專題13.3命題與證明（舉一反三講義） 【滬科版2024】TOC\o"13"\h\u【題型1判斷是否是命題】 2【題型2寫出命題的題設(shè)與結(jié)論】 4【題型3判斷命題真假】 5【題型4舉反例】 9【題型5逆命題】 10【題型6定理與證明】 12【題型7寫出一個(gè)命題的已知、求證及證明】 14【題型8已知證明過程填寫理論依據(jù)】 17【題型9根據(jù)給出的論斷組命題并證明】 22【題型10演繹推理】 27知識(shí)點(diǎn)1命題1.判斷某一件事情的語(yǔ)句叫命題．2.命題的定義包含兩層含義（1）命題必須是一個(gè)完整的句子，常為陳述句；（2）命題必須對(duì)某件事情作出肯定或否定的判斷．知識(shí)點(diǎn)2命題的組成與分類1.許多命題由條件和結(jié)論兩部分組成．條件是已知的事項(xiàng)；結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)．這樣的命題通?？蓪懗伞叭绻?，那么……”的形式．用“如果”開始的部分是條件，用“那么”開始的部分就是結(jié)論．2.命題分真假命題，正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題．要判斷一個(gè)命題是真命題，可以用演繹推理加以論證；而要判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子，說明該命題不成立，即只要舉出一個(gè)符合該命題條件而不符合該命題結(jié)論的例子就可以了．在數(shù)學(xué)中，這種方法稱為“舉反例”．知識(shí)點(diǎn)3定義我們需要用不同的語(yǔ)句來(lái)說明我們學(xué)過的許多名詞各自所包含的確切意義，例如，我們用“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線”來(lái)說明“平行線”所包含的意義．這樣的語(yǔ)句叫做這些名詞的定義．知識(shí)點(diǎn)4定理公認(rèn)的真命題稱為基本事實(shí)．?dāng)?shù)學(xué)中，有些命題可以從基本事實(shí)或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，并且可以作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理．對(duì)于基本事實(shí)，它是不需要推理論證的真命題，它可以作為判斷其他命題真假的依據(jù)，它是經(jīng)過證明的真命題，但并不是所有的真命題都是定理，定理可以作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù)．知識(shí)點(diǎn)5原命題與逆命題將命題“如果p,那么q”中的條件與結(jié)論互換，使得到一個(gè)新命題“如果q,那么p”，我們把這樣的兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)叫作原命題，另一個(gè)就叫作原命題的逆命題．知識(shí)點(diǎn)6證明及證明的一般步驟1.根據(jù)條件、定義以及基本事實(shí)、定理等，經(jīng)過演繹推理，來(lái)判斷一個(gè)命題是否正確，這樣的推理過程叫做證明．2.證明的一般步驟根據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證，經(jīng)過分析找出由已知推出結(jié)論的途徑，寫出證明過程，并注明依據(jù)．【題型1判斷是否是命題】【例1】（2425七年級(jí)下·四川德陽(yáng)·期中）下列語(yǔ)句是命題的有（）個(gè)．①你喜歡數(shù)學(xué)嗎？②熊貓沒有翅膀；③任何一個(gè)三角形一定有直角；④作線段AB=CD；⑤無(wú)論n是怎樣的自然數(shù)，式子n2?n+11的值都是質(zhì)數(shù)；A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】本題考查命題，判斷事件的語(yǔ)句叫命題．掌握對(duì)事件是否作出了判斷是解題的關(guān)鍵。根據(jù)命題的定義逐一分析是否對(duì)事件作出了判斷，即可得出答案．【分析】①是疑問句，沒有對(duì)事件作出判斷，不是命題；②對(duì)事件作出了判斷（熊貓確實(shí)無(wú)翅膀），是命題；③對(duì)事件作出了判斷（三角形一定有直角），是命題；④沒有對(duì)事件作出判斷，只是描述了事件，不是命題；⑤對(duì)事件作出了判斷（式子n2⑥對(duì)事件作出了判斷（這兩條直線也互相平行），是命題．綜上，②、③、⑤、⑥為命題，共4個(gè)，故選B．【變式11】（2526八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）下列語(yǔ)句是命題的是（

）A．作AB∥CD B．若∠1=∠2，∠2=∠3C．兩條直線被第三條直線所截 D．一條鐵路的兩根鐵軌是平行的嗎【答案】B【分析】本題考查了命題．熟練掌握命題的定義是解題的關(guān)鍵．判斷一件事情的語(yǔ)句叫做命題．命題必須具有判斷性，即對(duì)一件事情作出“肯定”或“否定”的判斷，不論其判斷的結(jié)果是否正確．根據(jù)命題的定義判斷即可，注意命題必須具有判斷性．【詳解】A.作AB∥CD，不是命題，因?yàn)樗皇桥袛嘈哉Z(yǔ)句，是敘述一個(gè)過程的語(yǔ)句；B.若∠1=∠2，∠2=∠3，則C.兩條直線被第三條直線所截，不是命題，因?yàn)樗皇桥袛嘈哉Z(yǔ)句；D.一條鐵路的兩根鐵軌是平行的嗎，不是命題，因?yàn)樗皇桥袛嘈哉Z(yǔ)句，是疑問句．故選：B．【變式12】（2526八年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）下列選項(xiàng)中不是命題的是（

）A．正數(shù)大于負(fù)數(shù) B．過直線外一點(diǎn)作直線的平行線C．三角形的任意兩邊之和大于第三邊 D．如果a=b,a=c，那么b=c【答案】B【分析】本題考查了命題的定義：判斷一件事情的語(yǔ)句叫命題．命題必須是一個(gè)完整的句子，它必須對(duì)某一件事情作出肯定或否定的判斷，命題一般為陳述句，疑問句與作圖語(yǔ)句（祈使句）、感嘆句等都不是命題．判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．根據(jù)定義判斷即可．【詳解】解：A．正數(shù)大于負(fù)數(shù)，是可以判斷真假的陳述句，是命題，不符合題意；B．過直線外一點(diǎn)作直線的平行線是作圖語(yǔ)言，不是可以判斷真假的陳述句，不是命題，符合題意；C．三角形的任意兩邊之和大于第三邊，是可以判斷真假的陳述句，是命題，不符合題意；D．如果a=b,a=c，那么b=c，是可以判斷真假的陳述句，是命題，不符合題意；故選：B．【變式13】給出下列語(yǔ)句：①畫出已知角等于兩個(gè)已知角的和；②鈍角總大于直角；③過點(diǎn)A畫直線AB∥CD；④相等且互補(bǔ)的兩個(gè)角都是直角．其中是命題的是（

