第十章

振動與波動精講內容§10.1簡諧運動10.1.1簡諧運動的特征胡克定律:(k為勁度系數)令得線性微分方程一般形式由于令上式亦可寫成：速度簡諧運動的速度和加速度加速度可解得：上式表明：物體處于平衡位置時，具有最大速度，物體位于平衡位置的位移最大時，速度有極小值。10.1.2描述簡諧運動的物理量位移：式中x稱為簡諧運動的坐標。振幅A:離開平衡位置的最大位移表示振動的范圍(強弱),由初始條件決定.2.周期與頻率周期：物體做一次全振動所需要的時間叫做振動的周期。物體經過一個周期要回到原來的狀態(tài)，所以：余弦函數以為周期：對比以上兩式得：所以：對于彈簧振子：彈簧振子的周期：頻率：單位時間內物體所做的全振動的次數：有：所以表示在秒時間內所做的完全振動的次數，叫做角頻率。國際單位制中，周期的單位是s，頻率的單位是Hz（赫茲），角頻率的單位是rad/s（弧度每秒）。彈簧振子的頻率為：彈簧振子周期與頻率只與振動本身的性質有關，由振動系統(tǒng)本身性質所決定的周期和頻率叫做固有周期和固有頻率。振動的相位

:決定簡諧運動的運動狀態(tài)物體在正向最大處物體在平衡位置處物體在負向最大處物體在平衡位置處3.

相位

(t+

),初相

t=0時,相位為

,稱振動的“初相位”。它確定了t=0時的運動狀態(tài)，即當t=0時，物體處于何處，下一步將向何處去。

設有兩個頻率相同的簡諧運動，振動方程為：他們的相位差：當：（或2π的整數倍）稱為同相，表明振動狀態(tài)相同。當：（或π的奇數倍）稱為反相，表明振動狀態(tài)相反。當：稱超前于或者說滯后于。由初始條件確定初相位的方法:位移方程:速度方程:設t=0時,振動位移:x=x0

振動速度:v=v0初相先由可決定的兩個可能值，再由的正負號決定的值?？傻谜穹?。上式表明，簡諧振動的振幅和初相是由初始條件決定的。例10-3一物體沿軸做簡諧運動，振幅為，周期為。當時，位移為，且向軸正向運動。求物體的振動方程。10.1.3簡諧運動的旋轉矢量法

旋轉矢量

的模即為簡諧運動的振幅.旋轉矢量

的角速度

即為振動的角頻率.旋轉矢量

與x軸的夾角(

t+

)為簡諧運動的相位.

t=0時，與x軸的夾角

,即為簡諧振動的初相位.周期:

旋轉矢量

旋轉一周,P點完成一次全振動.結論:

M點的投影點P的運動為簡諧運動xP利用旋轉矢量法不僅可以模擬簡諧運動，而且可以方便地確定振動物體的運動趨勢。例如：若，振動物體將趨于平衡位置沿軸負方向運動。若，振動物體將離開平衡位置沿軸負方向運動。若，振動物體將離開平衡位置沿軸正方向運動。同理，根據相位可確定振動物體在任意時刻的運動趨勢。若，振動物體將離開平衡位置沿軸正方向運動。例10-3一物體沿軸做簡諧運動，振幅為，周期為。當時，位移為，且向軸正向運動。（1）求物體的振動方程。（2）設時刻物體第一次運動到處，試求物體從時刻運動到平衡位置所用的最短時間。x0.06m解：練習：

一輕彈簧一端固定，另一端連一定質量的物體。整個振動系統(tǒng)位于水平面內。

今將物體沿平面向右拉長到x0=0.04m處釋放，試求：簡諧振動方程留白內容10.1.4簡諧運動的能量以彈簧諧振子為例，設某時刻t的振動速度為v，動能為：勢能為：如圖所示為初相時動能和勢能隨時間變化的曲線，顯然，動能最大時，勢能最小，而動能最小時，勢能最大，簡諧運動的過程是動能和勢能相互轉化的過程。諧振子的總能量為：因為，所以：上式表明，盡管在簡諧運動中彈簧陣子的動能和勢能都隨時間做周期變化，但總能量是恒定不變的，這一結論與機械能守恒定律完全一致，這種能量保持不變的振動也稱為無阻尼振動。例10-4質量0.1kg的物體以0.01m的振幅做簡諧振動，最大加速度為,求：（1）振動的周期。（2）總能量。（3）物體在何處時，其動能和勢能相等。練習：

質量為10g的小球與輕質彈簧組成的系統(tǒng)，按

的軌跡運動，式中t以s為單位，x以m為單位，試求：

（1）振動的圓頻率，周期，振幅，速度的最大值，加速度的最大值和力的最大值。（2）t=2s,10s時刻的相位為多少？

練習：

質量為10g