān)鍵．拓展點四：與圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)相關(guān)的計算題例題1．如圖，四邊形ABCD是菱形，⊙O經(jīng)過點A、C、D，與BC相交于點E，連接AC、AE．若∠D=78°，則∠EAC=27°．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠ACB=∠DCB=（180°﹣∠D）=51°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠AEB=∠D=78°，由三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠D=78°，∴∠ACB=∠DCB=（180°﹣∠D）=51°，∵四邊形AECD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠AEB=∠D=78°，∴∠EAC=∠AEB﹣∠ACE=27°，故答案為：27．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例題2．如圖，已知A、B、C是⊙O上的三個點，∠ACB=110°，則∠AOB=140°．【分析】在優(yōu)弧上取點D，連接AD、BD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求出∠ADB的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出∠AOB．【解答】解：如圖，在優(yōu)弧上取點D，連接AD、BD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，∠ACB+∠ADB=180°，又∠ACB=110°，∴∠ADB=70°，∠AOB=2∠ADB=140°，故答案為：140°．【點評】本題考查的是圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握一條弧所對的圓周角是這條弧所對的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．變式1．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC為弦，過圓心O作OD⊥BC交弧BC于點D，連接DC，若∠DCB=32°，則∠BAC=64°．【分析】由圓周角定理可知，∠BOD=2∠BCD=64°，由AB為直徑可知，AC⊥BC，又OD⊥BC，可知AC∥OD，利用平行線的性質(zhì)可求∠BAC．【解答】解：∵∠BOD與∠BCD為所對的圓心角和圓周角，∴∠BOD=2∠BCD=64°，∵AB為直徑，∴AC⊥BC，又∵OD⊥BC，∴AC∥OD，∴∠BAC=∠BOD=64°，故答案為：64°．【點評】本題考查了圓周角定理，平行線的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是利用圓周角定理求圓心角，利用平行線的判定與性質(zhì)求解．變式2．如圖，點A、B、C、D在同一個圓上，DB=DC，DA、CB的延長線相交于點E，若∠BDC=a，則∠EAB=90°﹣α（用含a的式子