）A．只有④ B．①②④ C．②④ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)命題的定義：可以判斷真假的陳述句，結(jié)合題中語(yǔ)句逐項(xiàng)判斷即可得到答案．【詳解】解：①不是陳述句，不是命題；②是命題；③不是陳述句，不是命題；④是命題；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查命題的定義，熟記可以判斷真假的陳述句叫命題是解決問題的關(guān)鍵．【題型2寫出命題的題設(shè)與結(jié)論】【例2】（2425七年級(jí)下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）“垂線段最短”的題設(shè)是，結(jié)論是．【答案】連接直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的所有線段垂線段最短【分析】本題考查了命題的組成（題設(shè)和結(jié)論），解題的關(guān)鍵是理解命題的結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確分離出題設(shè)和結(jié)論部分．將“垂線段最短”改寫成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面的是題設(shè)，“那么”后面的是結(jié)論．【詳解】解：命題“垂線段最短”可以改寫為：如果從直線外一點(diǎn)到這條直線的所有線段中存在垂線段，那么垂線段最短．所以題設(shè)是從直線外一點(diǎn)到這條直線的所有線段中存在垂線段；結(jié)論是垂線段最短．故答案為：連接直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的所有線段；垂線段最短．【變式21】（2526七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）命題“度數(shù)之和為90°的兩個(gè)角互為余角”的條件是（

）A．90° B．兩個(gè)角 C．度數(shù)之和為90° D．度數(shù)之和為90°的兩個(gè)角【答案】D【分析】本題考查了命題的條件與結(jié)論，命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式，題設(shè)寫在如果的后面，把結(jié)論寫在那么的后面．命題的題設(shè)與結(jié)論部分，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式，如果的后面是條件，那么的后面是題設(shè)．【詳解】解：命題“度數(shù)之和為90°的兩個(gè)角互為余角”寫成：如果兩個(gè)角的度數(shù)之和等于90°，那么這兩個(gè)角互為余角，∴命題“度數(shù)之和為90°的兩個(gè)角互為余角”的條件是度數(shù)之和為90°的兩個(gè)角．故選：D．【變式22】（2526八年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）如果∠A>∠B,∠B>∠C，那么∠A>∠C，這個(gè)命題的條件是，結(jié)論是．【答案】∠A>∠B,∠B>∠C∠A>∠C【分析】本題考查了命題的結(jié)果，掌握命題是由題設(shè)（條件）和結(jié)論組成是關(guān)鍵，根據(jù)命題的結(jié)果判定即可求解．【詳解】解：如果∠A>∠B,∠B>∠C，那么∠A>∠C，∴這個(gè)命題的條件是∠A>∠B,∠B>∠C，結(jié)論是∠A>∠C，故答案為：①∠A>∠B,∠B>∠C，②∠A>∠C．【變式23】（2425七年級(jí)下·上海金山·期末）將命題“在三角形中，大邊對(duì)大角”改寫成“如果……，那么……”的形式是．【答案】如果一個(gè)三角形中一邊大于另一邊，那么該邊所對(duì)的角大于另一邊所對(duì)的角【分析】本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是如何將原命題寫成條件與結(jié)論的形式，“如果”后面是命題的條件，“那么”后面是條件的結(jié)論，解題關(guān)鍵是找到命題中相應(yīng)的條件和結(jié)論．命題中的條件是一個(gè)三角形中一邊大于另一邊，放在“如果”的后面，結(jié)論是該邊所對(duì)的角大于另一邊所對(duì)的角，應(yīng)放在“那么”的后面．【詳解】解：如果一個(gè)三角形中一邊大于另一邊，那么該邊所對(duì)的角大于另一邊所對(duì)的角故答案為：如果一個(gè)三角形中一邊大于另一邊，那么該邊所對(duì)的角大于另一邊所對(duì)的角．【題型3判斷命題真假】【例3】（2425七年級(jí)下·江蘇蘇州·期末）如圖，線段AC,BD相交于點(diǎn)O，連接AD,BC，并延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，∠BCA的平分線與∠BDE的平分線相交于點(diǎn)M．①若∠A=2∠BCM，則AE∥BC；②若∠M=2∠BDM，則AE∥MC；③若∠A=∠B，則∠EDM+∠BCM=90°；④若∠ADO=∠BCO，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠ACB=2∠BCM，由∠A=2∠BCM可得∠A=∠ACB，利用平行線的判定得到AE∥BC，可判斷①；根據(jù)角平分線的定義得到∠BDE=2∠BDM，由∠M=2∠BDM可得∠M=∠BDE，再根據(jù)平行線的判定可判斷②；利用三角形內(nèi)角和定理推出∠ADB=∠ACB，再利用角平分線的定義求出∠EDM+∠BCM=90°，可判定③；延長(zhǎng)CM交BD于點(diǎn)F，利用角平分線的定義求出∠BDM+∠BCM=90°，利用三角形外角的性質(zhì)得到∠CMD=∠CFD+∠BDM，∠CFD=∠B+∠BCM，進(jìn)而得到【詳解】解：∵CM平分∠ACB，∴∠ACB=2∠BCM，∵∠A=2∠BCM，∴∠A=∠ACB，∴AE∥∵DM平分∠BDE，∴∠BDE=2∠BDM，∵∠M=2∠BDM，∴∠M=∠BDE，由∠M=∠BDE無(wú)法證明AE∥∵∠A=∠B，∠AOD=∠BOC，∴∠ADB=∠ACB，∵∠BDE+∠ADB=180°，∴∠BDE+∠ACB=180°，∵CM平分∠ACB，DM平分∠BDE，∴∠EDM+∠BCM===90°，∴∠EDM+∠BCM=90°，故③是真命題；如圖，延長(zhǎng)CM交BD于點(diǎn)F，∵∠ADO=∠BCO，∠BDE+∠ADO=180°，∴∠BDE+∠BCO=180°，∵CM平分∠ACB，DM平分∠BDE，∴∠BDM+∠BCM===90°，∵∠CMD=∠CFD+∠BDM，∠CFD=∠B+∠BCM，∴∠CMD=∠B+∠BDM+∠BCM=∠B+90°，∴∠CMD?