106.線性回歸分析與獨立性檢驗一．基本原理一．相關(guān)性檢驗2.相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)（1）當(dāng)r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時，成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)r＝0時，成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系．（2）樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[－1，1]．當(dāng)|r|越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱．二．線性回歸與最小二乘法3殘差的概念對于響應(yīng)變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗回歸方程得到的稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值稱為殘差．殘差是隨機(jī)誤差的估計結(jié)果，通過殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．4刻畫回歸效果的方式（i）殘差圖法：作圖時縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．若殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越窄，則說明擬合效果越好．三．獨立性檢驗1．2×2列聯(lián)表一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為y1y2合計x1aba＋bx2cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d2.獨立性檢驗（1）統(tǒng)計量也可以用來作相關(guān)性的度量．越小說明變量之間越獨立，越大說明變量之間越相關(guān)（2）獨立性檢驗基于小概率值α的檢驗規(guī)則是：這種利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗(testofindependence)．3.應(yīng)用獨立性檢驗解決實際問題的大致步驟（1）提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨立，并給出在問題中的解釋；（2）根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計算的值，并與臨界值比較；（3）根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論；（4）在X和Y不獨立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．二．典例分析例1.（2022年全國乙卷）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山，為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號12345678910總和根部橫截面積0．040．060．040．080．080．050．050．070．070．060．6材積量0．250．400．220．540．510．340．360．460．420．403．9（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0．01）；（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．例2（2022年新高考1卷）一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)査了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組60對照組1090（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？解析：（1）假設(shè)患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣沒有差異，例3．2023年3月5日，國務(wù)院總理李克強(qiáng)在政府工作報告中指出“著力擴(kuò)大消費和有效投資．面對需求不足甚至出現(xiàn)收縮，推動消費盡快恢復(fù)．幫扶旅游業(yè)發(fā)展．圍繞補(bǔ)短板、調(diào)結(jié)構(gòu)、增后勁擴(kuò)大有效投資．”某旅游公司為確定接下來五年的發(fā)展規(guī)劃，對2013~2022這十年的國內(nèi)旅客人數(shù)作了初步處理，用和分別表示第年的年份代號和國內(nèi)游客人數(shù)（單位：百萬人次），得到下面的表格與散點圖．年份2013201420152016201720182019202020212022年份代碼x12345678910國內(nèi)游客數(shù)y3262361139904432500055426006287932462530（2）2023年春節(jié)期間旅游市場繁榮火爆，預(yù)計2023年國內(nèi)旅游人數(shù)約4550百萬人次，假若2024年～2027年能延續(xù)2013年～2019年的增長勢頭，請結(jié)合以上信息預(yù)測2027年國內(nèi)游客人數(shù)．習(xí)題演練A．相關(guān)系數(shù)r變小 B．決定系數(shù)變小C．殘差平方和變大 D．解釋變量x與預(yù)報變量y的相關(guān)性變強(qiáng)2．為了研究y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)(見下表)：x12345y0.50.811.21.5C．樣本數(shù)據(jù)y的40%分位數(shù)為0.8即第40百分位數(shù)為3，所以C選項錯誤；5組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為：所以相關(guān)系數(shù)r不變,所以D選項正確；故選：ABD.3.隨著科技發(fā)展的日新月異，人工智能融入了各個行業(yè)，促進(jìn)了社會的快速發(fā)展．其中利用人工智能生成的虛擬角色因為擁有更低的人工成本，正逐步取代傳統(tǒng)的真人直播帶貨．某公司使用虛擬角色直播帶貨銷售金額得到逐步提升，以下為該公司自2023年8月使用虛擬角色直播帶貨后的銷售金額情況統(tǒng)計．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份編號123456銷售金額／萬元15