專題28輕松搞定圓錐曲線離心率十九大模型【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】求離心率范圍的方法一、建立不等式法：1、利用曲線的范圍建立不等關(guān)系．2、利用線段長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)，；為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上的任一點(diǎn)，．3、利用角度長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若，則橢圓離心率的取值范圍為．4、利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系．5、利用判別式建立不等關(guān)系．6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．7、利用基本不等式，建立不等關(guān)系．二、函數(shù)法：1、根據(jù)題設(shè)條件，如曲線的定義、等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式；2、通過(guò)確定函數(shù)的定義域；3、利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍．三、坐標(biāo)法：由條件求出坐標(biāo)代入曲線方程建立等量關(guān)系．【題型歸納目錄】題型一：建立關(guān)于和的一次或二次方程與不等式題型二：圓錐曲線第一定義題型三：圓錐曲線第二定義題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）題型五：利用數(shù)形結(jié)合求解題型六：利用正弦定理題型七：利用余弦定理題型八：內(nèi)切圓問(wèn)題題型九：橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)題型十：利用最大頂角題型十一：基本不等式題型十二：已知范圍題型十三：題型十四：中點(diǎn)弦題型十五：已知焦點(diǎn)三角形兩底角題型十六：利用漸近線的斜率題型十七：坐標(biāo)法題型十八：利用焦半徑的取值范圍題型十九：四心問(wèn)題【典例例題】題型一：建立關(guān)于和的一次或二次方程與不等式例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，雙曲線的右支上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，滿足，且，則雙曲線的離心率是________．【答案】【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，由條件可得，則，，，所以，即，即，所以雙曲線的離心率為：，故答案為.例2．（2022·四川·高三階段練習(xí)（理））已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別是，，過(guò)右焦點(diǎn)且不與x軸垂直的直線交C的右支于A，B兩點(diǎn)，若，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)，則．又，所以，所以．又，所以，由，得，則，而，則，化簡(jiǎn)得，所以．例3．（2022·湖北·高三開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作直線與的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，且是以為頂角的等腰直角三角形，若的離心率為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，由雙曲線的定義得，又，∴.又,所以，所以.故選：C例4．（2022·甘肅·瓜州一中高三期中（文））若是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率是（

）A．或 B． C． D．或【答案】A【解析】是2和8的等比中項(xiàng)，或，當(dāng)時(shí)，方程為，表示橢圓，，離心率為，當(dāng)時(shí)，方程為，表示雙曲線，，離心率為，故選：A例5．（2022·江西·高三開(kāi)學(xué)考試（文））設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M，N在C上（M位于第一象限），且點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，若，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意作下圖，由于，并且線段MN，互相平分，∴四邊形是矩形，其中，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，，，整理得，由于點(diǎn)M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得.故選：C．題型二：圓錐曲線第一定義例6．（2022·重慶八中高三開(kāi)學(xué)考試（理））設(shè)橢圓E:1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0),點(diǎn)A(﹣c,c)為橢圓E內(nèi)一點(diǎn),若橢圓E上存在一點(diǎn)P,使得|PA|+|PF|=9c,則橢圓E的離心率取值范圍為（）A．[,1) B．[,] C．[,] D．[,]【答案】D【解析】如圖：設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以由，所以，所以，即，所?因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以，所以，所以，解得，因?yàn)?，所?故選：D例7．（2022·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）已知分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，若，則的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知，可根據(jù)條件做出下圖：因?yàn)?，令，所以，，由橢圓的定義可知，所以，所以，，，，由橢圓的定義可知，在中，，所以,在中，，所以所以.所以的離心率是.故選：D.例8．（2022·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí)）設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上一點(diǎn)，且，若的面積為4，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．2 C．3 D．【答案】D【解析】由題意，雙曲線，可知，設(shè)，可得，又因?yàn)?，若的面積為，所以，且，聯(lián)立方程組，可得，所以雙曲線的離心率為.故選：D.例9．（2022·貴州貴陽(yáng)·高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的右支上，．若的最小值是9，則雙曲線的離心率是_____．【答案】【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，雙曲線的，則，可得，，由雙曲線的定義可得，可得，則，當(dāng)，，共線時(shí)，取得等號(hào)．，則整理得：解得或，由于，則，故不符合所以，則雙曲線的離心率為．故答案為：．例10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線C有一個(gè)交點(diǎn)P，設(shè)的面積為S，若，則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C． D．2【答案】C【解析】依題意，，令，，則有，由得：，即有，而，所以.故選：C題型三：圓錐曲線第二定義例11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，他指出，平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線.則方程表示的圓錐曲線的離心率等于（