∠B=90°，故④是真命題；∴真命題的個(gè)數(shù)是3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了判斷命題真假、平行線的判定、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式31】（2425七年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期末）命題“互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等”是命題（真/假）．【答案】真【分析】本題主要考查了命題，掌握相反數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．正確的命題是真命題進(jìn)行分析即可．【詳解】解：命題“互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等”的條件是兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，結(jié)論是這兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等，這是一個(gè)真命題．故答案為：真．【變式32】（2526八年級(jí)上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）命題：①對(duì)頂角相等；②相等的角是對(duì)頂角；③垂直于同一條直線的兩條直線平行；④平行于同一條直線的兩條直線平行．其中是真命題的有．（請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)）【答案】①④/④①【分析】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解對(duì)頂角的性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)，根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)、平行線的判定判斷即可．【詳解】解：①對(duì)頂角相等，是真命題；②相等的角不一定是對(duì)頂角，原命題是假命題；③在同一平面上，垂直于同一條直線的兩條直線平行，原命題是假命題；④平行于同一條直線的兩條直線平行，是真命題；其中是真命題的有①④；故答案為：①④．【變式33】（2425七年級(jí)下·內(nèi)蒙古通遼·期末）如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AC，AB上，連接DE，DF．下列四個(gè)命題中，是真命題的是（

）①若∠BFD=∠A，則DF∥②若∠EDF=∠DEC，則DF∥③若∠A+∠AED=180°，則④若∠B=∠EDF，則AB∥A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④【答案】C【分析】本題考查平行線的判定定理，本題中每組條件都可判斷直線平行，但是有三個(gè)不能判斷題目所需的直線平行，所以依據(jù)平行線的判定定理，要找準(zhǔn)截線和被截線．先觀察已知角的位置關(guān)系，根據(jù)平行線的判定定理判斷通過已知角可得哪兩條直線平行，可得出結(jié)論．【詳解】解：①∠BFD=∠A，則DF∥②若∠EDF=∠DEC，則DF∥③若∠A+∠AED=180°，則④若∠B=∠EDF，無(wú)法判斷AB∥故選：C．【題型4舉反例】【例4】（2425七年級(jí)下·陜西西安·期末）能說明命題“兩個(gè)銳角的和一定是鈍角”是假命題的反例是（

）A．∠1=82°，∠2=40° B．∠1=89°，∠2=2°C．∠1=65°，∠2=30° D．∠1=30°，∠2=20°【答案】D【分析】本題考查命題與定理，要說明命題“兩個(gè)銳角的和一定是鈍角”是假命題，需找到兩個(gè)銳角的和不是鈍角的例子，即可判斷．【詳解】解：A、82°+40°=122°，是鈍角，不符合題意；B、89°+2°=91°，是鈍角，不符合題意；C、65°+30°=95°，是鈍角，不符合題意；D、30°+20°=50°，是銳角，說明兩銳角的和可能不是鈍角，符合題意．故選：D．【變式41】為說明命題“如果a=b，那么a=b”是假命題，你舉出的一個(gè)反例是【答案】a=1，b=?1（答案不唯一）【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)可得當(dāng)a=b，得出a=b或【詳解】解：∵a=∴a=b或a=?b，例如：a=1，b=?1時(shí)，a=∴命題“如果|a|=|b|，那么a=b”是假命題，故答案為：a=1，b=?1（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】題目主要考查絕對(duì)值的性質(zhì)，深刻理解絕對(duì)值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式42】（2425七年級(jí)下·湖北宜昌·期末）對(duì)于命題“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能說明它是假命題的反例是（

