高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市大興區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)，則直線l的傾斜角為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】直線l經(jīng)過兩點(diǎn)，所以，又傾斜角的取值范圍為，所以.故選：D2.已知兩個(gè)向量，且，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】向量，且，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，所以,解得,故，故選：B3.已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C.(1,+∞)【答案】D【解析】由雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，可得，即m的范圍為，故選：D4.用這個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榘傥徊粸?，有9個(gè)數(shù)字可選，則十位有9個(gè)數(shù)字可選，個(gè)位有8個(gè)數(shù)字可選，所以可以組成個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字三位數(shù).故選：C.5.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上，若，則到軸的距離是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】拋物線的焦點(diǎn)為F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線為：，由點(diǎn)P到的距離為3，可知到軸的距離是2.故選：A6.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)，展開式通項(xiàng)為，，令，則常數(shù)項(xiàng).故選：B7.如圖，在四面體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可得,故選：A.8.已知直線和曲線，則“直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由得，∴曲線表示以為圓心，以為半徑的圓的右半部分，包括軸上的點(diǎn).當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，由得，此時(shí)直線與曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，由得，此時(shí)直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線與曲線相切于點(diǎn)時(shí)，由圓心到直線的距離等于半徑得，，解得或（舍），∴當(dāng)直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，或.記集合或，，由?得“直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”是“”的必要而不充分條件.故選：B.9.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F

，過原點(diǎn)的直線l與C

交于A，B

兩點(diǎn)，若，且，則橢圓C

的離心率為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由橢圓的對(duì)稱性可得，，則四邊形為平行四邊形，結(jié)合，則四邊形為矩形，則，由，得，又，則，在中，，即，則，即橢圓C

的離心率為，故選：C10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（1，0），動(dòng)點(diǎn)M滿足以MA為直徑的圓與y軸相切．過A作直線x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0的垂線，垂足為B，則|MA|+|MB|的最小值為（）A.2 B.2 C. D.3【答案】D【解析】根據(jù)題意，設(shè)M（x，y），以MA為直徑圓的圓心為（，），又由動(dòng)點(diǎn)M滿足以MA為直徑圓與y軸相切，則有（）2＝（1）2+（）2，變形可得：y2＝4x，則M的軌跡是拋物線，其焦點(diǎn)為A（1，0），準(zhǔn)線為x＝﹣1，過點(diǎn)M作MD與準(zhǔn)線垂直，且交準(zhǔn)線于點(diǎn)D，設(shè)直線l為x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0，變形可得m（y+2）＝y(tǒng)﹣x+5，∴可得直線l經(jīng)過定點(diǎn)（3，﹣2），設(shè)P（3，－2），設(shè)AP的中點(diǎn)為C，則C的坐標(biāo)為（2，﹣1），|CP|，若AB⊥l，則B在以AP為直徑的圓上，該圓的方程為，又由|MA|＝|MD|，則|MA|+|MB|＝|MD|+|MB|，則當(dāng)C、M、D三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|+|MB|取得最小值，且|MA|+|MB|取得最小值為圓上的點(diǎn)到D的最小值，此時(shí)|MA|+|MB|min＝|CD|﹣r＝3，故選：D．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.若，則________．【答案】【解析】若，則，解得，或舍去.12.與雙曲線有相同焦點(diǎn)的一個(gè)橢圓的方程可以是________．【答案】（答案不唯一，焦點(diǎn)為即可）【解析】由雙曲線方程可知，其焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故可設(shè)橢圓方程為，則，取，則橢圓的方程為.故答案為：（答案不唯一，焦點(diǎn)為即可）.13.已知直線，相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_________，圓，過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為__________.【答案】或【解析】聯(lián)立，得.若切線斜率存在，則設(shè)切線方程為，∴，∴，∴；若斜率不存在，則切線方程為.綜上，切線方程為或.故答案為：，或.14.正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M在線段CC1上，動(dòng)點(diǎn)P在平面上，且平面.（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，線段AP的長(zhǎng)度為_______；（Ⅱ）線段AP長(zhǎng)度的最小值為_______.【答案】（Ⅰ）（2）【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)則,.因?yàn)槠矫?，所?.（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí),,,此時(shí)的長(zhǎng)度為；（Ⅱ）.15.如圖，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．已知橢圓，其左、右焦點(diǎn)分別是，，為橢圓上任意一點(diǎn)，直線與橢圓相切于點(diǎn)，過點(diǎn)與垂直的直線與橢圓的長(zhǎng)軸交于點(diǎn)，，點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①面積的最大值為；②的最大值為7；③若，則；④若，垂足為，則.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．【答案】①②③【解析】由橢圓方程可知：.對(duì)于①：當(dāng)點(diǎn)為短軸頂點(diǎn)時(shí)，面積的最大，最大值為，故①正確；對(duì)于②：因?yàn)?，則，可得，所以的最大值為7，故②正確；對(duì)于③：由橢圓的光學(xué)性質(zhì)，得點(diǎn)P與l垂直的直線為角的角平分線，則，設(shè)，則，可得，則，即,整理可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，M與O重合，不合題意，所以，即，故③正確；對(duì)于④：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則在中，，則且為中點(diǎn)，連，在中，，則點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，即，故④錯(cuò)誤.故答案為：①②③.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知的展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和為．（1）求的值；（2）求該展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和．解：（1）由所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為，可知，可得．（2）設(shè)二項(xiàng)式可化為．令，則．所以展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為．17.已知拋物線，其準(zhǔn)線方程為.（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，求以線段為直徑的圓的方程.解：（1）由題意知，所以.所以拋物線的方程為.（2）聯(lián)立，得，其中，設(shè)Ax1,y1則，所以.，所以以線段為直徑的圓的圓心為，半徑為4，所以以線段為直徑的圓的方程為.18.某個(gè)小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20千米的圓形區(qū)域內(nèi)．已知小島中心位于輪船正西40千米處，港口位于小島中心正北30千米處.（1）如圖，小島中心在原點(diǎn)O處，取10千米為單位長(zhǎng)度，在圖中標(biāo)出輪船和港口位置；（2）如果輪船沿直線返港，用坐標(biāo)法判斷該輪船是否會(huì)有觸礁危險(xiǎn)，并說明理由.解：（1）（2）以小島中心為原點(diǎn)，東西方向?yàn)檩S，建立上圖所示的直角坐標(biāo)系，為了運(yùn)算的簡(jiǎn)便，取10千米為單位長(zhǎng)度，則港口所在位置的坐標(biāo)為，輪船所在位置坐標(biāo)為，則受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對(duì)應(yīng)的圓的方程為，輪船航線所在直線的方程為即，由，得，由，可知方程組無解．所以直線與圓相離，輪船沿直線返港不會(huì)有觸礁危險(xiǎn).19.如圖1，菱形的邊長(zhǎng)為4，，E是CD的中點(diǎn)，將△沿著翻折，使點(diǎn)C到點(diǎn)P處，連接，得到如圖2所示的四棱錐（1）證明：；（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：如圖1，連接.∵四邊形為菱形，，∴為等邊三角形，∵E是CD的中點(diǎn)，∴，在圖2中，，∵，平面，平面，∴平面．∵平面，∴．（2）解：在平面內(nèi)，過E點(diǎn)作，則.由（1）可知平面，∵平面，∴．∵，∴兩兩垂直．以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．∴，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，∴．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，，∴．設(shè)平面與平面的夾角為，則，∴平面與平面的夾角的余弦值為