）A． B． C． D．5【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，表示點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離比為，所以.故選：B例12．（2022·北京石景山·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，為左支上一點(diǎn)，到左準(zhǔn)線的距離為，若、、成等比數(shù)列，則其離心率的取值范圍是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】，，即①，又②．由①②解得：，，又在焦點(diǎn)三角形中：，即：，即，解得：，又，，故選：D．例13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線交于、兩點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線為，過(guò)、分別作于，于，于，如圖所示：因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的傾斜角為，∴，，由雙曲線的第二定義得：，又∵，∴，∴故選：B例14．（2022·四川遂寧·二模（理））已知雙曲線（）的離心率為4，過(guò)右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于點(diǎn)H，若，則=（

）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】D【解析】由題意雙曲線的離心率，如圖，設(shè)雙曲線右準(zhǔn)線為，分別作垂直于，垂足為，作,垂足為E，設(shè)，則，由題意得，，則，所以.又.則，故，所以，，故選：D.例15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為的直線交C于A、B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為(

)A． B． C．2 D．【答案】A【解析】設(shè)，則，過(guò)A、B作雙曲線右準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為D、C，過(guò)B作AD的垂線，垂足為E.根據(jù)雙曲線的第二定義可得，，，由直線的斜率為，可得在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，∴，，.故選：A.題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）例16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：（），點(diǎn)A，B為長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．【答案】【解析】由題可知，，設(shè)，由點(diǎn)P在橢圓上，得，所以，可得，所以．故答案為：.例17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A、B為橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題得：，所以故選：A．例18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解法1：設(shè)而不求設(shè)，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.解法2：第三定義設(shè)右端點(diǎn)為B，連接PB，由橢圓的對(duì)稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.例19．（2022·湖南郴州·高二期末）雙曲線的左右頂點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若的斜率滿足，則雙曲線的離心率為_(kāi)________．【答案】【解析】由題意知：，，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，四邊形為平行四邊形，，即，；設(shè)，則，，雙曲線的離心率.故答案為：.例20．（2022·云南·羅平縣第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為雙曲線上除，外任意一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)，連線的斜率為，，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】設(shè)，，，，，，，．故選：D．例21．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知A，B，P是雙曲線（，）上不同的三點(diǎn)，且點(diǎn)A，B連線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，根據(jù)對(duì)稱性，知，所以．因?yàn)辄c(diǎn)A，P在雙曲線上，所以，兩式相減，得，所以，所以．故選：D.題型五：利用數(shù)形結(jié)合求解例22．（2022·廣西·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖2中的兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，由，有，可得，可得，有.在Rt中，由，不妨設(shè)，則，由勾股定理得，又由雙曲線的定義可得，，根據(jù)可得，解得，所以，在Rt中，，可得，故雙曲線的離心率為.故選：B.例23．（2022·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)；從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)．若雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和D，且，，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，直線都過(guò)點(diǎn)，如圖，有，，設(shè)，則，顯然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令雙曲線半焦距為c，在中，，即，解得，所以E的離心率為.故選：B例24．（2022·四川·成都七中模擬預(yù)測(cè)（理））已知雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足，.若，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】因?yàn)?，所以是的角平分線，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，且在雙曲線中，點(diǎn)是雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，則的內(nèi)切圓圓心在直線上，即點(diǎn)是的內(nèi)心，如圖，作出，并分別延長(zhǎng)、、至點(diǎn)、、，使得，，，可知為的重心，設(shè)，，，由重心性質(zhì)可得，即，又為的內(nèi)心，所以，因?yàn)?，所以，，則，所以雙曲線的離心率.故選：C.例25．（2022·全國(guó)·二模（理））已知雙曲線與橢圓．過(guò)橢圓上一點(diǎn)作橢圓的切線l，l與x軸交于M點(diǎn)，l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于N、Q，且N為MQ的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得：漸近線方程為，設(shè)切線方程為，聯(lián)立得：，由得：，解得：，所以切線方程為，令得：，所以，聯(lián)立與，解得：，聯(lián)立與，解得：，因?yàn)镹為MQ的中點(diǎn)，所以，解得：，所以離心率為故選：A例26．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，過(guò)的直線l交雙曲線C于P，Q兩點(diǎn)且使得．A為左支上一點(diǎn)且滿足，，的面積為，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖所示：因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅?，因?yàn)?，?所以可得．過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交PQ于點(diǎn)B，可知四邊形是平行四邊形，因?yàn)?，所以，又，所以有．設(shè)，則，，，，．在中，由，解得．在中，由，得，所以離心率，故選：C例27．（2022·山東濰坊·三模）已知雙曲線的左，右頂點(diǎn)分別是，，圓與的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，直線交的右支于點(diǎn)，若△是等腰三角形，且的內(nèi)角平分線與軸平行，則的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】聯(lián)立且在第一象限，可得，而，，所以，，由題設(shè)，，故△是等腰直角三角形，所以，而的內(nèi)角平分線與軸平行，所以，又，可得，則，可得，所以.故選：B例28．（2022·浙江·赫威斯育才高中模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線左、右支分別交于，兩點(diǎn)，若，的面積為，雙曲線的離心率為，則（