）A．∠1=45°,∠2=45° B．∠1=30°,∠2=60°C．∠1=60°,∠2=60° D．∠1=30°,∠2=40°【答案】A【分析】本題考查舉反例，要說明命題“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”是假命題，需找到滿足∠1+∠2=90°但∠1=∠2的反例．【詳解】解：A、∠1=45°,∠2=45°，和為90°，且∠1=∠2，滿足反例條件．B、∠1=30°,∠2=60°，和為90°，但∠1≠∠2，支持原命題．C、∠1=60°,∠2=60°，和為120°，不滿足條件．D、∠1=30°,∠2=40°，和為70°，不滿足條件．故選A．【變式43】（2425七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）判斷命題“如果0<n<1，那么n2?1>0”是假命題，只需舉出一個(gè)反例，反例中的值可以是【答案】12【分析】只要從滿足條件的數(shù)中找到一個(gè)數(shù)，使結(jié)論不成立，就可以說明命題是假命題．本題考查了舉反例判斷假命題，只要從符合0<n<1中找出一個(gè)數(shù)，能使n2【詳解】解：當(dāng)n=13n=1但n2∴命題“如果0<n<1，那么n2同樣當(dāng)n=13時(shí)，也可以判斷命題“如果0<n<1，那么故答案為：12（也可以是1【題型5逆命題】【例5】（2425七年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·期末）下列命題中：①相等的角是對(duì)頂角；②直角三角形兩個(gè)銳角互余；③如果a=b，則a=④如果一個(gè)點(diǎn)是這條線段的中點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)到線段兩端的距離相等．逆命題是真命題的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查了命題與逆命題，判斷命題真假，分別寫出四個(gè)命題的逆命題，并逐一判斷其真假即可，掌握命題與逆命題是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：命題①的逆命題：“對(duì)頂角相等”，對(duì)頂角一定相等，故逆命題為真；命題②的逆命題：“兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形”，若兩銳角之和為90°，則第三個(gè)角為90°，故三角形為直角三角形，逆命題為真；命題③的逆命題：“若a=b，則a=b”，絕對(duì)值相等時(shí)，a與命題④的逆命題：“到線段兩端距離相等的點(diǎn)是中點(diǎn)”，該點(diǎn)可能在線段的垂直平分線上而非線段上，故逆命題為假；綜上，逆命題為真的有2個(gè)，故選：B．【變式51】下列命題：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有兩個(gè)銳角.其中原命題與其逆命題都是真命題的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)【答案】A【分析】運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)即可判斷①的原命題和逆命題是否正確；運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)先判斷出②的原命題是否正確，再判斷逆命題“如果ab≤0，那么a≥0，b＜0”是否正確；運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)判斷③的原命題正確與否，再判斷逆命題“如果一個(gè)三角形有兩個(gè)銳角，那么這個(gè)三角形是直角三角形”正確與否，問題即可解答.【詳解】①：原命題“如果a＞b，那么a+c＞b+c”是真命題；逆命題“如果a+c＞b+c，那么a＞b”是真命題.②：原命題“如果a≥0，b＜0，那么ab≤0”是真命題；逆命題“如果ab≤0，那么a≥0，b＜0”是假命題，可能還存在a＞0，b≤0，或a＜0，b≥0，或a≤0，b＞0的情況.③：原命題“直角三角形有兩個(gè)銳角”是真命題；逆命題“如果一個(gè)三角形有兩個(gè)銳角，那么這個(gè)三角形是直角三角形”是假命題，如鈍角三角形.故只有①的原命題與其逆命題都是真命題.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查判斷原命題與逆命題正確與否的問題，首先判斷原命題的條件及結(jié)論，將其對(duì)調(diào)即可寫出其逆命題是解題的關(guān)鍵.【變式52】（2425八年級(jí)下·福建三明·期中）以下命題的逆命題中，屬于真命題的是（

）A．如果a>0，b>0，則a+b>0 B．直角都相等C．兩直線平行，同位角相等 D．若a=b，則a【答案】C【分析】本題考查逆命題，逆命題的真假識(shí)別，掌握逆命題把原命題的題設(shè)變?yōu)榻Y(jié)論，把結(jié)論變?yōu)轭}設(shè)，逆命題的真假識(shí)別方法是解題關(guān)鍵．首先明確各個(gè)命題的逆命題，再分別分析各逆命題的題設(shè)是否能推出結(jié)論得出答案．【詳解】解：A．逆命題為：如果a+b>0，則a>0，b>0，反例3+?2=1>0，a=3>0，B．逆命題為：相等角是直角，反例∠A=∠B=30°，但不是直角，故該選項(xiàng)的逆命題是假命題，不符合題意；C．逆命題為：同位角相等，兩直線平行，根據(jù)平行線判定定理知其是真命題，故該選項(xiàng)的逆命題是真命題，符合題意；D．逆命題為：a2=b2，則a=b，反例故選：C．【變式53】（2425八年級(jí)下·江西萍鄉(xiāng)·期中）命題“等腰直角三角形的兩個(gè)銳角相等”，請(qǐng)寫出它的逆命題．該逆命題是（填“真”或“假”）命題．【答案】有兩個(gè)角相等的三角形是等腰直角三角形假【分析】本題考查了命題與定理：判斷事物的語(yǔ)句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．也考查了逆命題．根據(jù)給出的命題將其結(jié)論與條件互換即得到其逆命題，然后分析其真假即可．【詳解】解：逆命題為有兩個(gè)角相等的三角形是等腰直角三角形，該逆命題是假命題，故答案為：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰直角三角形，假．【題型6定理與證明】【例6】請(qǐng)舉出一個(gè)關(guān)于角相等的定理：．【答案】?jī)芍本€平行，同位角相等【分析】任意寫出一個(gè)角相等的定理即可．【詳解】解：關(guān)于角相等的定理：兩直線平行，同位角相等故答案為：兩直線平行，同位角相等（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查角相等的定理，如同位角、內(nèi)錯(cuò)角或?qū)斀?，寫出相?yīng)的定理即可．【變式61】下列語(yǔ)句中，是定義的是（