．20.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，A為橢圓C的上頂點(diǎn)，為等腰直角三角形，其面積為1．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)W在過原點(diǎn)且與l平行的直線上，記直線WP，WQ的斜率分別為，，的面積為S．從下面三個(gè)條件①②③中選擇兩個(gè)條件，證明另一個(gè)條件成立．①；②；③W為原點(diǎn)O．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）記，由題意知：，∴，解得，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）(i)選②③為條件：設(shè)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則由，可得，此時(shí)直線的方程為，與聯(lián)立，解得，∴．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，則，即，將代入得：，∴，∴，∴，即．，∵點(diǎn)到直線的距離，∴，綜上，①成立．(ii)選①③為條件：設(shè)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則由，可得，又，解得，∴；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，將代入得：，∴，，∵點(diǎn)到直線的距離，∴，即，∵，∴．綜上，②成立．(iii)選①②為條件：設(shè)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，∴，又，解得，∴，∴，∴為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)，直線l的方程為：，將帶入得：，∴，，點(diǎn)到直線的距離，∴，即，∵，，則由，即，得：，即，∵，∴，即．綜上，③成立．21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，用變換公式（a，b，c，m，n，p為常數(shù)），將點(diǎn)變換成點(diǎn)，稱該變換為線性變換．（1）線性變換1：將點(diǎn)向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到點(diǎn)，求線性變換1的變換公式，并求將點(diǎn)按線性變換1變換后，所得新的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）線性變換2：將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到點(diǎn).求線性變換2的變換公式，并求將橢圓上所有點(diǎn)按線性變換2變換后，所得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程；（3）若曲線的方程為，證明：曲線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)經(jīng)過線性變換后滿足橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出該標(biāo)準(zhǔn)方程．解：（1