）A． B．2C． D．【答案】D【解析】如圖，由雙曲線的定義可知：，，因?yàn)?，所以，代入中，可得：，因?yàn)?，所以在三角形中，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以，則，取的中點(diǎn)M，連接BM，因?yàn)?，所以，，所以，，又因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得：，同除以得：，解得：或（舍去）故選：D題型六：利用正弦定理例29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓E上的點(diǎn)，，且，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意及正弦定理得：，令，則，，可得，所以橢圓的離心率為：.故選：B例30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在中，由正弦定理可得所以，所以該橢圓的離心率，故選：C．例31．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在點(diǎn)（異于長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．【答案】【解析】由已知，得，由正弦定理，得，所以．由橢圓的幾何性質(zhì)，知，所以且，所以且，即且，結(jié)合，可解得．故答案為：.例32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在中，由正弦定理可得所以，所以該橢圓的離心率，故選：C．題型七：利用余弦定理例33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，由橢圓定義知，又，所以，再由橢圓定義，因?yàn)?，所以，所以由余弦定理可得，即，化?jiǎn)可得，即，解得或（舍去）.故選：D例34．（2022·河北廊坊·高三開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，且，若關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)在上，則的離心率為_(kāi)_______.【答案】【解析】設(shè)關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)為Q，則三點(diǎn)共線，設(shè)，則，又，所以在中，由余弦定理有：，即由橢圓定義可知，可得所以在中，由余弦定理可得：，即，所以，所以.故答案為：例35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋蓹E圓定義知，又，所以，再由橢圓定義，因?yàn)?，所以，所以由余弦定理可得，即，化?jiǎn)可得，即，解得或（舍去）.故選：D例36．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線左、右支分別交于，兩點(diǎn)，若，的面積為，雙曲線的離心率為，則（

）A． B．2C． D．【答案】D【解析】如圖，由雙曲線的定義可知：，，因?yàn)?，所以，代入中，可得：，因?yàn)?，所以在三角形中，由余弦定理得：，因?yàn)椋?，則，取的中點(diǎn)M，連接BM，因?yàn)椋?，，所以，，又因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得：，同除以得：，解得：或（舍去）故選：D例37．（2022·河南·通許縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與的左、右兩支分別交于點(diǎn)，若是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，又，，解得：，，在中，由余弦定理得：，解得：，即，，雙曲線的離心率.故選：B.題型八：內(nèi)切圓問(wèn)題例38．（2022·河南·平頂山市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線上一點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若內(nèi)切圓的半徑為，則C的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，即為，即為，可得．所以．根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖所示，由題意設(shè)的內(nèi)切圓切三邊分別于G，D，E三點(diǎn)，則，，．又，所以．設(shè)，則，所以，所以切點(diǎn)D為雙曲線的右頂點(diǎn)，所以，．在中，由勾股定理得，整理得，即，解得，又因?yàn)?，所以C的離心率為，故選：C．例39．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，經(jīng)過(guò)的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，如圖，在上取一點(diǎn)M，使得，連接，則，則點(diǎn)I為AM上靠近點(diǎn)M的三等分點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以，，故點(diǎn)A與上頂點(diǎn)重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以橢圓離心率為.故選：A例40．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若的內(nèi)切圓半徑的最大值是，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由橢圓，可得，，，則，如圖，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，，，則，要使內(nèi)切圓半徑最大，則需最大，，又內(nèi)切圓半徑的最大值為，即，解得，所以．則橢圓的離心率故選：B．例41．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線右支上運(yùn)動(dòng)（不與頂點(diǎn)重合），設(shè)與雙曲線的左支交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn).若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】設(shè)分別切內(nèi)切圓交于，則由雙曲線的定義可得，即，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，故，兩式相加化簡(jiǎn)可得，即，故.故雙曲線的離心率為故選：A例42．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，M為右支上一點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心為Q，直線交x軸于點(diǎn)N，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，設(shè)內(nèi)切圓Q與的三邊分別切于三點(diǎn)，過(guò)作軸于點(diǎn)，易得，又由雙曲線定義得，即，又，故，即點(diǎn)橫坐標(biāo)為，又，則，故直線的方程為，代入，解得，即，又，則，故，又，則，，在中，由余弦定理得，即，化簡(jiǎn)得，即，解得或，又離心率大于1，故離心率為.故選：A.例43．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中模擬預(yù)測(cè)（文））已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，是軸正半軸上一點(diǎn)，線段交雙曲線左支于點(diǎn)，若，且的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)的內(nèi)切圓分別切線段、、于點(diǎn)、、，連接、、，如下圖所示：由切線長(zhǎng)定理可知，，，，因?yàn)?，，，，則四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，則，因?yàn)榍覟榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)?，即，又因?yàn)?，因此，該雙曲線的離心率為.故選：A.例44．