）A．若兩角之和為90°，則這兩個(gè)角互余 B．相等的角是對(duì)頂角C．同角的余角相等 D．延長(zhǎng)BC至D使CD=BC【答案】B【分析】本題考查了全是與定理的知識(shí)，利用定義的定義分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A.若兩角之和為90°，則這兩個(gè)角互余，不是定義，不符合題意；B.相等的角是對(duì)頂角，是定義，符合題意；C.同角的余角相等，不是定義，不符合題意；D.延長(zhǎng)BC至D使CD=BC，不是定義，不符合題意；故選：B【變式62】（2425七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）定理可以作為證明后續(xù)命題的，根據(jù)，可以得到推論：三角形的外角等于與它不相鄰的的和．【答案】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角的定義兩個(gè)內(nèi)角【分析】本題考查定理和命題，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及平角的定義推出三角形的外角的性質(zhì)，作答即可．【詳解】解：定理可以作為證明后續(xù)命題的依據(jù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角的定義，可以得到推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；故答案為：依據(jù)，三角形內(nèi)角和定理及平角的定義，兩個(gè)內(nèi)角【變式63】下列命題可以作定理的有個(gè)．①2與6的平均值是8；②能被3整除的數(shù)能被6整除；③5是方程12x+7=9x+2【答案】2/兩【分析】本題考查了命題與定理：判斷事物的語(yǔ)句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題，舉一個(gè)反例即可說明；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．首先利用定理的定義先判斷命題是否是真命題，然后再看是否經(jīng)過推理論證；經(jīng)過判斷可以得到①、②、③是假命題，④、⑤是真命題，是經(jīng)過推理論證的，據(jù)此可以解決問題．【詳解】解：①2與6的平均值是4，故此命題是假命題，不是定理；②能被3整除的數(shù)，不一定能被6整除，故此命題是假命題，不是定理；③把5代入方程12④三角形的內(nèi)角和為180°，是經(jīng)過證明的是真命題，故是定理；⑤等式兩邊加上同一個(gè)數(shù)仍是等式，符合等式的性質(zhì)，是定理；綜上所述：③和④是定理，共2個(gè)．故答案為：2．【題型7寫出一個(gè)命題的已知、求證及證明】【例7】命題：直角三角形的兩銳角互余．

(1)將此命題寫成“如果…，那么…”：________________________；(2)請(qǐng)判斷此命題的真假．若為假命題，請(qǐng)說明理由；若為真命題，請(qǐng)根據(jù)所給圖形寫出已知、求證和證明過程．【答案】(1)如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么它的兩個(gè)銳角互余(2)該命題是真命題，詳見解析【分析】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，逆命題的概念：（1）根據(jù)逆命題的概念寫出原命題的逆命題；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算，即可證明．【詳解】（1）解：如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么它的兩個(gè)銳角互余；故答案為：如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么它的兩個(gè)銳角互余（2）解：該命題是真命題已知：如圖，在△ABC中，∠B=90°求證：∠A+∠C=90°證明：∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A+∠C=180°?∠B∵∠B=90°∴∠A+∠C=180°?90°=90°．【變式71】（2425七年級(jí)下·江蘇南京·期末）請(qǐng)將三角形內(nèi)角和定理的推論補(bǔ)充完整并加以證明．定理：三角形的外角等于_____________________的和．已知：求證：【答案】見解析【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，據(jù)此補(bǔ)全定理，再寫出對(duì)應(yīng)的已知和求證，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角的定義證明即可．【詳解】定理：三角形的外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．已知：∠ACD是△ABC的一個(gè)外角．求證：∠ACD=∠A+∠B．證明：如圖所示，在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，∵∠ACB+∠ACD=180°，∴∠ACD=∠A+∠B．【變式72】證明：平行于同一條直線的兩條直線平行．已知：____________．求證：____________．證明：【答案】見解析【分析】寫出已知，求證，利用平行線的判定定理證明即可．【詳解】已知：如圖，直線a、b、c中，

求證：a∥證明：作直線a、b、c的截線

∵a∥∴∠1=∠2，∵b∥∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴a∥【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．【變式73】（2425七年級(jí)下·山東泰安·期中）證明三角形的內(nèi)角和為180°．要求：根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合畫出的圖形寫出已知和求證，并嘗試證明．【答案】見解析【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和的證明，平行線的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)，將三角形的三個(gè)內(nèi)角集中到同一個(gè)頂點(diǎn)，再由平角為180°，證明即可．【詳解】解：已知：如圖，△ABC，求證：∠A+∠B+∠C=180°；證明：過點(diǎn)A作EF∥BC，如圖，∵EF∥BC，∴∠B=∠1,∠C=∠2，∵∠1+∠BAC+∠2=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°，∴三角形內(nèi)角和180°．【題型8已知證明過程填寫理論依據(jù)】【例8】（2425七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期末）【教材呈現(xiàn)】下面是華師版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材習(xí)題8.1第6題部分內(nèi)容．如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線相交于點(diǎn)D．試找出∠D與△ABC的內(nèi)角∠A之間的關(guān)系．（1）小明閱讀題目后，沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路，于是嘗試代入∠A的度數(shù)，即可求∠D的度數(shù)．①當(dāng)∠A=60°時(shí)，∠D=___________度；當(dāng)∠A=120°時(shí)，∠D=___________度；②于是小明猜想∠D與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為___________；（2）以下是小明完成猜想證明的部分過程：證明：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=1∵CD平分∠ACE，∴∠DCE=∠ACD=1證明過程缺失請(qǐng)你補(bǔ)全缺失的證明過程．【結(jié)論應(yīng)用】（3）如圖，在四邊形ABCD中，BF平分∠ABC,CG平分外角∠DCE，連結(jié)FG．若∠A=140°，∠D=90°，則∠F+∠G=___________度．【答案】（1）①30；60；②∠D=1【分析】本題考查三角形的外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義，關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)．（1）①當(dāng)∠A分別是60度和120度時(shí)，得到∠D的度數(shù)；②猜想得到∠D=1（2）由角平分線定義得到∠DBC=12∠ABC，∠DCE=12（3）延長(zhǎng)BA和CD交于M，延長(zhǎng)BE和CG交于N，由三角形的外角性質(zhì)求出∠M=50°，由（2）的結(jié)論即可求出∠N=12×50°=25°【詳解】（1）解：①當(dāng)∠A=60°時(shí)，設(shè)∠ABC=2α，則∠ACE=2α+60°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠DBC=∠ABD=12∠ABC=α∴∠D=∠DCE?∠DBC=α+30°?α=30°；當(dāng)∠A=120°時(shí)，設(shè)∠ABC=2β，則∠ACE=2β+120°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠DBC=∠ABD=12∠ABC=β∴∠D=∠DCE?∠DBC=β+60°?β=60°；故答案為：30，60；②于是小明猜想∠D與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為∠D=1故答案為：∠D=1（2）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=1∵CD平分∠ACE，∴∠DCE=∠ACD=1∵∠DCE=∠D+∠DBC，∴12∵∠ACE=∠A+∠ABC，∴12∴∠D=1（3）如圖，延長(zhǎng)BA和CD交于M，延長(zhǎng)BE和CG交于N，∵BF平分∠ABC，CG平分外角∠DCE，∴∠N=1∵∠ADC=90°，∴∠ADM=180°?90°=90°，∴∠M=∠BAD?∠ADM=140°=90°=50°，∴∠N=1∵∠BFG=∠N+∠FGN，∠CGF=∠N+∠NFG，∴∠BFG+∠CGF=∠N+∠FGN+∠N+∠NFG=180°+25°=205°，故答案為：205．【變式81】補(bǔ)全下列推理過程：如圖，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，試說明DG∥BA．解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，（已知），∴∠BFE=∠BDA=90°（垂直的定義），∴EF∥AD（____________）．∴∠2=∠3（____________）．∵∠1=∠2（已知），∴____________（等量代換）．∴DG∥AB（____________）．【答案】答案見詳解；【分析】本題考查證明補(bǔ)充條件，根據(jù)條件與結(jié)論因果關(guān)系直接填寫即可得到答案；【詳解】解：∵EF⊥BC，AD⊥BC（已知），∴∠BFE=∠BDA=90°（垂直的定義），∴EF∥AD（同位角相等，兩直線平行），∴∠2=∠3（兩直線平行，同位角相等），∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠3（等量代換），∴DG∥AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．【變式82】（2425七年級(jí)下·湖南衡陽(yáng)·期末）如圖，D是△ABC邊BC上的一點(diǎn)，∠B=∠BAD，∠ADC=70°．(1)求∠B的度數(shù)：請(qǐng)?jiān)诮獯疬^程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容．（理由或數(shù)學(xué)式）解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角，∠ADC=70°（已知），∴∠B+______=∠ADC=70°（______）．又∵∠B=∠BAD（已知），∴∠B=______°．（等量代換）(2)若AD平分∠BAC，求∠C的度數(shù)．（請(qǐng)寫出完整的解答過程）【答案】(1)答案見解析(2)75°【分析】本題考查三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．熟記三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，并靈活運(yùn)用是解決問題的關(guān)鍵．