（2022·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P為雙曲線一點(diǎn)（點(diǎn)P在第一象限），點(diǎn)分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，的內(nèi)切圓的半徑為1．圓心為點(diǎn)I，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)的內(nèi)切圓與、相切的切點(diǎn)分別為M，N，Q，，，所以,又因?yàn)椋?，即，所以，，∴，∴或（舍），∴．故選：B例45．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，分別是雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，滿足，且經(jīng)過(guò)的內(nèi)切圓圓心，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】，∴，∴，∵經(jīng)過(guò)內(nèi)切圓圓心，∴為的角平分線，∴．∴，∴，，，∴，于是，∴為正三角形，．中，由余弦定理，∴.故選：C.題型九：橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)例46．（2022·甘肅省民樂(lè)縣第一中學(xué)三模（理））設(shè)，為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，，分別為左?右焦點(diǎn)，與在第一象限的交點(diǎn)為.若是以線段為底邊的等腰三角形，且雙曲線的離心率，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)為，，則，又，所以，即，又，所以橢圓的離心率為．故選：C．例47．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1與C2在第二?四象限的公共點(diǎn)，若AF1⊥BF1，設(shè)C1與C2的離心率分別為e1，e2，則8e1+e2的最小值為（

）A．6+ B． C． D．【答案】C【解析】連接AF2，BF2，則由對(duì)稱性及AF1⊥BF1，得矩形，故.由，，得.令，代入上式得故.設(shè)，由，得t=2，當(dāng)1<t<2時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)，t>2時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)，故t=2時(shí)，函數(shù)取得最小值，故．故選：C.例48．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，離心率分別為，，且滿足，，是它們的公共焦點(diǎn)，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】設(shè)，，在橢圓：中，，，在雙曲線：中，，即，則所以，又因?yàn)?，所以，解得，故選：C.例49．（2022·河南鄭州·一模（文））已知知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，是在第二象限的公共點(diǎn).若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)雙曲線方程為，則，記，由在橢圓上有，∴，即，，∴雙曲線離心率為．故選：B．例50．（2022·河南鄭州·一模（理））已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且|PF2||PF1|，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，，則的最小值為（

）A．4 B．6 C． D．8【答案】D【解析】由題意得：，設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為，又∵.∴，∴，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.則的最小值為8.故選：D例51．（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））已知為橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的公共點(diǎn)，且分別為橢圓和雙曲線的離心率，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：；，，設(shè)，，則：在中由余弦定理得，；化簡(jiǎn)得，該式可變成，．；故選：B．例52．（2022·云南·一模（理））已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】設(shè)橢圓的方程為，雙曲線方程為，點(diǎn)在第一象限，由橢圓和雙曲線的定義得：，，解得，，在中，由余弦定理得：，即：整理得：。所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故，所以的最大值為。故選：B例53．（2022·甘肅白銀·模擬預(yù)測(cè)（理））已知，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，是，在第二象限的公共點(diǎn).若，則的離心率為A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距長(zhǎng)為由題意得在中，由勾股定理得在橢圓中由定義得∴，故在雙曲線中由定義得∴，解得∴雙曲線的離心率為故選：B例54．（2022·山東日照·二模）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的值為（

）A．1 B． C．4 D．16【答案】C【解析】如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義，，設(shè)，則在中由余弦定理得，化簡(jiǎn)，該式變成，故選：C.例55．（2022·陜西省榆林中學(xué)三模（理））橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，，它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為，設(shè)，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為，焦距為，則，又，，故，，所以，化簡(jiǎn)得，即.故選：B題型十：利用最大頂角例56．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓：，點(diǎn)，是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖：當(dāng)P在上頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，則，所以，即，，所以，則，所以橢圓的離心率的取值范圍是，故選：A例57．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)A，B是橢圓C：長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB=120°，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性得,所以，所以，所以橢圓的離心率，因?yàn)闄E圓的離心率.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，同理可得.綜合得.故選：B例58．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)、，使得，則的離心率的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，當(dāng)不為橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線、分別與圓切于點(diǎn)A、B，，∵存在、使得，∴，即，又，∴，連接，則，∴．又是上任意一點(diǎn)，則，又，∴，則由，得，又，∴．故選：C．例59．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓外存在點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍______．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，易知，，則，故點(diǎn)的軌跡為圓，由題意可知，圓與橢圓相交，由圖可知，即，可得，又因?yàn)?，故．故答案為：．?0．（2022·北京豐臺(tái)二中高三階段練習(xí)）已知，分別是某橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若該橢圓上存在點(diǎn)使得（，是已知數(shù)），則該橢圓離心率的取值范圍是________.【答案】【解析】根據(jù)橢圓的幾何意義可知橢圓的離心率最小值為根據(jù)橢圓離心率的取值范圍可知故答案為：例61．（2022·廣東·廣州市真光中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則該橢圓離心率的取值范圍是________．【答案】【解析】由橢圓的定義可知：，在△中，由余弦定理得：，所以，又，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，所以，，解得：.故答案為：題型十一：基本不等式例62．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓上的兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱性可知，四邊形為平行四邊形，又，即，所以四邊形為矩形，，設(shè)，，在直角中，，，得，所以，令，得，又，得，所以，所以，即，所以所以橢圓的離心率的取值范圍為，故選：B例63．（2022·江蘇南京·高三階段練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是橢圓準(zhǔn)線上一點(diǎn)，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可設(shè)直線，的傾斜角分別為，，由橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)為第一象限的點(diǎn)，即，則，，因?yàn)?，所以，所以，則，解得，故選：A.例64．（2022·山西運(yùn)城·高三期末（理））已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點(diǎn)P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.【答案】【解析】由對(duì)稱性不妨設(shè)P在x軸上方，設(shè)，，∴當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，∵直線l上存在點(diǎn)P滿足∴即，∴，即，所以，故橢圓離心率的最大值為.故答案為：.例65．（2022·四川成都·高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知雙曲線，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作軸交雙曲線于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，連接AB，BF，當(dāng)取得最大值時(shí)，雙曲線的離心率為_(kāi)_____．【答案】【解析】如圖，根據(jù)題意，，，∴，，設(shè)直線的傾斜角為，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，，，又∴，故答案為：．例66．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)為、，若該雙曲線上存在點(diǎn)，使得直線、的斜率之和為，則該雙曲線離心率的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，其中，易知點(diǎn)、，且有，則，，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，，，則，，且，由基本不等式可得，因?yàn)榇嬖邳c(diǎn)，使得直線、的斜率之和為，則，即，.故答案為：.題型十二：已知范圍例67．（2022·四川省南充市白塔中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，若在線段上（不含端點(diǎn)）存在不同的兩點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】易知點(diǎn)、、、，則線段的方程為，在線段上取一點(diǎn)，滿足，則，，，所以，，整理可得，由題意可知，關(guān)于的方程在時(shí)有兩個(gè)不等的實(shí)根，則，可得，可得，所以，.故選：D.例68．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，是橢圓：的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)椋?，即，結(jié)合可得，所以.故選：B.例69．（2022·全國(guó)·高三開(kāi)學(xué)考試（理））設(shè)，分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，若橢圓E上存在點(diǎn)P滿足，則橢圓E離心率的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，由橢圓的方程可得，，，則，即，由P在橢圓上可得，所以，所以可得，所以，由，所以，整理可得：，，可得：.故選：B例70．（2022·四川·高二期末（文））設(shè)，是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在一點(diǎn)P，使得，則橢圓C的離心率e的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由橢圓的方程可得，，設(shè)，由，則，即，由P在橢圓上可得，所以，代入可得所以，因?yàn)?，所以整理可得：，消去得：所以，即所?故選：B.例71．（2022·吉林·長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍是______．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，則，可得，且，，，所以，，即，可得，整理可得，即，又因?yàn)?，則，即，故，故，故答案為：.題型十三：例72．（2022·江蘇·海安縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，由正弦定理可得,又由，即，即,設(shè)點(diǎn)，可得，則，解得，由橢圓的幾何性質(zhì)可得，即，整理得，解得或，又由，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：C.例73．（2022·浙江湖州·高二期中）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，若橢圓上存在點(diǎn)P，使得，則該離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，則根據(jù)橢圓的焦半徑公式可得，所以根據(jù)題意可得，整理可得，所以，因?yàn)镻在橢圓上，所以，即，因?yàn)?，所以，即，解得，而橢圓離心率范圍為，故.故選：A例74．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由橢圓的定義得，又∵，∴，，而，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在橢圓右頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，即，即，則，即.故選：D．題型十四：中點(diǎn)弦例75．（2022·全國(guó)·高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知雙曲線與斜率為1的直線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為，則C的離心率（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】法一：設(shè)，則，所以，又AB的中點(diǎn)為，所以，所以，由題意知，所以，即，則C的離心率.故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.法二：直線AB過(guò)點(diǎn)，斜率為1，所以其方程為，即，代入并整理得，因?yàn)闉榫€段AB的中點(diǎn)，所以，整理得，所以C的離心率.故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.例76．（2022·福建·晉江市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知橢圓，，過(guò)點(diǎn)P的直線與橢圓交于A，B，過(guò)點(diǎn)Q的直線與橢圓交于C，D，且滿足，設(shè)AB和CD的中點(diǎn)分別為M，N，若四邊形PMQN為矩形，且面積為，則該橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如圖，不妨設(shè)，兩條直線的斜率大于零，連結(jié)，由題意知，解得，，或，（舍），所以，，在中，因?yàn)?，所以，故此時(shí)，，設(shè)，，，，則，兩式相減得，即，即，因此離心率，所以，故選：D．