（1）由∠ADC是△ABD的外角，利用“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”，可求出∠B的度數(shù)；（2）利用角平分線的定義和“三角形的內(nèi)角和等于180°”，可求出∠C的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵∠ADC是△ABD的外角，∠ADC=70°（已知），∴∠B+∠BAD=∠ADC=70°（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）．又∵∠B=∠BAD（已知），∴∠B=35°．（等量代換）；（2）解：∵AD平分∠BAC，∠BAD=35°（已知），∴∠BAC=2×35°=70°（角平分線的定義）．∵在△ABD中，∠B=35°，∠BAC=70°（已證），∴∠C=180°?35°?70°=75°（三角形的內(nèi)角和定理）．【變式83】（2425七年級(jí)下·廣東茂名·階段練習(xí)）如圖，∠1=∠2，∠3+∠4=180°．試說明：AC∥請(qǐng)你完成下列推理過程（括號(hào)內(nèi)寫出理由）：解：因?yàn)椤?=∠2，（已知）所以∥．（因?yàn)椤?+∠4=180°，（已知）所以∥，（所以AC∥【答案】AC；DE；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；DE；FG；DE∥【分析】本題考查了平行線的判定，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得出AC∥DE，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可得出【詳解】解：因?yàn)椤?=∠2，（已知）所以AC∥因?yàn)椤?+∠4=180°，（已知）所以DE∥所以AC∥故答案為：AC；DE；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；DE；FG；DE∥【題型9根據(jù)給出的論斷組命題并證明】【例9】如圖，直線a，b，c被直線m，n所截，有下列命題：①∠BAC=∠BDC；②∠AFE=∠FED；③m∥n．從①②③中選出兩個(gè)作為條件，第三個(gè)作為結(jié)論，寫出一個(gè)真命題，并說明理由．【答案】見解析【分析】本題考查命題的證明，根據(jù)命題的定義，選擇條件和結(jié)論，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，進(jìn)行證明即可．【詳解】從題干中選出其中的兩個(gè)作為條件，第三個(gè)作為結(jié)論，可以構(gòu)造出3個(gè)命題，分別為：①②?③；②③?①；①③?②．以上3個(gè)命題都是真命題，①②?③，∵∠AFE=∠FED，∴b∥c，∴∠CAB+∠ABD=180°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠ABD+∠BDC=180°，∴m∥n；②③?①，∵∠AFE=∠FED，∴b∥c，∴∠CAB+∠ABD=180°，∵m∥n，∴∠ABD+∠BDC=180°，∴∠BAC=∠BDC；①③?②，∵m∥n，∴∠ABD+∠BDC=180°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BAC+∠ABD=180°，∴b∥c，∴∠AFE=∠FED．【變式91】如圖，現(xiàn)有以下3個(gè)論斷：①AB∥CD；②∠B＝

(1)請(qǐng)寫出所有的真命題；(2)請(qǐng)選擇其中一個(gè)命題加以證明．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）分別以其中2個(gè)論斷為條件，第3個(gè)論斷為結(jié)論可寫出3個(gè)命題；（2）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)對(duì)命題進(jìn)行證明即可．【詳解】（1）解：命題1：由①②得到③；命題2：由①③得到②；命題3：由②③得到①；（2）命題1證明如下：∵AB∥∴∠B＝∵∠B＝∴∠C＝∴CE∥∴∠E＝命題2證明如下：∵AB∥∴∠B＝∵∠E＝∴CE∥∴∠C＝∴∠B＝命題3證明如下：∵∠E＝∴CE∥∴∠C＝∵∠B＝∴∠B＝∴AB∥【點(diǎn)睛】本題主要考查命題與定理知識(shí)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用平行線的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式92】【閱讀】在證明命題“如果a>b>0，c<0，那么a2證明：∵a>b>0，∴a2>．∴a2∵a>b，c<0，∴bc>．∴ab+bc>．∴a2【問題解決】(1)請(qǐng)將上面的證明過程填寫完整；(2)有以下幾個(gè)條件：①a>b，②a<b，③a<0，④b<0．請(qǐng)從中選擇兩個(gè)作為已知條件，得出結(jié)論a>b．你選擇的條件序號(hào)是【答案】(1)見解析(2)②④，證明見解析【分析】（1）根據(jù)a>b>0，可得a2>ab．從而得到a2+bc>ab+bc．再由a>b，c<0，可得bc>ac．從而得到ab+bc>（2）選擇②④．理由：根據(jù)a<b，b<0，可得a<0．再由絕對(duì)值的性質(zhì)可得a=?a，b=?b．然后根據(jù)a<b，可得【詳解】（1）證明：∵a>b>0，∴a2>ab∴a2+bc>∵a>b，c<0，∴bc>ac．∴ab+bc>ab+ac．∴a2（2）解∶選擇②④．證明如下：∵a<b，b<0，∴a<0．∴a=?a，b∵a<b，∴?a>?b．∴a>【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，絕對(duì)值的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)，絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式93】如圖，已知直線EF∥GH，給出下列信息：①AC⊥BC；②BC平分∠DCH；③∠ACD=∠DAC．(1)請(qǐng)?jiān)谏鲜?條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結(jié)論組成一個(gè)真命題，你選擇的條件是，結(jié)論是(只要填寫序號(hào))，并說明理由．(2)在（1）的條件下，若∠ACG比∠BCH的2倍少3度，求∠DAC的度數(shù)．