例77．（2022·全國(guó)·高三開(kāi)學(xué)考試（理））以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的橢圓焦點(diǎn)分別在軸，軸，離心率分別為，直線交所得的弦中點(diǎn)分別為，，若，，則直線的斜率為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)橢圓的方程分別為，，由可知，直線的斜率一定存在，故設(shè)直線的方程為.聯(lián)立得，故，；聯(lián)立得，則，.因?yàn)?，所以，所?又，所以，所以，所以，.故選：A.例78．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，過(guò)作一條傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，，由題意得，，兩式相減，得，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，且直線的傾斜角為，所以．設(shè)，則，過(guò)作軸，垂足為，則，，由題易知位于第二象限，所以，所以，得，所以，所以．故選：B例79．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓()的右焦點(diǎn)為，離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】設(shè)，，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可得，，將，的坐標(biāo)的代入橢圓的方程：，作差可得，所以，又因?yàn)殡x心率，，所以，所以，即直線的斜率為，故選：A.例80．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)雙曲線：（，）的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線交于A，兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】不妨設(shè)過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線為，令由，整理得則，則，由，可得則有，即，則雙曲線的離心率故選：D例81．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為，則C的離心率為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由F、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)得直線l的斜率．∵雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)為(-2，0)，∴c=2．設(shè)雙曲線C的方程為，則．設(shè)，，則，，．由，得，即，∴，易得，，，∴雙曲線C的離心率．故選：B．例82．（2022·廣西·高三階段練習(xí)（理））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線l交雙曲線C的漸近線于A，B兩點(diǎn)，若，（表示的面積），則雙曲線C的離心率的值為（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】若直線斜率不存在，不妨設(shè)點(diǎn)，則所以，則離心率；若直線斜率存在，設(shè)，中點(diǎn)，不妨設(shè)M在x軸上方，由，得，故點(diǎn)M在圓上，由，得，則，所以．由得，即．當(dāng)時(shí)，，得．當(dāng)時(shí)，，矛盾，舍去．綜上所述，或．故選：D．例83．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，直線與直線（是坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率的乘積等于，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，則直線的斜率為，直線的斜率為，即．因?yàn)辄c(diǎn)，在雙曲線上，所以有，，化簡(jiǎn)可得：，所以有，離心率為．故選：D．題型十五：已知焦點(diǎn)三角形兩底角例84．（2022·廣西·江南中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知，分別是橢圓：的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，若在上存在點(diǎn)使，且滿足，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在中，且滿足，所以，，所以、，所以，所以；故選：B例85．（多選題）（2022·湖南·高二期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線上存在點(diǎn)（點(diǎn)不與左、右頂點(diǎn)重合），使得，則雙曲線的離心率的可能取值為（

）A． B． C． D．2【答案】BC【解析】∵，則離心率，則排除A；記，，，則，由正弦定理結(jié)合分比定理可知：，則，所以B，C是正確的，D不正確.故選：BC.例86．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線右支上的一點(diǎn)，若在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在以為直徑的圓上，，，，，，由雙曲線定義知：，即，；，，，則，，即雙曲線離心率的取值范圍為.故選：D.例87．（2022·河南·商丘市第一高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知、分別為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，雙曲線上的點(diǎn)P滿足，且，則該雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】因?yàn)?，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，由正弦定理得到，又因?yàn)榈茫帧?，∴，，在中，，，，∴，，在中，，所以，化?jiǎn)得.故選：D.例88．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2c，若橢圓上存在點(diǎn)M使得中，，則該橢圓離心率的取值范圍為()A．(0，－1) B． C． D．(－1,1)【答案】D【解析】由正弦定理可得：,結(jié)合題意可得，所以，根據(jù)橢圓的定義可得，所以，，易知.因?yàn)闉闄E圓上一點(diǎn)，所以，即，整理得，所以，解得.故選D.題型十六：利用漸近線的斜率例89．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知點(diǎn)P是雙曲線（a>0，b>0）的漸近線上一點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，若|PF|的最小值為2a，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】雙曲線的漸近線方程為，即，|PF|的最小值即為焦點(diǎn)到漸近線的距離，故，即，∴，.故選：D例90．（2022·河南·開(kāi)封市東信學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））定義：雙曲線為橢圓的“伴隨曲線”.已知點(diǎn)在橢圓C上，且橢圓C的伴隨曲線的漸近線方程為，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由定義可知C的伴隨曲線的漸近線方程為.由題意可知，，即.將點(diǎn)代入橢圓C的方程，得，聯(lián)立，解得，即所以，即所以橢圓的離心率.故選：A.例91．（2022·天津市新華中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線，拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)且與交兩點(diǎn)，，若拋物線的焦點(diǎn)到的漸近線的距離為2，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】拋物線的準(zhǔn)線，雙曲線的左焦點(diǎn)，即，所以，雙曲線的一條漸近線為，即，拋物線的焦點(diǎn)即為雙曲線的右焦點(diǎn)，則到漸近線的距離為，所以，代入得，所以.故選：A例92．（2022·江西·贛州市第三中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線交橢圓于點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，若，則橢圓的離心率等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，依題意可得，雙曲線的一條漸近線為，因?yàn)?，所以：，由，解得，即，又點(diǎn)在橢圓上，所以，即，即，即，即，即，即即，即，即，解得或（舍去），所以橢圓方程為，則，所以橢圓的離心率故選：C例93．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)（文））已知點(diǎn)和是雙曲線C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線C的漸近線的垂線，垂足為H，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意不妨取雙曲線的一條漸近線為，，，所以到直線的距離，又的斜率為，所以的方程為，由，解得，即，所以，因?yàn)椋?，即，即，所以離心率；故選：B例94．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校三模（文））已知雙曲線及雙曲線，且的離心率為，若直線與雙曲線、都無(wú)交點(diǎn)，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，雙曲線的離心率為，可得，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，所以，雙曲線、的漸近線重合，且雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，因?yàn)橹本€與雙曲線、都無(wú)交點(diǎn)，則.故選：B.例95．（2022·江西·二模（文））已知雙曲線C：的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)P在圓：上，若C的一條漸近線恰為線段FP的垂直平分線，則C的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【解析】由題意，圓心為C的右焦點(diǎn)，，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則，，所以直線PF的斜率，從而，，故C的離心率．故選：B．例96．（2022·山西呂梁·模擬預(yù)測(cè)（文））已知雙曲線的上頂點(diǎn)為P，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若在雙曲線的漸近線上存在點(diǎn)M，使得，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，則以PQ為直徑的圓的方程為，因?yàn)殡p曲線的漸近線上存在點(diǎn)M，使得，所以圓與雙曲線的漸近線有公共點(diǎn)，即圓心到漸近線的距離，則，即，所以所以.故選A.例97．（2022·新疆·二模（理））如圖．已知橢圓，雙曲線，若以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，且橢圓與該漸近線的兩交點(diǎn)將線段三等分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知，設(shè)所在漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)，所以，即，則，所以線段的一個(gè)三等分點(diǎn)坐標(biāo)為，由于該點(diǎn)在橢圓上，所以，解得.所以.所以離心率.故選：A.題型十七：坐標(biāo)法例98．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線：的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在上.當(dāng)時(shí)，.求雙曲線的離心率.【解析】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在第一象限或第四象限，由對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，，，在雙曲線上，則有，又，消去可得，即，變形，即，所以，因?yàn)?，所以，解?所以雙曲線的離心率為.例99．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，A是其左頂點(diǎn).若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足，則該雙曲線的離心率為_(kāi)__________.【答案】3【解析】令，又，，，則，∴，故，∴.故答案為：3.例100．（2022·河南·寶豐縣第一高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，P為C右支上一點(diǎn)，與x軸切于點(diǎn)F，與y軸交于A，B兩點(diǎn)，若為直角三角形，則C的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸的上方，由題意可知軸，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入，得.又為直角三角形，易知，且，則有，即，則，即，則.故答案為：例101．（2022·山東青島·高三開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，若線段上存在點(diǎn)，使得線段與的一條漸近線的交點(diǎn)滿足：，則的離心率的取值范圍是___________.【答案】【解析】設(shè)，，，，則，，則，，，則，，點(diǎn)在漸近線上，所以，，由得，所以，又，所以，所以．故答案為：．例102．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若三角形AOB是等腰直角三角形，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】將代入C中，得，，由題意得，即，．故選：D.例103．（2022·河南洛陽(yáng)·三模（文））已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且垂直于軸的直線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，的平分線與軸交于點(diǎn)，若四邊形的面積為，則橢圓的離心率___________.【答案】【解析】如圖，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，連接，因?yàn)槠叫杏谳S，故為的中點(diǎn)，且，故，又，故，因?yàn)?，故，所以，故四邊形為：，故即離心率為，故答案為：題型十八：利用焦半徑的取值范圍例104．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為.若雙曲線的右支上存在點(diǎn)，使，則雙曲線的離心率的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】依題意，點(diǎn)在雙曲線的右支，P不與雙曲線頂點(diǎn)重合，在中，由正弦定理得：，因，于是得，而點(diǎn)P在雙曲線M的右支上，即，從而有，點(diǎn)P在雙曲線M的右支上運(yùn)動(dòng)，并且異于頂點(diǎn)，于是有，因此，而，整理得，即，解得，又，故有，所以雙曲線M的離心率的取值范圍為.故答案為：例105．（2022·吉林長(zhǎng)春·二模（文））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】由雙曲線定義可知，，，結(jié)合可得，從而，又因?yàn)殡p曲線的離心率大于，所以雙曲線離心率的取值范圍為，故選B.例106．（2022·江蘇·金沙中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)雙曲線的焦距為，左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)P在C的右支上，且，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由條件得，所以，即，又因?yàn)?，所以，即，得，又，所以．故選：C例107．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率取值范圍是________．【答案】【解析】設(shè)橢圓的焦距為，由橢圓的定義可得，解得，，由題意可得，解得，又，所以，所以橢圓離心率的取值范圍是．故答案為：.例108．（2022·河南·信陽(yáng)高中高三期末（文））若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，其中分別是的左、右焦點(diǎn)，則的離心率的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】，，又，，解得，則.