【答案】(1)①②；③；理由見解析(2)59°【分析】（1）由角平分線的定義可得∠BCD=∠BCH，再根據(jù)等角的余角相等可得出∠ACD=∠ACG，再由平行線的性質(zhì)可得∠ACG=∠DAC，從而結(jié)論得證；（2）由（1）得：∠ACG+∠BCH=90°，根據(jù)∠ACG比∠BCH的2倍少3度，可得關(guān)系式∠ACG=2∠BCH?3°，求得∠BCH=31°，∠ACG=59°，再根據(jù)∠DAC=∠ACG即可得到∠DAC的度數(shù)．【詳解】（1）解：條件：①②，結(jié)論：③．理由如下：∵BC平分∠DCH，∴∠BCD=∠BCH，∵AC⊥BC，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACG+∠BCH=90°，∴∠ACD=∠ACG，∵EF∥GH，∴∠ACG=∠DAC，∴∠ACD=∠DAC．故答案為：①②；③．（2）由（1）得：∠ACG+∠BCH=90°，∵∠ACG比∠BCH的2倍少3度，∴∠ACG=2∠BCH?3°，∴2∠BCH?3°+∠BCH=90°，解得：∠BCH=31°，∴∠ACG=90°?∠BCH=59°，∴∠DAC=∠ACG=59°．∴∠DAC的度數(shù)59°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，等角的余角相等，平行線的性質(zhì)，解方程組等知識(shí)．理解和掌握平行線的性質(zhì)，等角的余角相等是解題的關(guān)鍵．【題型10演繹推理】【例10】（2025·山東濟(jì)寧·二模）某班級(jí)到勞動(dòng)實(shí)踐基地參加活動(dòng)，基地指導(dǎo)老師讓同學(xué)排成一列縱隊(duì)后，按照從前到后的順序四人一組，根據(jù)李明和張雪的對(duì)話給出以下四個(gè)結(jié)論：①如果李明和趙偉同一組，那么張雪和王凱也同一組；②如果李明和趙偉不同一組，那么張雪和王凱也不同一組；③如果張雪和王凱同一組，那么李明和趙偉也同一組；④如果張雪和王凱不同一組，那么李明和趙偉也不同一組．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．①②③【答案】C【分析】本題考查了推理，列舉法求試驗(yàn)結(jié)果，根據(jù)題意舉出反例或列舉是解題的關(guān)鍵．設(shè)中間隔著的人用x代替，令右為前，左為后，則排序?yàn)椋?，x，x，王凱，x，張雪，x，趙偉，x，x，李明，x，x，?，然后再根據(jù)選項(xiàng)分析即可．【詳解】解：依題意，設(shè)中間隔著的人用x代替，令右為前，左為后，則排序?yàn)椋?，x，x，王凱，x，張雪，x，趙偉，x，x，李明，x，x，?對(duì)于①，如果李明和趙偉同一組，滿足四人一組，則有（趙偉，x，x，李明）這樣排列，那么（王凱，x，張雪，x）為一組，故①正確；對(duì)于②，如果李明和趙偉不同一組，那么可以排列（李明，x，x，x），（x，趙偉，x，x），則（x，王凱，x，張雪），故張雪和王凱可能在同一組，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，如果張雪和王凱同一組，那么可以排列（x，王凱，x，張雪），則（x，趙偉，x，x），故李明和趙偉可能不在同一組，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，如果張雪和王凱不同一組，可以排列（x，x，x，王凱），（x，張雪，x，趙偉），（x，x，李明，x），符合題意李明和趙偉也不同一組；或者可以排列（x，x，王凱，x），（張雪，x，趙偉，x），（x，李明，x，x），符合題意李明和趙偉也不同一組，故④正確，故選：C．【變式101】（2025·湖南長(zhǎng)沙·一模）有三張牌，分別為紅心A、紅心2、紅心8，將這三張牌按任意左右順序排列，再根據(jù)下列步驟操作：第一步：將紅心2與左邊的牌互換，如果紅心2已經(jīng)在最左邊，則不動(dòng)；第二步：將紅心8與右邊的牌互換，如果紅心8已經(jīng)在最右邊，則不動(dòng)；第三步：將紅心A與左邊的牌互換，如果紅心A已經(jīng)在最左邊，則不動(dòng)．經(jīng)過以上三步操作后，請(qǐng)問最右邊的牌是（

）A．紅心A B．紅心2C．紅心8 D．紅心A、紅心2、紅心8都有可能【答案】C【分析】本題主要考查了簡(jiǎn)單的邏輯推理，三張牌的所有排列組合共有6種：A，2，8，A，8，2，2，A，8，2，8，A，8，A，2，8，2，A，據(jù)此分6種情況分別求出三步操作后最右邊的牌即可得到答案．【詳解】解：首先，三張牌的所有排列組合共有6種：A，2，8，A，8，2，2，A，8，2，8，A，8，A，2，8，2，A，第一種初始排列：A，2，8，第一步：紅心2的位置是中間，左邊是A．所以紅心2與左邊的A互換位置，變?yōu)?，A，8，第二步：處理紅心8的位置，此時(shí)排列是2，A，8．紅心8在最右邊，所以不動(dòng)．第三步：處理紅心A，此時(shí)紅心A在中間位置，左邊是2，所以A與左邊的2互換位置，得到A，2，8．，所以第三步結(jié)束后的排列是A，2，8．所以最右邊是8．第二種初始排列：A，8，2，第一步：紅心2的位置是右邊第三位，即最右邊，所以紅心2在初始排列的最右邊，左邊是8．所以第一步需要把紅心2和左邊的8互換位置，得到A，2，8．第二步處理紅心8的位置．此時(shí)排列是A，2，8，紅心8在最右邊，所以不動(dòng)．第三步處理紅心A，此時(shí)紅心A在第一位，已經(jīng)是最左邊，所以不動(dòng)．最終排列還是A，2，8，最右邊是8．第三種初始排列：2，A，8，第一步：紅心2已經(jīng)在最左邊，所以不動(dòng)，排列還是2，A，8，第二步：紅心8在最右邊，所以不動(dòng)，排列還是2，A，8，第三步：紅心A在中間位置，左邊是2，所以紅心A與2互換位置，得到A，2，8．最右邊還是8．第四種初始排列：2，8，A，第一步：紅心2在第一位，不動(dòng)，排列保持2，8，A，第二步：紅心8在中間位置，右邊是A．所以將紅心8與右邊的A互換位置，得到2，A，8，第三步：處理紅心A的位置，此時(shí)紅心A在中間，左邊是2，所以互換，得到A，2，8．最右邊是8．第五種初始排列：8，A，2，第一步：紅心2在最右邊，所以需要將紅心2與左邊的A互換位置，得到8，2，A，第二步：處理紅心8的位置，此時(shí)紅心8在第一位，左邊沒有牌，右邊是2．但紅心8的操作是與右邊的牌互換．所以紅心8現(xiàn)在在第一位，右邊是2．將紅心8與右邊的2互換，得到2，8，A，第三步：處理紅心A的位置，此時(shí)排列是2，8，A．紅心A在最右邊，左邊是8．所以需要將A與左邊的8互換位置，得到2