故答案為例109．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，若橢圓C上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)P，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】法一：顯然，是短軸端點(diǎn)時(shí)，，滿足為等腰三角形，因此由對(duì)稱性，還有四個(gè)點(diǎn)在四個(gè)象限內(nèi)各有一個(gè)，設(shè)是第一象限內(nèi)使得為等腰三角形的點(diǎn)，若，則，又，消去整理得：，解得(舍去)或，由得，所以，即，若，則，又，消去整理得：，解得或，舍去．所以，所以，即，時(shí)，，是等邊三角形，只能是短軸端點(diǎn)，只有2個(gè)，不合題意．綜上，的范圍是．法二：①當(dāng)點(diǎn)與短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)，構(gòu)成以為底邊的等腰三角形，此種情況有2個(gè)滿足條件的；②當(dāng)構(gòu)成以為一腰的等腰三角形時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，只要在第一象限內(nèi)的橢圓上恰好有一點(diǎn)滿足為等腰三角形即可，則或當(dāng)時(shí)，則，即，則，當(dāng)時(shí)，則有，則，綜上所述，橢圓的離心率取值范圍是.故選：A.題型十九：四心問(wèn)題例110．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓）的左?右焦點(diǎn)分別為和為C上一點(diǎn)，且的內(nèi)心為，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】連接，延長(zhǎng)交軸于，則，又，，所以，故，即，又，所以，即.故選：D.例111．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)（理））已知坐標(biāo)平面中，點(diǎn)，分別為雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的左支上，與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的外心，若、、三點(diǎn)共線，則雙曲線的離心率為（

）A． B．3 C． D．5【答案】C【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，設(shè)，，由為的中點(diǎn)，、、三點(diǎn)共線知直線垂直平分，則，故有，且，解得，，將，即，代入雙曲線的方程可得，化簡(jiǎn)可得，即，當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，同理可得.故選：C.例112．（2022·江蘇·高二單元測(cè)試）設(shè)為雙曲線的右焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，的外心為，且滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】由題,因?yàn)?所以、、三點(diǎn)共線,因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn),的外心為,所以,即,設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,則點(diǎn)為線段的中點(diǎn),則在中,,即,所以是直角三角形,所以,因?yàn)?由雙曲線定義可得,所以,則,因?yàn)?整理可得,所以,則,故選:D例113．（2022·江西南昌·三模（理））已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是，，是雙曲線右支上一點(diǎn)，且，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】如圖所示：由題意得：，則，由圓的切線長(zhǎng)定理和雙曲線的定義得，所以，則，因?yàn)榕c軸平行，所以，即，則，即，解得，故選：B例114．（2022·甘肅酒泉·模擬預(yù)測(cè)（理））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為右支上一點(diǎn)，若的重心為，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【解析】雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則由的重心為，可得，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線C的方程，解之得．又，則．所以可得雙曲線C的離心率為故選：B．例115．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則橢圓的離心率為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】∵是的中點(diǎn)，G是的重心，∴三點(diǎn)共線，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，則由平行于軸知，，則,設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則，∴橢圓的離心率為．故選：A﹒例116．（2022·重慶·西南大學(xué)附中模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，，G為重心，且滿足，線段交橢圓C于點(diǎn)M，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖，連接并延長(zhǎng)交于，連接.由得，即，所以，又G為重心，所以是等腰三角形，，由得，，又由橢圓定義.，即，化簡(jiǎn)得，故離心率為.故選：B.例117．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，M為C上一點(diǎn)，且的內(nèi)心為，若的面積為4b，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，的內(nèi)心到軸的距離就是內(nèi)切圓的半徑.又點(diǎn)在橢圓上，由橢圓的定義，得，，即.又，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，解得或（舍去），所?故選：B例118．（2022·新疆·三模（理））點(diǎn)P是雙曲線C：右支上一點(diǎn)，，分別是雙曲線C的左，右焦點(diǎn)，M為的內(nèi)心，若雙曲線C的離心率，且，則（

）A． B． C．1 D．【答案】D【解析】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，由可得，化簡(jiǎn)得，又，故.故選：D.例119．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為為上不與左?右頂點(diǎn)重合的一點(diǎn)，為的內(nèi)心，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)是的中點(diǎn)，